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第3节电磁感应中的电路和图像问题
要点一　电磁感应中的电路问题
1．电磁感应与电路知识的关系图
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2．电磁感应中的两类电路问题
(1)以部分电路欧姆定律为中心，包括六个 ( http: / / www.21cnjy.com )基本物理量(电压、电流、电阻、电功、电功率、电热)，三条定律(部分电路欧姆定律、电阻定律和焦耳定律)，以及若干基本规律(串、并联电路特点等)。
(2)以闭合电路欧姆定律为中心，讨论电动势概念，闭合电路中的电流、路端电压以及闭合电路中能量的转化。
3．解决电磁感应中的电路问题三步曲
[典例]　(2014·全国卷Ⅱ)半径分别为 ( http: / / www.21cnjy.com )r和2r的同心圆形导轨固定在同一水平面内，一长为r、质量为m且质量分布均匀的直导体棒AB置于圆导轨上面，BA的延长线通过圆导轨中心O，装置的俯视图如图9 3 1所示。整个装置位于一匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，方向竖直向下。在内圆导轨的C点和外圆导轨的D点之间接有一阻值为R的电阻(图中未画出)。直导体棒在水平外力作用下以角速度ω绕O逆时针匀速转动，在转动过程中始终与导轨保持良好接触。设导体棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，导体棒和导轨的电阻均可忽略。重力加速度大小为g。求
图9 3 1
(1)通过电阻R的感应电流的方向和大小；
(2)外力的功率。
[思路点拨]
(1)如何求解导体棒AB产生的感应电动势？
提示：导体棒AB转动产生感应电动势，可应用E＝Bl求解。为AB棒中点处的速度。
(2)导体棒在转动过程中，有哪些力做功？分别做正功还是负功？
提示：外力F做正功，安培力做负功，摩擦力做负功。
[解析]　(1)根据右手定则，得导体棒AB上的电流方向为B→A，故电阻R上的电流方向为C→D。
设导体棒AB中点的速度为v，则v＝
而vA＝ωr，vB＝2ωr
根据法拉第电磁感应定律，导体棒AB上产生的感应电动势E＝Brv
根据闭合电路欧姆定律得I＝，联立以上各式解得通过电阻R的感应电流的大小为I＝。
(2)根据能量守恒定律，外力的功率P等于安培力与摩擦力的功率之和，即P＝BIrv＋fv，而f＝μmg
解得P＝＋。
[答案]　(1)方向为C→D　大小为　(2)＋
[方法规律]
电磁感应中电路问题的题型特点
闭合电路中磁通量发生变化或有部分导体做切割 ( http: / / www.21cnjy.com )磁感线运动，在回路中将产生感应电动势和感应电流。从而考题中常涉及电流、电压、电功等的计算，也可能涉及电磁感应与力学、电磁感应与能量的综合分析。
[针对训练]
1．(多选)(2015·焦 ( http: / / www.21cnjy.com )作一模)如图9 3 2所示，两根足够长的光滑金属导轨水平平行放置，间距为l＝1 m，cd间、de间、cf间分别接着阻值R＝10 Ω的电阻。一阻值R＝10 Ω 的导体棒ab以速度v＝4 m/s匀速向左运动，导体棒与导轨接触良好；导轨所在平面存在磁感应强度大小B＝0.5 T、方向竖直向下的匀强磁场。下列说法中正确的是(　　)
图9 3 2
A．导体棒ab中电流的流向为由b到a
B．cd两端的电压为1 V
C．de两端的电压为1 V
D．fe两端的电压为1 V
解析：选BD　由右手定则可知ab中电流 ( http: / / www.21cnjy.com )方向为a→b，A错误。导体棒ab切割磁感线产生的感应电动势E＝Blv，ab为电源，cd间电阻R为外电路负载，de和cf间电阻中无电流，de间无电压，因此cd和fe两端电压相等，即U＝×R＝＝1 V，B、D正确，C错误。
