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空间向量与立体几何
方法技巧
1.求直线和平面所成角的基本思路
（1）可先判断直线和平面的位置关系，若直线与平面平行，则所成角为0°；若直线与平面垂直，则所成角为90°.
（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤分析问题：
①作图：作（或找）出斜线在平面内的射影，将空间角（斜线与平面所成的角）转化为平面角（两条相交直线所成的锐角），作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，这样才能便于计算.
②证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角.
③计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.
2.利用空间向量证明平行问题的方法
（1）线线平行：证明两条直线的方向向量共线.
（2）线面平行：①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.
（3）面面平行：①证明两个平面的法向量平行；②转化为线线平行、线面平行问题.
3.利用空间向量证明垂直问题的方法
（1）线线垂直：证明两直线的方向向量垂直，即证它们的数量积为零.
（2）线面垂直：①证明直线的方向向量与平面的法向量共线；②证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量都垂直.
（3）面面垂直：①其中一个平面与另一个平面的法向量平行；②两个平面的法向量垂直.
4.向量法求角问题的解题步骤
（1）识图：分析几何体，找出确定几何体底面和高的条件，根据所学知识，理清图形中的数量关系；
（2）建系设点：寻找题目中有三条直线两两垂直的特征，建立空间直角坐标系，从而确定点的坐标；
（3）求向量坐标：用终点坐标减去起点坐标写出所需要的向量坐标；
（4）计算或证明：利用证明两个非零向量垂直的充要条件和向量夹角的余弦公式进行计算和证明.
5.解决立体几何中探索性问题的技巧
（1）涉及线段上点的位置的探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，所求点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识找点，求解时注意三点共线条件的应用.
（2）借助空间直角坐标系，把几何对象上动态点的坐标用参数（变量）表示出来，将几何对象坐标化，这样根据所要满足的题设要求得到相应的方程或方程组.若方程或方程组有满足题设要求的解，则通过参数的值反过来确定几何对象的位置；若方程或方程组没有满足题设要求的解，则表示满足题设要求的几何对象不存在.
1.如图,在直三棱柱中,,,.M是AB的中点,N是的中点,P是与的交点.
(1)求直线与平面所成角的正弦值;
(2)线段上是否存在点Q,使得平面？
2.如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧面QAD是正三角形,侧面底面ABCD,M是QD的中点.
（1）求证:平面QCD;
（2）在棱BQ上是否存在点N使平面平面ACM成立 如果存在,求出;如果不存在,说明理由.
3.在图1中,,,为等边三角形,O为AC边的中点,E在BC边上,且,沿AC将进行折叠,使点D运动到点F的位置,如图2,连接FO,FB,FE,.
（1）证明:平面ABC.
（2）求二面角的余弦值.
4.如图,在四棱锥中,底面ABCD是矩形,底面ABCD,且,E是PC的中点,平面ABE与线段PD交于点F.
（1）证明:F为PD的中点;
（2）再从条件①,条件②这两个条件中选择一个作为已知,求直线BE与平面PAD所成角的正弦值.
条件①:三角形BCF的面积为;
条件②:三棱锥的体积为1.
5.如图,该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成,点G为弧CD的中点,且C,E,D,G四点共面.
（1）证明:平面平面BCG;
（2）若平面BDF与平面ABG所成二面角的余弦值为,且线段AB长度为2,求点G到直线DF的距离.
6.如图1,在梯形ABCD中,,,,,点E在线段BC上,,将沿AE翻折至的位置,连接PD,点F为PD中点,连接CF,如图2,
（1）在线段AD上是否存在一点Q,使平面平面FQC 若存在,请确定点Q的位置,若不存在,请说明理由;
（2）当平面平面AECD时,求三棱锥的体积.
7.2023年9月23日,杭州第19届运动会开幕式现场,在AP技术加持下,寄托着古今美好心愿的灯笼升腾而起,溢满整个大莲花场馆,融汇为点点星河流向远方,绘就了一幅万家灯火的美好图景．灯笼又统称为灯彩,是一种古老的汉族传统工艺品,经过数千做年的发展,灯笼也发展出了不同的地域风格,形状也是千姿百态,每一种灯笼都具有独特的艺术表现形式．现将一个圆柱形的灯笼切开,如图所示,用平面表示圆柱的轴截面,BC是圆柱底面的直径,O为底面圆心,E为母线的中点,已知为一条母线,且．
（1）求证：平面平面;
（2）求二面角的余弦值．
8.如图：等边三角形的边长为3，，.将三角形沿着折起，使之成为四棱锥.点p满足，点Q在棱上，满足.且.
(1)求到平面的距离；
(2)求面与面夹角的余弦值；
(3)点Q在面的正射影为点s，求与平面夹角的正弦值.
答案以及解析
1.答案：(1)
(2)存在
解析：（1）以A为原点,AC,AB,所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
因为,C,M的坐标分别为,,,所以,.
