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第4节电磁感应中的动力学和能量问题
要点一　电磁感应中的动力学问题
1．两种状态及处理方法
状态 特征 处理方法
平衡态 加速度为零 根据平衡条件列式分析
非平衡态 加速度不为零 根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系进行分析
2．力学对象和电学对象的相互关系
3．动态分析的基本思路
解决这类问题的关键是通过运动状态的分析，寻找过程中的临界状态，如速度、加速度求最大值或最小值的条件。具体思路如下：
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[典例]　(2014·天津高考)如图9 ( http: / / www.21cnjy.com )4 1所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，导轨电阻不计，间距L＝0.4 m。导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为MN，Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为B＝0.5 T。在区域Ⅰ中，将质量m1＝0.1 kg，电阻R1＝0.1 Ω的金属条ab放在导轨上，ab刚好不下滑。然后，在区域Ⅱ中将质量m2＝0.4 kg，电阻R2＝0.1 Ω的光滑导体棒cd置于导轨上，由静止开始下滑。cd在滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中，ab、cd始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取g＝10 m/s2。问：
图9 4 1
(1)cd下滑的过程中，ab中的电流方向；
(2)ab刚要向上滑动时，cd的速度v多大；
(3)从cd开始下滑到ab刚要向上滑动的过程中，cd滑动的距离x＝3.8 m，此过程中ab上产生的热量Q是多少。
[思路点拨]
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[解析]　(1)由a流向b。
(2)开始放置ab刚好不下滑时，ab所受摩擦力为最大静摩擦力，设其为Fmax，有Fmax＝m1gsin θ①
设ab刚好要上滑时，cd棒的感应电动势为E，由法拉第电磁感应定律有
E＝BLv②
设电路中的感应电流为I，由闭合电路欧姆定律有
I＝③
设ab所受安培力为F安，有F安＝ILB④
此时ab受到的最大静摩擦力方向沿斜面向下，由平衡条件有
F安＝m1gsin θ＋Fmax⑤
综合①②③④⑤式，代入数据解得v＝5 m/s。⑥
(3)设cd棒的运动过程中电路中产生的总热量为Q总，由能量守恒有
m2gxsin θ＝Q总＋m2v2⑦
又Q＝Q总⑧
解得Q＝1.3 J。⑨
[答案]　(1)由a流向b　(2)5 m/s　(3)1.3 J
[方法规律]
用“四步法”分析电磁感应中的动力学问题
解决电磁感应中的动力学问题的一般思路是“先电后力”，具体思路如下：
[针对训练]
1．(2014·重庆高考)某电子天平原理如 ( http: / / www.21cnjy.com )图9 4 2所示，E形磁铁的两侧为N极，中心为S极，两极间的磁感应强度大小均为B，磁极宽度均为L，忽略边缘效应。一正方形线圈套于中心磁极，其骨架与秤盘连为一体，线圈两端C、D与外电路连接。当质量为m的重物放在秤盘上时，弹簧被压缩，秤盘和线圈一起向下运动(骨架与磁极不接触)，随后外电路对线圈供电，秤盘和线圈恢复到未放重物时的位置并静止，由此时对应的供电电流I可确定重物的质量。已知线圈匝数为n，线圈电阻为R，重力加速度为g。问：
图9 4 2
(1)线圈向下运动过程中，线圈中感应电流是从C端还是从D端流出？
(2)供电电流I是从C端还是从D端流入？求重物质量与电流的关系。
(3)若线圈消耗的最大功率为P，该电子天平能称量的最大质量是多少？
解析：(1)感应电流从C端流出。
(2)外加电流从D端流入。
设线圈受到的安培力为FA
由FA＝mg和FA＝2nBIL
得m＝I。
(3)设称量最大质量为m0
由m＝I和P＝I R
得m0＝ 。
答案：见解析
