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第2节电场能的性质
,
(1)电场力做功与重力做功相似，均与路径无关。(√)
(2)电场中电场强度为零的地方电势一定为零。(×)
(3)沿电场线方向电场强度越来越小，电势逐渐降低。(×)
(4)A、B两点间的电势差等于将正电荷从A移到B点时静电力所做的功。(×)
(5)A、B两点的电势差是恒定的，所以UAB＝UBA。(×)
(6)电场线越密集的地方，等差等势线也越密集。(√)
要点一　电势高低与电势能大小的判断
1．电势高低的判断
判断角度 判断方法
依据电场线方向 沿电场线方向电势逐渐降低
依据场源电荷的正负 取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低
依据电场力做功 根据UAB＝，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低
依据电势能的高低 正电荷在电势较高处电势能大，负电荷在电势较低处电势能大
2．电势能大小的判断
判断角度 判断方法
做功判断法 电场力做正功，电势能减小电场力做负功，电势能增加
电荷电势法 正电荷在电势高的地方电势能大负电荷在电势低的地方电势能大
公式法 将电荷量、电势连同正负号一起代入公式Ep＝qφ，正Ep的绝对值越大，电势能越大；负Ep的绝对值越大，电势能越小
能量守恒法 在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增加，电势能减小，反之，动能减小，电势能增加
[多角练通]
1．(2014·江苏高考)如图6 2 1 ( http: / / www.21cnjy.com )所示，一圆环上均匀分布着正电荷，x轴垂直于环面且过圆心O。下列关于x轴上的电场强度和电势的说法中正确的是(　　)
图6 2 1
A．O点的电场强度为零，电势最低
B．O点的电场强度为零，电势最高
C．从O点沿x轴正方向，电场强度减小，电势升高
D．从O点沿x轴正方向，电场强度增大，电势降低
解析：选B　圆环上均匀分布着正电荷，可以将 ( http: / / www.21cnjy.com )圆环等效为很多正点电荷的组成，同一条直径的两端点的点电荷的合电场强度类似于两个等量同种点电荷的合电场强度，故圆环的中心的合电场强度一定为零。x轴上的合电场强度，在圆环的右侧的合电场强度沿x轴向右，左侧的合电场强度沿x轴向左，电场强度都呈现先增大后减小的特征，由沿电场强度方向的电势降低，得O点的电势最高。综上知选项B正确。
2．(多选)(2013·山东高考)如图6 ( http: / / www.21cnjy.com )2 2所示，在x轴上相距为L的两点固定两个等量异种点电荷＋Q、－Q，虚线是以＋Q所在点为圆心、为半径的圆，a、b、c、d是圆上的四个点，其中a、c两点在x轴上，b、d两点关于x轴对称。下列判断正确的是(　　)
图6 2 2
A．b、d两点处的电势相同
B．四个点中c点处的电势最低
C．b、d两点处的电场强度相同
D．将一试探电荷＋q沿圆周由a点移至c点，＋q的电势能减小
解析：选ABD　由等量异种 ( http: / / www.21cnjy.com )点电荷的电场线分布及等势面特点知，A、B正确，C错误。四点中a点电势最高、c点电势最低，正电荷在电势越低处电势能越小，故D正确。
3．(多选)如图6 2 3所示，有一对 ( http: / / www.21cnjy.com )等量异种电荷分别位于空间中的a点和f点，以a点和f点为顶点作一正立方体。现在各顶点间移动一试探电荷，关于试探电荷受电场力和具有的电势能，以下判断正确的是(　　)
图6 2 3
A．在b点和d点受力大小相等，方向不同
B．在c点和h点受力大小相等，方向相同
C．在b点和d点电势能相等
D．在c点和h点电势能相等
解析：选ABC　根据对称性和等量异 ( http: / / www.21cnjy.com )种电荷周围电场线的分布特点可知，试探电荷在b点和d点受力大小相等，方向不同，在c点和h点受力大小相等，方向相同，所以选项A、B正确；因为 b点和d点到两个场源电荷的距离都一样，所以试探电荷在 b点和d点电势能相等，选项C正确；c点离场源正电荷较h点远，所以试探电荷在c点和h点电势能不相等，或者根据等量异种电荷周围等势面的分布特点可知，中垂面是等势面，而c点和h点分居中垂面的两侧，它们的电势肯定不等，所以选项D错误。
