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5.2导数的运算4题型分类
一、基本初等函数的导数公式:
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
二、导数的运算法则:
已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)≠0.
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)．
(3)′＝.
三、复合函数的导数
1．复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
2．复合函数的求导法则
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对 u的导数与u对x的导数的乘积．
（一） 利用导数公式求导 基本初等函数的导数公式: 原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sin xf′(x)＝cos xf(x)＝cos xf′(x)＝－sin xf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝axln af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝f(x)＝ln xf′(x)＝
题型1：利用导数公式求函数的导数 1-1．（2023·高二课时练习）已知函数的导数为，则等于（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 1-2．（2023下·河南南阳·高二统考阶段练习）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 1-3．（2023上·广西桂林·高二校考期中）下列各式正确的是（ ）. A． B． C． D． 1-4．（2023下·高二课时练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4).
（二） 导数的运算法则 1.导数的运算法则: 已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)≠0. (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)． (3)′＝. 2.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
题型2：导数的运算 2-1．（2023下·全国·高二专题练习）下列运算中正确的是（ ） A． B． C． D． 2-2．（2023上·北京通州·高三统考期中）已知函数，则等于（ ） A． B． C． D． 2-3．（2023·高二单元测试）若函数，则的解集为（ ） A． B． C． D． 2-4．（2023下·北京西城·高二统考期末）已知函数，则的值为（ ） A． B． C． D． 2-5．（2023·甘肃兰州·统考一模）已知是奇函数，则 A．14 B．12 C．10 D．-8 2-6．（2023上·甘肃酒泉·高二统考期末）已知函数,则（ ）. A． B． C． D． 2-7．（2023下·江西萍乡·高二校考开学考试）若函数的导函数为，且满足，则（ ） A． B． C． D． 2-8．（2023下·陕西宝鸡·高二统考期末）已知函数的导函数为，且满足，则（ ） A． B． C．4 D．
（三） 复合函数求导 1.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.1.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 2.求复合函数导数的步骤：
题型3：复合函数求导 3-1．（2023下·北京·高二北师大实验中学校考阶段练习）函数的导数为（ ） A． B． C． D． 3-2．（2023下·高二课时练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4). 3-3．（2023下·高二课时练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3). 3-4．（2023下·高二课时练习）求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 3-5．（2023·高二课时练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)．
（四） 与切线有关的综合问题 1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解. 2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.
题型4：与切线有关的综合问题 4-1．（2023下·河北邯郸·高二阶段练习）曲线在处的切线的倾斜角是(　　) A． B． C． D． 4-2．（2023下·河北张家口·高二统考期末）已知函数，则“”是“曲线存在垂直于直线的切线”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4-3．（2023下·山东枣庄·高二阶段练习）曲线f(x)＝在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为，则实数a＝(　　) A．1 B．－1 C．7 D．－7 4-4．（2023下·重庆江津·高二重庆市江津中学校校联考期末）已知函数在处的切线与直线垂直，则 A．2 B．0 C．1 D．－1 4-5．（2023下·湖南·高二校联考阶段练习）已知函数，曲线在点处的切线方程为，则（ ） A． B． C．2 D．4 4-6．（2023上·湖南衡阳·高二衡阳市田家炳实验中学校考期中）如图，函数的图象在点处的切线是l，则等于（ ） A． B．3 C． D．1 4-7．（2023下·贵州贵阳·高二校联考期末）若函数的图像在点处的切线与直线平行，则（ ） A． B． C． D．
一、单选题
1．（2023·高二课时练习）已知函数在上可导，函数，则等于（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．（2023下·广东佛山·高二阶段练习）已知，且，则实数a的值为( )
A． B． C． D．
3．（2023上·江西宜春·高二高安中学校考期末）已知函数，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
4．（2023上·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则a=（ ）
A．4 B．8 C．2 D．1
5．（2023下·高二课时练习）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则a等于（ ）
A． B．1 C． D．－1
6．（2023·福建三明·高二三明一中阶段练习）正弦曲线y=sinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是
A．[0，]∪[，π) B．[0，π)
C．[，] D．[0，]∪[，]
7．（2023·全国·高考真题）曲线在点 处的切线与直线和 围成的三角形的面积为
A． B． C． D．1
8．（2023上·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
9．（2023下·内蒙古赤峰·高二统考期末）已知，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023上·广西桂林·高二校考期中）函数在处的切线的斜率为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．e
11．（2023·四川绵阳·统考一模）已知直线：既是曲线的切线，又是曲线的切线，则（ ）
A．0 B． C．0或 D．或
12．（2023上·山东潍坊·高三统考期中）函数与的图像有且只有一个公共点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C．或 D．或或
二、多选题
13．（2023上·江苏连云港·高二校考阶段练习）下列选项正确的是（ ）
A．，则 B．，则
C．，则 D．，则
14．（2023下·高二课时练习）下列哪些函数是复合函数（ ）
A． B．
C． D．
15．（2023·高二课时练习）（多选）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
16．（2023下·广东广州·高二统考期末）下列 求导运算正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
三、填空题
17．（2023·湖南衡阳·校联考一模）定义在上的函数满足，的导函数，则 .
