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等差数列与等比数列
知识归纳
一、等差数列
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常
数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用
字母 d表示，定义表达式为 an－an－1＝d(常数)(n∈N*，n≥2)或 an＋1－an＝d(常
数)(n∈N*)．
(2)等差中项
a＋b
若三个数 a，A，b成等差数列，则 A叫做 a与 b的等差中项，且有 A＝ .
2
2．等差数列的有关公式
(1)等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式是：
an＝a1＋(n－1)d.
(2)等差数列的前 n项和公式
n n－1 n a1＋an
设等差数列{an}的公差为 d，其前 n项和 Sn＝na1＋ d或 Sn＝ .
2 2
3．等差数列的常用性质
已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前 n项和．
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)在等差数列{an}中，当 m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
特别地，若 m＋n＝2p，则 2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)．
(3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为 md(k，m∈N*)．
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为 n2d.
(5)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
Sn
(6)若{an}是等差数列，则 n 也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是
{a } 1n 公差的 .2
(7)若项数为偶数 2n，则 S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S 偶－S nd
S 奇 an
奇＝ ； ＝ .S 偶 an＋1
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(8) S 奇 n若项数为奇数 2n－1，则 S2n－1＝(2n－1)an；S 奇－S 偶＝an； ＝ .S 偶 n－1
am≥0，
(9)在等差数列{an}中，若 a1>0，d<0，则满足 的项数 m使
am＋1≤0
am≤0，
得 Sn取得最大值 Sm；若 a1<0，d>0，则满足 的项数 m使得 Sn取
am＋1≥0
得最小值 Sm.
4．等差数列的前 n项和公式与函数的关系
d
S na n n－1
a －
n＝ 1＋ d等价于 S d
1
n＝ n2＋ 2 n.
2 2
∴数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)．
5．等差数列的前 n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则 Sn存在最大值；若 a1<0，d>0，则 Sn存
在最小值．
二、等比数列
1．等比数列的有关概念
(1)等比数列的有关概念
一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，
那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q
表示．
(2)等比中项
G b
如果三个数 a，G，b成等比数列，则 G叫做 a和 b的等比中项，那么 ＝ ，
a G
即 G2＝ab.
2．等比数列的有关公式
(1)等比数列的通项公式
－
设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，q≠0，则它的通项公式 an＝a1·qn 1.
(2)等比数列的前 n项和公式
等比数列{an}的公比为 q(q≠0)，其前 n项和为 Sn，当 q＝1时，Sn＝na1；当
q≠1 S a (1 q
n
1 ) a1－anq时， n ＝ .1 q 1－q
3．等比数列的性质
(1)若 m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则 am·an＝ap·aq＝a2k.
1
(2)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)， a 2n ，{an}，{an·bn}，
an
bn 仍是等比数列．
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(3)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an，
an k，an 2k，an 3k，…为等比数列，公比为 qk＋ ＋ ＋ .
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等比数列，公差为 qn.
(5){a T2n T3nn}为等比数列，若 a1·a2·…·an＝Tn，则 Tn， ， ，…成等比数列．Tn T2n
(6)当 q≠0，q≠1时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，此时 k
a1
＝ .
1－q
(7)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为
奇数时，还等于中间项的平方．
题型一 等差、等比数列的基本运算
例 1-1、记 Sn为等差数列{an}的前 n项和，若 a2＝3，a5＝9，则 S6＝( )
A．36 B．32
C．28 D．24
例 1-2、设等差数列{an}的前 n项和为 Sn，若 Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，
则 m＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
例 1-3、在数列{an}中，2an＋1＝an＋an 2＋2，且 an≠0.若 an－1－an＋an＋1＝0(n≥2)，
且 S2n－1＝38，则 n＝( )
A．38 B．20
C．10 D．9
例 1-4、已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn，且 a1＋a3＝10，S9＝72，在数列
{bn}中，b1＝2，bnbn＋1＝－2，则 a7b2 020＝________．
例 1-5、已知等差数列{an} 的前 n项和为 Sn，若 S1010＝1009，S1009＝1010，
则 S2019＝ ．
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例 1-6、(多选题)已知数列{an}是公差不为 0的等差数列，前 n项和为
Sn，满足 a1＋5a3＝S8，则下列选项正确的是( )
A．a10＝0 B．S7＝S12
C．S10的值最小 D．S20＝0