要点二　电势差与电场强度的关系
1．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)UAB＝Ed，d为A、B两点沿电场方向的距离。
(2)沿电场强度方向电势降落得最快。
(3)在同一直线上或相互平行的两条直线上距离相等的两点间电势差相等。
2．E＝在非匀强电场中的三点妙用
(1)解释等差等势面的疏密与电场强 ( http: / / www.21cnjy.com )度大小的关系，当电势差U一定时，电场强度E越大，则沿电场强度方向的距离d越小，即电场强度越大，等差等势面越密。
(2)定性判断非匀强电场电势差的大小关系，如距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大；E越小，U越小。
(3)利用φ x图像的斜率判断沿x方向电场强度Ex随位置的变化规律。在φ x图像中斜率k＝＝＝Ex，斜率的大小表示电场强度的大小，正负表示电场强度的方向。
[典例]　(多选)如图6 2 4所示，A、B ( http: / / www.21cnjy.com )、C、D、E、F为匀强电场中一个边长为10 cm的正六边形的六个顶点，A、B、C三点电势分别为1 V、2 V、3 V，正六边形所在平面与电场线平行。下列说法正确的是(　　)
图6 2 4
A．通过CD和AF的直线应为电场中的两条等势线
B．匀强电场的电场强度大小为10 V/m
C．匀强电场的电场强度方向为由C指向A
D．将一个电子由E点移到D点，电子的电势能将减少1.6×10－19 J
[思路点拨]
1．在匀强电场中，如何寻找等势线？
提示：先利用几何关系确定两个等势点，它们的连线就是一条等势线。
2．如何确定电场的大小和方向？
提示：根据电场线与等势线垂直，且沿电场线方向，电势降低可判断电场方向，其大小可由E＝求得。
3．如何判断电势能的变化？
提示：通过电场力做功判断电势能的变化。
[解析]　由AC的中点电势 ( http: / / www.21cnjy.com )为2 V，所以BE为等势线，CD、AF同为等势线，故A正确；CA为电场线方向，电场强度大小E＝＝ V/m＝ V/m，故B错误，C正确；由UED＝UBC＝－1 V，WED＝－eUED＝1.6×10－19 J。
[答案]　ACD
[易错提醒]
(1)公式E＝＝中d是沿电场强度方向上的距离。
(2)在匀强电场中若线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD。
[针对训练]
1．(多选)如图6 2 ( http: / / www.21cnjy.com )5所示 ，A、B、C是匀强电场中平行于电场线的某一平面上的三个点，各点的电势分别为φA＝5 V，φB＝2 V，φC＝3 V，H、F三等分AB，G为AC的中点，在下列各示意图中，能正确表示该电场强度方向的是(　　)
图6 2 5
解析：选BC　匀强电场中将任一线段等分 ( http: / / www.21cnjy.com )，则电势差等分。把AB等分为三段，AB间电压为3 V，则每等分电压为1 V，H点电势为4 V，F点电势为3 V，将FC相连，则FC为等势线，电场线垂直于FC，从高电势指向低电势，C正确；把AC相连，分为两份，AC电压为2 V，则G点电势为4 V，GH为等势线，电场线垂直于GH，从高电势指向低电势，B正确。
2.如图6 2 6所示的同心圆是电场中 ( http: / / www.21cnjy.com )的一簇等势线，一个电子只在电场力作用下沿着直线由A→C运动时的速度越来越小，B为线段AC的中点，则下列说法正确的是(　　)
图6 2 6
A．电子沿AC方向运动时受到的电场力越来越小
B．电子沿AC方向运动时它具有的电势能越来越大
C．电势差UAB＝UBC
D．电势φA<φB<φC
解析：选B　该电场为负点电荷电场， ( http: / / www.21cnjy.com )电子沿AC方向运动时受到的电场力越来越大，选项A错误；根据电子只在电场力作用下沿着直线由A→C运动时的速度越来越小，它具有的电势能越来越大，选项B正确；由于电场为非匀强电场，电势差UABφB>φC，选项D错误。
