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平面解析几何
方法技巧
1.直线与抛物线的位置关系的常见类型及解题策略：
（1）求线段长度和线段之积（和）的最值.可依据直线与抛物线相交，利用弦长公式，求出弦长或弦长关于某个量的函数，然后利用基本不等式或利用函数的知识，求函数的最值；也可利用抛物线的定义转化为两点间的距离或点到直线的距离.
（2）求直线方程.先寻找确定直线的两个条件，若缺少一个可设出此量，利用题设条件寻找关于该量的方程，解方程即可
（3）求定值.可借助于已知条件，将直线与抛物线方程联立，寻找待定式子的表达式，化简即可得到.
2.圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法
（1）函数法：用其他变量表示参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解.
（2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的取值范围.
（3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式求参数的取值范围.
（4）数形结合法：研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解.
3.圆锥曲线中定点问题求解步骤
一选（设参）：选择变量，定点问题中的定点，随某一个量的变化而固定，可选择这个量为变量（有时可选择两个变量，如点的坐标、斜率、截距等，然后利用其他辅助条件消去其中之一）.
二求（用参）：求出定点所满足的方程，即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方程.
三定点（消参）：对上述方程进行必要的化简，即可得到定点坐标.
4.求解定值问题的方法
（1）证明代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值.
（2）证明点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的关系式，再利用题设条件化简、变形得出定值.
（3）证明某线段长度为定值：利用两点间距离公式求得关系式，再依据条件对关系式进行化简、变形即可得出定值.
（4）证明某几何图形的面积为定值：解决此类题的关键点有两个，一是计算面积，二是恒等变形，通常是规则图形的面积，一般是三角形或四边形.对于其他凸多边形，一般需要分割成三角形求解，利用面积求解方法，求得关系式，再将由已知得到的变量之间的等量关系式代入面积关系式中，进行化简即可求得定值.
5.几何证明问题的解题策略
（l）圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系（相等或不等）.
（2）解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.
1.已知椭圆的右焦点为F，点P是椭圆与x轴正半轴的交点，点Q是椭圆与y轴正半轴的交点，且，.直线l过圆的圆心，并与椭圆相交于A，B两点，过点A作圆O的一条切线，与椭圆的另一个交点为C，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）求直线的斜率.
2.在平面内，动点与定点的距离和它到定直线的距离比是常数2.
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)若直线m与动点M的轨迹交于P，Q两点，且（为坐标原点），求的最小值.
3.已知椭圆的左 右焦点分别为,过点作直线l（与x轴不重合）交C于M,N两点,且当M为C的上顶点时,的周长为8,面积为
（1）求C的方程；
（2）若A是C的右顶点,设直线l,AM,AN的斜率分别为k,,求证：为定值.
4.过抛物线的焦点F作斜率分别为,的两条不同的直线,,且与E相交于点A,B,与E相交于点C,D.以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在的直线记为l.
（1）若,求;
（2）若,求点M到直线l的距离的最小值.
5.已知椭圆的离心率为,记E的右顶点和上顶点分别为A,B,的面积为1(O为坐标原点).
（1）求E的方程;
（2）已知,过点D直线与椭圆E交于点M,N(点M在第一象限),过点M垂直于y轴的直线分别交BA,BN于P,Q,求的值.
6.已知,是椭圆的左,右焦点,点是C上一点,的中点在y轴上,O为坐标原点.
（1）求椭圆C的方程;
（2）已知过椭圆上一点的切线方程为.设动直线与椭圆C相切于点P,且与直线相交于点Q,试探究:在x轴上是否存在定点F,使得以PQ为直径的圆恒过点F 若存在,求出点F的坐标;若不存在,说明理由.
7.已知抛物线和椭圆,过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,线段AB的中垂线交椭圆C于M,N两点.
（1）若F恰是椭圆C的焦点,求p的值;
（2）若,且MN恰好被AB平分,求的面积.
