资源简介

5.1导数的概念及其意义4题型分类
一、瞬时速度
1．平均速度
设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=.
2．瞬时速度
①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
②一般地，当t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v==.
二、抛物线切线的斜率
1．抛物线割线的斜率
设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为=.
2．抛物线切线的斜率
一般地，在二次函数y=f(x)中，当x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当x趋近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率k==.
三、函数的平均变化率
函数平均变化率的定义:对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)- f ().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率.
四、函数在某点处的导数的几何意义
1．切线的定义
在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))，沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T (T是直线P0T上的一点)称为曲线y=f(x)在点P0处的切线.
2．函数在某点处的导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0==f'(x0).这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为y- f(x0)=f'(x0) (x- x0).
五、导函数的定义
从求函数y=f(x)在x=处导数的过程可以看到，当x=时，f'()是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=.
（一） 求平均变化率 函数平均变化率的定义：对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)- f ().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率.
题型1：求平均变化率 1-1．（2023·高二课时练习）已知函数，其中，则此函数在区间上的平均变化率为 . 1-2．（2023·高二课时练习）已知函数，其中，此函数在区间上的平均变化率为，则实数m的值为 ． 1-3．（2023下·北京顺义·高二统考期末）降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（t）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（ ） A． B． C． D． 1-4．（2023·高二课时练习）如图所示为物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的序号是 ． ①在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ②在时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度； ③在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ④在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度．
（二） 求瞬时速度 1．平均速度：设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=. 2．瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v==. 3.瞬时速度与平均速度的区别和联系： 区别：瞬时速度是刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关． 联系：瞬时速度是平均速度在变化时间趋近于0时的极限值．
题型2：求瞬时速度 2-1．（2023下·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期中）如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（ ） A． B． C． D． 2-2．（2023·高二课时练习）某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则该物体在s时的瞬时速度为（ ） A．0m/s B．1m/s C．2m/s D．3m/s 2-3．（2023下·福建宁德·高二校联考期中）一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系是，则在时的瞬时速度为（ ） A．1 B．3 C．－2 D．2 2-4．（2023下·河北承德·高二校联考阶段练习）已知是定义在上的可导函数，若，则（ ） A．0 B． C．1 D． 2-5．（2023·高二课时练习）已知物体做直线运动对应的函数为，其中S表示路程，t表示时间．则＝10表示的意义是（　　） A．经过4s后物体向前走了10m B．物体在前4秒内的平均速度为10 m/s C．物体在第4秒内向前走了10m D．物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s 2-6．（2023下·上海长宁·高二上海市第三女子中学校考期末）某物体的运动的位移（单位：米）与时间（单位：秒）满足函数关系为，则该物体在时刻时的瞬时速度为 （米/秒）．
（三） 求函数在某点的切线斜率及方程 曲线的切线斜率： 1．设P0(x0，f (x0))，P(x，f (x))是曲线y＝f (x)上任意不同两点，则平均变化率＝为割线P0P的斜率． 2．当P点逐渐靠近P0点，即Δx逐渐变小，当Δx→0时，瞬时变化率就是y＝f (x)在x0处的切线的斜率即k＝.切线方程为y- f(x0)=f'(x0) (x- x0).
题型3：求函数在某点的切线斜率及方程 3-1．（2023·广东广州·统考一模）曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 3-2．（2023·河南·河南省浚县第一中学校联考模拟预测）曲线在处的切线方程为（ ） A．4x－y+8＝0 B．4x+y+8＝0 C．3x－y+6＝0 D．3x+y+6＝0 3-3．（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）曲线在点处的切线斜率为（ ） A． B．1 C．0 D． 3-4．（2023下·重庆合川·高二统考阶段练习）过函数图像上一个动点作函数的切线，则切线领斜角范围为（ ） A． B． C． D． 3-5．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知函数是定义在R上的奇函数，且，则函数的图象在点处的切线的斜率为（ ） A． B． C． D． 3-6．（2023·全国·高考真题）设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　) A． B． C． D． 3-7．（2023下·四川广安·高二四川省武胜烈面中学校校考开学考试）过点(0，-1)作曲线的切线，则切线方程为 A．x+y+1=0 B．x-y-1=0 C．x+2y+2=0 D．2x-y-1=0
（四） 导数几何意义的应用 曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢.结合具体条件，利用导数的几何意义，进行转化求解即可.