要点三　电场线、等势线(面)及带电粒子的运动轨迹问题
1．等势线总是和电场线垂直，已知电场线可以画出等势线，已知等势线也可以画出电场线。
2．几种典型电场的等势线(面)
电场 等势线(面) 重要描述
匀强电场 垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场 以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点电荷的电场 连线的中垂线上电势处处为零
等量同种(正)点电荷的电场 连线上，中点的电势最低；中垂线上，中点的电势最高
3．带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
(1)从轨迹的弯曲方向判断受力方向(轨迹向合外力方向弯曲)，从而分析电场方向或电荷的正负。
(2)结合轨迹、速度方向与静电力的方向，确定静电力做功的正负，从而确定电势能、电势和电势差的变化等。
(3)根据动能定理或能量守恒定律判断动能的变化情况。
[多角练通]
1．(多选)如图6 2 7所示，一带电粒 ( http: / / www.21cnjy.com )子在两个固定的等量正电荷的电场中运动，图中的实线为等势面，虚线ABC为粒子的运动轨迹，其中B点是两点电荷连线的中点，A、C位于同一等势面上。下列说法正确的是(　　)
图6 2 7
A．该粒子可能带正电
B．该粒子经过B点时的速度最大
C．该粒子经过B点时的加速度一定为零
D．该粒子在B点的电势能小于在A点的电势能
解析：选CD　从该电荷的运动轨迹看， ( http: / / www.21cnjy.com )固定电荷对它有吸引力，由固定电荷带正电可知，该运动电荷一定带负电，故A错误；因为运动电荷从A到B的过程中，只受电场力且电场力先做正功后做负功，由动能定理知：动能先增加后减小，故B点的动能不是最大，则经过B点时的速度不是最大，故B错误；B点是两点电荷连线的中点，合电场强度为零，故运动电荷受力为零，则加速度为零，C正确；因为离正电荷越远，电势越低，即φA＜φB，因粒子带负电，由Ep＝φq得，EpA＞EpB，故D项正确。
2．(多选)如图6 2 8所示，虚经a、b、c代表电场中三个等势面，相邻等势面之间的电势差相同，实线为一带正电的质点仅在电场力作用下通过该区域的运动轨迹，P、Q是这条轨迹上的两点，由此可知(　　)
图6 2 8
A．三个等势面中，c等势面电势最高
B．带电质点通过P点时电势能较大
C．带电质点通过Q点时动能较大
D．带电质点通过P点时加速度较大
解析：选BCD　等差等势面越密集，该区域电场强度越大，故EP＞EQ，带电质点通过P点时加速度较大，D正确；假设质点由P运动到Q，根据：①运动轨迹的切线方向为速度方向；②电场线与等势面垂直；③正电荷所受的电场力与电场强度同向；④做曲线运动的质点，其所受的合外力指向运动轨迹的凹侧，从而确定质点经过P时的速度和电场力方向，如图所示。根据正电荷所受电场力的方向可知，电场线由等势面a指向等势面c，故φa＞φb＞φc，A错误；电场力与瞬时速度成锐角，故由P运动到Q电场力对质点做正功，质点的电势能减小，动能增加，B、C正确。假设质点由Q运动到P，能得到同样的结论。
3．如图6 2 9所示，直线MN是某电 ( http: / / www.21cnjy.com )场中的一条电场线(方向未画出)。虚线是一带电的粒子只在电场力的作用下，由a到b的运动轨迹，轨迹为一抛物线。下列判断正确的是(　　)
图6 2 9
A．电场线MN的方向一定是由N指向M
B．带电粒子由a运动到b的过程中动能一定逐渐减小
C．带电粒子在a点的电势能一定大于在b点的电势能
D．带电粒子在a点的加速度一定大于在b点的加速度
解析：选C　由于带电粒子的电性 ( http: / / www.21cnjy.com )不确定，所以电场线的方向不确定，A错误；带电粒子由a运动到b的过程中，只受电场力的作用，由轨迹的弯曲方向知电场力做正功，电势能减小，动能增加，故B错误C正确；由于仅给出一条电场线，电场强度的大小关系不确定，D错误。
要点四　静电场中的三类图像问题
1．v t图像