2．如图9 4 3所示，间距l＝0.3 m ( http: / / www.21cnjy.com )的平行金属导轨a1b1c1和a2b2c2分别固定在两个竖直面内。在水平面a1b1b2a2区域内和倾角θ＝37°的斜面c1b1b2c2区域内分别有磁感应强度B1＝0.4 T、方向竖直向上和B2＝1 T、方向垂直于斜面向上的匀强磁场。电阻R＝0.3 Ω、质量m1＝0.1 kg、长为l的相同导体杆K、S、Q分别放置在导轨上，S杆的两端固定在b1、b2点，K、Q杆可沿导轨无摩擦滑动且始终接触良好。一端系于K杆中点的轻绳平行于导轨绕过轻质定滑轮自然下垂，绳上穿有质量m2＝0.05 kg的小环。已知小环以a＝6 m/s2的加速度沿绳下滑，K杆保持静止，Q杆在垂直于杆且沿斜面向下的拉力F作用下匀速运动。不计导轨电阻和滑轮摩擦，绳不可伸长。取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求
图9 4 3
(1)小环所受摩擦力的大小；
(2)Q杆所受拉力的瞬时功率。
解析：(1)以小环为研究对象，由牛顿第二定律
m2g－Ff＝m2a
代入数据得Ff＝0.2 N
(2)设流过杆K的电流为I，由平衡条件得IlB1＝FT＝Ff
对杆Q，根据并联电路特点以及平衡条件得
2IlB2＝F＋m1gsin θ
由法拉第电磁感应定律的推论得
E＝B2lv
根据欧姆定律有2I＝
且R总＝＋R
瞬时功率表达式为P＝Fv
联立以上各式得P＝2 W。
答案：(1)0.2 N　(2)2 W
3.(2015·江苏省徐州 ( http: / / www.21cnjy.com )市一模)如图9 4 4所示，相距为L的两条足够长的光滑平行金属导轨，MN、PQ与水平面的夹角为θ，N、Q两点间接有阻值为R的电阻。整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下。将质量为m、阻值也为R的金属杆ab垂直放在导轨上，杆ab由静止释放，下滑距离x时达到最大速度。重力加速度为g，导轨电阻不计，杆与导轨接触良好。求：
图9 4 4
(1)杆ab下滑的最大加速度；
(2)杆ab下滑的最大速度；
(3)上述过程中，杆上产生的热量。
解析：(1)设ab杆下滑到某位置时速度为v，则此时
杆产生的感应电动势E＝BLv
回路中的感应电流I＝
杆所受的安培力F＝BIL
根据牛顿第二定律有：mgsin θ－＝ma
当速度v＝0时，杆的加速度最大，最大加速度a＝gsin θ，方向沿导轨平面向下。
(2)由(1)问知，当杆的加速度a＝0时，速度最大，
最大速度vm＝，方向沿导轨平面向下
(3)ab杆从静止开始到最大速度过程中，根据能量守恒定律有
mgxsin θ＝Q总＋mv
又Q杆＝Q总
所以Q杆＝mgxsin θ－。
答案：见解析
要点二　电磁感应中的能量问题
1．能量转化及焦耳热的求法
(1)能量转化
(2)求解焦耳热Q的三种方法
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2．电能求解的三种思路
(1)利用克服安培力求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功；
(2)利用能量守恒或功能关系求解；
(3)利用电路特征来求解：通过电路中所产生的电能来计算。
3．解题的一般步骤
(1)确定研究对象(导体棒或回路)；
(2)弄清电磁感应过程中，哪些力做功，哪些形式的能量相互转化；
(3)根据能量守恒定律列式求解。
[典例]　(2014·江苏高考)如图9 ( http: / / www.21cnjy.com ) 4 5所示，在匀强磁场中有一倾斜的平行金属导轨，导轨间距为L，长为3d，导轨平面与水平面的夹角为θ，在导轨的中部刷有一段长为d的薄绝缘涂层。匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向与导轨平面垂直。质量为m的导体棒从导轨的顶端由静止释放，在滑上涂层之前已经做匀速运动，并一直匀速滑到导轨底端。导体棒始终与导轨垂直，且仅与涂层间有摩擦，接在两导轨间的电阻为R，其他部分的电阻均不计，重力加速度为g。求：
图9 4 5
(1)导体棒与涂层间的动摩擦因数μ；
(2)导体棒匀速运动的速度大小v；
(3)整个运动过程中，电阻产生的焦耳热Q。
[思路点拨]
(1)在绝缘涂层处，导体棒受哪些力作用？试画出其受力示意图。