例 2-1、 1已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝ ，则 a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝4
( )
A．16(1－4－n) B 16(1 2－． － n)
C 32． (1 － 32 －－4 n) D． (1－2 n)
3 3
例 2-2、等比数列{an}的前 n S 1项和 n＝ ·3n＋1＋c(c为常数)，若λa2 n
≤3＋S2n恒
成立，则实数λ的最大值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
例 2-3、若一个等比数列的首项为 1，项数为偶数，所有奇数项和为 85，所
有偶数项和为 170，则这个数列的项数为________．
例 2-4、在正项等比数列{an}中，已知 a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，
则 n＝________．
例 2-5、数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若 ak＋1＋ak＋2＋…＋ak 10＝215－25＋ ，
则 k等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
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例 3-1、设等比数列{an}的前 n项和为 Sn.若 S3，S9，S6成等差数列，
且 a8＝3，则 a5的值为________．
例 3-2、设数列 an 是以 2为首项，1为公差的等差数列， bn 是以 1为首项，
2为公比的等比数列，则ab a a1 b2 b （ ）10
A. 1033 B. 2057
C. 1034 D. 2058
例 3-3、三个数成等比数列，其乘积为512，如果第一个数与第三个数各减2，
则成等差数列，则这三个数为___________
题型二 等差、等比数列的性质
例 4-1、等差数列{an}的前 m项和为 30，前 2m项和为 100，则它的前 3m项
和为 ．
例 4-2、 1在等差数列{an} 中，若 a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝240，则 a9－ a11的值3
为( )
A．30 B．31
C．32 D．33
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例 4-3、已知等差数列{an}，{bn}的前 n项和分别为 Sn，Tn，若对于任
S 2n－3 a3＋a15 a3
意的自然数 n，都有 n＝ ，则 ＋ ＝( )
Tn 4n－3 2 b3＋b9 b2＋b10
A 19 17． B．
41 37
C 7 20． D．
15 41
例 4-4、一个等差数列{an}的前 12项的和为 354，前 12项中偶数项的和 S 偶
12 S 32与前 项中奇数项的和 奇之比为 ，则公差 d等于( )27
A．5 B．6
C．10 D．12
例 5-1、设{an}是等比数列，且 a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则 a6＋a7＋
a8＝( )
A．12 B．24
C．30 D．32
例 5-2、 15 9 1 1 1 1在等比数列 an 中，若 a1 a2 a3 a4 ,a2a3 ，则 8 8 a1 a2 a3 a4
（ ）
A 5 B 5． ．
3 3
C 3 3． D．
5 5
例 5-3、已知正项等比数列{an}的前 n项和为 Sn，且 S8－2S4＝5，则 a9＋a10
＋a11＋a12的最小值为( )
A．25 B．20
C．15 D．10
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例 5-4、(多选题)设等比数列 an 的公比为 q,其前 n项和为 Sn ,前 n项积
a2019 1
为Tn ,并满足条件a1 1,a2019a2020 1 , 0a ,下列结论正确的是（ ）2020 1
A．S2019C．T2020是数列 Tn 中的最大值 D．数列 Tn 无最大值
题型三 等差、等比数列的判断与证明
例 6-1、若{an}为公差不为 0 的等差数列，则下列数列中仍为等差数列的
有 ．(填序号)
①{an＋an 1} ②{a2＋ n} ③{an＋1－an} ④{2an} ⑤{2an＋n}
⑥{a2n－1} ⑦{a2n}
例 6-2、已知等比数列{an}的公比为 q，记 bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n
－1)＋m，
cn＝am(n－1)＋1am(n－1)＋2…am(n－1)＋m(m，n∈N*)，则以下结论一定正确的是( )
A．数列{bn}为等差数列，公差为 qm
B．数列{bn}为等比数列，公比为 q2m
C．数列{c m2n}为等比数列，公比为 q
D m．数列{cn}为等比数列，公比为 qm
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例 6-3、如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An
＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，
|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*.(P≠Q表示点 P与 Q不重合)若 dn＝
|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则( )
A．{Sn}是等差数列 B．{S2n}是等差数列
C．{dn}是等差数列 D．{d2n}是等差数列
例 6-4、(多选题)若 Sn为数列{an}的前 n项和，且 Sn＝2an+1，（n∈N*），
则下列说法正确的是（ ）
A．a5＝﹣16 B．S5＝﹣63
C．数列{an}是等比数列 D．数列{Sn+1}是等比数列
例 6-5、 3 3a 1 已知数列 an 的首项 a1 ,a nn 1 ,n N ．求证：数列 1 为5 2a 1 n a

n
等比数列
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例 6-5、已知数列 an 满足：a1 6,a n 1an 6an 1 9 0,n N 且 n 2，求证：
1
a
为等差数列
n 3
例 6-7、 1已知曲线C : xy 1，过C上一点 An xn , yn 作一斜率为 kn 的直线xn 2
交曲线C于另一点 An 1 xn 1, yn 1 （ xn xn 1且 xn 0，点列 An 的横坐标构成数
列 xn x
11
，其中 1 .7
（1）求 xn与 xn 1的关系式；
1 1
（2）令bn ，求证：数列 b 是等比数列；xn 2 3
n
第 9 页 共 9 页等差数列与等比数列
知识归纳
一、等差数列
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常
数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用
字母 d表示，定义表达式为 an－an－1＝d(常数)(n∈N*，n≥2)或 an＋1－an＝d(常
数)(n∈N*)．
(2)等差中项
a＋b
若三个数 a，A，b成等差数列，则 A叫做 a与 b的等差中项，且有 A＝ .