根据v t图像的速度变化、斜率变化(即 ( http: / / www.21cnjy.com )加速度大小的变化)，确定电荷所受电场力的方向与电场力的大小变化情况，进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化。
[典例1]　(多选)(2014·海南高考) ( http: / / www.21cnjy.com )如图6 2 10(a)，直线MN表示某电场中一条电场线，a、b是线上的两点，将一带负电荷的粒子从a点处由静止释放，粒子从a运动到b过程中的v t图线如图(b)所示。设a、b两点的电势分别为φa、φb，电场强度大小分别为Ea、Eb，粒子在a、b两点的电势能分别为Wa、Wb，不计重力，则有(　　)
图6 2 10
A．φa＞φb　　　　　　　 B．Ea＞Eb
C．Ea＜Eb D．Wa＞Wb
[解析]　由v t 图像的斜 ( http: / / www.21cnjy.com )率减小可知由a到b的过程中，粒子的加速度减小，所以电场强度变小，Ea＞Eb；根据动能定理，速度增大，可知电势能减小，Wa＞Wb，可得选项B、D正确。
[答案]　BD
2．φ x图像
(1)电场强度的大小等于φ x图线的斜率大小，电场强度为零处，φ x图线存在极值，其切线的斜率为零。
(2)在φ x图像中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向。
(3)在φ x图像中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后作出判断。
[典例2]　(2015·衡水中学期末) ( http: / / www.21cnjy.com )两电荷量分别为q1和q2的点电荷放在x轴上的O、M两点，两电荷连线上各点电势φ随x变化的关系如图6 2 11所示，其中A、N两点的电势均为零，ND段中的C点电势最高，则(　　)
图6 2 11
A．N点的电场强度大小为零
B．A点的电场强度大小为零
C．NC间电场强度方向指向x轴正方向
D．将一负点电荷从N点移到D点，电场力先做正功后做负功
[解析]　A、N点的电势等于零，电场强 ( http: / / www.21cnjy.com )度大小不为零，选项A、B错误；从N到C电势升高，NC间电场强度方向指向x轴负方向，选项C错误；从N到C电势升高，从C到D电势降低，将一负点电荷从N点移到C点，电场力做正功，从C点到D点，电场力做负功，选项D正确。
[答案]　D
3．E x图像
在给定了电场的E x图像后，可以由图线确 ( http: / / www.21cnjy.com )定电场强度的变化情况，电势的变化情况，E x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差。在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况。
在这类题目中，还可以由E x图像假设某一种符合E x图线的电场，利用这种已知电场的电场线分布、等势面分布或场源电荷来处理相关问题。
[典例3]　(多选)(2014·上海高考)静 ( http: / / www.21cnjy.com )电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系如图6 2 12所示，x轴正向为电场强度正方向，带正电的点电荷沿x轴运动，则点电荷(　　)
图6 2 12
A．在x2和x4处电势能相等
B．由x1运动到x3的过程中电势能增大
C．由x1运动到x4的过程中电场力先增大后减小
D．由x1运动到x4的过程中电场力先减小后增大
[解析]　由图像可知，正电荷从x2移 ( http: / / www.21cnjy.com )动到x4的过程电场力做功不为零，两点电势能不相等，A项错误；从x1移动到x3的过程电场力沿x轴负方向，电场力做负功，电势能增大，B项正确；从x1到x4的过程电场强度先增大，后减小，所以电场力先增大后减小，C项正确，D项错误。
[答案]　BC
要点五　电场力做功与功能关系
1．电场力做功的计算方法
2．电场中的功能关系
(1)电场力做正功，电势能减少，电场力做负功，电势能增加，即：W＝－ΔEp。
(2)如果只有电场力做功，则动能和电势能之间相互转化，动能(Ek)和电势能(Ep)的总和不变，即：ΔEk＝－ΔEp。