题型4：导数几何意义的应用 4-1．（2023·陕西安康·统考二模）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 ． 4-2．（2023下·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考期末）已知函数在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，则实数的值为（ ） A．1 B． C． D．3 4-3．（2023上·湖南邵阳·高三统考期末）已知直线为曲线在处的切线，若与二次曲线也相切，则（ ） A．0 B． C．4 D．0或4 4-4．（2023下·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）过坐标原点作曲线的切线，则切点的纵坐标为（ ） A．e B．1 C． D． 4-5．（2023上·四川成都·高三校联考开学考试）若曲线在点处的切线平行于x轴，则a＝ ． 4-6．（2023上·陕西西安·高二西安中学校考阶段练习）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4-7．（2023上·河南洛阳·高三洛阳市第一高级中学校考阶段练习）若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ） A．11 B．12 C． D． 4-8．（2023下·湖南郴州·高二统考期末）过点作曲线的切线有且只有两条，则b的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4-9．（2023下·安徽亳州·高二亳州二中校考期末）曲线上的点到直线的最短距离是（ ） A． B． C． D．
一、单选题
1．（2023上·河北廊坊·高三统考开学考试）函数在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·四川资阳·高二四川省资阳中学统考期末）已知函数.曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全国）已知曲线在点处的切线方程为，则
A． B． C． D．
4．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）若曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023上·江苏南京·高三统考阶段练习）若直线与曲线相切，则实数的值为（ ）
A．0 B． C． D．
6．（2023下·四川成都·高三四川省成都市郫都区第一中学校联考阶段练习）若过点的直线与函数的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·陕西西安·高二西安市第八十三中学校考期末）已知，则过点P(-1，0)且与曲线相切的直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
8．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）对于三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处点的切线重合，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·山西太原·统考二模）已知函数图象上存在两条互相垂直的切线，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023下·河南·高二校联考期中）若曲线的一条切线与直线垂直，则切线的方程为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023下·湖北·高二统考期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023下·重庆江北·高二重庆十八中校考期末）已知函数的图象如图所示，则是的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2023下·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考期中）已知函数，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
14．（2023下·新疆·高二克拉玛依市高级中学校考阶段练习）已知函数在处的导数为2，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
二、多选题
15．（2023·高二课时练习）曲线在点P处的切线平行于直线，则点P的坐标可能为（ ）
A． B． C． D．
16．（2023下·广东江门·高二新会陈经纶中学校考期中）已知曲线.则曲线过点P（1，3）的切线方程为.（ ）
A． B． C． D．
17．（2023下·浙江·高二统考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为30
B．已知，在函数图象上，若函数从到平均变化率为，则曲线的割线的倾斜角为
C．已知直线运动的汽车速度与时间的关系是，则时瞬时加速度为7
D．已知函数，则
18．（2023上·江苏连云港·高二统考期末）关于切线，下列结论正确的是（ ）
A．与曲线和圆都相切的直线l的方程为
B．已知直线与抛物线相切，则a等于
C．过点且与曲线相切的直线l的方程为
D．曲线在点处的切线方程为．
19．（2023·高二单元测试）若直线是曲线的切线，则曲线的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
20．（2023下·河北石家庄·高二统考期末）若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值可能是（ ）
A．1.2 B．4 C．5.6 D．
21．（2023上·辽宁·高二辽宁实验中学校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，设曲线C的方程是，下列结论正确的是（ ）
A．曲线C上的点与定点距离的最小值是
B．曲线C上的点和定点的距离与到定直线l：的距离的比是
C．曲线C绕原点顺时针旋转45°，所得曲线方程是
D．曲线C的切线与坐标轴围成的三角形的面积是2
三、填空题
22．（2023·高二课时练习）曲线的所有切线中，斜率最小的切线的方程是 ．
23．（2023下·江西赣州·高二江西省信丰中学校考阶段练习）函数的图象在点处的切线方程为 .
24．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数则曲线在点处的切线方程为 .
25．（2023下·福建漳州·高二校考阶段练习）设为实数，函数的导函数为，若是偶函数，则 ，曲线在原点处的切线方程为 .
26．（2023·全国·统考高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
27．（2023上·广西崇左·高二校考期中）已知函数，则过原点且与曲线相切的直线方程为 .
28．（2023上·陕西安康·高三统考阶段练习）已知曲线的一条切线是，则实数 ．
29．（2023上·安徽·高三校联考开学考试）已知曲线在处的切线与直线垂直， 则实数 .
30．（2023上·湖南株洲·高二校考期中）若，则在处的切线的斜率为 ．
31．（2023下·湖北咸宁·高二统考期末）过点且与曲线相切的直线共有 条.
32．（2023上·安徽宣城·高三统考期末）若曲线的一条切线与直线：互相垂直，则该切线的方程为 .
33．（2023上·江苏连云港·高二期末）对于函数，若，则 ．
34．（2023上·辽宁·高二辽宁实验中学校考开学考试）已知曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线方程为 ．
35．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．若在内不单调，则实数a的取值范围是 ．
36．（2023·高二课时练习）曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的坐标为 ．
四、解答题
37．（2023上·广西桂林·高二校考期中）已知函数，且.
(1)求的解析式；
(2)求曲线在处的切线方程.