2
2．等差数列的有关公式
(1)等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式是 an＝a1＋(n
－1)d.
(2)等差数列的前 n项和公式
n n－1 n a1＋an
设等差数列{an}的公差为 d，其前 n项和 Sn＝na1＋ d或 Sn＝ .
2 2
3．等差数列的常用性质
已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前 n项和．
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)在等差数列{an}中，当 m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．特
别地，若 m＋n＝2p，则 2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)．
(3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为 md(k，m∈N*)．
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为 n2d.
(5)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
Sn
(6)若{an}是等差数列，则 n 也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是
{an} 1公差的 .2
(7) 2n S n(a a ) n(a a ) S S nd S 奇 an若项数为偶数 ，则 2n＝ 1＋ 2n ＝ n＋ n＋1 ； 偶－ 奇＝ ； ＝ .S 偶 an＋1
(8)若项数为奇数 2n－1，则 S2n－1＝(2n－1)a
S 奇 n
n；S 奇－S 偶＝an； ＝ .S 偶 n－1
am≥0，
(9)在等差数列{an}中，若 a1>0，d<0，则满足 的项数 m使得 Sn
am＋1≤0
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am≤0，
取得最大值 Sm；若 a1<0，d>0，则满足 的项数 m使得 Sn取
am＋1≥0
得最小值 Sm.
4．等差数列的前 n项和公式与函数的关系
a d－
S n n－1 dn＝na1＋ d等价于 Sn＝ n2
1
＋ 2 n.
2 2
数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)．
5．等差数列的前 n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则 Sn存在最大值；若 a1<0，d>0，则 Sn存
在最小值．
二、等比数列
1．等比数列的有关概念
(1)等比数列的有关概念
一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，
那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q
表示．
(2)等比中项
G b
如果三个数 a，G，b成等比数列，则 G叫做 a和 b的等比中项，那么 ＝ ，
a G
即 G2＝ab.
2．等比数列的有关公式
(1)等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，q≠0，则它的通项公式 an＝a1·qn－1.
(2)等比数列的前 n项和公式
等比数列{an}的公比为 q(q≠0)，其前 n项和为 Sn，当 q＝1时，Sn＝na1；当
S a1(1 q
n )
q≠1 a1－anq时， n ＝ .1 q 1－q
3．等比数列的性质
(1)若 m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则 am·an＝ap·aq＝ak2.
1
(2)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)， an ，{a2n}，{an·bn}，
an
bn 仍是等比数列．
(3)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an，an＋k，
an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为 qk.
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等比数列，公差为 qn.
(5){a T2n T3nn}为等比数列，若 a1·a2·…·an＝Tn，则 Tn， ， ，…成等比数列．Tn T2n
(6)当 q≠0，q≠1时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，此时 k
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a1
＝ .
1－q
(7)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若
项数为奇数时，还等于中间项的平方．
题型一 等差、等比数列的基本运算
例 1-1、记 Sn为等差数列{an}的前 n项和，若 a2＝3，a5＝9，则 S6＝( )
A．36 B．32
C．28 D．24
a2＝a1＋d＝3，
解析：选 A.设等差数列{an}的公差为 d，由题意得 解
a5＝a1＋4d＝9，
d 6×5得 ＝2，a1＝1，故 S6＝6＋ ×2＝36，选 A.
2
例 1-2、设等差数列{an}的前 n项和为 Sn，若 Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，
则 m＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
C [∵{an}是等差数列，Sm－1＝－2，Sm＝0，
∴am＝Sm－Sm－1＝2.
∵Sm＋1＝3，∴am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，
∴d＝am＋1－am＝1.
S m a1＋am m a1＋2 又 m＝ ＝ ＝0，
2 2
∴a1＝－2，∴am＝－2＋(m－1)·1＝2，∴m＝5.]