[典例]　(2015·西安模拟)如图6 2 13所示，在O点放置一个正电荷，在过O点的竖直平面内的A点，自由释放一个带正电的小球，小球的质量为m、电荷量为q。小球落下的轨迹如图中虚线所示，它与以O为圆心、R为半径的圆(图中实线表示)相交于B、C两点，O、C在同一水平线上，∠BOC＝30°，A距离OC的竖直高度为h。若小球通过B点的速度为v，试求：
图6 2 13
(1)小球通过C点的速度大小。
(2)小球由A到C的过程中电势能的增加量。
[审题指导]
第一步：抓关键点
关键点 获取信息
自由释放 初速度为零
小球 重力不能忽略
O为圆心，R为半径的圆 圆周为等势线
第二步：找突破口
(1)要确定通过C点的速度，可由BC过程中的功能关系求解，由于B、C在圆周上，两点为等势点，故电场力不做功，只有重力做功。
(2)要求由A到C过程中电势能的增加量，应利用公式WAC＝－ΔEpAC和动能定理，对小球由A到C的过程进行分析，列方程求解。
[解析]　(1)因B、C两点电势相等，小球由B到C只有重力做功，由动能定理得：
mgR·sin 30°＝mv－mv2
得：vC＝。
(2)由A到C应用动能定理得：
WAC＋mgh＝mv－0
得：WAC＝mv－mgh＝mv2＋mgR－mgh。
由电势能变化与电场力做功的关系得：
ΔEp＝－WAC＝mgh－mv2－mgR。
[答案]　(1)　(2)mgh－mv2－mgR
[方法规律]　处理电场中能量问题的基本方法
在解决电场中的能量问题时常用到的基本规律有动能定理、能量守恒定律，有时也会用到功能关系。
(1)应用动能定理解决问题需研究合外力的功(或总功)。
(2)应用能量守恒定律解决问题需注意电势能和其他形式能之间的转化。
(3)应用功能关系解决该类问题需明确电场力做功与电势能改变之间的对应关系。
(4)有电场力做功的过程机械能一般不守恒，但机械能与电势能的总和可以不变。
[针对训练]
1．(2015·西安名校联考)在光滑绝 ( http: / / www.21cnjy.com )缘的水平桌面上，存在着方向水平向右的匀强电场，电场线如图6 2 14中实线所示。一带正电、初速度不为零的小球从桌面上的A点开始运动，到C点时，突然受到一个外加的水平恒力F作用而继续运动到B点，其运动轨迹如图中虚线所示，v表示小球在C点的速度。则下列判断中正确的是(　　)
图6 2 14
A．小球在A点的电势能比在B点的电势能小
B．恒力F的方向可能水平向左
C．恒力F的方向可能与v方向相反
D．在A、B两点小球的速率不可能相等
解析：选B　小球由A运动到B，电场力做正 ( http: / / www.21cnjy.com )功，电势能减少，小球在A点的电势能比在B点的电势能大，A错误；由运动轨迹可知，恒力F的方向可能水平向左，B正确，C错误；若小球由A运动到B的过程中，电场力做功与克服恒力做功相等，则在A、B两点小球的速率相等，D错误。
2．(多选)(2015·黑龙江联考 ( http: / / www.21cnjy.com ))如图6 2 15所示，在水平向右的匀强电场中以竖直和水平方向建立直角坐标系，一带负电的油滴从坐标原点以初速度v0向第一象限某方向抛出，当油滴运动到最高点A(图中未画出)时速度为vt，试从做功与能量转化角度分析此过程，下列说法正确的是(　　)
图6 2 15
A．若vt＞v0，则重力和电场力都对油滴做正功引起油滴动能增大
B．若vt＞v0，则油滴电势能的改变量大于油滴重力势能的改变量
C．若vt＝v0，则A点可能位于第一象限
D．若vt＝v0，则A点一定位于第二象限
解析：选BD　一带负电的油滴从坐标原 ( http: / / www.21cnjy.com )点以初速度v0向第一象限某方向抛出，当油滴运动到最高点A时，重力做负功。若vt＞v0，电场力一定做正功，最高点A位于第二象限，且电场力做功大于重力做功的绝对值，则油滴电势能的改变量大于油滴重力势能的改变量，选项A错误B正确。若vt＝v0，电场力做功等于重力做功的绝对值，则A点一定位于第二象限，选项C错误D正确。
对点训练：电势高低与电势能大小的判断
1．(多选)(2013·江苏高考)将一 ( http: / / www.21cnjy.com )电荷量为＋Q的小球放在不带电的金属球附近，所形成的电场线分布如图1所示，金属球表面的电势处处相等。a、b为电场中的两点，则(　　)