设是平面的法向量,则,
即,所以,
取,则,,所以是平面的一个法向量.
P点坐标为,所以.
设与平面所成的角为,
则.
（2）由,N的坐标分别为,,故,
设,则,得,
又P点坐标为,所以直线PQ的一个方向向量,
若平面,需,从而,
即,解得,这样的点P存在.
所以线段上存在点Q,使得平面,此时,Q为线段上靠近点N的三等分点.
2.解析：（1）由侧面QAD是正三角形,M是QD的中点,得,
由正方形ABCD,得,而平面平面ABCD,平面平面,
且平面ABCD,则平面QAD,又平面QAD,于是,
而,CD,平面QCD,
所以平面QCD.
（2）取AD的中点E,AB的中点P,连接,连接PQ,连接,连接OG,
于是,由正方形ABCD,得,则,令,
显然G是正AQD的中心,,,
又平面平面ABCD,平面平面,则平面ABCD,
AC,平面ABCD,即有,,而,QE,平面PQE,
则平面PQE,平面PQE,在平面PQE内过O作交PQ于H,
显然,而,AC,平面ACM,因此平面ACM,
连接AH并延长交QB于N,连接CN,于是平面平面ACM,
过H作,则有,,,
,,则,又,,
从而点F是线段PO的中点,,过P作交QB于T,
于是,即,显然,因此,
所以在棱BQ上存在点N使平面平面ACM成立,.
3.解析：（1）由题意,
又,,,而,
所以,所以,
因为,FO,平面ABC,
所以平面ABC;
（2）分别以OB,OC,OF为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,则,,,
,,
设平面AEF的一个法向量是,
则,取,则,,即,
显然是平面的一个法向量,
,
所以二面角的余弦值为.
4.解析:（1）由底面ABCD是矩形,则,而面PCD,面PCD,
所以面,
又E是PC的中点,面ABE与线段PD交于点F,即面面,
而面ABE,则,故,
中EF为中位线,故F为PD的中点;
（2）由底面ABCD,面ABCD,则,又,
由,面PCD,则面PCD,
由面PCD,故,即为直角三角形,且;
由面PAD,则面面ABCD,同理有面面ABCD;
又DA,面ABCD,故,,又,
所以PD,DA,DC两两垂直,可构建如下空间直角坐标系,
选①,则,故,而,
选②,由,而,,所以;
此时,,,则,
又是面PAD的一个法向量,若直线BE与平面PAD所成角为,
所以.
5.解析:（1）过G作,交底面弧于H,连接HB,易知:HBCG为平行四边形,
所以,又G为弧CD的中点,则H是弧AB的中点,
所以,而由题设知:,则,
所以,即,由底面ABF,平面ABF,则,又,平面BCG,
所以平面BCG,又平面BDF,所以平面平面BCG.
（2）由题意,构建如下图示空间直角坐标系,
令半圆柱半径为r,高为h,则,,,,
所以,,,,
若是面BDF的一个法向量,则,令,则,
若是面ABG的一个法向量,则,令,则,
所以,
整理可得,则,又,
由题设可知,此时点,,,
则,,
所以点G到直线DF的距离.
6.答案：（1）存在,Q是AD的中点
（2）
解析：（1）当Q是AD的中点时,平面平面FQC,理由如下:
如图,连接FQ,CQ,
依题意得,且,,则,,
所以四边形AECQ是平行四边形,则,
又平面PAE,平面PAE,所以平面PAE,
因为Q,F分别为AD,PD的中点,所以,
又平面PAE,平面,所以平面PAE,
因为QF,平面FQC,,所以平面平面FQC,
（2）取AE的中点M,连接,
因为,,,则,
所以为边长为2的等边三角形,则,
因为,,,所以由余弦定理得,
所以在中,,则,
因为平面平面AECD,平面平面,平面AECD,所以平面PAE,
因为F为PD的中点,所以F到平面PAE的距离,
所以.
7.解析：（1）因为,
平面ABC,BC是圆柱底面的直径,
所以,则,,
,
则有,所以;
又E为的中点所以,,,,
则有,所以;
又,所以平面AEO,平面,
所以平面平面;
（2）由题意可知,平面ABC,,
以A为坐标原点,,,分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
因为,
则,,,,,
,,．
由（1）知,平面的一个法向量为
设平面的一个法向量为,,,
则,取,则,
所以,
因为二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.
8.答案：(1)；(2)；(3)
解析：（1）在中，，，
由余弦定理得，
所以，所以，即，
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设，
则，
，
因为，
所以，解得，
则，故，
所以，
设，由，，，
得，解得，即，
所以到平面的距离为；
（2），，，
设平面得法向量为，
则有，可取，
设平面得法向量为，
则有，可取，
则，
所以面与面夹角的余弦值为；
（3）因为，，，，平面，
所以平面，
因为点Q在面的正射影为点s，所以平面，
所以，所以s在上，
，则，
故，则，
则，
所以与平面夹角的正弦值为.

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