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例 1-3、在数列{an}中，2an＋1＝an＋an＋2，且 an≠0.若 an－1－a2n＋an＋1＝
0(n≥2)，且 S2n－1＝38，则 n＝( )
A.38 B.20 C.10 D.9
C 解析 (1)在数列{an}中，因为 2an＋1＝an＋an＋2，所以 an＋2－an＋1＝an＋1－
an，
所以数列{an}为等差数列.
由 an－1－a2n＋an＋1＝0(n≥2)，得 2an－a2n＝0，
又 an≠0，解得 an＝2.
又 S2n－1＝38
（2n－1）（a1＋a2n－1），即 ＝(2n－1)an＝38，
2
即(2n－1)×2＝38，解得 n＝10.
例 1-4、已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn，且 a1＋a3＝10，S9＝72，在数列
{bn}中，b1＝2，bnbn＋1＝－2，则 a7b2 020＝________．
a1＋a1＋2d＝10，
解析：方法一：设数列{an}的公差为 d，则由题意，得
9a1＋36d＝72，
a1＝4，
解得 所以 a7＝a1＋6d＝10.因为 b1＝2，bnbn＋1＝－2，所以 b2＝－1，d＝1，
b3＝2，…，由此可知数列{bn}是周期为 2的数列，所以 b2 020＝－1，所以 a7b2
020＝－10.
9（a1＋a9）
方法二：因为 a1＋a3＝2a2＝10，所以 a2＝5.又 S9＝ ＝9a5＝
2
72，所以 a5＝8，设数列{an}的公差为 d，则 d
a5－a2
＝ ＝1，所以 a7＝a5＋2d
3
＝10.因为 b1＝2，bnbn＋1＝－2，所以 b2＝－1，b3＝2，…，由此可知数列{bn}
是周期为 2的数列，所以 b2 020＝－1，所以 a7b2 020＝－10.
答案：－10
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例 1-5、已知等差数列{an} 的前 n项和为 Sn，若 S1010＝1009，S1009＝
1010，则 S2019＝ －2019 ．
解析：设等差数列{an}的前 n项和为 Sn＝An2＋Bn，n∈N*.
S1010＝10102A＋1010B＝1009，①
由题意得
S1009＝10092A＋1009B＝1010，②
①－②，得(10102－10092)A＋(1010－1009)B＝1009－1010，即 2019A
＋B＝－1.
∴S2019＝20192A＋2019B＝2019(2019A＋B)＝－2019.
例 1-6、(多选题)已知数列{an}是公差不为 0的等差数列，前 n项和为 Sn，满
足 a1＋5a3＝S8，则下列选项正确的是( )
A．a10＝0
B．S7＝S12
C．S10的值最小
D．S20＝0
解析：选 AB.设等差数列{an}的公差为 d.由 a1＋5a3＝S8，得 a1＋9d＝0，
即 a10＝0，所以 A正确．因为 S12－S7＝a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝5a10＝0，所
以 B正确．由 a10＝0可知，当 d>0时，S9或 S10的值最小，当 d<0时，S9或
S 19（a1＋a19） 19×2a1010的值最大，所以 C错误．因为 S19＝ ＝ ＝19a10＝0，
2 2
又 a20≠0，所以 S20≠0，所以 D错误．故选 AB.
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例 2-1、 1已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝ ，则 a4 1
a2＋a2a3＋…＋anan
＋1＝( )
A．16(1 －－4 n) B － 32．16(1－2 n) C. (1－4－n) D.32(1 2－－ n)
3 3
答案：C
1 1
解析：由 a5＝ ＝a2·q3＝2·q3，解得 q＝ .又∵a2＝2，∴a1＝4.∵数列{a4 2 n
an
＋1}
1
是等比数列，其首项是 a1a2＝8，公比为 ，∴a1a2＋a4 2
a3＋…＋anan＋1＝
1
n
8 1 4 32
1 1 4
n ．故选 C.
