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2024河南中考数学复习
二次函数的对称性、增减性及最值 强化精练
1. 已知抛物线y＝x2＋bx－5经过点A(－1，0).
(1)求抛物线的对称轴；
(2)当t≤x≤t＋1时，抛物线的最小值为7，求t的值．
【解题关键点】 根据当t≤x≤t＋1时,抛物线的最小值为7判断出t与t＋1在抛物线对称轴的同侧是解题的关键．
2. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋(2m－6)x＋1(a≠0)经过点(1，2m－4).
(1)求a的值；
(2)求抛物线的对称轴(用含m的式子表示)；
(3)点(－m，y1)，(m，y2)，(m＋2，y3)在抛物线上，若y2＜y3≤y1，求m的取值范围．
3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c 与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)点M是抛物线上一点，且到y轴的距离小于4，求出点M的纵坐标yM的取值范围；
(3)若M(3n－4，y1)，N(5n＋6，y2)分别为抛物线上在对称轴两侧的点，且y1＞y2，请直接写出n的取值范围．
第3题图
【解题关键点】 分类讨论点M(或点N)在对称轴左侧或点M(或点N)在对称轴右侧．
4. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于A(1，0)，B两点，与y轴交于点C，OC＝OB.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若D(m，y1)，E(n，y2)为抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)上两点(m＜n)，M为抛物线上点D和点E之间的动点(含点D，E)，点M的纵坐标的取值范围为－≤yM≤3，求m＋n的值．
第4题图
参考答案与解析
1. 解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx－5经过点A(－1，0)，
∴(－1)2－b－5＝0，解得b＝－4，
∴抛物线的解析式为y＝x2－4x－5，
∴抛物线的对称轴为直线x＝－＝2；
(2)将x＝2代入抛物线y＝x2－4x－5中，得y＝22－4×2－5＝－9，
∵当t≤x≤t＋1时，抛物线的最小值为7,
∴t与t＋1在对称轴同侧，
①当t＜t＋1＜2时，即t＜1，
抛物线在t＋1处取得最小值，将x＝t＋1，代入y＝x2－4x－5中，得7＝(t＋1)2－4(t＋1)－5，解得t＝5(舍)或t＝－3，
②当2＜t＜t＋1时，t＞2，
∴在t处取得最小值，代入y＝x2－4x－5中，得7＝t2－4t－5，解得t＝6或t＝－2(舍)，
综上所述，t的值为－3或6.
2. 解：(1)∵抛物线y＝ax2＋(2m－6)x＋1经过点(1，2m－4)，
∴a＋(2m－6)＋1＝2m－4，
解得a＝1；
(2)∵a＝1，
∴y＝x2＋(2m－6)x＋1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝－＝3－m；
(3)当m＞0时，可知－m∵y2＜y3≤y1，
∴，解得1＜m≤2；当m≤0时，∴m≤－m＜3－m，即(－m，y1)，(m，y2)皆在对称轴左侧，∴y2≥y1，不合题意，
综上，m的取值范围是1＜m≤2.
3. 解：(1) ∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，
∴y＝－(x－1)2＋4,
∴抛物线的顶点坐标为(1，4)；
(2)∵点M到y轴的距离小于4，∴－4＜x＜4，
∵－1＜0，且抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线的开口向下，
∴当x＝1时，抛物线y＝－x2＋2x＋3取得最大值，最大值为4；
当x＝－4时，y＝－21；当x＝4时，y＝－5，
∴点M的纵坐标yM的取值范围是－21＜yM≤4；
(3)0＜n＜.
【解法提示】当点M在对称轴直线x＝1的左侧，点N在对称轴直线x＝1的右侧时，由题意得，解得－1＜n＜，∵y1＞y2，∴1－(3n－4)＜5n＋6－1，解得n＞0，∴0＜n＜；当点N在对称轴直线x＝1的左侧，点M在对称轴直线x＝1的右侧时，由题意得，该不等式组无解．综上所述，n的取值范围为0＜n＜.