图1
A．a点的电场强度比b点的大
B．a点的电势比b点的高
C．检验电荷－q在a点的电势能比在b点的大
D．将检验电荷－q从a点移到b点的过程中，电场力做负功
解析：选ABD　本题考查静电 ( http: / / www.21cnjy.com )场中力的性质和能的性质，意在考查考生对静电力的性质和能的性质的理解与掌握情况。电场线密的地方电场强度大，A项正确；沿着电场线方向电势逐渐降低，B项正确；由Ep＝qφ可知，负电荷在高电势处电势能小，C项错误；负电荷从a到b电势能增加，根据电场力做功与电势能变化的关系可知，这个过程中电场力做负功，D项正确。
2．如图2所示为一个点电极 ( http: / / www.21cnjy.com )A与平板电极B接入电源时的空间电场分布图，C为A到B垂线的中点，D、E为同在A、B直线上的两点，DC＝CE，F、G处在DE的中垂线上，FC＝CG，下列说法正确的是(　　)
图2
A．C点电势等于F点电势
B．F点的电场强度大于C点的电场强度
C．D、C两点间电势差小于C、E两点间电势差
D．电子从F点沿直线移动到G点，电场力先做正功，后做负功
解析：选D　C点电势大于F点电势，F点的电 ( http: / / www.21cnjy.com )场强度小于C点的电场强度，选项A、B错误。D、C两点间电势差大于C、E两点间电势差，选项C错误。电子从F点沿直线移动到G点，电场力先做正功，后做负功，选项D正确。
对点训练：电势差与电场强度的关系
3．(2015·北京市顺义区模拟)图3所示为 ( http: / / www.21cnjy.com )一个均匀带正电的细圆环，半径为R，取环面中心O为原点，以垂直于环面的轴线为x轴。设轴上某点P到O点的距离为x，设无穷远处的电势为零，P点的电势为φ，真空中静电力常量为k，下面判断正确的是(　　)
图3
A．图中P点电场强度E的方向是沿x轴负方向，O点电势φ为零
B．图中P点电场强度E的方向是沿x轴正方向，O点电场强度E为零
C．从O点到P点，电场强度E一定逐渐增大，电势φ一定逐渐增大
D．从O点到P点，电场强度E一定逐渐减小，电势φ一定逐渐减小
解析：选B　图中P点电场强度E的方向是沿x轴 ( http: / / www.21cnjy.com )正方向，由对称性和电场叠加可知，O点电场强度E为零，选项B正确A错误。由于O点电场强度为零，无限远处的电场强度为零，所以从O点到P点，电场强度E可能是先增大后减小，电势φ一定逐渐减小，选项C、D错误。
4．(多选)(2015·洛阳 ( http: / / www.21cnjy.com )名校联考)如图4所示，在平面直角坐标系中有一底角是60°的等腰梯形，坐标系中有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中O(0,0)点电势为6 V，A(1，)点电势为3 V，B(3，)点电势为0 V，则由此可判定(　　)
图4
A．C点电势为3 V
B．C点电势为0 V
C．该匀强电场的电场强度大小为100 V/m
D．该匀强电场的电场强度大小为100 V/m
解析：选BD　由题意可知C点坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )为(4,0)，在匀强电场中，任意两条平行的线段，两点间电势差与其长度成正比，所以＝，代入数值得φC＝0 V，A错、B对；作BD∥AO，如图所示，则φD＝3 V，即AD是一等势线，电场强度方向OG⊥AD，由几何关系得OG＝ cm，由E＝得E＝100 V/m，C错，D对。
对点训练：电场线、等势线(面)及带电粒子的运动问题
5．(2014·重庆高考)如图5所示为某示 ( http: / / www.21cnjy.com )波管内的聚焦电场，实线和虚线分别表示电场线和等势线。两电子分别从a、b两点运动到c点，设电场力对两电子做的功分别为Wa和Wb，a、b点的电场强度大小分别为Ea和Eb，则(　　)
图5
A．Wa ＝Wb，Ea >Eb　 B．Wa≠Wb，Ea >Eb
C．Wa＝Wb，Ea 解析：选A　由题图可知a、b两点处于同 ( http: / / www.21cnjy.com )一等势线上，故两电子分别从a、b两点运动到c点，电场力做功相同，即Wa＝Wb，故B、D项错；a点处电场线比b点处电场线更密集，故Ea＞Eb，C项错，A项对。