1 3
4
例 2-2、 1 ＋等比数列{an}的前 n项和 Sn＝ ·3n 1＋c(c为常数)，若λan≤3＋S2n恒2
成立，则实数λ的最大值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
答案：C
解析：∵数列{an}是等比数列，∴由 an＝Sn－Sn 1＝3n－ (n≥2)，可得数列
n
{an}的首项和公比均为 3，∴an＝3n.∴数列{an}的前 n S
3（1－3 ）
项和 n＝ ＝
1－3
3 33 ＋ （3
2n－1）
(3n－1)．∵λa 3 S a >0 λ 3＋S2nn≤ ＋2 2n
， n ，∴ ≤ ＝ 2 ，化简得
an 3n
3n 1
λ 3
＋
≤ 3n . 1 10由对勾函数的单调性可知，当 n＝1时，3n＋ n取得最小值 ，2 3 3
λ 3 10∴ max＝ × ＝5，故选 C.2 3
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例 2-3、若一个等比数列的首项为 1，项数为偶数，所有奇数项和为 85，
所有偶数项和为 170，则这个数列的项数为________．
答案：8
解析：设这个数列的项数为 2n，则由等比数列前 n项和的性质可得偶
数项之和比上奇数项之和等于公比 q q 170，∴ ＝ ＝2.
85
a1＝1， 2n
( ) a1（1－q ） a1q（1－q
2n）
法一 把 代入 ＝85或 ＝170，得 n＝4，
q＝2 1－q2 1－q2
∴这个数列的项数为 8.
(法二)∵等比数列的首项为 1，公比为 2，∴简单列举出几项观察：1，2，
4，8，16，32，64，128，…，可以看出前 4个奇数项之和为 1＋4＋16＋64
＝85，前 4个偶数项之和为 2＋8＋32＋128＝170，∴这个数列的项数为 8.
例 2-4、在正项等比数列{an}中，已知 a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，
则 n＝________．
解析：(法一)设数列{an}的公比为 q，由 a1a2a3＝4＝a31q3与 a4a5a6＝12＝
a13q12，可得 q9＝3.∵a －n 1anan 1＝a13q3n 3＝324，∴q3n－6＝81＝34 36－ ＋ ＝q ，∴3n
－6＝36，∴n＝14.
(法二)设数列{an}的公比为 q，
a3n＋1a3n＋2a3n＋3 a3n＋1·a3n＋2 a3n 3∵ ＝ · ＋ ＝q3·q3·q3＝q9，
a3n－2a3n－1a3n a3n－2 a3n－1 a3n
∴数列{a3n－2a3n－1a3n}是公比为 q9的等比数列．
∵a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，∴q9＝3.∵an－1anan＋1＝324，
∴an－1anan＋1＝4×34＝a1a2a3·(q9)4，
∴an－1anan＋1是数列{a3n－2a3n－1a3n}中的第 5项，
∴n＋1＝3×5＝15，即 n＝14.
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例 2-5、数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若 ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝
215－25，则 k等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 ∵a1＝2，am＋n＝aman，
令 m＝1，则 an＋1＝a1an＝2an，
∴{an}是以 a1＝2为首项，2为公比的等比数列，
∴an＝2×2n－1＝2n.
又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，
2k＋1 1－210
∴ ＝215－25，
1－2
即 2k＋1(210－1)＝25(210－1)，
∴2k＋1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4.
例 3-1、设等比数列{an}的前 n项和为 Sn.若 S3，S9，S6成等差数列，且 a8＝3，
则 a5的值为________．
－6 [设等比数列{an}的公比为 q.
∵S3，S9，S6成等差数列，∴2S9＝S3＋S6，且 q≠1.
2a1 1－q9 a1 1－q3 a1 1－q6
∴ ＝ ＋ ，
1－q 1－q 1－q
即 2q6－q3 1－1＝0，∴q3＝－ 或 q3＝1(舍去)．
2
a8 3
∵a8＝3，∴a5＝ 3＝ 1＝－6.]q －
2
例 3-2、设数列 an 是以 2为首项，1为公差的等差数列， bn 是以 1为首项，
2为公比的等比数列，则ab ab ab （ ）1 2 10
A. 1033 B. 2057 C. 1034 D.
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2058
答案：A
思路：求和看通项，考虑an a1 n 1 d n 1,b n 1 n 1n 2 ，所以ab bn n 1 2 1，
ab ab ab 1 2 2n n 2n 1 n ，所以a a a 10331 2 n b1 b2 b10
例 3-3、三个数成等比数列，其乘积为512，如果第一个数与第三个数各减2，
则成等差数列，则这三个数为___________
答案： 4,8,16
a a
思路：可设这三个数为 ,a,aq，则有 a aq=512 a 3 512，解得a 8，而第
q q
8
一个数与第三个数各减 2，新的等差数列为 2,8,8q 2 ，所以有：
q
16 8 2 1 2 8q 2 ，即2q 5 2q 2 5q 2 0，解得q 2或者 q ，q 2
q q 2
1
时，这三个数为4,8,16，当 q 时，这三个数为16,8,4
2
题型二 等差、等比数列的性质
例 4-1、等差数列{an}的前 m项和为 30，前 2m项和为 100，则它的前 3m项
和为 210 ．
解析：(法一)取 m＝1，则 S1＝30，S2＝100，∴a1＝S1＝30，a2＝S2－S1
＝70，∴d＝a2－a1＝40，∴a3＝a2＋d＝110.∴S3＝a1＋a2＋a3＝210.