18．（2023下·高二课时练习）已知函数，为的导函数，则的值为 .
19．（2023·高二课时练习）已知函数，若，则实数的值为 .
20．（2023·高二课时练习）已知f(x)＝x2，g(x)＝x.若m满足f′(m)＋g′(m)＝3，则m的值为 .
21．（2023下·高二课时练习）已知函数的导函数为，且满足关系式，则 .
22．（2023下·高二课时练习）已知函数，则 .
23．（2023下·湖北襄阳·高二校联考期中）若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数的值是_______．
24．（2023上·山东济南·高三统考期末）已知a，b为正实数，直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，则的最小值是 .
25．（2023·安徽淮北·统考一模）设曲线上任意一点的切线为l，若l的倾斜角的取值范围是，则实数a= .
26．（2023下·高二课时练习）已知函数曲线在点处的切线方程为，则a，b的值分别为 ．
27．（2023下·高二课时练习）曲线在点处的切线与坐标轴围成的面积为 ．
28．（2023下·广东揭阳·高二统考期末）已知函数，若是奇函数，则 ．
29．（2023·全国·高二专题练习）设P是曲线上任意一点，则曲线在点P处的切线的倾斜角α的取值范围是 ．
30．（2023·高二课时练习）过点且与曲线相切的直线方程为 ．
31．（2023下·湖北咸宁·高二统考期末）过点且与曲线相切的直线共有 条.
32．（2023上·陕西宝鸡·高三宝鸡中学校联考期中）已知函数，直线的方程为，则函数上的任意一点到直线的距离的最小值为
33．（2023上·江西南昌·高二南昌市八一中学校联考期末）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为 .
34．（2023下·河南信阳·高二统考期末）已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线对称，若P，Q分别为它们上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为 ．
四、解答题
35．（2023下·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1) ；
(2)；
(3)；
(4) ；
(5)；
(6) ；
(7) ；
(8)．
36．（2023下·高二课时练习）求下列函数的导数.
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)；
(9)；
(10)；
(11)；
(12).
37．（2023下·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)
(8)；
(9).
38．（2023下·高二课时练习）已知曲线，点是曲线上一点，求曲线在点处的切线方程．
39．（2023下·高二课时练习）求曲线过点的切线方程.
40．（2023·高一课时练习）已知抛物线y=x2，求过点（﹣ ，﹣2）且与抛物线相切的直线方程．
41．（2023·高二课时练习）曲线在点（0，1）处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．5.2导数的运算4题型分类
一、基本初等函数的导数公式:
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
二、导数的运算法则:
已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)≠0.
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)．
(3)′＝.
三、复合函数的导数
1．复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
2．复合函数的求导法则
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对 u的导数与u对x的导数的乘积．
（一） 利用导数公式求导 基本初等函数的导数公式: 原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sin xf′(x)＝cos xf(x)＝cos xf′(x)＝－sin xf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝axln af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝f(x)＝ln xf′(x)＝
题型1：利用导数公式求函数的导数 1-1．（2023·高二课时练习）已知函数的导数为，则等于（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】先对函数求导，然后代值计算即可 【详解】因为， 所以. 故选：A 1-2．（2023下·河南南阳·高二统考阶段练习）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本初等函数求导公式，可得答案. 【详解】由题意，， 故选：A. 1-3．（2023上·广西桂林·高二校考期中）下列各式正确的是（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本函数求导公式，依次对四个选项求导验证，只有C正确，故答案为C. 【详解】根据基本函数求导公式， ，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：C. 1-4．（2023下·高二课时练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【分析】根据基本初等函数的求导公式求导即可. 【详解】（1） （2）， . （3）. （4）.