6．如图6所示，在两等量异种点电荷连线上有D、E、F三点，且DE＝EF。K、M、L分别为过D、E、F三点的等势面。一不计重力的带负电粒子，从a点射入电场，运动轨迹如图中实线所示，以|Wab|表示该粒子从a点到b点电场力做功的数值，以|Wbc|表示该粒子从b点到c点电场力做功的数值，则(　　)
图6
A．|Wab|＝|Wbc|
B．|Wab|＜|Wbc|
C．粒子由a点到b点，动能减少
D．a点的电势较b点的电势低
解析：选C　由等量异种点电荷的电场 ( http: / / www.21cnjy.com )线特点可知靠近电荷处电场强度大，由类比公式U＝Ed知|Uab|＞|Ubc|，而W＝qU，所以|Wab|＞|Wbc|，则A、B均错误；从带负电粒子的运动轨迹可知该粒子从a点到c点受到大体向左的作用力，故左侧为正电荷，从左向右电势降低，则D错误；粒子由a点到b点，电场力做负功，电势能增加，动能减少，则C正确。
对点训练：静电场中的图像问题
7．(2014·安徽高考)一带电 ( http: / / www.21cnjy.com )粒子在电场中仅受静电力作用，做初速度为零的直线运动。取该直线为x轴，起始点O为坐标原点，其电势能Ep与位移x的关系如图7所示。下列图像中合理的是(　　)
图7
图8
解析：选D　由于粒子只受电场力作用，因 ( http: / / www.21cnjy.com )此由F电＝可知，Ep x图像的斜率大小即为粒子所受电场力大小，从图像可知，图像的斜率随位移的增大而越来越小，因此粒子运动后所受的电场力随位移的增大而越来越小，因此电场强度越来越小，A项错误；由于只受电场力作用，因此动能与电势能的和是定值，但从B项和题图可以看出，不同位置的电势能与动能的和不是定值，B项错误；粒子受到的电场力随位移的增大而越来越小，因此加速度随位移的增大而越来越小，D项正确；若粒子的速度随位移的增大而均匀增大，则粒子的动能Ek∝x2，结合题图和B项分析可知C错误。
8．两个等量同种电荷固定于光滑水平 ( http: / / www.21cnjy.com )面上，其连线中垂线上有A、B、C三点，如图9甲所示，一个电荷量为2 C，质量为1 kg的小物块从C点静止释放，其运动的 v t图像如图乙所示，其中B点处为整条图线切线斜率最大的位置(图中标出了该切线)。则下列说法正确的是(　　)
图9
A．B点为中垂线上电场强度最大的点，电场强度E＝2 V/m
B．由C点到A点的过程中物块的电势能先减小后变大
C．由C点到A点的过程中，电势逐渐升高
D．AB两点电势差UAB＝－5 V
解析：选D　小物块在B点加速度最大， ( http: / / www.21cnjy.com )故B点电场强度最大，由v t图线知B点加速度为2 m/s2，据qE＝ma得E＝1 V/m，选项A错误；由C到A的过程中小物块动能一直增大，电势能始终在减小，故电势逐渐降低，选项B、C错误；根据动能定理有qUAB＝mvB2－mvA2，解得UAB＝－5 V，选项D正确。
对点训练：电场力做功与功能关系
9．(2015·洛阳名校联考)如图10 ( http: / / www.21cnjy.com )所示，一个电量为＋Q的点电荷甲，固定在绝缘水平面上的O点，另一个电量为－q、质量为m的点电荷乙从A点以初速度v0沿它们的连线向甲运动，到B点时速度最小且为v，已知静电力常量为k，点电荷乙与水平面的动摩擦因数为μ，AB间距离为L，则以下说法不正确的是(　　)
图10
A．OB间的距离为
B．从A到B的过程中，电场力对点电荷乙做的功为W＝μmgL＋mv02－mv2
C．从A到B的过程中，电场力对点电荷乙做的功为W＝μmgL＋mv2－mv02
D．从A到B的过程中，乙的电势能减少
解析：选B　A做加速度逐 ( http: / / www.21cnjy.com )渐减小的减速直线运动，到B点时速度最小，所受库仑力等于摩擦力，由μmg＝k，解得OB间的距离为r＝ ，选项A正确。从A到B的过程中，由动能定理，电场力对点电荷乙做的功为W＝μmgL＋mv2－mv02，选项B不正确，C正确。从A到B的过程中，电场力做正功，乙的电势能减小，选项D正确。