(法二)设 Sn为等差数列{an}的前 n项和，由等差数列的性质，知 Sm，S2m
－Sm，S3m－S2m成等差数列，∴2(S2m－Sm)＝Sm＋S3m－S2m.由题意知 Sm＝30，
S2m＝100，∴S3m＝3(S2m－Sm)＝210.(法三)设 Sn为等差数列{an}的前 n项和，
Sn Sm S2m S3m S2m
由等差数列的性质，知 n 为等差数列，∴ ， ， 仍为等差数列，∴2×
m 2m 3m 2m
Sm S3m 100 30 S3m
＝ ＋ ，即 2× ＝ ＋ ，解得 S
m 3m 2m m 3m 3m
＝210.
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例 4-2、 1在等差数列{an} 中，若 a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝240，则 a9－ a3 11
的值为( C )
A．30 B．31 C．32 D．33
解析：由等差数列的性质及 a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝240，可得 5a8＝240，
解得 a8＝48. 1 1 2设等差数列{an}的公差为 d，则 a9－ a11＝a8＋d－ (a8＋3d)＝ a3 3 3 8
＝32.故选 C.
例 4-3、已知等差数列{an}，{bn}的前 n项和分别为 Sn，Tn，若对于任意的自
n Sn 2n－3 a3＋a15 a3然数 ，都有 ＝ ，则 ＋ ＝( )
Tn 4n－3 2 b3＋b9 b2＋b10
A.19 B.17
41 37
C. 7 D.20
15 41
A [ a3＋a15 a3 2a9 a3 a9＋a3 a1＋a11＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝
2 b3＋b9 b2＋b10 2 b1＋b11 b1＋b11 b1＋b11 b1＋b11
11 a1＋a11
2 S
＝ 11
2×11－3 19
＝ ＝ ，故选 A.]
11 b1＋b11 T11 4×11－3 41
2
例 4-4、一个等差数列{an}的前 12项的和为 354，前 12项中偶数项的和 S 偶
与前 12 32项中奇数项的和 S 奇之比为 ，则公差 d等于( )27
A．5 B．6 C．10 D．12
S 偶＋S 奇＝354，
S 32 S 偶＝192，A [由题意可知 偶＝ ， 解得 又由等差数列
S 27 S 奇＝162，奇
的性质，可得 S 偶－S 奇＝6d，即 192－162＝6d，解得 d＝5.故选 A.]
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例 5-1、设{an}是等比数列，且 a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则 a6
＋a7＋a8＝( )
A．12 B．24
C．30 D．32
【答案】 (1)D
a2＋a3＋a4
【解析】 (1)方法一：设等比数列{an}的公比为 q，所以 ＝
a1＋a2＋a3
（a1＋a2＋a3）q
＝q＝2，由 a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝a1(1＋2＋22)＝1，解
a1＋a2＋a3
得 a 1 1 11＝ ，所以 a6＋a7＋a8＝a1(q5＋q6＋q7)＝ ×(25＋26＋27)＝ ×25×(1＋27 7 7
＋22)＝32，故选 D.
方法二：令 bn＝an＋an＋1＋an *＋2(n∈N )，则 bn＋1＝an＋1＋an＋2＋an＋3.设数
列{a } bn 1 an 1＋an的公比为 q 则 ＋ ＝ ＋ ＋2＋an＋3 （an＋an＝ ＋1＋an＋2）qn ， ＝q，所
bn an＋an＋1＋an＋2 an＋an＋1＋an＋2
以数列{bn}为等比数列，由题意知 b1＝1，b2＝2，所以等比数列{bn}的公比 q
＝2 －，所以 bn＝2n 1，所以 b6＝a6＋a7＋a8＝25＝32，故选 D.