2．(多选)(2015·江苏宿迁第 ( http: / / www.21cnjy.com )一次调研)用一根横截面积为S、电阻率为ρ的硬质导线做成一个半径为r的圆环，ab为圆环的一条直径。如图9 3 3所示，在ab的左侧存在一个匀强磁场，磁场垂直圆环所在平面，方向如图，磁感应强度大小随时间的变化率＝k(k＜0)。则(　　)
图9 3 3
A．圆环中产生逆时针方向的感应电流
B．圆环具有扩张的趋势
C．圆环中感应电流的大小为
D．图中a、b两点间的电势差Uab＝
解析：选BC　根据楞次定律和安培定 ( http: / / www.21cnjy.com )则，圆环中将产生顺时针方向的感应电流，且具有扩张的趋势，A错误、B正确；根据法拉第电磁感应定律，圆环中产生的感应电动势大小为E＝＝，由电阻定律知R＝ρ，所以感应电流的大小为I＝＝，C正确；根据闭合电路欧姆定律可得a、b两点间的电势差Uab＝，D错误。
3．(2015·安徽师大附中第一次模拟)如图 ( http: / / www.21cnjy.com )9 3 4所示，固定的光滑金属导轨间距为L，导轨电阻不计，上端a、b间接有阻值为R的电阻，导轨平面与水平面的夹角为θ，且处在磁感应强度大小为B、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中。质量为m、电阻为r的导体棒与固定弹簧相连后放在导轨上。初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有沿轨道向上的初速度v0。整个运动过程中导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触，弹簧的中心轴线与导轨平行。
图9 3 4
(1)求初始时刻通过电阻R的电流I的大小和方向；
(2)当导体棒第一次回到初始位置时，速度变为v，求此时导体棒的加速度大小a。
解析：(1)导体棒产生的感应电动势E1＝BLv0
通过R的电流大小I1＝＝
电流方向为b→a。
(2)导体棒产生的感应电动势为E2＝BLv
感应电流I2＝＝
导体棒受到的安培力大小F＝BIL＝，方向沿斜面向上
根据牛顿第二定律有mgsin θ－F＝ma
解得a＝gsin θ－。
答案：(1)I＝　b→a　(2)a＝gsin θ－
要点二　电磁感应中的图像问题
1．图像问题的求解类型
类型 据电磁感应过程选图像 据图像分析判断电磁感应过程
求解流程
2．解题关键
弄清初始条件、正负方向的对应变化范围、所研究物理量的函数表达式、进出磁场的转折点等是解决此类问题的关键。
3．解决图像问题的一般步骤
(1)明确图像的种类，即是B t图还是Φ t图，或者E t图、I t图等；
(2)分析电磁感应的具体过程；
(3)用右手定则或楞次定律确定方向的对应关系；
(4)结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出函数关系式；
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等；
(6)画图像或判断图像。
4．电磁感应中图像类选择题的两个常用方法
(1)排除法：定性地分析电 ( http: / / www.21cnjy.com )磁感应过程中物理量的变化趋势(增大还是减小)、变化快慢(均匀变化还是非均匀变化)，特别是分析物理量的正负，以排除错误的选项。
(2)函数法：根据题目所给条件定量地写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像进行分析和判断。
[多维探究]
1．F安 t图像
[典例1]　(2013· ( http: / / www.21cnjy.com )山东高考)将一段导线绕成图9 3 5甲所示的闭合回路，并固定在水平面(纸面)内。回路的ab边置于垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ中。回路的圆环区域内有垂直纸面的磁场Ⅱ，以向里为磁场Ⅱ的正方向，其磁感应强度B随时间t变化的图像如图乙所示。用F表示ab边受到的安培力，以水平向右为F的正方向，能正确反映F随时间t变化的图像是