（二） 导数的运算法则 1.导数的运算法则: 已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)≠0. (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)． (3)′＝. 2.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
题型2：导数的运算 2-1．（2023下·全国·高二专题练习）下列运算中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数运算法则依次计算即可得答案. 【详解】对于A选项，，故正确； 对于B选项，，故错误； 对于C选项，，故错误； 对于D选项，，故错误． 故选：A. 2-2．（2023上·北京通州·高三统考期中）已知函数，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对函数求导，然后求出即可 【详解】由，得， 所以， 故选：D 2-3．（2023·高二单元测试）若函数，则的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导函数，解不等式，结合定义域即可． 【详解】函数的定义域为，由，得． 故选：B． 2-4．（2023下·北京西城·高二统考期末）已知函数，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法求出函数的导数，再代入计算即可； 【详解】因为 所以 所以 故选：B 【点睛】本题考查基本初等函数的导数计算，属于基础题. 2-5．（2023·甘肃兰州·统考一模）已知是奇函数，则 A．14 B．12 C．10 D．-8 【答案】A 【详解】试题分析：由题意知,所以.所以，则.所以.故A正确. 考点：1函数的奇偶性;2导数的计算. 2-6．（2023上·甘肃酒泉·高二统考期末）已知函数,则（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先对原函数求导得,再将代入导函数即可得出结果. 【详解】解: 已知函数, 求导可得, 则. 故选:B 【点睛】本题考查导数的运算,解答此题的关键是要理解原函数中是一个常数,此题是基础题. 2-7．（2023下·江西萍乡·高二校考开学考试）若函数的导函数为，且满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对求导，得到，令，得到，即可得到，然后求即可. 【详解】由，得，令，则，解得，所以，. 故选：D. 2-8．（2023下·陕西宝鸡·高二统考期末）已知函数的导函数为，且满足，则（ ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】将求导，将1代入导数得的值，再将代入导数就可计算出的值. 【详解】因为 ， 所以 ， 所以 ，所以 ，所以 . 故选：C.
（三） 复合函数求导 1.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.1.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 2.求复合函数导数的步骤：
题型3：复合函数求导 3-1．（2023下·北京·高二北师大实验中学校考阶段练习）函数的导数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数求导链式法则，代入运算． 【详解】令，则 故选：B． 3-2．（2023下·高二课时练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据复合函数的求导法则求导即可. 【详解】（1）令，则， 所以，， 所以. （2）令，则， 所以，， 所以. （3）令，则， 所以，， 所以. （4）令，则， 所以，， 所以. 3-3．（2023下·高二课时练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据基本初等函数的导数公式，以及复合函数求得的法则，准确计算，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 设，可得. （2）解：由函数， 设，则. （3）解：由函数， 令，则 3-4．（2023下·高二课时练习）求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】根据基本初等函数的导数公式及复合函数的导数运算法则计算可得； 【详解】（1）解：因为，所以 （2）解：因为，所以 （3）解：因为，所以 （4）解：因为，所以 （5）解：因为，所以 （6）解：因为，所以 3-5．（2023·高二课时练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）根据复合函数的求导法则和基本函数的求导公式逐个求解即可. 【详解】（1）函数可以看作函数和的复合函数， ∴． （2）函数可以看作函数和的复合函数， ∴ . （3）函数可以看作函数和的复合函数， ∴． （4）函数可以看作函数和的复合函数， ∴． （5）函数可以看作函数和的复合函数， ∴ ． （6）函数可以看作函数和的复合函数， ∴．
（四） 与切线有关的综合问题 1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解. 2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.