38．（2023·高二单元测试）试求过点且与曲线相切的直线的斜率．
39．（2023下·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知函数的图象经过点．
(1)求曲线在点A处的切线方程．
(2)曲线是否存在过坐标原点的切线？若存在，求切点的坐标；若不存在，请说明理由．
40．（2023·高二课时练习）已知曲线在点处的切线方程为，求实数a、b的值.
41．（2023下·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期中）已知函数，.
(1)求曲线在处切线的方程；
(2)若直线l过坐标原点且与曲线相切，求直线l的方程.
42．（2023上·吉林长春·高二统考期中）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，求的取值范围．5.1导数的概念及其意义4题型分类
一、瞬时速度
1．平均速度
设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=.
2．瞬时速度
①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
②一般地，当t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v==.
二、抛物线切线的斜率
1．抛物线割线的斜率
设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为=.
2．抛物线切线的斜率
一般地，在二次函数y=f(x)中，当x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当x趋近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率k==.
三、函数的平均变化率
函数平均变化率的定义:对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)- f ().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率.
四、函数在某点处的导数的几何意义
1．切线的定义
在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))，沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T (T是直线P0T上的一点)称为曲线y=f(x)在点P0处的切线.
2．函数在某点处的导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0==f'(x0).这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为y- f(x0)=f'(x0) (x- x0).
五、导函数的定义
从求函数y=f(x)在x=处导数的过程可以看到，当x=时，f'()是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=.
（一） 求平均变化率 函数平均变化率的定义：对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)- f ().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率.
题型1：求平均变化率 1-1．（2023·高二课时练习）已知函数，其中，则此函数在区间上的平均变化率为 . 【答案】5 【分析】根据平均变化率的知识求得正确答案. 【详解】函数在区间上的平均变化率为. 故答案为： 1-2．（2023·高二课时练习）已知函数，其中，此函数在区间上的平均变化率为，则实数m的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，求出函数在区间上的平均变化率，进而可得，解出方程可得的值，即可得答案. 【详解】解：根据题意，函数在区间上的平均变化率为： 解得： 故答案为：2. 1-3．（2023下·北京顺义·高二统考期末）降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（t）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接图上的点，利用直线的斜率与平均变化率的定义判断即可； 【详解】解：如图分别令、、、、所对应的点为、、、、， 由图可知， 所以内空气中微生物密度变化的平均速度最快； 故选：C 1-4．（2023·高二课时练习）如图所示为物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的序号是 ． ①在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ②在时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度； ③在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ④在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度． 【答案】③④ 【分析】根据平均速度的公式判断①③④，从而①错误，③④正确； 根据瞬时速度与切线斜率的关系作出判断②错误； 【详解】在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故①错误． 瞬时速度为切线斜率，故②错误． 在到范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，因为，，所以，故③正确．同理④正确． 故答案为：③④．
（二） 求瞬时速度 1．平均速度：设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=. 2．瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v==. 3.瞬时速度与平均速度的区别和联系： 区别：瞬时速度是刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关． 联系：瞬时速度是平均速度在变化时间趋近于0时的极限值．
题型2：求瞬时速度 2-1．（2023下·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期中）如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可知切点坐标，由切线方程得到，利用导数的概念解出即可. 【详解】依题意可知切点， 函数的图象在点处的切线方程是， ，即 又 即 故选：D. 2-2．（2023·高二课时练习）某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则该物体在s时的瞬时速度为（ ） A．0m/s B．1m/s C．2m/s D．3m/s 【答案】D 【分析】根据瞬时速度的概念即可利用平均速度取极限求解. 【详解】该物体在时间段上的平均速度为，当无限趋近于0时，无限趋近于3，即该物体在s时的瞬时速度为3m/s． 故选：D 2-3．（2023下·福建宁德·高二校联考期中）一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系是，则在时的瞬时速度为（ ） A．1 B．3 C．－2 D．2 【答案】D 【分析】利用导数的物理意义可直接求导得到结果. 【详解】由得：， 当时，， 即物体在时的瞬时速度为2. 故选：D. 2-4．（2023下·河北承德·高二校联考阶段练习）已知是定义在上的可导函数，若，则（ ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】对条件变形，利用导数的定义求解出到数值. 【详解】因为，所以， 故 故选：B 2-5．（2023·高二课时练习）已知物体做直线运动对应的函数为，其中S表示路程，t表示时间．则＝10表示的意义是（　　） A．经过4s后物体向前走了10m B．物体在前4秒内的平均速度为10 m/s C．物体在第4秒内向前走了10m D．物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s 【答案】D 【分析】根据导数的物理意义可知，函数的导数即是t时刻的瞬时速度．求解即可． 【详解】∵物体做直线运动的方程为， 根据导数的物理意义可知，函数的导数是t时刻的瞬时速度， ∴表示的意义是物体在第4s时的瞬时速度为10m/s． 故选：D． 2-6．（2023下·上海长宁·高二上海市第三女子中学校考期末）某物体的运动的位移（单位：米）与时间（单位：秒）满足函数关系为，则该物体在时刻时的瞬时速度为 （米/秒）． 【答案】 【分析】利用导数求瞬时速度. 【详解】由，得， 当时，， 故答案为：.