4. 解：(1)∵抛物线与y轴交于点C，
∴C(0，3)，
∵OC＝OB，
∴B(－3，0)，
将点B(－3，0)，A(1，0)代入抛物线y＝ax2＋bx＋3，得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3；
(2)∵点M纵坐标的取值范围为－≤yM≤3，
∴将y＝－代入抛物线解析式，得－x2－2x＋3＝－，
解得x1＝－，x2＝，
得点(－，－)，(，－)，
将y＝3代入抛物线解析式，得－x2－2x＋3＝3，
解得x3＝－2，x4＝0，
得点(－2，3)，(0，3)，
如解图①，∵m＜n，－≤yM≤3，
∴m＝0，n＝，
∴m＋n＝0＋＝，
如解图②，∵m＜n，－≤yM≤3，
∴m＝－，n＝－2，
∴m＋n＝－－2＝－，
综上所述，m＋n＝或－.
图① 图②
第4题解图2024河南中考数学复习
二次函数与线段、面积问题 强化精练
1. (一题多设问)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋2(a≠0)与x轴交于A(－2，0)，B(4，0)两点，与y轴交于C点，连接直线BC.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求BC的长；
(3)若点P为直线BC上方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交x轴于点Q，交直线BC于点M.
①求PM的最大值；
②当PQ＝2QM时，连接CQ，求△QBC的面积．
第1题图
2.(一题多设问)如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c过M(0，5)，N(4，5)两点，与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧).
(1)求b，c的值；
(2)若抛物线对称轴上有一点C，连接AC，MC，求AC＋MC的最小值，并求出此时点C坐标；
(3)连接BM，在线段BM上方的抛物线上有一点D，连接DM，BD，设点D的横坐标为t，请求出S△BDM关于t的函数解析式，并求出S△BDM的最大值；
(4)在(3)的条件下，连接AM，请判断是否存在点D，使得S△ABM＝S△BDM，并说明理由．
第2题图
参考答案与解析
1. 解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋2(a≠0)与x轴交于A(－2，0)，B(4，0)两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2；
(2)∵抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2，
∴C(0，2)，
∴BC＝＝2；
(3)①设直线BC的解析式为y＝kx＋m(k≠0)，
将B，C两点的坐标代入直线BC的解析式得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝－x＋2，
设P(x，－x2＋x＋2)，则M(x，－x＋2)，
∴PM＝－x2＋x＋2－(－x＋2)＝－x2＋x＝－(x－2)2＋1，
∵－<0，0∴当x＝2时，PM取得最大值，最大值为1；
②由①可得PQ＝－x2＋x＋2，QM＝－x＋2，
∵PQ＝2QM，
∴－x2＋x＋2＝2(－x＋2)，解得x1＝2，x2＝4(舍去)，
∴OQ＝2，BQ＝2，∴S△QBC＝2×2×＝2.
2. 解：(1)∵M(0，5)，N(4，5)两点在抛物线y＝－x2＋bx＋c上，
∴c＝5，M，N关于抛物线对称轴对称，
抛物线的对称轴为直线x＝－＝＝2.