(　　)
图9 3 5
图9 3 6
[解析]　本题考查电磁感应中的图像问题 ( http: / / www.21cnjy.com )，意在考查考生利用法拉第电磁感应定律及楞次定律、左手定则处理电磁感应综合问题的能力。0～时间内，根据法拉第电磁感应定律及楞次定律可得回路的圆环形区域产生大小恒定的、顺时针方向的感应电流，根据左手定则，ab边在匀强磁场Ⅰ中受到水平向左的恒定的安培力；同理可得～T时间内，ab边在匀强磁场Ⅰ中受到水平向右的恒定的安培力，故B项正确。
[答案]　B
2．v t图像
[典例2]　(2013·全国卷Ⅱ)如图 ( http: / / www.21cnjy.com )9 3 7，在光滑水平桌面上有一边长为L、电阻为R的正方形导线框；在导线框右侧有一宽度为d(d＞L)的条形匀强磁场区域，磁场的边界与导线框的一边平行，磁场方向竖直向下。导线框以某一初速度向右运动。t＝0时导线框的右边恰与磁场的左边界重合，随后导线框进入并通过磁场区域。下列v t图像中，可能正确描述上述过程的是(　　)
图9 3 7
图9 3 8
[解析]　本题考查电磁感应、安培力 ( http: / / www.21cnjy.com )、速度图像及其相关知识，意在考查考生分析解决问题的能力和应用图像描述物理过程的能力。由于导线框闭合，导线框以某一初速度向右运动，其右侧边开始进入磁场时，切割磁感线产生感应电动势和感应电流，右侧边受到安培力作用，做减速运动；导线框完全进入磁场中时，导线框中磁通量不变，不产生感应电流，导线框不受安培力作用，做匀速运动；导线框右侧边开始出磁场时，左侧边切割磁感线产生感应电动势和感应电流，左侧边受到安培力作用，导线框做减速运动；导线框进、出磁场区域时，受到的安培力不断减小，导线框的加速度不断减小，所以可能正确描述导线框运动过程的速度图像是D。
[答案]　D
3．E t图像
[典例3]　(2013·浙江高考)磁卡的 ( http: / / www.21cnjy.com )磁条中有用于存储信息的磁极方向不同的磁化区，刷卡器中有检测线圈。当以速度v0刷卡时，在线圈中产生感应电动势，其E t关系如图9 3 9所示。如果只将刷卡速度改为，线圈中的E t关系图可能是(　　)
图9 3 9
图9 3 10
[解析]　本题考查电磁感应，意在考查 ( http: / / www.21cnjy.com )考生对电磁感应的理解和应用能力。若将刷卡速度改为，线圈切割磁感线运动时产生的感应电动势大小将会减半，周期将会加倍，故D项正确，其他选项错误。
[答案]　D
4．i t图像
[典例4]　(2015·济南外国语学校 ( http: / / www.21cnjy.com )测试)如图9 3 11所示，一直角三角形金属框，向左匀速地穿过一个方向垂直于纸面向内的匀强磁场，磁场仅限于虚线边界所围的区域内，该区域的形状与金属框完全相同，且金属框的下边与磁场区域的下边在一条直线上。若取顺时针方向为电流的正方向，则金属框穿过磁场过程的感应电流i随时间t变化的图像是下图所示的
(　　)
图9 3 11
图9 3 12
[解析]　根据楞次定律，在进磁 ( http: / / www.21cnjy.com )场的过程中，感应电流的方向为逆时针方向，切割的有效长度线性增大，排除选项A、B；在出磁场的过程中，感应电流的方向为顺时针方向，切割的有效长度线性减小，排除D。故选项C正确。
[答案]　C
5．综合图像
[典例5]　边长为a的闭合金属正三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )框架，左边竖直且与磁场右边界平行，完全处于垂直框架平面向里的匀强磁场中。现把框架匀速水平向右拉出磁场，如图9 3 13所示，则下列图像与这一过程相符合的是(　　)
图9 3 13
图9 3 14