题型4：与切线有关的综合问题 4-1．（2023下·河北邯郸·高二阶段练习）曲线在处的切线的倾斜角是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由导数的运算法则与几何意义，直线的斜率与倾斜角的关系求解， 【详解】，当时，， 则曲线在处的切线的倾斜角是， 故选：D 4-2．（2023下·河北张家口·高二统考期末）已知函数，则“”是“曲线存在垂直于直线的切线”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先根据“曲线存在垂直于直线的切线”求的范围，再利用充要条件的定义判断充要性. 【详解】由题得切线的斜率为2， 所以 因为, 所以“”是“曲线存在垂直于直线的切线”的必要不充分条件. 故答案为B 4-3．（2023下·山东枣庄·高二阶段练习）曲线f(x)＝在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为，则实数a＝(　　) A．1 B．－1 C．7 D．－7 【答案】C 【分析】根据导数的几何意义可知，即可得解. 【详解】由， ∵＝－1，即＝－1， ∴ a＝7. 故选：C 4-4．（2023下·重庆江津·高二重庆市江津中学校校联考期末）已知函数在处的切线与直线垂直，则 A．2 B．0 C．1 D．－1 【答案】C 【详解】分析：根据切线方程和直线垂直的结论即可. 详解：由题可知：函数在处的切线的斜率为，直线的斜率为-1，故=-1得1，故选C. 点睛：考查切线的斜率求法和直线垂直时的斜率关系的结论，属于基础题. 4-5．（2023下·湖南·高二校联考阶段练习）已知函数，曲线在点处的切线方程为，则（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据已知求出和切点，将代入切线方程得，即得解. 【详解】由题得， 所以， 所以， 所以，所以， 所以切点为， 将代入切线方程得， ∴． 故选：B. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查导数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4-6．（2023上·湖南衡阳·高二衡阳市田家炳实验中学校考期中）如图，函数的图象在点处的切线是l，则等于（ ） A． B．3 C． D．1 【答案】D 【解析】求出切线方程，由导数的几何意义得，由切线方程得，从而可得结论． 【详解】解：由图象可得函数的图象在点P处的切线是l，与x轴交于点，与y轴交于点， 则可知l：， ，， ， 故选：D． 4-7．（2023下·贵州贵阳·高二校联考期末）若函数的图像在点处的切线与直线平行，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，进而求出，由导数的几何意义，构造方程解. 【详解】由函数得， ，所以， 直线的斜率， 因为函数的图像在点处的切线与直线平行， 由导数的几何意义得，即，所以. 故选：A.
一、单选题
1．（2023·高二课时练习）已知函数在上可导，函数，则等于（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】利用复合函数求导法则运算即可.
【详解】∵，∴，
∴.
故选：B.
2．（2023下·广东佛山·高二阶段练习）已知，且，则实数a的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求f(x)的导数，令x＝－1即可求出a．
【详解】∵，
∴，
，
，
．
故选：D．
3．（2023上·江西宜春·高二高安中学校考期末）已知函数，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】先求出，再代入求解即可.
【详解】解：由函数，
则，
又，
则，
即1，
故选：B.
【点睛】本题考查了导函数的求法，重点考查了运算能力，属基础题.
4．（2023上·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则a=（ ）
A．4 B．8 C．2 D．1
【答案】B
【分析】求出的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据得到的值.
【详解】解：的导数为，
曲线在处的切线斜率为，
则曲线在处的切线方程为，即.
由于切线与曲线相切，
可联立，
得，
又，两线相切有一切点，
所以有，
解得.
故选：B.
5．（2023下·高二课时练习）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则a等于（ ）
A． B．1 C． D．－1
【答案】C
【分析】对函数求导，由导数几何意义及垂直关系有，即可求参数.
【详解】由题设，则，
又在点处的切线与直线垂直，
所以，所以.
故选：C
6．（2023·福建三明·高二三明一中阶段练习）正弦曲线y=sinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是
A．[0，]∪[，π) B．[0，π)
C．[，] D．[0，]∪[，]
【答案】A
【解析】先对函数解析式求导，进而利用余弦函数的性质求得导函数的范围，进而求得切线的斜率的范围，则直线的倾斜角的范围可得．
【详解】由函数，得.
设，则以点P为切点的切线l的斜率为.
设以点P为切点的切线l的倾斜角为，则.
由，得
故选：A
【点睛】本题考查导数的几何意义，根据斜率的范围求倾斜角的范围，考查了学生对基础知识的灵活运用．属于基础题.