（三） 求函数在某点的切线斜率及方程 曲线的切线斜率： 1．设P0(x0，f (x0))，P(x，f (x))是曲线y＝f (x)上任意不同两点，则平均变化率＝为割线P0P的斜率． 2．当P点逐渐靠近P0点，即Δx逐渐变小，当Δx→0时，瞬时变化率就是y＝f (x)在x0处的切线的斜率即k＝.切线方程为y- f(x0)=f'(x0) (x- x0).
题型3：求函数在某点的切线斜率及方程 3-1．（2023·广东广州·统考一模）曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数的几何意义得到切线的斜率，利用点斜式求出切线方程. 【详解】∵ ∴，所以， 又当时，， 所以在点处的切线方程为：，即. 故选：A. 3-2．（2023·河南·河南省浚县第一中学校联考模拟预测）曲线在处的切线方程为（ ） A．4x－y+8＝0 B．4x+y+8＝0 C．3x－y+6＝0 D．3x+y+6＝0 【答案】B 【分析】将代入曲线方程求得切点坐标，利用导数的几何意义求解切线斜率，利用直线方程点斜式求解即可. 【详解】解：因为，所以，所以． 又当时，，故切点坐标为，所以切线方程为． 故选：B. 3-3．（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）曲线在点处的切线斜率为（ ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】利用导数的几何意义即可求得函数在某点处的切线斜率. 【详解】因为， 所以， 所以在点处的切线斜率为. 故选：B. 3-4．（2023下·重庆合川·高二统考阶段练习）过函数图像上一个动点作函数的切线，则切线领斜角范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得，根据指数函数的性质，得到，即切线的斜率，进而得到，即可求解. 【详解】由题意，函数，可得， 因为，所以，即切线的斜率， 设切线的倾斜角为，则 又因为，所以或， 即切线的倾斜角的范围为. 故选：B. 3-5．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知函数是定义在R上的奇函数，且，则函数的图象在点处的切线的斜率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导数得出，结合奇函数定义得函数解析式，然后计算即可． 【详解】是奇函数， 恒成立，所以， ，， 所以，，即， ． 故选：A． 3-6．（2023·全国·高考真题）设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程. 详解：因为函数是奇函数，所以，解得， 所以，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 化简可得，故选D. 点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 3-7．（2023下·四川广安·高二四川省武胜烈面中学校校考开学考试）过点(0，-1)作曲线的切线，则切线方程为 A．x+y+1=0 B．x-y-1=0 C．x+2y+2=0 D．2x-y-1=0 【答案】B 【解析】设切点为，再求出切点坐标，即得切线的斜率，再写出切线的方程即得解. 【详解】=ln x+1， 设切点为，∴, ∴=ln x0+1， ∴x0ln x0+1=x0ln x0+x0，∴x0=1，∴y0=0， 所以==1， ∴切线方程为y=x-1，即x-y-1=0， 故选：B. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查曲线的切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
（四） 导数几何意义的应用 曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢.结合具体条件，利用导数的几何意义，进行转化求解即可.
题型4：导数几何意义的应用 4-1．（2023·陕西安康·统考二模）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 ． 【答案】2或10 【分析】根据导数的几何意义可得切线方程，然后切线方程与抛物线方程联立利用判别式为零即得. 【详解】令，， 则， 可得曲线在点处的切线方程为， 联立， 得， 则， 解得或. 故答案为：2或10. 4-2．（2023下·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考期末）已知函数在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，则实数的值为（ ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据导数的几何意义求得曲线在处的切线为，结合题意，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，函数，则， 可得，，即切点坐标为， 所以在处的切线为， 当时，；当时，， 因为在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为， 可得，解得或， 又因为，所以. 故选：C. 4-3．（2023上·湖南邵阳·高三统考期末）已知直线为曲线在处的切线，若与二次曲线也相切，则（ ） A．0 B． C．4 D．0或4 【答案】C 【分析】求出函数的导函数，即可取出切线的斜率，从而求出切线方程，再联立方程，消元，根据且，解得即可. 【详解】解：因为，所以，所以， 所以曲线在处的切线斜率为， 则曲线在处的切线方程为，即． 由于切线与曲线相切， 由，得， 又，两线相切有一切点， 所以， 解得或（舍去）． 故选：C． 4-4．（2023下·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）过坐标原点作曲线的切线，则切点的纵坐标为（ ） A．e B．1 C． D． 【答案】B 【分析】设出切点，利用导数得到切线的斜率，写出切线方程，将原点坐标代入切线方程，解出即可. 【详解】解：设切点， 由，得，所以， ∴曲线在点处的切线方程为， 又过（0，0），∴，解得， ∴切点，纵坐标为1． 