例 3：已知等比数列 an 中的各项均为正数，且 a10a 511 a9a12 2e ，则
lna1 lna2 lna20 _______
思路：由等比数列性质可得： a10a
5
11 a9a12 ，从而 a10a11 a9a12 e ，因为 an 为
等比数列，所以 lnan 为等差数列，求和可用等差数列求和公式：
lna lna lna 10 lna111 2 lna20 20 10lna10a11 502
答案：50
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例 5-2 、 15 9在 等 比 数 列 an 中 ， 若 a1 a2 a3 a4 ,a2a3 ， 则8 8
1 1 1 1
（ ）
a1 a2 a3 a4
A. 5 B. 5 C. 3 D. 3
3 3 5 5
解：条件与结论分别是 an 的前 4 项和与倒数和，所以考虑设
S4 a1 a2 a3 a ,T
1 1 1 1 S
，则 4 2 34 4 a q a q a q2 a a 9 a1 a2 a3 a T 1 1 1 2 34 4 8
S 5
所以T 44 9
3
8
答案：B
例 5-3、已知正项等比数列{an}的前 n项和为 Sn，且 S8－2S4＝5，则 a9＋a10
＋a11＋a12的最小值为( )
A.25 B.20 C.15 D.10
答案 (2)B
(2)在正项等比数列{an}中，Sn＞0.
因为 S8－2S4＝5，则 S8－S4＝5＋S4，
易知 S4，S8－S4，S12－S8是等比数列，
所以(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)，
2
所以 a9＋a10＋a
（S4＋5） 25 25
11＋a12＝S12－S8＝ ＝ ＋S4＋10≥2 ·S4＋10
S4 S4 S4
＝20(当且仅当 S4＝5时取等号).
故 a9＋a10＋a11＋a12的最小值为 20.
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例 5-4、(多选题)设等比数列 an 的公比为 q,其前 n项和为 Sn ,前 n项积
a
T , 2019
1
为 n 并满足条件a1 1,a2019a2020 1 , 0a 1 ,下列结论正确的是（ ）2020
A．S2019C．T2020是数列 Tn 中的最大值 D．数列 Tn 无最大值
【答案】AB
【解析】当q 0时， a a 22019 2020 a2019 q 0，不成立；
a 1
当q 1时，a 20192019 1,a2020 1， 0a 1 不成立；2020
故0 q 1，且a2019 1,0 a2020 1，故 S2020 S2019， A正确；
a 22019a2021 1 a2020 1 0，故 B正确；
T2019是数列 Tn 中的最大值，CD错误；
故选： AB
题型三 等差、等比数列的判断与证明
例 6-1、若{an}为公差不为 0 的等差数列，则下列数列中仍为等差数列的
有 ．(填序号)
①{an＋an＋1} ②{an2} ③{an＋1－an} ④{2an} ⑤{2an＋n}
⑥{a2n－1} ⑦{a2n}
解析：设等差数列{an}的通项公式为 an＝a1＋(n－1)d，则 an＋1＝a1＋nd，
∴an＋an＋1＝ 2a1＋(2n－1)d＝2nd＋2a1－d，∴{an＋an 2＋1}为等差数列；an＝
[a1＋(n－1)d]2＝d2n2＋(2a1d－2d2)n＋d2＋a21－2a1d，当 d≠0时，显然{an2}不
为等差数列；∵an＋1－an＝d，∴数列{an＋1－an}为常数列；2an＝2a1＋2(n－
1)d＝2dn＋2a1－2d，显然{2an}为等差数列；2an＋n＝2a1＋2(n－1)d＋n＝(2d
＋1)n＋2a1－2d，显然{2an＋n}为等差数列；根据等差数列的性质：每隔相
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同的距离取出一项组成的数列仍为等差数列，可知{a2n－1}，{a2n}均为
等差数列．
例 6-2、已知等比数列{an}的公比为 q，记 bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n
－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1am(n－1)＋2…am(n－1)＋m(m，n∈N*)，则以下结论一定正确的是
( )
A．数列{bn}为等差数列，公差为 qm B．数列{bn}为等比数列，公比为
q2m
C 2．数列{cn}为等比数列，公比为 qm D．数列{cn}为等比数列，公比为
qm
m
答案：C
amn
m 1
解析：∵cn＝(am(n m－1)) q1＋2＋3＋…＋m＝(am(n 2－1) q )m
cn 1
，∴ ＋ ＝ am（n－1 m） ＝cn
(qm)m 2＝ qm ，
2
∴数列{cn}是公比为 qm 的等比数列．故选 C.
例 6-3、如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋
2|，An≠An *＋2，n∈N ，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn *＋2，n∈N .(P≠Q表示点 P
与 Q不重合)若 dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则( )
A．{Sn}是等差数列 B．{S2n}是等差数列
C．{dn}是等差数列 D．{dn2}是等差数列
A [先将 Sn用已知线段的长表示出来，再利用等差数列的定义判断．
作 A1C1，A2C2，A3C3，…，AnCn垂直于直线 B1Bn，垂足分别为 C1，C2，
C3，…，Cn，则 A1C1∥A2C2∥…∥AnCn.