7．（2023·全国·高考真题）曲线在点 处的切线与直线和 围成的三角形的面积为
A． B． C． D．1
【答案】A
【详解】，所以在点处的切线方程为，它与的交点为，与的交点为，所以三角形面积为
故选：A
8．（2023上·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】求得，通过赋值求得，再求即可.
【详解】因为，
故可得，
令，则，故，
则.
故选：.
9．（2023下·内蒙古赤峰·高二统考期末）已知，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求导，再代值求出，，即可求得，再求即可
【详解】因为，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
故选：A
10．（2023上·广西桂林·高二校考期中）函数在处的切线的斜率为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．e
【答案】A
【分析】将函数求导，由导数的几何意义即可得到结果.
【详解】函数的导数，
由导数的几何意义，可知:
在处的切线的斜率为.
故选:A.
11．（2023·四川绵阳·统考一模）已知直线：既是曲线的切线，又是曲线的切线，则（ ）
A．0 B． C．0或 D．或
【答案】D
【分析】本题主要求切线方程，设两个曲线方程的切点，由两条切线均为，通过等量关系可得到的取值.
【详解】,,，设切点分别为，
则曲线的切线方程为：，化简得，，
曲线的切线方程为：，化简得，，，故，
解得e或.
当e，切线方程为，故.
当，切线方程为，故，则.
故的取值为或.
故选：D
12．（2023上·山东潍坊·高三统考期中）函数与的图像有且只有一个公共点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C．或 D．或或
【答案】C
【分析】直线过定点，利用导数求切线斜率并结合图象分析判断.
【详解】∵过定点，且在上，
又∵，则，
∴在处的切线斜率为，
结合图象可得：
当时，与的图像有且只有一个公共点，则符合题意；
当时，与的图像有两个公共点，则不符合题意；
当时，与的图像有且只有一个公共点，则符合题意；
当时，与的图像有两个公共点，则不符合题意；
综上所述：实数的取值范围为或.
故选：C.
二、多选题
13．（2023上·江苏连云港·高二校考阶段练习）下列选项正确的是（ ）
A．，则 B．，则
C．，则 D．，则
【答案】BCD
【分析】根据基本初等函数的导数公式求各选项中函数的导函数.
【详解】A：，错误；
B：，则，正确；
C：，正确；
D：正确.
故选：BCD
14．（2023下·高二课时练习）下列哪些函数是复合函数（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据复合函数的定义判断即可.
【详解】根据复合函数的定义可知选项A不是复合函数，BCD都是复合函数.
故选：BCD.
15．（2023·高二课时练习）（多选）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】求导，结合基本不等式求出导函数的取值范围，从而得到倾斜角的取值范围.
【详解】因为，所以．
因为，所以（当且仅当，即时取等号），
所以，所以．
又因为，所以．
故选：CD．
16．（2023下·广东广州·高二统考期末）下列 求导运算正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】AD
【分析】利用导数的运算求解判断.
【详解】A，因为，所以，故正确；
B，因为，所以，故错误；
C，因为，所以，故错误；
D，因为，所以，故正确.
故选：AD.
三、填空题
17．（2023·湖南衡阳·校联考一模）定义在上的函数满足，的导函数，则 .
【答案】
【分析】对两边同时求导得,进而得答案.
【详解】因为，
两边同时求导可得：，
故.
故答案为：
【点睛】本题考查复合函数导数问题，解题的关键在于根据已知对函数求导，考查运算求解能力，是中档题.
18．（2023下·高二课时练习）已知函数，为的导函数，则的值为 .
【答案】
【分析】根据导数的乘法运算法则求导，再代入求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故答案为：.
19．（2023·高二课时练习）已知函数，若，则实数的值为 .
【答案】或
【分析】根据解析式，求得导数，根据自变量范围及，列出方程，即可得答案.
【详解】由题意得：.
因为，
所以或，解得或.
故答案为：或
20．（2023·高二课时练习）已知f(x)＝x2，g(x)＝x.若m满足f′(m)＋g′(m)＝3，则m的值为 .
【答案】1
【分析】求导函数，代入计算可得答案.
【详解】解：由已知得f′(x)＋g′(x)＝2x＋1，又f′(m)＋g′(m)＝2m＋1＝3，故m＝1.
故答案为：1.
21．（2023下·高二课时练习）已知函数的导函数为，且满足关系式，则 .