故选：B． 4-5．（2023上·四川成都·高三校联考开学考试）若曲线在点处的切线平行于x轴，则a＝ ． 【答案】1 【分析】利用导数的几何意义与平行的性质得到方程，解之即可. 【详解】由已知得，故，即，则. 故答案为：1． 4-6．（2023上·陕西西安·高二西安中学校考阶段练习）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出导数，由两直线垂直的条件，可得有实数解，运用判别式大于等于0，解不等式即可得到所求范围． 【详解】的导数为， 由于存在垂直于轴的切线， 可得有实数解， 即有，即有， 解得或． 故选：B 4-7．（2023上·河南洛阳·高三洛阳市第一高级中学校考阶段练习）若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ） A．11 B．12 C． D． 【答案】A 【分析】由直线是曲线的切线求解，可得切线方程，再设直线与曲线的切点，由切点处的导数值等于切线的斜率，且切点处的函数值相等列式求解n，则答案可求． 【详解】解：由，得，由，解得， 则直线与曲线相切于点， ∴，得， ∴直线是曲线的切线， 由，得，设切点为， 则，且，联立可得， 解得，所以． ∴． 故选：A． 4-8．（2023下·湖南郴州·高二统考期末）过点作曲线的切线有且只有两条，则b的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点，进而求得切线方程，进而得到，构造函数分析的单调性与取值范围即可判断有且仅有两根时b的取值范围即可 【详解】设切点为，，故过的切线方程为，即.故有且仅有两根.设，则，令则，令则，且，又当时，，.故有且仅有两根则b的取值范围为 故选：A 4-9．（2023下·安徽亳州·高二亳州二中校考期末）曲线上的点到直线的最短距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求曲线的切线方程，再求两平行线间距离. 【详解】 如图所示，设曲线上一点，且在该点处切线斜率为， ，所以斜率， 解得，故切点为， 切线方程为，即， 两直线间距离为， 故选：B.
一、单选题
1．（2023上·河北廊坊·高三统考开学考试）函数在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用导数的几何意义求切线斜率，并确定切点坐标，点斜式写出切线方程.
【详解】由题设，，则，
而，故在处的切线方程为，则.
故选：A
2．（2023下·四川资阳·高二四川省资阳中学统考期末）已知函数.曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】首先求出，再求出函数的导函数，即可得到，最后利用点斜式求出切线方程；
解：因为，所以，
所以，，
所以切点为，切线的斜率，
所以切线方程为，即；
故选：C
3．（2023·全国）已知曲线在点处的切线方程为，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．
【详解】详解：
，
将代入得，故选D．
【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．
4．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）若曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义有，且，即可求出参数a.
【详解】由题设，则，又，
所以，故.
故选：B
5．（2023上·江苏南京·高三统考阶段练习）若直线与曲线相切，则实数的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】设切点，根据已知求解切点坐标，代入切线方程求出的值即可.
【详解】解：设直线与曲线的切点，
由于直线斜率为，则，
又， 所以，得，所以
则切点为，切线方程为，所以.
故选：C.
6．（2023下·四川成都·高三四川省成都市郫都区第一中学校联考阶段练习）若过点的直线与函数的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知，设出切点，写出切线方程，然后把点代入方程，解出切点坐标即可完成求解.
【详解】因为函数，所以，
设切点为，则切线方程为：，
将点代入得，
即，解得或，
所以切点横坐标之和为
故选：D.
7．（2023上·陕西西安·高二西安市第八十三中学校考期末）已知，则过点P(-1，0)且与曲线相切的直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】设切点为则切线方程为，将点代入解，即可求切线方程.
【详解】设切点为，则，切线斜率为
所以切线方程为，因为过点 则
解得或，所以切线方程为或
故选：C
8．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）对于三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处点的切线重合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由得，然后求得，由求得，设，由得及，再由得，解得后可得．
【详解】设，
，
设，则，即……①
又，即
……②
由①②可得，
.
故选：B.
9．（2023·山西太原·统考二模）已知函数图象上存在两条互相垂直的切线，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件用换元法令，利用导数及三角函数的差的正弦公式即可得出导函数的范围，根据已知条件得出，再利用辅助角公式及三角函数的性质即可求解.
【详解】由，令，
由，
得
，所以
由题意可知，存在，使得，
只需要，即，所以，，
所以的最大值为.
故选: D.
【点睛】解决此题的关键是用换元思想，再利用存在两条互想垂直的直线进而得出，再利用三角函数的性质即可求解.
10．（2023下·河南·高二校联考期中）若曲线的一条切线与直线垂直，则切线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据直线垂直得出切线的斜率，解方程即可得切点坐标，求出切线方程.