提示：导体棒受重力、支持力、摩擦力
(2)在绝缘涂层以外的其他位置，试画出导体棒的受力示意图。
提示：
[解析]　(1)在绝缘涂层上导体棒受力平衡有
mgsin θ＝μmgcos θ
解得μ＝tan θ
(2)在光滑导轨上
感应电动势E＝BLv
感应电流I＝
安培力F安＝BIL
导体棒受力平衡有F安＝mgsin θ
解得v＝
(3)摩擦生热QT＝μmgdcos θ
由能量守恒定律有3mgdsin θ＝Q＋QT＋mv2
解得Q＝2mgdsin θ－
[答案]　(1)tan θ　(2)
(3)2mgdsin θ－
[方法规律]
求解电能应分清两类情况
(1)若回路中电流恒定，可以利用电路结构及W＝UIt或Q＝I2Rt直接进行计算。
(2)若电流变化，则：①利用安培力 ( http: / / www.21cnjy.com )做的功求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功；②利用能量守恒求解：若只有电能与机械能的转化，则机械能的减少量等于产生的电能。
[针对训练]
1．(2014·浙江高考)其同学设 ( http: / / www.21cnjy.com )计一个发电测速装置，工作原理如图9 4 6所示。一个半径为R＝0.1 m的圆形金属导轨固定在竖直平面上，一根长为R的金属棒OA，A端与导轨接触良好，O端固定在圆心处的转轴上。转轴的左端有一个半径为r＝的圆盘，圆盘和金属棒能随转轴一起转动。圆盘上绕有不可伸长的细线，下端挂着一个质量为m＝0.5 kg的铝块。在金属导轨区域内存在垂直于导轨平面向右的匀强磁场，磁感应强度B＝0.5 T。a点与导轨相连，b点通过电刷与O端相连。测量a、b两点间的电势差U可算得铝块速度。铝块由静止释放，下落h＝0.3 m时，测得U＝0.15 V。(细线与圆盘间没有滑动，金属棒、导轨、导线及电刷的电阻均不计，重力加速度g＝10 m/s2)
图9 4 6
(1)测U时，与a点相接的是电压表的“正极”还是“负极”？
(2)求此时铝块的速度大小；
(3)求此下落过程中铝块机械能的损失。
解析：(1)正极
(2)由电磁感应定律得U＝E＝　ΔΦ＝BR2Δθ
U＝BωR2　v＝rω＝ωR　所以v＝＝2 m/s
(3)ΔE＝mgh－mv2　ΔE＝0.5 J
答案：见解析
2.如图9 4 7所示，足够长的光滑平行金属 ( http: / / www.21cnjy.com )导轨MN、PQ竖直放置，一匀强磁场垂直穿过导轨平面，导轨的上端M与P间连接阻值为R＝0.40 Ω的电阻，质量为m＝0.01 kg、电阻为r＝0.30 Ω的金属棒ab紧贴在导轨上。现使金属棒ab由静止开始下滑，其下滑距离与时间的关系如下表所示，导轨电阻不计，重力加速度g取10 m/s2。试求：
图9 4 7
时间t(s) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
下滑距离s(m) 0 0.1 0.3 0.7 1.4 2.1 2.8 3.5
(1)当t＝0.7 s时，重力对金属棒ab做功的功率；
(2)金属棒ab在开始运动的0.7 s内，电阻R上产生的焦耳热；
(3)从开始运动到t＝0.4 s的时间内，通过金属棒ab的电荷量。
解析：(1)由表格中数据可 ( http: / / www.21cnjy.com )知：金属棒先做加速度减小的加速运动，最后以7 m/s的速度匀速下落，则t＝0.7 s时，重力对金属棒ab做功的功率为PG＝mgv＝0.7 W。
(2)根据动能定理：WG＋W安＝mv2－mv
W安＝mv2－mv－mgh＝－0.105 J
QR＝|W安|＝0.06 J。
(3)当金属棒ab匀速下落时，G＝F安，则
mg＝BIL＝，解得BL＝0.1 T·m
则电荷量q＝It＝＝＝0.2 C。
答案：(1)0.7W　(2)0.06J　(3)0.2C
要点三　电磁感应中的杆＋导轨模型
这类问题的实质是不同形式 ( http: / / www.21cnjy.com )的能量的转化过程，从功和能的观点入手，弄清导体切割磁感线运动过程中的能量转化关系，处理这类问题有三种观点，即：①力学观点；②能量观点；③图像观点。单杆模型中常见的四种情况
模型一(v0≠0) 模型二(v0＝0) 模型三(v0＝0) 模型四(v0＝0)
