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三角函数与解三角形
方法技巧
1.给值求值问题的解题策略
从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.
2.弧长和扇形面积问题的解题策略
（l）求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.
（2）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
（3）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.
3.解给值求角问题的一般步骤
（1）确定角的范围，根据条件确定所求角的范围.
（2）求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数.
（3）结合三角函数值及角的范围求角.
4.解三角形中的最值（取值范围）问题的求解方法
（1）函数法：通过正、余弦定理将边转化为角，再根据三角恒等变换:及三角形内角和定理转化为“一角一函数”的形式，最后结合角的范围利用三角函数的单调性和值域求解，
（2）基本不等式法：利用正、余弦定理，面积公式建立，，之间
的等量关系与不等关系，然后利用基本不等式求解.
（3）几何法：根据已知条件画出图形，结合图形，找出临界位置，数形结合求解.
5.几个典型三角形应用问题的处理方法.
（1）求距离问题的注意事项：
①选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.
②确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.
（2）处理高度问题的注意事项：
①在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角（视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角）是一个关键.
②在实际问题中，可能会遇到空间与平面同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.
（3）测量角度问题的一般步骤：
①在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离；
②用正弦定理或余弦定理解三角形；
③将解得的结果转化为实际问题的解.
1.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求A；
（2）若，证明：是直角三角形.
2.已知函数.
（1）若,,求的值.
（2）A,B,C是的三个内角,;若D是AC边上的点,且,,求的值.
3.在中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,其中R是三角形外接圆半径,且A不为直角.
（1）若,求A的大小；
（2）求的最小值.
4.已知角,(,)的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,点,分别在角,的终边上.
（1）设函数,,求函数的值域;
（2）若点在角的终边上,且线段的长度为,求的面积.
5.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)证明：；
(2)若，，求的周长.
6.随着生活水平的不断提高,人们更加关注健康,重视锻炼.通过“小步道”,走出“大健康”,健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图,为某区的一条健康步道,AB,AC为线段,是以BC为直径的半圆,,,.
（1）求的长度;
（2）为满足市民健康生活需要,提升城市品位,改善人居环境,现计划新建健康步道(B,D在AC两侧),其中AD,CD为线段.且在中,记,,设计师提交设计了两种方案:
①方案一:增加健康步道的长度,若,满足,求新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加多少长度 (精确到0.01km)
②方案二:在区域种植观赏植物,若的值在内,则认为健康步道绿化观赏效果最佳,当为锐角三角形时,,满足,问方案二是否可以满足健康步道绿化观赏效果最佳 (,)
7.已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求边a；
(2)若是锐角三角形，且___________，求的面积S的取值范围.
要求：从①，②从这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答.
8.在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，.
（1）求角B的大小和边长b的值；
（2）求面积的最大值.
答案以及解析
1.（1）答案：
解析：因为，
所以，即，解得.
又，所以.
（2）解析：由（1）知，，即.①
又，②
所以将②代人①得，，
整理可得，解得或.
又因为，所以，
所以，故，所以是直角三角形.
2.解析：（1）因为,
所以,
将代入得,
解得或,
又,所以,
所以.
（2）,
因为,所以,所以,即,
因为,所以,
在中,由正弦定理可得,
因为,,
所以,在中,由余弦定理有,
整理得,即,
解得,
因为,所以.
3.答案：（1）
（2）
解析：（1）在中,,
进而,
,
,
又A不为直角,则,,
,.
（2）由(1)知,
转化为,又,,.
,
当且仅当,即时,等号成立,
的最小值为.
4.答案：（1）
（2）
解析:（1）的终边过点,,.
,.
则,
,,,,
即的值域是.
（2）的终边过点,
,.
,,.
由余弦定理可得,,
,解得.
,
C为OB的中点,
则的面积
5.答案：(1)证明见解析
(2)的周长为14
解析：(1)证明：因为，
所以，
所以，
即，
所以.
(2)因为，，
由(1)得，
由余弦定理可得，则，
所以，故，
所以的周长为.
6.答案：（1）
（2）①
②是
解析:（1）连接BC,在中,由余弦定理可得,
,
所以,即的长度为;
（2）①方案一:因为,
则,所以,
又,所以,
记,,则在中,由余弦定理可得,
即,
从而,所以,所以,当且仅当时,等号成立;
所以新建健康步道的最长路程为,又,
即新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加约1.39km;
②方案二:因为,
即,
又为锐角三角形,,,
则,,所以,所以.
因为为锐角三角形且,所以,解得,
所以,,,
所以
,
故可以满足健康步道绿化观赏效果最佳.
7.答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）解法一：因为，
由余弦定理，得；
解法二：因为，
由正弦定理，得，
，
，即.
（2）选择①：因为
所以，，
所以
因为是锐角三角形，
所以，又，所以，所以.
所以，所以，
所以，
所以.
选择②：因为，则，
因为是锐角三角形，所以，
即，
所以，
因为，
所以，
所以
，
由二次函数的性质可得，
当时，函数取最大值，
当时，，又，
所以，即，
所以，
所以.
8.答案：（1），
（2）
解析：（1）因为，
所以，，
因为角B是锐角，所以，
因为，
所以由正弦定理与余弦定理易知，，
整理得，解得.
（2）因为，所以，，
因为，，，所以，
则
，
因为，所以，
则，，
故，面积的最大值为.

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