【详解】，
∴，
设切点坐标为，则切线的斜率，
解得，所以，
故切线的方程为，即．
故选：A
11．（2023下·湖北·高二统考期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用函数是奇函数，得导函数为偶函数，根据函数对称性，利用已知解析式，求切点坐标及切线斜率，然后可得切线方程.
【详解】解：因为为奇函数，所以，且为偶函数．
又当时，，所以．
所以在处的切线方程为，即．
故选：C．
12．（2023下·重庆江北·高二重庆十八中校考期末）已知函数的图象如图所示，则是的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由导数的几何意义结合斜率公式判断即可.
【详解】函数在处的切线为，在处的切线为，为过，两点的直线的斜率，由图可知，
直线，即
故选：A
【点睛】
13．（2023下·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考期中）已知函数，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】根据瞬时变化率的定义计算可得；
【详解】解：因为，
所以
故选：D
14．（2023下·新疆·高二克拉玛依市高级中学校考阶段练习）已知函数在处的导数为2，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据极限与导数的关系直接求解.
【详解】根据极限与导数的关系可知，
故选:D.
二、多选题
15．（2023·高二课时练习）曲线在点P处的切线平行于直线，则点P的坐标可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】设切点.利用导数表示切线的斜率，列方程即可求解.
【详解】设切点.
因为曲线在点P处的切线的斜率，所以，所以点P的坐标为或.
故选：AD.
16．（2023下·广东江门·高二新会陈经纶中学校考期中）已知曲线.则曲线过点P（1，3）的切线方程为.（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】设切点为，写出切线方程，切线过点（1，3），求得即可.
【详解】解：设切点为，
则，
所以，
所以切线方程为，
因为切线过点（1，3），
所以，即，
即，
解得或，
所以切线方程为或，
故选：AB
17．（2023下·浙江·高二统考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为30
B．已知，在函数图象上，若函数从到平均变化率为，则曲线的割线的倾斜角为
C．已知直线运动的汽车速度与时间的关系是，则时瞬时加速度为7
D．已知函数，则
【答案】BD
【分析】根据平均变化率的概念，即可判断A是否正确；根据导数的概念，以及导数在物理和几何中的意义，即可判断BCD是否正确.
【详解】由题意可知，，故A错误；
根据平均变化率的概念可知若函数从到平均变化率即为割线的斜率，即的斜率，所以割线的倾斜角为，故B正确.
因为，根据速度与加速的关系可知时瞬时加速度为，故C错误；
函数在点处的导数，由极限的意义可知，当充分小时，，即，从而，
又，
所以，故D正确.
故选：BD.
18．（2023上·江苏连云港·高二统考期末）关于切线，下列结论正确的是（ ）
A．与曲线和圆都相切的直线l的方程为
B．已知直线与抛物线相切，则a等于
C．过点且与曲线相切的直线l的方程为
D．曲线在点处的切线方程为．
【答案】ABD
【分析】对A，由导数法求出曲线在切点处的切线方程，再由直线与圆相切与圆心到直线距离的关系列式即可求；
对B，直线与抛物线相切，即两方程联立有唯一解；
对C，点不在曲线上，设切点坐标为，结合导数法建立方程组求出切点坐标，即可进一步求出切线方程；
对D，由导数法直接求切线方程即可.
【详解】对A，设直线l与曲线相切于点，则由知曲线在点P处的切线方程为，即直线l的方程为．
由直线l与圆相切得，解得. 故直线l的方程为．A正确；
对B，由消去y得，所以解得．B正确；
对C，因为点不在曲线上，所以设切点坐标为.
又因为，所以解得
所以切点坐标为，所以，所以直线l的方程为，即．C错误；
D中， ，所以，所以切线方程为，即．D正确．
故选：ABD
19．（2023·高二单元测试）若直线是曲线的切线，则曲线的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】函数的导数的几何意义是在某点处的切线斜率，对每个函数求导，判断是否有解即可.
【详解】因为直线是曲线的切线，所以在某点处的导数值为．
对于A，由，可得，
令，即，
因为，所以有解，故A正确．
对于B，由，可得，
令，可得，无解，故B不正确．
对于C，，故有解，故C正确．
对于D，的定义域为，
令，可得，不符合，
所以无解，故D不正确．
故选：AC
20．（2023下·河北石家庄·高二统考期末）若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值可能是（ ）
A．1.2 B．4 C．5.6 D．
【答案】ABD
【分析】分别设切点分别为，，由导数的几何意义分别写出切线方程，由题意切线方程相同，从而可得出，设由导数求出其值域即可.
【详解】由，则，由，则
设切线与曲线相切于点，则斜率为，
所以切线方程为，即 ①
设切线与曲线相切于点，则斜率为：，
则切线方程为，即，②
根据题意方程①，②表示同一条直线，则
所以，令（），
则，所以在上单调递增，在上单调递减，，由题意.