【答案】
【分析】根据题意求得，令，代入即可求解.
【详解】由函数，可得，
令，可得，解得.
故答案为：.
22．（2023下·高二课时练习）已知函数，则 .
【答案】
【分析】对函数求导并将代入可求得，即得到函数解析式，再将代入解析式可得答案.
【详解】因为，
求导得，
将代入上式得，
可得，
则函数解析式为，
所以.
故答案为：.
23．（2023下·湖北襄阳·高二校联考期中）若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数的值是_______．
【答案】4
【详解】由，则切线斜率，
则过的切线方程为:，
与坐标轴交点分别为，
又所成三角形面积为2，可得，所以,故答案为4.
24．（2023上·山东济南·高三统考期末）已知a，b为正实数，直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，则的最小值是 .
【答案】4
【分析】由题意结合导数的几何意义、导数的运算可得、，进而可得，再利用，结合基本不等式即可得解.
【详解】对求导得，
因为直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，
所以即，
所以，所以切点为，
由切点在切线y=x－a上可得即，
所以，
当且仅当时，等号成立.
所以的最小值是.
故答案为：.
【点睛】本题考查了导数的运算、导数几何意义的应用，考查了基本不等式求最值的应用及运算求解能力，属于中档题.
25．（2023·安徽淮北·统考一模）设曲线上任意一点的切线为l，若l的倾斜角的取值范围是，则实数a= .
【答案】
【解析】求出函数导数，利用基本不等式可得导数的最小值为，根据倾斜角的范围可得，即可解出.
【详解】，，
，当且仅当时等号成立，
l的倾斜角的取值范围是，
，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查导数与切线的关系，解题的关系是求出导数的最小值，得出最小值为1，即可求解.
26．（2023下·高二课时练习）已知函数曲线在点处的切线方程为，则a，b的值分别为 ．
【答案】1，1
【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义列出相应方程组，即可求得答案.
【详解】由题意可得,.
由于直线的斜率为，且过点，
故，即，解得，
故答案为：1，1
27．（2023下·高二课时练习）曲线在点处的切线与坐标轴围成的面积为 ．
【答案】1
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，分别令、可得答案.
【详解】由题意可知，，，
∴切线方程为，即，
令得；令得，
∴曲线在点处的切线与坐标轴围成的面积为.
故答案为：1.
28．（2023下·广东揭阳·高二统考期末）已知函数，若是奇函数，则 ．
【答案】
【分析】首先利用复合函数求导法则求出，然后利用辅助角公式化简，根据奇函数性质可得到，最后结合的范围即可求解.
【详解】因为，
所以，
若为奇函数，则，即，
所以，
又因为，所以．
故答案为：.
29．（2023·全国·高二专题练习）设P是曲线上任意一点，则曲线在点P处的切线的倾斜角α的取值范围是 ．
【答案】
【分析】求出导函数的值域，再结合正切函数的单调性求解．
【详解】由已知得，
由得．
故答案为：．
30．（2023·高二课时练习）过点且与曲线相切的直线方程为 ．
【答案】或
【分析】设切点坐标为，求得，列出方程，求得的值，结合导数的几何意义，即可求解.
【详解】由题意，设切点坐标为，则，
又由函数，可得，可得，所以，
根据斜率公式和导数的几何意义，可得，即，
解得或，所以切线的斜率为或，
所以切线方程为或，即或.
故答案为：或.
31．（2023下·湖北咸宁·高二统考期末）过点且与曲线相切的直线共有 条.
【答案】2
【分析】利用切点和斜率求得切线方程，然后代入点坐标来判断切线的条数.
【详解】设切点的坐标为，因为，
所以切线的方程为，
将代入方程整理得，解得或.
故切线方程为或，
即过点且与曲线相切的直线共有2条.
故答案为：
32．（2023上·陕西宝鸡·高三宝鸡中学校联考期中）已知函数，直线的方程为，则函数上的任意一点到直线的距离的最小值为
【答案】
【分析】根据导数的几何意义，结合平行线间距离公式进行求解即可.
【详解】函数上任意一点的坐标为，过该点的切线为，
当直线与直线平行时，点到直线的距离的最小，
由，
所以直线的方程为，
因此函数上的任意一点到直线的距离的最小值为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：利用导数的几何意义求切线方程是解题的关键.
