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函数与导数
方法技巧
1.指数函数、对数函数、幂函数三种函数模型的应用技巧
（1）与幂函数、指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型（底数大于1）是增长速度越来越快的一类函数模型，与增长率、银行利率、细胞分裂有关的问题都属于指数函数模型.
（2）在解决幂函数、指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数.
2.已知函数的解析式，求导函数或导函数值的方法
（1）连乘形式：先展开化为多项式形式，再求导.
（2）三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.
（3）复杂分式：先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导.
（4）根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导.
（5）复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导.
3.利用导数解决函数零点问题的方法
（1）先求函数的单调区间和极值，根据函数的性质画出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想.
（2）构造新函数，将问题转化为研究两个函数的图象的交点问题.
（3）分离参变量，即由分离参变量，得，研究直线与的图象的交点问题.
4.利用导数研究不等式恒成立或存在性问题的思路方法
首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.一般地，恒成立，则；恒成立，则.
1.已知函数.
（1）讨论在区间上的单调性;
（2）当时,若存在满足,证明.
2.已知函数
（1）当时,求的单调区间；
（2）若有两个零点,求a的范围,并证明.
3.已知函数.
（1）若,,求实数a的取值范围;
（2）设,是函数的两个极值点,证明:.
4.已知函数,为的导函数.
（1）当时,讨论函数的单调性
（2）已知,,若存在,使得成立,求证:.
5.已知函数
（1）当时,求函数在处的切线方程;
（2）若函数与直线在上有两个不同的交点,求实数的取值范围.
6.已知函数.
（1）当时,求曲线在点处的切线方程;
（2）若函数有两个极值点,求实数a的取值范围;
（3）若函数有两个极值点,,求证:.
7.已知函数,.
（1）试讨论的单调性;
（2）若对任意, 均有,求a的取值范围;
（3）求证: .
8.设函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若有两个极值点，，
①求a的取值范围；
②证明：.
答案以及解析
1.解析：（1）当,在单调递减;
当时,,
①当时,,,,;
②当时,在恒成立;
③当时,,,,;
综上所述,当时,在单调递增,在单调递减;
当时,在单调递减;
当时,在单调递减,在单调递增.
（2）由,得,即,
由（1）可知,当时,,,
当时,;当时,,
在单调递增,在单调递减,
又当,,当时,,
故,即.欲证,即证.
设,,
则,
即在单调递减,
又,所以,即,
又,所以,
又因为在单调递增,,,
所以,即得证.
2.答案：（1）的单调增区间为和,单调减区间为和
（2）见解析
解析：（1）的定义域为,
当时,,导函数,
令,得或；
令,得且；
所以的单调增区间为和,单调减区间为和；
（2）当时,只有1个零点,不符合题意；
当时,若,则；若,则,不符合题意,所以.
当时,,所以在和均单调递增.
当时,由,
,
所以在上有一个零点；
当,同理,
所以在上有一个零点,所以a的范围是,
因为的两个零点为,
所以,即,所以,
同理,,
所以,
若,即,
则,
所以的两个零点,互为倒数,即,
所以（等号不成立）,所以,
所以,
所以得证.
3.答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）当时,
,在时,,单调递减,
又,所以,不满足题意;
当时,,
若,即时,,上单调递增,
又,所以,满足题意;
若,即时,
令,可得,,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
而,所以,
不满足在上.
综上所述,;
（2）当时,
由得,单调递减,无极值,不满足题意;
当时,,
若,即时,,在上单调递增,
无极值,不满足题意;
若,即时,
令,可得,,此时,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以为极大值,为极小值,
且,,,
要证,即证
,
即,
即证:,
即证:
则,
因为,
故在上为减函数,故,
故成立,
故.
4.解析：（1）当时,,,
,
当时,在区间上恒大于0,此时函数的单调递增区间是;
当时,设,其中,
当,,函数单调递增,
当,,函数单调递减,
当时,,
当时,,此时恒成立,函数的单调递增区间是,
当时,,
当且,
所以在区间上恒大于0,即函数的单调递增区间是,
综上可知,时,函数的单调递增区间是,
当时,函数的单调递减区间是,函数的单调递减区间是;
（2）不妨设,因为,
则,
即,
得,
由,
则,
所以,
,
设,构造函数,
,
所以在上为增函数,
所以,即,
又,,,
所以.
5.答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,,
所以,
因为,
所以切点坐标为,切线斜率为,
所以切线方程为,即.
（2）由题知,函数与直线在上有两个不同的交点,
令,
所以,
因为,
所以令,得,
所以当时,,当时,,
所以在上有最大值,,
因为,,
又,
所以,
所以在上有最小值,
所以在上有两个不同的交点的条件是
,解得
所以实数a的取值范围为
6.答案：（1）
（2）
（3）证明见解析
解析:（1）当时,,
所以,故切点坐标为,
又,所以,故切线的斜率为,
由点斜式可得,,即,
故曲线在点处的切线方程为;
（2）的定义域为,
又,
因为函数有两个极值点,,因此有2个不等的正根
令,
所以,解得
当时,函数有两个极值点,.
（3）由（2）可知,当时,有两个极值点,,
则,由题意可得,,
则
,
令,
则,
当时,,则单调递增,
当时,,则单调递减,
故当时,取得最大值,
所以.
7.答案：（1）当时,,在上单调递增,
当时,,在上单调递减
（2）
（3）见解析
解析：（1）,
若则, 在 上单调递减;
若,则由,得,
当时,,在上单调递增,
当时,,在上单调递减.
（2）当时,符合题意;
当时,由（1）知在上单调递减,而 ,不合题意;
当时,结合（1）得,,
即,得,
综上,a的取值范围是;
（3）证明：由（2）知,当 时,,即,
所以,
所以,
所以,
即得证.
8.答案：（1）单调递减区间为，单调递增区间为
（2）①；②证明见解析
解析：（1）当时，，，
故，
所以，
当时，；当时，，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）①，依据题意可知有两个不等实数根，
即有两个不等实数根，.
由，得，
所以有两个不等实数根可转化为
函数和的图象有两个不同的交点，
令，则，
由，解得；由，解得；
所以在单调递增，在单调递减，
所以.
又当时，，当时，，
因为与的图象有两个不同的交点，所以.
②由①可知有两个不等实数根，，
联立可得，
所以不等式等价于
.
令，则，且等价于.
所以只要不等式在时成立即可.
设函数，则，
设，则，
故在单调递增，得，
所以在单调递减，得.
综上，原不等式成立.

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