故答案为：ABD
21．（2023上·辽宁·高二辽宁实验中学校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，设曲线C的方程是，下列结论正确的是（ ）
A．曲线C上的点与定点距离的最小值是
B．曲线C上的点和定点的距离与到定直线l：的距离的比是
C．曲线C绕原点顺时针旋转45°，所得曲线方程是
D．曲线C的切线与坐标轴围成的三角形的面积是2
【答案】ABD
【分析】A选项，设出曲线任意一点的坐标，根据两点间的距离公式以及基本不等式求得“最小值”；B选项，结合点到直线的距离公式求得正确答案，C选项，通过求实半轴来进行判断；D选项，通过求切线方程来进行判断.
【详解】曲线C的方程是，则，所以曲线是反比例函数对应的图象，即曲线是双曲线.
A选项，设是曲线上的任意一点，
，
令，则，
当时，，当且仅当时，等号成立，
当时，，
当且仅当时，等号成立，
所以.
所以，
，
所以当时，取得最小值为，A选项正确.
B选项，到直线的距离为，
所以曲线C上的点和定点的距离与到定直线l：的距离的比是，
B选项正确.
C选项，由上述分析可知曲线是双曲线，由于曲线的图象关于对称，
所以是双曲线实轴所在直线，
由解得或，
点与点的距离是，所以双曲线的实轴长，
而双曲线的实半轴，所以C选项错误.
D选项，，
所以在曲线上任意一点处的切线方程为，
令得；令得，
所以曲线C的切线与坐标轴围成的三角形的面积是，D选项正确.
故选：ABD
三、填空题
22．（2023·高二课时练习）曲线的所有切线中，斜率最小的切线的方程是 ．
【答案】
【分析】求出导函数，由二次函数性质求出导数的最小值，进而得切线斜率与切点坐标，从而即可求解．
【详解】解：由题意，
所以时，，又时，，
所以所求切线的方程为，即．
故答案为：．
23．（2023下·江西赣州·高二江西省信丰中学校考阶段练习）函数的图象在点处的切线方程为 .
【答案】
【分析】根据导数的几何意义求解即可
【详解】由题意，，故，又，故函数的图象在点处的切线方程为，即
故答案为：
24．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数则曲线在点处的切线方程为 .
【答案】
【分析】利用导数的几何意义可求切线的斜率，将代入函数可求切点坐标，利用直线方程点斜式求解即可.
【详解】解：因为，又，
切线方程为：，即；
故答案为：.
25．（2023下·福建漳州·高二校考阶段练习）设为实数，函数的导函数为，若是偶函数，则 ，曲线在原点处的切线方程为 .
【答案】
【分析】求函数的导数，根据是偶函数，求出的值，结合导数的几何意义进行求解即可．
【详解】解：因为，所以，
是偶函数，则，即，即
，得，经检验符合题意，
所以，，
则，，
即函数切线的斜率，切点为，
所以切线方程为，即，
故答案为：；．
26．（2023·全国·统考高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
【答案】
【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求
分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
解： 因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
因为是偶函数，图象为：
所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.
[方法三]：
因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
故答案为：；.
27．（2023上·广西崇左·高二校考期中）已知函数，则过原点且与曲线相切的直线方程为 .
【答案】
【分析】因为函数，设切点坐标为，利用导数求出曲线在切点的切线方程，将原点代入切线方程，求出的值，即可求得所求的切线方程．
【详解】设切点坐标为，
，
，
，
则曲线在点处的切线方程为：，
由于该直线过原点，则，得，
则过原点且与曲线相切的直线方程为，
故答案为：．
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查求函数图象的切线方程，解题关键是掌握求过线外一点曲线切线方程的求法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
28．（2023上·陕西安康·高三统考阶段练习）已知曲线的一条切线是，则实数 ．
【答案】1
【分析】设切点坐标，根据导数的几何意义求出切线方程，对比列方程求解即可.
【详解】设切点为，又，所以，所以切线方程为，即，所以，
解得，．
故答案为：1.
29．（2023上·安徽·高三校联考开学考试）已知曲线在处的切线与直线垂直， 则实数 .
【答案】/
【分析】利用导数求解出曲线在处的切线的斜率，利用垂直关系可知斜率乘积为 1，构造方程求得结果.
【详解】因为，所以，
所以曲线在处的切线斜率为，
直线的斜率为，
因为曲线在处的切线与直线垂直，
所以，所以.
故答案为：.
30．（2023上·湖南株洲·高二校考期中）若，则在处的切线的斜率为 ．
【答案】2
【分析】根据导数的几何意义即可直接求解.
【详解】由题意知，，得，
所以曲线在处的切线斜率为2.
故答案为：2.
31．（2023下·湖北咸宁·高二统考期末）过点且与曲线相切的直线共有 条.