[解析]　该过程中，框架切割磁感线的有效长 ( http: / / www.21cnjy.com )度等于框架与磁场右边界两交点的间距，根据几何关系有l有＝x，所以E电动势＝Bl有v＝Bvx∝x，选项A错误，B正确；F外力＝＝∝x2，选项C错误；P外力功率＝F外力v∝F外力∝x2，选项D错误。
[答案]　B
对点训练：电磁感应中的电路问题
1.如图1所示，两光滑平行金 ( http: / / www.21cnjy.com )属导轨间距为L，直导线MN垂直跨在导轨上，且与导轨接触良好，整个装置处在垂直于纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度为B。电容器的电容为C，除电阻R外，导轨和导线的电阻均不计。现给导线MN一初速度，使导线MN向右运动，当电路稳定后，MN以速度v向右做匀速运动时(　　)
图1
A．电容器两端的电压为零
B．电阻两端的电压为BLv
C．电容器所带电荷量为CBLv
D．为保持MN匀速运动，需对其施加的拉力大小为
解析：选C　当导线MN匀速向右运动时， ( http: / / www.21cnjy.com )导线MN产生的感应电动势恒定，稳定后，电容器既不充电也不放电，无电流产生，故电阻两端没有电压，电容器两极板间的电压为U＝E＝BLv，所带电荷量Q＝CU＝CBLv，故A、B错，C对；MN匀速运动时，因无电流而不受安培力， 故拉力为零，D错。
2.(2015·郑州一模)半径为a、右 ( http: / / www.21cnjy.com )端开小口的导体圆环和长为2a的导体直杆，单位长度电阻均为R0。圆环水平固定放置，整个内部区域分布着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B。杆在圆环上以速度v平行于直径CD向右做匀速直线运动，杆始终有两点与圆环良好接触，从圆环中心O开始，杆的位置由θ确定，如图2所示。则(　　)
图2
A．θ＝0时，杆产生的电动势为2Bav
B．θ＝时，杆产生的电动势为Bav
C．θ＝0时，杆受的安培力大小为
D．θ＝时，杆受的安培力大小为
解析：选A　θ＝0时，产生的感应电动势为 ( http: / / www.21cnjy.com )E1＝B·2a·v＝2Bav，A正确；感应电流为I1＝＝，所以安培力为F1＝BI1·2a＝，C错误；同理，θ＝时，E2＝Bav，F2＝，B、D均错误。
3.(2015·湖南怀化高三期末)如图3所示 ( http: / / www.21cnjy.com )，光滑平行的金属导轨MN和PQ，间距L＝1.0 m，与水平面之间的夹角α＝30°，匀强磁场磁感应强度B＝2.0 T，垂直于导轨平面向上，MP间接有阻值R＝2.0 Ω的电阻，其它电阻不计，质量m＝2.0 kg的金属杆ab垂直导轨放置，用变力F沿导轨平面向上拉金属杆ab，若金属杆ab以恒定加速度a＝2 m/s2，由静止开始做匀变速运动，则：(g＝10 m/s2)
图3
(1)在5 s内平均感应电动势是多少？
(2)第5 s末，回路中的电流多大？
(3)第5 s末，作用在ab杆上的外力F多大？
解析：(1)ΔΦ＝BΔS＝BLx＝BL·at2
由法拉第电磁感应定律得＝
联立解得，＝10 V。
(2)5 s末的瞬时速度为v＝at
5 s末的感应电动势为E＝BLv
由欧姆定律得I＝
联立解得，I＝10 A
(3)由安培力公式得F安＝BIL
由牛顿第二定律，得F－(F安＋mg sin 30°)＝ma
联立解得，F＝34 N
答案：(1)10 V　(2)10 A　(3)34 N
对点训练：电磁感应中的图像问题
4.(2015·茂名二模)如图4所示 ( http: / / www.21cnjy.com )，一个有矩形边界的匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里。一个三角形闭合导线框，由位置1(左)沿纸面匀速运动到位置2(右)。取线框刚到达磁场边界的时刻为计时起点(t＝0)，规定逆时针方向为电流的正方向，则图6中能正确反映线框中电流与时间关系的是(　　)
图4
图5