示意图 单杆ab以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，质量为m，电阻不计，两导轨间距为L 轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两导轨间距为L 轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两导轨间距为L，拉力F恒定 轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两导轨间距为L，拉力F恒定
力学观点 导体杆以速度v切割磁感线产生感应电动势 ( http: / / www.21cnjy.com )E＝BLv，电流I＝＝，安培力F＝BIL＝，做减速运动：v↓ F↓ a↓，当v＝0时，F＝0，a＝0，杆保持静止 S闭合，ab杆受安培力F＝，此时a＝eq \f(BLE,mr)，杆ab速度v↑ 感应电动势BLv↑ I↓ 安培力F＝BIL↓ 加速度a↓，当E感＝E时，v最大，且vm＝ 开始时a＝，杆ab速度v↑ 感应电动势E＝BLv↑ I↑ 安培力F安＝BIL↑，由F－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝ 开始时a＝，杆ab速度v↑ 感应 ( http: / / www.21cnjy.com )电动势E＝BLv↑，经过Δt速度为v＋Δv，此时感应电动势E′＝BL(v＋Δv)，Δt时间内流入电容器的电荷量Δq＝CΔU＝C(E′－E)＝CBLΔv，电流I＝＝CBL＝CBLa，安培力F安＝BLI＝CB2L2a，F－F安＝ma，a＝，所以杆以恒定的加速度匀加速运动
图像观点
能量观点 动能全部转化为内能：Q＝mv 电源输出的电能转化为动能W电＝mv F做的功一部分转化为杆的动能，一部分产生电热：WF＝Q＋mv F做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能：WF＝mv2＋EC
[典例1]　(2015·泰安模拟)如图9 ( http: / / www.21cnjy.com ) 4 8所示，间距为L，电阻不计的足够长平行光滑金属导轨水平放置，导轨左端用一阻值为R的电阻连接，导轨上横跨一根质量为m，电阻也为R的金属棒，金属棒与导轨接触良好。整个装置处于竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中。现使金属棒以初速度v0沿导轨向右运动，若金属棒在整个运动过程中通过的电荷量为q。下列说法正确的是(　　)
图9 4 8
A．金属棒在导轨上做匀减速运动
B．整个过程中电阻R上产生的焦耳热为
C．整个过程中金属棒在导轨上发生的位移为
D．整个过程中金属棒克服安培力做功为
[解析]　设某时刻金属棒的速度为v， ( http: / / www.21cnjy.com )则此时的电动势E＝BLv，安培力F安＝，由牛顿第二定律有F安＝ma，则金属棒做加速度减小的减速运动，选项A错误；由能量守恒定律知，整个过程中克服安培力做功等于电阻R和金属棒上产生的焦耳热之和，即W安＝Q＝mv，选项B错误，D正确；整个过程中通过导体棒的电荷量q＝＝＝，得金属棒在导轨上发生的位移x＝，选项C错误。
[答案]　D
[典例2]　如图9 4 9所示，长平行 ( http: / / www.21cnjy.com )导轨PQ、MN光滑，相距l＝0.5 m，处在同一水平面中，磁感应强度B＝0.8 T的匀强磁场竖直向下穿过导轨面。横跨在导轨上的直导线ab的质量m＝0.1 kg、电阻R＝0.8 Ω，导轨电阻不计。导轨间通过开关S将电动势E＝1.5 V、内电阻r＝0.2 Ω的电池接在M、P两端，试计算分析：
图9 4 9
(1)导线ab的加速度的最大值和速度的最大值是多少？
(2)在闭合开关S后，怎样才能 ( http: / / www.21cnjy.com )使ab以恒定的速度v＝7.5 m/s 沿导轨向右运动？试描述这时电路中的能量转化情况(通过具体的数据计算说明)。
[解析]　(1)在S刚闭合的瞬间，导线 ( http: / / www.21cnjy.com )ab速度为零，没有电磁感应现象，由a到b的电流I0＝＝1.5 A，ab受安培力水平向右，此时ab瞬时加速度最大，加速度a0＝＝＝6 m/s2。
当感应电动势E′与电池电动势E相等时，ab的速度达到最大值。设最终达到的最大速度为vm，根据上述分析可知：E－Blvm＝0