【答案】2
【分析】利用切点和斜率求得切线方程，然后代入点坐标来判断切线的条数.
【详解】设切点的坐标为，因为，
所以切线的方程为，
将代入方程整理得，解得或.
故切线方程为或，
即过点且与曲线相切的直线共有2条.
故答案为：
32．（2023上·安徽宣城·高三统考期末）若曲线的一条切线与直线：互相垂直，则该切线的方程为 .
【答案】
【解析】设切点，利用导数的几何意义，结合直线互相垂直的性质进行求解即可.
【详解】设曲线的切点坐标为，
，所以过该切点的切线的斜率为，
因为直线：的斜率为1，过该切点的切线与直线互相垂直，
所以，所以切点坐标为：，过该切点的切线的斜率为，所以过该切点的切线的方程为：，化为一般式为：.
故答案为：
33．（2023上·江苏连云港·高二期末）对于函数，若，则 ．
【答案】4
【分析】由导数定义构造计算可以得到结果.
【详解】
又，
故答案为:4.
34．（2023上·辽宁·高二辽宁实验中学校考开学考试）已知曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】根据导数的几何意义，求导建立方程，由切点为切线与曲线的公共点，可求函数值，结合求函数在某点处的切线方程解题步骤，可得答案.
【详解】将代入，则，即，
由，则，由题意，，
将代入，则，由，则，
将代入，则，
则切线方程为，即.
故答案为：.
35．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．若在内不单调，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】求出函数的导数，然后参数分离，先求出函数在内单调时的范围，从而可得不单调时的范围.
【详解】由，得，
当在内为减函数时，则在内恒成立，
所以在内恒成立，
当在内为增函数时，则在内恒成立，
所以在内恒成立，
令，因为在内单调递增，在内单调递减，
所以在内的值域为，所以或，
所以函数在内单调时，a的取值范围是，
故在上不单调时，实数a的取值范围是．
故答案为：．
36．（2023·高二课时练习）曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的坐标为 ．
【答案】或
【分析】设切点，由题意可知切线斜率为，求函数在处的导数，列出方程即可得解.
【详解】易知曲线在点P处的切线的斜率为，设，
因为，
当时，，
所以，则点P的坐标为或．
故答案为：或.
四、解答题
37．（2023上·广西桂林·高二校考期中）已知函数，且.
(1)求的解析式；
(2)求曲线在处的切线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求导数，根据可求，进而可得答案；
（2）先求导数得到切线斜率，再求出切点，利用点斜式可求切线方程.
【详解】（1）因为，且，所以，解得，所以函数的解析式为.
（2）由（1）可知，；
又，所以曲线在处的切线方程为，即.
38．（2023·高二单元测试）试求过点且与曲线相切的直线的斜率．
【答案】或6
【分析】结合导数的定义求得切线方程，代入点的坐标求得切点的横坐标，进而求得切线的斜率.
【详解】设切点坐标为，则有．
因为，所以．
切线方程为，将点代入，得，
所以，得或．
当时，；当时，．
所以所求直线的斜率为或6．
39．（2023下·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知函数的图象经过点．
(1)求曲线在点A处的切线方程．
(2)曲线是否存在过坐标原点的切线？若存在，求切点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)曲线存在过坐标原点的切线，且切点的坐标为或．
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）设出过坐标原点的切线方程以及切点坐标，利用导数的几何意义以及切点既在切线上也在曲线上列出方程组求解即可.
【详解】（1）依题意可得，则,
∵，∴，
∴曲线在点（1，5）处的切线方程为，
即；
（2）设过原点的切线方程为，则切点为，
则,消去k，整理得，
解得或，
所以曲线存在过坐标原点的切线，且切点的坐标为或．
40．（2023·高二课时练习）已知曲线在点处的切线方程为，求实数a、b的值.
【答案】，.
【分析】根据切点和斜率求得.
【详解】，所以，
所以，，切点为，
将代入，得，所以.
故实数，.
41．（2023下·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期中）已知函数，.
(1)求曲线在处切线的方程；
(2)若直线l过坐标原点且与曲线相切，求直线l的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式写切线方程即可；
（2）根据设切点坐标，然后利用导数的几何意义得到斜率，再利用点斜式写切线方程，将代入切线方程得到即可得到切线方程.
【详解】（1），所以，所以，，所以切线方程为：，整理得.
（2），所以，设切点坐标为，所以切线斜率为，
则切线方程为：，又因为切线过原点，所以将代入切线方程得，解得，所以切线方程为：，整理得.
42．（2023上·吉林长春·高二统考期中）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，求的取值范围．
【答案】
【分析】由题，，求出，结合均值不等式讨论的值域，即可求得的范围，即可进一步求得的取值范围
【详解】函数的导数为．
因为，所以，
所以，即；因为，所以，即．

展开更多......

收起↑