33．（2023上·江西南昌·高二南昌市八一中学校联考期末）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为 .
【答案】
【分析】由已知，先在曲线上设出点，然后写出以点为切点的曲线的切线方程，根据题意，找到距离直线最近的点，即，从而求解出切点以及切线方程，最后计算两条平行线之间的距离即可.
【详解】由已知，设点曲线上一点，则有，
因为，所以，所以，
所以曲线在处的切线斜率为，
则曲线在处的切线方程为，即．
要求得曲线上任意一点，到直线的最小距离即找到曲线上距离直线最近的点，即，解得或（舍去），
此时，以点为切点，曲线的切线方程为：，
此时，切点为曲线上距离直线最近的点，即点与点重合，
最小距离为直线与直线之间的距离，设最小距离为，
所以.
故答案为：.
34．（2023下·河南信阳·高二统考期末）已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线对称，若P，Q分别为它们上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为 ．
【答案】
【分析】整体代换求解直线的解析式，利用导数的几何意义求解函数的图象上到直线距离最短的点，即为点，即可求解两点间的最短距离.
【详解】解：令，则，，．
因为与关于直线对称，
所以函数与函数关于直线对称，
所以P，Q两点之间距离的最小值等于P到直线距离最小值的2倍，
函数在点处的切线斜率为，
令得，，，
所以点P到直线距离的最小值为，
所以这两点之间距离的最小值为．
故答案为：.
四、解答题
35．（2023下·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1) ；
(2)；
(3)；
(4) ；
(5)；
(6) ；
(7) ；
(8)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
【分析】（1）（2）（3）（4）直接由导数的加减法计算即可；
（5）直接由导数的加减法及乘法计算即可；
（6）（7）直接由导数的除法计算即可；
（8）方法一：直接由导数的乘法计算即可；方法二：先去括号，再直接由导数的加法计算即可．
【详解】（1）．
（2） ．
（3） ．
（4）．
（5） ．
（6）．
（7）．
（8）方法一：
；
方法二：
，
．
36．（2023下·高二课时练习）求下列函数的导数.
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)；
(9)；
(10)；
(11)；
(12).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
【分析】根据导数的四则运算法则求导即可.
【详解】（1）.
（2）
（3），
（4）解法1：.
解法2：，
.
（5）解法1：.
解法2：，
.
（6），
.
（7）.
（8）.
（9），
.
（10）由（9）知，，
所以.
（11）.
（12）.
37．（2023下·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)
(8)；
(9).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5).
(6)
(7)
(8)
(9)
【分析】根据复合函数的求导法则计算可得答案
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）因为，所以，所以；
（9）
.
38．（2023下·高二课时练习）已知曲线，点是曲线上一点，求曲线在点处的切线方程．
【答案】
【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程.
【详解】∵，∴，∴，
∴切线方程为，即.
39．（2023下·高二课时练习）求曲线过点的切线方程.
【答案】
【分析】求导函数，再根据导数的几何意义即可得解.
【详解】因为点不在曲线上，所以设切点，
又，则切线的斜率为，又切线的斜率，
所以，所以，即，所以，所以，
所以切线方程为，即.
故答案为：.
40．（2023·高一课时练习）已知抛物线y=x2，求过点（﹣ ，﹣2）且与抛物线相切的直线方程．
【答案】2x﹣y﹣1=0和4x+y+4=0．
【分析】求出 的导数，并设切点为 ，设切线方程并与抛物线方程联立 求出切点坐标即可.
【详解】设直线的斜率为k，直线与抛物线相切的切点坐标为（x0，y0），
则直线方程为y+2=k（x+ ），
由题意 ，在 （x0，y0）处切线的斜率为 ，
则有 ，解得 或 ，
∴切线方程为： 或 .
41．（2023·高二课时练习）曲线在点（0，1）处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．
【答案】或．
【分析】求导，利用导函数的几何意义求出切线斜率，从而求出切线方程，再设出直线l的方程（），利用点到直线距离公式列出方程，求出的值，得到直线l的方程.
【详解】∵，
∴，
∴曲线在点（0，1）处的切线的斜率为，
其方程为，即．
又∵直线l与平行，
∴直线l的方程可设为（）．
由得：或．
∴直线l的方程为或．

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