∴b＝4，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋5，b＝4，c＝5；
(2)如解图①，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，连接BC，BM，
∴BC＝AC，
∴AC＋MC＝BC＋MC≥BM，当B，C，M三点共线时，AC＋MC取得最小值，最小值为BM的长，
令y＝－x2＋4x＋5＝0，解得x1＝－1，x2＝5 ，
∴A(－1，0)，B(5，0)，
∴BM＝＝5；
设直线BM的解析式为y＝kx＋m(k≠0)，
∴将B，M两点的坐标代入直线BM的解析式得，
解得，
∴直线BM的解析式为y＝－x＋5，
由于点C是抛物线对称轴上一点，
∴当x＝2时，y＝3，
∴AC＋MC的最小值为5，此时点C坐标为(2，3)；
第2题解图①
(3)如解图②，过点D作x轴的垂线交BM于点F，
∵点D是抛物线上一点，且横坐标为t，
∴D(t，－t2＋4t＋5)，F(t，－t＋5)，
∴DF＝－t2＋4t＋5－(－t＋5)＝－t2＋5t＝－(t－)2＋，
∴S△BDM＝DF·OB＝×[－(t－)2＋]×5＝－(t－)2＋，∵－<0，0第2题解图②
(4)存在，理由如下：
S△ABM＝AB·OM＝×6×5＝15，若S△ABM＝S△BDM＝－(t－)2＋＝15，解得t＝2或t＝3，
∴存在点D，使得S△ABM＝S△BDM.2024河南中考数学复习
二次函数与直线、线段的交点问题 强化精练
1. 如图，抛物线y＝ax2－4x＋c(a≠0)经过点A(2，－2)，且当x＝1时，函数y有最小值．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点B的坐标为(－3，－4)，点B关于原点的对称点为B′，C是抛物线对称轴上一动点，若抛物线在直线BB′下方的部分与直线BC有公共点，求点C纵坐标yC的取值范围．
第1题图
【解题关键点】 两个临界点,①点C为抛物线的顶点；②点C为直线BB′与抛物线对称轴的交点(不包含交点).
2.如图，二次函数y＝x2＋ax＋b的图象与直线y＝－x＋3的图象交于A，B两点，点A的坐标为(m，7)，点B的坐标为(1，n).
(1)求二次函数y＝x2＋ax＋b的解析式；
(2)M是直线AB上的动点，过点M作线段PQ(点P在点Q的左侧)平行x轴，PQ＝2，M是PQ的中点．将点M沿直线AB平移，若线段PQ与抛物线无交点，请求出点M的横坐标t的取值范围．
第2题图
【解题关键点】 需分两种情况讨论：①点Q在抛物线上时,②点P在抛物线上时,分别求出t值,利用数形结合确定范围．
3. 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线y＝x＋c－2交于A，B两点(点A在点B的左侧)，该抛物线的对称轴是直线x＝1.
(1)若点(3，－2)在该抛物线上，求抛物线y＝－x2＋bx＋c的解析式；
(2)当－2≤x≤2，且c＝2时，求抛物线y＝－x2＋bx＋c的最大值与最小值的差；
(3)已知M是直线AB上的动点，将点M向上平移2个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线有公共点，请直接写出点M的横坐标m的取值范围．
第3题图
【解题关键点】 用点M的横坐标m表示M,N的坐标,利用MN＝2得到关于m的一元二次方程是解题的关键．
4. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2(a≠0)交y轴于点C，交x轴于A(－1，0)，B(4，0)两点，作直线BC.
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点P，使PC＋PA的值最小，求点P的坐标；
(3)D是直线BC上的动点，将点D沿直线BC向上平移4个单位长度得到点E，若线段DE与抛物线有2个交点，请直接写出点D的横坐标xD的取值范围．
第4题图
【解题关键点】 分两种情况讨论：①点B与点D重合；②点E与点C重合．
参考答案与解析
1. 解：(1)∵当x＝1时，函数y有最小值，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴－＝1，解得a＝2，
∵抛物线过点A(2，－2)，
把点A(2，－2)代入抛物线y＝2x2－4x＋c中，得c＝－2，
∴抛物线的解析式为y＝2x2－4x－2；
(2)由题意得B′(3，4)，
∵当x＝1时，y＝2x2－4x－2＝－4，
∴抛物线顶点坐标为(1，－4)，
又∵点C在抛物线的对称轴直线x＝1上，
∴当点C的纵坐标为－4时，直线BC∥x轴，
如解图，直线BC与直线BB′下方抛物线只有一个公共点C；
第1题解图
当点C的纵坐标小于－4时，直线BC与直线BB′下方抛物线无公共点，
∵直线BB′经过原点，
设直线BB′的解析式为y＝kx(k≠0)，
把点B(－3，－4)代入y＝kx中，得－3k＝－4，
解得k＝，
∴直线BB′的解析式为y＝x，
当x＝1时，y＝，
∴点C纵坐标yc的取值范围为－4≤yC＜.