10．(多选)(2015·江苏省模 ( http: / / www.21cnjy.com )拟)如图11甲，真空中有一半径为R、电荷量为＋Q的均匀带电球体，以球心为坐标原点，沿半径方向建立x轴。理论分析表明，x轴上各点的电场强度随x变化关系如图乙，则(　　)
图11
A．x2处电场强度和x1处的电场强度大小相等、方向相同
B．球内部的电场为匀强电场
C．x1、x2两点处的电势相同
D．假设将一个带正电的试探电荷沿x轴移动，则从x1移到R处电场力做的功大于从R移到x2处电场力做的功
解析：选AD　根据题图所示的x轴上各点的电场强度随x变化关系，x2处电场强度和x1处的电场强度大小相等、方向相同，球内部的电场为非匀强电场，选项A正确B错误。根据电场强度随x变化关系图像与横轴所围面积表示电势的变化可知，x1点处的电势大于x2点处的电势，选项C错误。根据电场强度随x变化关系图像与横轴所围面积表示电势的变化(电势差)，由电场力做功公式可知，假设将一个带正电的试探电荷沿x轴移动，则从x1移到R处电场力做的功大于从R移到x2处电场力做的功，选项D正确。
考点综合训练
11．(多选)(2015 ( http: / / www.21cnjy.com )·洛阳模拟 )空间有一沿x轴对称分布的电场，其电场强度E随x变化的图像如图12所示，带电粒子在此空间只受电场力作用。下列说法中正确的是(　　)
图12
A．在－x1处释放一带负电的粒子，它将沿x轴在－x1与x1之间做往返运动
B．带负电的粒子以一定的速度由－x1处沿x轴正方向运动到x1处，它在x1处的速度等于在－x1处的速度
C．带正电的粒子以一定的速度由－x1处沿x轴正方向运动的过程中，它的动能先增大后减小
D．带正电的粒子在x1处的电势能比在x2处的电势能小、与在x3处的电势能相等
解析：选AB　电场沿x轴对称分布， ( http: / / www.21cnjy.com )在－x1处释放一带负电的粒子，它将沿x轴在－x1与x1之间做往返运动，选项A正确。带负电的粒子以一定的速度由－x1处沿x轴正方向运动到x1处，它在x1处的速度等于在－x1处的速度，选项B正确。带正电的粒子以一定的速度由－x1处沿x轴正方向运动的过程中，它的动能先减小后增大，选项C错误。从x1处到x3处，电场强度方向沿x轴，带正电的粒子从x1处到x3处，电场力一直做正功，电势能减小，所以带正电的粒子在x1处的电势能比x2处的电势能大、比x3处的电势能大，选项D错误。
12．(2015·上海市虹口区一 ( http: / / www.21cnjy.com )模)在绝缘粗糙的水平面上相距为6L的A、B两处分别固定电量不等的正电荷，两电荷的位置坐标如图13甲所示，已知B处电荷的电量为＋Q。图乙是AB连线之间的电势φ与位置x之间的关系图像，图中x＝L点为图线的最低点，x＝－2L处的纵坐标φ＝φ0，x＝0处的纵坐标φ＝φ0，x＝2L处的纵坐标φ＝φ0。若在x＝－2L的C点由静止释放一个质量为m、电量为＋q的带电物块(可视为质点)，物块随即向右运动。求：
图13
(1)固定在A处的电荷的电量QA。
(2)为了使小物块能够到达x＝2L处，试讨论小物块与水平面间的动摩擦因数μ所满足的条件。
(3)若小物块与水平面间的动摩擦因数μ＝，小物块运动到何处时速度最大？并求最大速度vm。
(4)试画出μ取值不同的情况下，物块在AB之间运动大致的速度—时间关系图像。
解析：(1)由图乙得，x＝L点为图线的最低点，切线斜率为零，即合电场强度E合＝0
所以＝
得＝，解出QA＝4Q。
(2)物块先做加速运动再做减速运动，到达x＝2L处速度v1≥0
从x＝－2L到x＝2L过程中，由动能定理得：
qU1－μmgs1＝mv12－0，即q(φ0－φ0)－μmg·(4L)＝mv12－0≥0
解得μ≤。
(3)小物块运动速度最大时，电场力与摩擦力的合力为零，设该位置离A点的距离为lA
则：－－μmg＝0
解得lA＝3L，即小物块运动到x＝0时速度最大。
小物块从x＝－2L运动到x＝0的过程中，由动能定理得：
qU2－μmgs2＝mvm2－0
代入数据：q(φ0－φ0)－μmg·(2L)＝mvm2－0
解得vm＝ 。
(4)
答案：(1)QA＝4Q　(2)μ≤　(3)小物块运动到x＝0时速度最大　vm＝　(4)图像见解析图

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