所以vm＝＝ m/s＝3.75 m/s。
(2)如果ab以恒定速度v＝7.5 m/s向右沿导轨运动，则ab中感应电动势
E′＝Blv＝0.8×0.5×7.5 V＝3 V
由于E′＞E，这时闭合电路中电流方向为逆时针方向，大小为：I′＝＝ A＝1.5 A
直导线ab 中的电流由b到a，根据左手定则，磁场对ab有水平向左的安培力作用，大小为
F′＝BlI′＝0.8×0.5×1.5 N＝0.6 N
所以要使ab以恒定速度v＝7.5 m/s向 ( http: / / www.21cnjy.com )右运动，必须有水平向右的恒力F＝0.6 N作用于ab。上述物理过程的能量转化情况，可以概括为下列三点：
①作用于ab的恒力(F)的功率：
P＝Fv＝0.6×7.5 W＝4.5 W
②电阻(R＋r)产生焦耳热的功率：
P′＝I2(R＋r)＝1.52×(0.8＋0.2)W＝2.25 W
③逆时针方向的电流I′，从电 ( http: / / www.21cnjy.com )池的正极流入，负极流出，电池处于“充电”状态，吸收能量，以化学能的形式储存起来。电池吸收能量的功率：P″＝I′E＝1.5×1.5 W＝2.25 W
由上看出，P＝P′＋P″，符合能量转化和守恒定律(沿水平面匀速运动机械能不变)。
[答案]　见解析
[典例3]　(多选)(2015·怀化检 ( http: / / www.21cnjy.com )测)如图9 4 10，在水平桌面上放置两条相距为l的平行光滑导轨ab与cd，阻值为R的电阻与导轨的a、c端相连。质量为m、电阻也为R的导体棒垂直于导轨放置并可沿导轨自由滑动。整个装置放于匀强磁场中，磁场的方向竖直向上，磁感应强度的大小为B。导体棒的中点系一不可伸长的轻绳，绳绕过固定在桌边的光滑轻滑轮后，与一个质量也为m的物块相连，绳处于拉直状态。现若从静止开始释放物块，用h表示物块下落的高度(物块不会触地)，g表示重力加速度，其他电阻不计，则(　　)
图9 4 10
A．电阻R中的感应电流方向由c到a
B．物块下落的最大加速度为g
C．若h足够大，物块下落的最大速度为
D．通过电阻R的电荷量为
[解析]　由右手定则可知，电阻R中的感 ( http: / / www.21cnjy.com )应电流方向由c到a，A正确；物块刚下落时加速度最大，由牛顿第二定律有2ma0＝mg，最大加速度：a0＝，B错误；对导体棒与物块，当所受的安培力与物块的重力平衡时，达到最大速度，即＝mg，所以vm＝，C正确；通过电阻R的电荷量：q＝＝，D错误。
[答案]　AC
[典例4]　(2015·常州检测)如图9 ( http: / / www.21cnjy.com ) 4 11所示，水平面内有两根足够长的平行导轨L1、L2，其间距d＝0.5 m，左端接有容量C＝2 000 μF的电容。质量m＝20 g的导体棒可在导轨上无摩擦滑动，导体棒和导轨的电阻不计。整个空间存在着垂直导轨所在平面的匀强磁场，磁感应强度B＝2 T。现用一沿导轨方向向右的恒力F1＝0.44 N作用于导体棒，使导体棒从静止开始运动，经t时间后到达B处，速度v＝5 m/s。此时，突然将拉力方向变为沿导轨向左，大小变为F2，又经2t时
图9 4 11
间后导体棒返回到初始位置A处，整个过程电容器未被击穿。求
(1)导体棒运动到B处时，电容C上的电量；
(2)t的大小；
(3)F2的大小。
[解析]　(1)当导体棒运动到B处时，电容器两端电压为
U＝Bdv＝2×0.5×5 V＝5 V
此时电容器的带电量
q＝CU＝2 000×10－6×5 C＝1×10－2 C
(2)棒在F1作用下有F1－BId＝ma1，
又I＝＝，a1＝
联立解得：a1＝＝20 m/s2
则t＝＝0.25 s
(3)由(2)可知棒在F2作用下，运动的加速度a2＝，方向向左，又a1t2＝－
将相关数据代入解得F2＝0.55 N。
[答案]　(1)1×10－2 C　(2)0.25 s　(3)0.55 N
对点训练：电磁感应中的动力学问题
1．(多选)如图1所示，两足够长平行金属导轨 ( http: / / www.21cnjy.com )固定在水平面上，匀强磁场方向垂直导轨平面向下，金属棒ab、cd与导轨构成闭合回路且都可沿导轨无摩擦滑动，两金属棒ab、cd的质量之比为2∶1。用一沿导轨方向的恒力F水平向右拉金属棒cd，经过足够长时间以后
(　　)
图1