∵|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，∴|CnCn＋1|＝|Cn＋1Cn＋2|.
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设|A1C1|＝a，|A2C2|＝b，|B1B2|＝c，
则|A3C3|＝2b－a，…，|AnCn|＝(n－1)b－(n－2)a(n≥3)，
∴S 1n＝ c[(n－1)b 1－(n－2)a]＝ c[(b－a)n＋(2a－b)]，2 2
∴Sn＋1－S
1
n＝ c[(b－a)(n 1＋1)＋(2a－b)－(b－a)n－(2a－b)]＝ c(b－a)，2 2
∴数列{Sn}是等差数列．]
例 6-4、(多选题)若 Sn为数列{an}的前 n项和，且 Sn＝2an+1，（n∈N*），
则下列说法正确的是（ ）
A．a5＝﹣16 B．S5＝﹣63
C．数列{an}是等比数列 D．数列{Sn+1}是等比数列
【答案】AC
【解析】：∵Sn＝2an+1，（n∈N*），
∴①当 n＝1时，a1＝S1＝2a1+1，∴a1＝﹣1，
②当 n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an+1﹣2an﹣1﹣1，∴2an﹣1＝an，∴ ，
∴数列{an}是首项为﹣1，公比为 2的等比数列，故选项 C正确，
∴ ，
∴ ， ，故选项 A正确，选项 B错误，
又∵ ，∴数列{Sn+1}不是等比数列，故选项 D错误，
故选：AC．
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例 6-5、 3 3a已知数列 an 的首项a n 1 ,a ,n N ．5 n 1 2an 1
1
求证：数列 1 为等比数列
a

n
思路一：构造法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证
1
的数列存在 这样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数：
an
a 3an 1 2an 1n 1 2an 1 an 1 3an
1 2 1 1 2 1 1 1
即 ，在考虑构造“ 1”： 1 1 1a n 1 3 3an an 1 3 3an 3 an
1 1 1即数列 是公比为 的等比数列
an 3
1
思路二：代入法：将所证数列视为一个整体，用bn表示：bn 1，则只需an
证明 bn 是等比数列即可，那么需要关于bn的条件（首项，递推公式），所
以用bn将an表示出来，并代换到an的递推公式中，进而可从bn的递推公式出
发，进行证明
1 1
解：令bn 1，则aa n

n bn 1
3
1 b 1 1 3
递推公式变为： n
bn 1 1 2 1 1 bn 1 1 bn 3
bn 1
1
bn 3 3bn 1 3 bn 1 b3 n
1 1
bn 是公比为 的等比数列。即数列 1 为等比数列3 an
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例 6-5、已知数列 an 满足：a1 6,an 1an 6an 1 9 0,n N 且n 2，求证：
1
为等差数列
a

n 3
1
解：设bn ，则a
1
n 3代入an 1an 6a 9 0可得：an 3 b
n 1
n
1 1
3 3
1
6 3 9 0
bn 1 bn bn 1
1 3 3 6
9 18 9 0
bn 1bn bn 1 bn bn 1
1 3 3 1
0 b b
b b b b n n 1

n 1 n n 1 n 3
b 1 n 为等差数列，即 为等差数列
an 3


例 6-7、已知曲线C : xy 1，过C 1上一点 An xn , yn 作一斜率为 kn 的直线xn 2
交曲线C于另一点 An 1 xn 1, yn 1 （ xn xn 1且 xn 0，点列 An 的横坐标构成数
列 x 11n ，其中 x1 .7
（1）求 xn与 xn 1的关系式；
1 1
（2）令bn ，求证：数列 bn 是等比数列；xn 2 3
1 1
解：（1）曲线C : y l : y yn x x x x nn 2
1
yn 1
xn 1

yn 1 y
1
n xn 1 xn xnxn 1 x 2
xn 2
n

y 1 n
xn
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1 1 1
（2）bn xn x 1
2，代入到递推公式中可得：
n 2 3 bn 3

1 2 1 1 1 1 2 b 1
2 2
n b b 3 n 1 3 n 3
2b 1n 2b
1

3 n 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 2bn 2b3 n 1
=b3 n 1
4 b b
b b 3
n 3 n 1 3
n 3 n 1
b
3 n

3
4b b 2 b b 1 b 1 4 4n n 1 n n 1 n 1 4bnbn 1 bn bn 1 3 9 3 3 9
2
bn bn 1 b
4
3 n 1
b
3 n
bn 1
bn 1 2bn bn 是公比为 2的等比数列
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