8.已知双曲线的离心率是,点在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程;
(2)设,M为C上一点,N为圆上一点（M,N均不在x轴上）.直线AM,AN的斜率分别记为,且,判断：直线MN是否过定点？若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
答案以及解析
1.答案：（1）
（2）1或
解析：（1）由题意可得，，
，，椭圆的方程为.
（2）若圆O的切线轴，则，，不满足题意.
设直线的方程为，
直线与圆O相切，，，
联立与，
消y得.
设，，则，.
到直线的距离为1，则
，
将代入消m可得，
化简可得，解得（负值舍去），
，故直线的斜率为1或.
2.答案：（1）
（2）最小值为6
解析：（1）由已知可得：，
整理化简可得：，
即，
所以动点M的轨迹方程为：；
（2）由可设直线OP的方程为，直线OQ的方程为，
由，可得，
所以，
同理可得，
又由且，可得，
所以，
所以，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为6.
3.答案：（1）
（2）为定值
解析：（1）依题意,的周长,
解得,则椭圆,令椭圆C的半焦距为c,
当M为C的上顶点时,直线l为：,由消去y得,
解得或,于是得点,
又的面积为,则,整理得,
则有,解得或,有或,
因为,则,
所以椭圆C的方程为.
（2）由（1）知,,,直线的方程为,
由消去y得,
设,则,
而,
,
所以为定值.
4.答案：（1）24
（2）
解析:（1）依题意,抛物线的焦点为,且其在抛物线内部,设直线的方程为,
由,得,
设A,B两点的坐标分别为,,则,是上述方程的两个实数根,
所以,
所以点M的坐标为,,
同理可得N的坐标为,,
于是,
又,所以.
（2）结合（1）,
由抛物线的定义得,,
所以,
所以圆M的半径,
所以圆M的方程为
化简得,
同理可得圆N的方程为,
于是圆M与圆的公共弦所在直N线l的方程为,
又,,则直线l的方程为,
所以点M到直线l的距离,
故当时,d取最小值.
5.答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意可得,,且,则,
所以,,解得,
所以,椭圆E的方程为.
（2）当直线与x轴平行时,此时直线方程为,不合乎题意,
则设直线的方程为,设点,,
易知点,,则直线AB的方程为,
直线l的方程为,联立,可得,故点,
联立直线与椭圆的方程得,可得,
,
由韦达定理可得,,因为点在直线MN上,
则,则,
则,,
,解得,
,则直线BN的方程为,
令,则,
,则,
而
即,则
因为,则,又因为点P,Q,M的纵坐标相同,
所以P为MQ的中点,所以.
6.答案：（1）
（2）存在,的坐标为
解析:（1）设,
由的中点在y轴上,且O为,的中点,可得轴,即,
又由,可得,即,,
所以,即,
解得,则,所以椭圆C的方程为.
（2）因为过椭圆上一点的切线方程为,
设动点,则直线l的方程为,
即
令,则代入①,解得,所以Q坐标为,
由以PQ为直径的圆恒过点F,可得,即
假设存在点,则,
于是
整理得,由该方程对于任意的恒成立,可得,
因此,存在定点符合条件.
7.答案：（1）
（2）
解析:（1）在椭圆中,,所以,由,得.
（2）设直线,,,代入抛物线方程得.
,则,
设AB的中点,则,,
设,,则直线MN的斜率为,,,
相减得到,即.
即,解得,
由点G在椭圆内,得,解得,
因为,所以p值是1,
面积.
8.答案：(1).
(2)直线MN过定点,定点为.
解析：（1）由双曲线的离心率是,
可得,,
又点在双曲线C上,即,解得,
故双曲线C的方程为.
（2）由题意可知,且AM的方程为 ,
联立,可得,,,
设,由题意可知该方程有一根为-1,
故,则,
AN的方程为,
联立,可得,,
设,由题意可知该方程有一根为-1,
故,则,
由于,即,由于,故,
故,,
所以直线MN的斜率为
,
故直线MN的方程为,
即,即,
由于,故,
即直线MN过定点.

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