资源简介

数列
方法技巧
1.解决等差数列前n项和的基本运算题的思路方法及注意事项：
（1）注意公式与的选择使用；
（2）等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量，，，，，已知其中三个就能求另外两个，注意方程思想的应用；
（3）数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法，同时注意灵活应用等差数列的性质以简化计算过程.
2.判定数列是等比数列的常用方法：
（1）定义法：验证（q为常数且不为0）是否成立，但应注意必须从第二项（即）起所有项都满足此等式；
（2）等比中项法：验证（，且）是否成立；
（3）通项公式法：验证是否成立，但应注意隐含条件是，.
3.用错位相减法解决数列求和问题的步骤：
（1）判断结构：若数列是由等差数列与等比数列（公比q）的对应项之积构成的，则可用此法求和；
（2）乘公比：设的前n项和为，然后两边同乘以q；
（3）错位相减：乘以公比q后，向后错开一位，使含有的项对应，然后两边同时作差；
（4）求和：将作差后的结果求和，从而表示出.
4.利用裂项相消法求和的基本步骤
（1）裂项：观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式；
（2）累加：将数列裂项后的各项相加
（3）消项：将中间可以消去的项相互抵消，将剩余的有限项相加，得到数列的前n项和.
5.数列与函数的综合问题的解题策略
（1）已知函数条件，解决数列问题，一般利用函数的性质、图象等进行研究.
（2）已知数列条件，解决函数问题，一般要充分利用数列的有关公式对式子化简变形.
（3）解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解.
6.数列在实际应用中的常见模型
（1）等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差.
（2）等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的非零常数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.
（3）递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑考查的是第n项与第项（或者相邻三项等）之间的递推关系还是前n项和与前项和之间的递推关系.
1.已知数列各项均不为0,且,为数列的前n项的积,为数列的前n项的和,若.
（1）求证:数列是等差数列;
（2）求的通项公式.
2.已知数列的前n项和为,是等差数列,且,,是,的等差中项.
(1)求,的通项公式;
(2)记,求证：.
3.已知数列满足,,.
（1）证明：数列是等比数列;
（2）求数列的前n项和.
4.已知数列前n项和为,等比数列的前n项和为,且,,,.
（1）求,;
（2）若数列满足,求数列的前n项和.
5.已知数列的前n项和为,满足,等差数列满足,.
（1）求与的通项公式;
（2）数列和中的所有项分别构成集合A,B,将的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列,求数列的前50项和.
6.已知各项均为正数的数列满足,.
（1）求数列的通项公式;
（2）若,,成等差数列,求数列的前n项和.
7.已知数列是递增的等比数列.设其公比为q,前n项和为,并且满足,是与的等比中项.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,是的前n项和,求使成立的最大正整数n的值.
8.已知数列满足:,正项数列满足:,且,,.
（1）求,的通项公式;
（2）已知,求:;
（3）求证:.
答案以及解析
1.答案：（1）证明见解析;
（2）,.
解析：（1）为数列的前n项的和,当,时,,又,
则有,依题意,,,因此,
所以数列是以为首项,3为公差的等差数列.
（2）由（1）知,,即,
当,时,,而不满足上式,
因为为数列的前n项的积,则当时,,
而,均不满足上式,
所以的通项公式是,.
2.答案：(1),
(2)证明见解析
解析：（1）因为,所以当时,得,
两式作差得,当时,,即时,.
又,,得,解得,所以,
所以是首项为2,公比为2的等比数列,所以.
设等差数列的公差为d,因为是,的等差中项,所以,
又,所以,解得,
所以,
故,.
（2）由（1）知,①
,②
①②,得.
所以.
所以,即.
3.答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：因为,所以,
又,
所以是以18为首项,3为公比的等比数列.
（2）由（1）知,
所以,又,所以是以1为首项,2为公差的等差数列,
所以,所以.
所以,
所以,
所以,
所以.
4.答案：（1）,
（2）
解析:（1）由,可得;
当时,
,
上式对也成立,
所以,;
设等比数列的公比为q,,
由,即,
,即,
解得,,
所以,
,
（2）
设数列的前n项和为,数列的前n项和为,
由,
,
两式相减可得,
化简可得,
所以.
5.答案：（1）见解析
（2）3459
解析：（1）因为,
所以当时,,解得,
当时,,所以,整理得,
所以是以2为首项,以2为公比的等比数列,
所以.
所以,,
设等差数列的公差为d,
则,解得,
所以.
（2）因为,,,
且,,,
所以的前50项中含有的,,,且含有的前46项,
.
6.答案：（1）
（2）
解析:（1）由,得,
,
所以,又知,所以是以1为首项,3为公比的等比数列,
故数列的通项公式为;
（2）由成等差数列可知,,
所以.
所以,①
,②
由①-②,得,
,
故.
7.答案：(1)
(2)5
解析：（1）因为是与的等比中项,所以,
则由题意得：,即,解得：或,
因为数列是递增的等比数列,所以,即,,
所以,
故数列的通项公式为.
（2）由（1）得：,
则
,①
即,②
则得：
即,
所以,
设,则,
因为在上单调递减,
所以是单调递减数列,
又有,,
所以当且时,成立,
故使成立的最大正整数的值为.
8.答案：（1）,
（2）
（3）证明见解析
解析:（1）由题意知,为等差数列,设公差为d,为等比数列,设公比为q,
又,,,,,.
,,.
（2）由,
;
（3）,
,
.
,成立,
时,也成立,.

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