解析：选A　线框进入磁场过程中，磁通量 ( http: / / www.21cnjy.com )增大，由楞次定律可知，感应电流方向为逆时针方向，即正方向，可排除B、C选项；由E＝BLv可知，线框进出磁场过程中，切割磁感线的有效长度为线框与磁场边界交点的连线，故进、出磁场过程中，等效长度L先增大后减小，故感应电动势先增大后减小；由欧姆定律可知，感应电流也是先增大后减小的，故A项正确、D项错。
5．(2015·常德二模)如图6所示，一 ( http: / / www.21cnjy.com )半径为R，圆心角为240°的扇形单匝线圈可绕着磁场边界线上的O点以角速度ω沿逆时针方向转动，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。则从图示位置开始计时，能正确反映线圈中感应电流随时间变化的关系图像是(以顺时针方向为电流的正向)(　　)
图6
图7
解析：选B　由图示位置线圈转过60 ( http: / / www.21cnjy.com )°过程中，通过线圈的磁通量不变，故无感应电流产生，C、D项错；线圈转过60°到120°过程中，通过线圈的磁通量增大，由楞次定律可知，线圈中感应电流方向为逆时针方向，即负方向，故A项错；排除A、C、D三个选项，故B项正确。
6．(2015·福建质检)如图8甲所 ( http: / / www.21cnjy.com )示，正三角形硬导线框abc固定在磁场中，磁场方向与线框平面垂直。图乙表示该磁场的磁感应强度B随时间t变化的关系，t＝0时刻磁场方向垂直纸面向里。在0～4t0时间内，线框ab边受到该磁场对它的安培力F随时间t变化的关系图为(规定垂直ab边向左为安培力的正方向)(　　)
图8
图9
解析：选A　0～t0，磁场方向垂直纸面 ( http: / / www.21cnjy.com )向里，均匀减小，＝，根据楞次定律、法拉第电磁感应定律和欧姆定律可知：流经导线ab的电流I不变，方向从b到a，根据左手定则和安培力公式可得：其受到的安培力方向向左，大小为F＝BIL，即均匀减小到零；t0～2t0，磁场方向垂直纸面向外，均匀增大，＝，根据楞次定律、法拉第电磁感应定律和欧姆定律可知：流经导线ab的电流I不变，方向从b到a，根据左手定则和安培力公式可得：其受到的安培力方向向右，大小为F＝BIL，即从零开始均匀增大；2t0～3t0，磁场方向垂直纸面向外，＝0，根据楞次定律可知：无感应电流产生，导线ab不受安培力；3t0～3.5t0，磁场方向垂直纸面向外，均匀减小，＝，根据楞次定律、法拉第电磁感应定律和欧姆定律可知：流经导线ab的电流为2I不变，方向从a到b，根据左手定则和安培力公式可得：其受到的安培力方向向左，大小为F＝2BIL，即均匀减小到零；3.5t0～4t0，磁场方向垂直纸面向里，均匀增加，＝，根据楞次定律、法拉第电磁感应定律和欧姆定律可知：流经导线ab的电流为2I不变，方向从a到b，根据左手定则和安培力公式可得：其受到的安培力方向向右，大小为F＝2BIL，即从零开始均匀增大，选项A正确，选项BCD错误。
7．(2013·福建高考)如 ( http: / / www.21cnjy.com )图10，矩形闭合导体线框在匀强磁场上方，由不同高度静止释放，用t1、t2分别表示线框ab边和cd边刚进入磁场的时刻。线框下落过程形状不变，ab边始终保持与磁场水平边界线OO′平行，线框平面与磁场方向垂直。设OO′下方磁场区域足够大，不计空气影响，则下列哪一个图像不可能反映线框下落过程中速度v随时间t变化的规律(　　)
图10
图11
解析：选A　本题考查电磁感 ( http: / / www.21cnjy.com )应，意在考查考生对电磁感应规律的理解和认识。由题意可知，线框先做自由落体运动，最终做匀加速直线运动。若ab边刚进入磁场时，速度较小，线框内产生的感应电流较小，线框所受安培力小于重力，则线圈进入磁场的过程做加速度逐渐减小的加速运动，图像C有可能；若线框进入磁场时的速度较大，线框内产生的感应电流较大，线框所受安培力大于重力，则线框进入磁场时做加速度逐渐减小的减速运动，图像B有可能；若线框进入磁场时的速度合适，线框所受安培力等于重力，则线框匀速进入磁场，图像D有可能；由分析可知选A。