2. 解：(1)根据题意可知，点A，B在直线y＝－x＋3上，将A(m，7)，B(1，n)代入y＝－x＋3，
得m＝－4，n＝2，
∴A(－4，7)，B(1，2)，
∵点A，B在抛物线y＝x2＋ax＋b上，
∴把点A(－4，7)，B(1，2)代入抛物线y＝x2＋ax＋b，得，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2＋2x－1；
(2)∵点M的横坐标为t，
M在直线AB上，则点M的坐标为(t，－t＋3)，
∵PQ∥x轴，PQ＝2，且M为PQ的中点，
∴点P的坐标为(t－1，－t＋3)，点Q的坐标为(t＋1，－t＋3)，
如解图①，当点Q恰好在抛物线上时，
将Q(t＋1，－t＋3)代入y＝x2＋2x－1得t＝或t＝，
此时线段PQ与抛物线恰好有一个交点，
如解图②，当点P恰好在抛物线上时，
将P(t－1，－t＋3)代入y＝x2＋2x－1得t＝或t＝，
此时线段PQ与抛物线恰好有一个交点，∴当t＜或＜t＜或t＞时，线段PQ与抛物线无交点．
图① 图②
第2题解图
3. 解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c过点(3，－2)，对称轴为直线x＝1，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋1；
(2)∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴＝1，故b＝2，当c＝2，b＝2时，y＝－x2＋2x＋2＝－(x－1)2＋3.
∵－1＜0，∴函数图象开口向下，
∴当x＝1时，y有最大值3.
当－2≤x≤2时，结合函数图象，当x＝－2时，y有最小值－6，
∴抛物线y＝－x2＋bx＋c的最大值与最小值的差为3－(－6)＝9；
(3)点M的横坐标m的取值范围为－1≤m≤0或1≤m≤2.
【解法提示】设点N在抛物线上，N(m，－m2＋2m＋c)，M(m，m＋c－2)，则yN－yM＝2，即－m2＋2m＋c－(m＋c－2)＝2，解得m1＝0，m2＝1.当－x2＋2x＋c＝x＋c－2，整理得x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.∵点A在点B的左侧，∴点A的横坐标为－1，点B的横坐标为2.结合图象，当线段MN与抛物线有公共点时，点M的横坐标m的取值范围为－1≤m≤0或1≤m≤2.
4. 解：(1)设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－4)＝a(x2－3x－4)，
由题可知抛物线过点(0，2)，
则－4a＝2，解得a＝－，
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋2；
(2)由抛物线的表达式可知，其对称轴为直线x＝，
设直线BC的表达式为y＝kx＋2(k≠0)，
将点B的坐标代入上式得0＝4k＋2，解得k＝－，
则直线BC的表达式为y＝－x＋2；
∵点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，
点P为对称轴上一点．
∴PA＝PB，
∴PC＋PA＝PC＋PB，要使PC＋PB的值最小，则P，C，B三点共线，∴BC与抛物线对称轴的交点即为点P，如解图①，
当x＝时，y＝－x＋2＝，
即点P(，)；
第4题解图①
(3)点D横坐标的取值范围为4≤xD≤8.
【解法提示】由题可知，点B，C的坐标分别为(4，0)，(0，2)，∴BC＝2，设点D的坐标为(t，－t＋2)，由题可知BC＝2，DE＝4，由相似可得xE－xD＝2(xC－xB)＝8，则点E的坐标为(t－8，－(t－8)＋2)，如解图②，当点B与点D重合时，线段DE与抛物线有两个交点，即t＝4；如解图③，当点E与点C重合时，线段CD与抛物线有两个交点，即t－8＝0，故t＝8，∴当线段DE与抛物线有两个交点时，点D横坐标的取值范围为4≤xD≤8.
图② 图③
第4题解图

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