A．金属棒ab、cd都做匀速运动
B．金属棒ab上的电流方向是由b向a
C．金属棒cd所受安培力的大小等于
D．两金属棒间距离保持不变
解析：选BC　对两金属棒ab、cd进 ( http: / / www.21cnjy.com )行受力和运动分析可知，两金属棒最终将做加速度相同的匀加速直线运动，且金属棒ab速度小于金属棒cd速度，所以两金属棒间距离是变大的，由楞次定律判断金属棒ab上的电流方向是由b到a，A、D错误，B正确；以两金属棒整体为研究对象有：F＝3ma，隔离金属棒cd分析：F－F安＝ma，可求得金属棒cd所受安培力的大小F安＝F，C正确。
2．(2015·北京朝阳期末)如图2所示，一刚性矩形铜制线圈从高处自由下落，进入一水平的匀强磁场区域，然后穿出磁场区域(　　)
图2
A．若线圈进入磁场过程是匀速运动，则离开磁场过程一定是匀速运动
B．若线圈进入磁场过程是加速运动，则离开磁场过程一定是加速运动
C．若线圈进入磁场过程是减速运动，则离开磁场过程一定是加速运动
D．若线圈进入磁场过程是减速运动，则离开磁场过程一定是减速运动
解析：选D　若线圈进入磁场过程是匀速运 ( http: / / www.21cnjy.com )动，完全进入磁场区域一定做加速运动，则离开磁场过程所受安培力大于重力，一定是减速运动，选项A错误；若线圈进入磁场过程是加速运动，则离开磁场过程可能是加速运动，也可能是匀速运动，选项B错误；若线圈进入磁场过程是减速运动，则离开磁场过程一定是减速运动，选项C错误D正确。
3．(多选)(2015·绍兴模拟)两根足 ( http: / / www.21cnjy.com )够长的平行光滑导轨竖直固定放置，顶端接一电阻R，导轨所在平面与匀强磁场垂直。将一金属棒与下端固定的轻弹簧的上端拴接，金属棒和导轨接触良好，重力加速度为g，如图3所示。现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放，则(　　)
图3
A．金属棒在最低点的加速度小于g
B．回路中产生的总热量等于金属棒重力势能的减少量
C．当弹簧弹力等于金属棒的重力时，金属棒下落速度最大
D．金属棒在以后运动过程中的最大高度一定低于静止释放时的高度
解析：选AD　如果不受安培力，杆和 ( http: / / www.21cnjy.com )弹簧组成了一个弹簧振子，由简谐运动的对称性可知其在最低点的加速度大小为g，但由于金属棒在运动过程中受到与速度方向相反的安培力作用，金属棒在最低点时的弹性势能一定比没有安培力做功时小，弹性形变量一定变小，故加速度小于g，选项A正确；回路中产生的总热量等于金属棒机械能的减少量，选项B错误；当弹簧弹力与安培力之和等于金属棒的重力时，金属棒下落速度最大，选项C错误；由于金属棒运动过程中产生电能，金属棒在以后运动过程中的最大高度一定低于静止释放时的高度，选项D正确。
对点训练：电磁感应中的能量问题
4．如图4所示，在粗糙绝缘水平面上有 ( http: / / www.21cnjy.com )一正方形闭合线框abcd，其边长为l，质量为m，金属线框与水平面的动摩擦因数为μ。虚线框a′b′c′d′内有一匀强磁场，磁场方向竖直向下。开始时金属线框的ab边与磁场的d′c′边重合。现使金属线框以初速度v0沿水平面滑入磁场区域，运动一段时间后停止，此时金属线框的dc边与磁场区域的d′c′边距离为l。在这个过程中，金属线框产生的焦耳热为(　　)
图4
A.mv＋μmgl　　　　 B.mv－μmgl
C.mv＋2μmgl D.mv－2μmgl
解析：选D　依题意知，金属线框移动的位 ( http: / / www.21cnjy.com )移大小为2l，此过程中克服摩擦力做功为2μmgl，由能量守恒定律得金属线框中产生的焦耳热为Q＝mv－2μmgl，故选项D正确。
5.(2015·北京东城检测 ( http: / / www.21cnjy.com ))如图5所示，两根足够长的光滑金属导轨MN、PQ平行放置，导轨平面与水平面的夹角为θ，导轨的下端接有电阻。当导轨所在空间没有磁场时，使导体棒ab以平行导轨平面的初速度v0冲上导轨平面，ab上升的最大高度为H；当导轨所在空间存在方向与导轨平面垂直的匀强磁场时，再次使ab以相同的初速度从同一位置冲上导轨平面，ab上升的最大高度为h。两次运动中ab始终与两导轨垂直且接触良好。关于上述情景，下列说法中正确的是(　　)
图5