8．(2015·合肥二模)如图12甲所示， ( http: / / www.21cnjy.com )一个匝数n＝100的圆形导体线圈，面积S1＝0.4 m2 ，电阻r＝1 Ω。在线圈中存在面积S2＝0.3 m2的垂直线圈平面向外的匀强磁场区域，磁感应强度B随时间t变化的关系如图乙所示。有一个R＝2 Ω的电阻，将其两端a、b分别与图甲中的圆形线圈相连接，b端接地，则下列说法正确的是(　　)
图12
A．圆形线圈中产生的感应电动势E＝6 V
B．在0～4 s时间内通过电阻R的电荷量q＝8 C
C．设b端电势为零，则a端的电势φa＝3 V
D．在0～4 s时间内电阻R上产生的焦耳热Q＝18 J
解析：选D　由法拉第电磁感应定律可得E＝n，由图乙结合数学知识可得k＝＝T/s＝0.15 T/s，将其代入可求E＝4.5 V，A错。设平均电流强度为，由q＝Δt＝Δt＝nΔt＝n，在0～4 s穿过圆形导体线圈的磁通量的变化量为ΔΦ＝0.6×0.3 Wb－0＝0.18 Wb，代入可解得q＝6 C，B错。0～4 s内磁感应强度增大，圆形线圈内磁通量增加，由楞次定律结合右手定则可得b点电势高，a点电势低，故C错。由于磁感应强度均匀变化产生的电动势与电流均恒定，可得I＝＝1.5 A，由焦耳定律可得Q＝I2Rt＝18 J，D对。
考点综合训练
9.如图13所示，水平面上固定一个间距L＝1 ( http: / / www.21cnjy.com ) m的光滑平行金属导轨，整个导轨处在竖直方向的磁感应强度B＝1 T的匀强磁场中，导轨一端接阻值R＝9 Ω的电阻。导轨上有质量m＝1 kg、电阻r＝1 Ω 、长度也为1 m的导体棒，在外力的作用下从t＝0开始沿平行导轨方向运动，其速度随时间的变化规律是v＝2，不计导轨电阻。求：
图13
(1)t＝4 s时导体棒受到的安培力的大小；
(2)请在如图14所示的坐标系中画出电流平方与时间的关系(I2 t)图像。
图14
解析：(1)4 s时导体棒的速度是v＝2＝4 m/s
感应电动势E＝BLv
感应电流I＝
此时导体棒受到的安培力F安＝BIL＝0.4 N
(2)由(1)可得
I2＝()2＝4()2t＝0.04t
作出图像如图所示。
答案：(1)0.4 N　(2)见解析
10．(2015·新余高三上 ( http: / / www.21cnjy.com )学期期末质检)如图15甲所示，水平面上的两光滑金属导轨平行固定放置，间距d＝0.5 m，电阻不计，左端通过导线与阻值R＝2 Ω的电阻连接，右端通过导线与阻值RL＝4 Ω的小灯泡L连接。在CDFE矩形区域内有竖直向上的匀强磁场，CE长l＝2 m，有一阻值r＝2 Ω的金属棒PQ放置在靠近磁场边界CD处(恰好不在磁场中)。CDFE区域内磁场的磁感应强度B随时间变化如图乙所示。在t＝0至t＝4 s 内，金属棒PQ保持静止，在t＝4 s时使金属棒PQ以某一速度进入磁场区域并保持匀速运动。已知从t＝0开始到金属棒运动到磁场边界EF处的整个过程中，小灯泡的亮度没有发生变化。求：
图15
(1)通过小灯泡的电流；
(2)金属棒PQ在磁场区域中运动的速度大小。
解析：(1)在t＝0至t＝4 s内，金属棒PQ保持静止，磁场变化导致电路中产生感应电动势。电路为r与R并联，再
与RL串联，电路的总电阻
R总＝RL＋＝5 Ω
此时感应电动势
E＝＝dl＝0.5×2×0.5 V＝0.5 V
通过小灯泡的电流为：I＝＝0.1 A。
(2)当棒在磁场区域中运动时，由导体棒切割磁感线产生电动势，电路为R与RL并联，再与r串联，此时电路的总电阻
R总′＝r＋＝ Ω＝ Ω
由于灯泡中电流不变，所以灯泡的电流IL＝I＝0.1 A，则流过金属棒的电流为
I′＝IL＋IR＝IL＋ ＝0.3 A
电动势E′＝I′R总′＝Bdv
解得棒PQ在磁场区域中运动的速度大小
v＝1 m/s
答案：(1)0.1 A　(2)1 m/s

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