A．两次上升的最大高度比较，有H＝h
B．两次上升的最大高度比较，有HC．无磁场时，导轨下端的电阻中有电热产生
D．有磁场时，导轨下端的电阻中有电热产生
解析：选D　没有磁场时，只 ( http: / / www.21cnjy.com )有重力做功，机械能守恒，没有电热产生，C错误。有磁场时，ab切割磁感线，重力和安培力均做负功，机械能减小，有电热产生，故ab上升的最大高度变小，A、B错误，D正确。
6．(多选)(2015·江苏名校质检)如图 ( http: / / www.21cnjy.com )6所示，平行金属导轨与水平面间的倾角为θ，导轨电阻不计，与阻值为R的定值电阻相连，匀强磁场垂直穿过导轨平面，磁感应强度为B。有一质量为m、长为l的导体棒从ab位置获得平行于斜面的、大小为v的初速度向上运动，最远到达a′b′的位置，滑行的距离为s，导体棒的电阻也为R，与导轨之间的动摩擦因数为μ。则(　　)
图6
A．上滑过程中导体棒受到的最大安培力为
B．上滑过程中电流做功发出的热量为mv2－mgs(sin θ＋μcos θ)
C．上滑过程中导体棒克服安培力做的功为mv2
D．上滑过程中导体棒损失的机械能为mv2－mgssin θ
解析：选ABD　本题考查的是电磁感应定律和力 ( http: / / www.21cnjy.com )学的综合问题，上滑过程中开始时导体棒的速度最大，受到的安培力最大为；根据能量守恒，上滑过程中电流做功发出的热量为mv2－mgs(sin θ＋μcos θ)；上滑过程中导体棒克服安培力做的功等于产生的热也是mv2－mgs(sin θ＋μcos θ)；上滑过程中导体棒损失的机械能为mv2－mgssin θ。
对点训练：电磁感应中的杆＋导轨模型
7．(2015·郑州模拟)如图7所示，水平面 ( http: / / www.21cnjy.com )内有一平行金属导轨，导轨光滑且电阻不计，阻值为R的导体棒垂直于导轨放置，且与导轨接触良好。导轨所在空间存在匀强磁场，匀强磁场与导轨平面垂直，t＝0时，将开关S由1掷向2，若分别用q、i、v和a表示电容器所带的电荷量、棒中的电流、棒的速度大小和加速度大小，则下图所示的图像中正确的是(　　)
图7
图8
解析：选D　电容器放电时导体 ( http: / / www.21cnjy.com )棒在安培力作用下运动，产生感应电动势，感应电动势与电容器电压相等时，棒做匀速直线运动，说明极板上电荷量最终不等于零，A项错误。但电流最终必为零，B错误。导体棒速度增大到最大后做匀速直线运动，加速度为零，C错误，D正确。
8．(多选)两根足够长的光滑导轨 ( http: / / www.21cnjy.com )竖直放置，间距为L，顶端接阻值为R的电阻。质量为m、电阻为r的金属棒在距磁场上边界某处静止释放，金属棒和导轨接触良好，导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，如图9所示，不计导轨的电阻， 重力加速度为g，则
(　　)
图9
A．金属棒在磁场中运动时，流过电阻R的电流方向为a→b
B．金属棒的速度为v时，金属棒所受的安培力大小为
C．金属棒的最大速度为
D．金属棒以稳定的速度下滑时，电阻R的热功率为2R
解析：选BD　金属棒在磁场中向下运动时，由 ( http: / / www.21cnjy.com )楞次定律可知，流过电阻R的电流方向为b→a，选项A错误；金属棒的速度为v时，金属棒中感应电动势E＝BLv，感应电流I＝E/(R＋r)，所受的安培力大小为F＝BIL＝，选项B正确；当安培力F＝mg时，金属棒下落速度最大，金属棒的最大速度为v＝，选项C错误；金属棒以稳定的速度下滑时，电阻R和r的热功率为P＝mgv＝2(R＋r)，电阻R的热功率为2R，选项D正确。
考点综合训练
9．(2015·淮南二模)如图10所示 ( http: / / www.21cnjy.com )，光滑斜面PMNQ的倾角为θ，斜面上放置一矩形导体线框abcd，其中ab边长为L1，bc边长为L2，线框质量为m、电阻为R，有界匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直于斜面向上，ef为磁场的边界，且ef∥MN。线框在恒力F作用下从静止开始运动，其ab边始终保持与底边MN平行，恒力F沿斜面向上且与斜面平行。已知线框刚进入磁场时做匀速运动，则下列判断不正确的是(　　)
图10
A．线框进入磁场前的加速度为
B．线框刚进入磁场时的速度为
C．线框进入磁场时有a→b→c→d→a方向的感应电流
D．线框进入磁场的过程中产生的热量为(F－mgsin θ)L1
解析：选D　本题考查电磁感应与力学 ( http: / / www.21cnjy.com )综合，意在考查考生运用电磁感应定律、牛顿运动定律及功能关系解决问题的能力。在线框进入磁场前，由牛顿第二定律可得F－mgsin θ＝ma a＝，A对。设线框刚进入磁场时速度大小为v，线框匀速运动受力平衡，F＝F安＋mgsin θ，其中F安＝BIL1＝BL1，代入解得：v＝，B对。由右手定则可得线框刚进入磁场时感应电流方向为a→b→c→d→a，C对。由功能关系可得线框在进入磁场的过程中产生的热量大小等于克服安培力做的功，Q＝F安L2＝(F－mgsin θ)L2，D错。
10．(2013·上海高考)如图 ( http: / / www.21cnjy.com )11所示，两根相距l＝0.4 m、电阻不计的平行光滑金属导轨水平放置，一端与阻值R＝0.15 Ω的电阻相连。导轨间x＞0一侧存在沿x方向均匀增大的稳恒磁场，其方向与导轨平面垂直，变化率k＝0.5 T/m，x＝0处磁场的磁感应强度B0＝0.5 T。一根质量m＝0.1 kg、电阻r＝0.05 Ω的金属棒置于导轨上，并与导轨垂直。棒在外力作用下从x＝0处以初速度v0＝2 m/s沿导轨向右运动，运动过程中电阻上消耗的功率不变。求：
图11
(1)回路中的电流；
(2)金属棒在x＝2 m处的速度；
(3)金属棒从x＝0运动到x＝2 m过程中安培力做功的大小；
(4)金属棒从x＝0运动到x＝2 m过程中外力的平均功率。
解析：(1)电阻上消耗的功率不变，即回路电流不变，在x＝0处有E＝B0lv0＝0.4 V，I＝＝2 A
(2)由题意，磁感应强度B＝B0＋kx
考虑到电流恒定，在x＝2 m处有＝
得v＝ m/s
(3)导体棒受到的安培力
FA＝BIl＝(B0＋kx)Il＝0.4(1＋x)
安培力随位置线性变化，则安培力做功
WFA＝[B0＋(B0＋kx)]Ilx
代入数据得WFA＝1.6 J
(4)由动能定理WF－WFA＝m(v2－v)
得外力做功WF＝WFA＋m(v2－v)
安培力做功即电阻上消耗的能量，即WFA＝I2(R＋r)t
运动时间t＝＝2 s
即＝＝0.71 W
答案：(1)2 A　(2) m/s　(3)1.6 J　(4)0.71 W
11．(2014·安徽高考)如图12甲 ( http: / / www.21cnjy.com )所示，匀强磁场的磁感应强度B为0.5 T，其方向垂直于倾角θ为30°的斜面向上。绝缘斜面上固定有“∧”形状的光滑金属导轨MPN(电阻忽略不计)，MP和NP长度均为2.5 m，MN连线水平，长为3 m。以MN中点O为原点、OP为x轴建立一维坐标系Ox。一根粗细均匀的金属杆CD，长度d为3 m、质量m为1 kg、电阻R为0.3 Ω，在拉力F的作用下，从MN处以恒定速度v＝1 m/s在导轨上沿x轴正向运动(金属杆与导轨接触良好)。g取10 m/s2。
图12
(1)求金属杆CD运动过程中产生的感应电动势E及运动到x＝0.8 m处电势差UCD；
(2)推导金属杆CD从MN处运动到P点过程中拉力F与位置坐标x的关系式，并在图乙中画出F x关系图像；
(3)求金属杆CD从MN处运动到P点的全过程产生的焦耳热。
解析：(1)金属杆CD在匀速运动中产生的感应电动势
E＝Blv(l＝d)
E＝1.5 V　(D点电势高)
当x＝0.8 m时，金属杆在导轨间的电势差为零。设此时杆在导轨外的长度为l外，则l外＝d－d
OP＝ ＝2 m得l外＝1.2 m
由楞次定律判断D点电势高，故CD两端电势差
UCD＝－Bl外v
UCD＝－0.6 V
(2)杆在导轨间的长度l与位置x关系是
l＝d＝3－x
对应的电阻Rl为Rl＝R电流I＝
杆受的安培力F安＝BIl＝7.5－3.75x
根据平衡条件得F＝F安＋mgsin θ
F＝12.5－3.75x(0≤x≤2)
画出的F x图像如图所示。
(3)外力F所做的功WF等于F x图线下所围的面积，
即WF＝×2 J＝17.5 J
而杆的重力势能增加量ΔEp＝mgsin θ
故全过程产生的焦耳热Q＝WF－ΔEp＝7.5 J
答案：见解析

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