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2
27世纪载自
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*3
垂径定理
。
3
学习泪标
1.会利用圆的轴对称性证明垂径定理，掌握垂
径定理及其推论
回在纸上用圆规画一个
2.会应用垂径定理及其推论解决有关问题，
圆，再画这个圆的任意
3.在经历探索与证明垂径定理的过程中，进一步
一条弦，过圆心作垂直
体会和理解研究几何图形的各种方法
于这条弦的直径，仔细
温故知新
观察你发现了什么？与
1.勾股定理：在Rt△ABC中，∠C=90°，则AC2+
同伴交流并设法验证你
BC2=AB2.
的结论
2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
所对的弦相等。
课堂直播间
鹿免所不的你
垂径定理
是直径，也可以是半径，甚至可以是过圆心的
垂径定理：垂直于弦的直径平分
直线或线段，
这条弦，并且平分弦所对的弧，
例①如图，⊙0的直径
识多一点点(1)一条弦所对的弧有两条：
为10cm,弦AB
=
优孤和劣孤（直径所对的是两条半圆孤），定理
0
中“平分弦所对的孤既平分优孤也平分劣孤
6cm,求圆心0到弦
B
(2)垂径定理用几何语言表示：
AB的距离.
分析过点O作OM⊥AB于点M,则
◇
垂线段OM即是点O到AB的距离，
动画演示
由垂径定理可知，AM=3AB.连接
OA,构造出Rt△AOM,运用勾股定
如图，在⊙O中，
理即可求出OM的长度」
CD是直径，CD⊥AB,
∴.AE=BE,AC=BC,AD=D
解 如图，连接OA,过点O作OM⊥
(3)上述定理中的“垂直于孩的直径可以
AB于点M,由垂径定理可得AM=
×配北师大版数学九年级下1159
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AB=3 cm.
(3)垂径定理的推论与垂径
定理比较，只是把条件和结论的
位置互换了，实际上，在垂径定理视频讲解
的这五个内容中，只要任意两个成立，就能推
出其余三个也是成立的，也就是说：①过圆心；
B
②垂直于弦；③平分弦：④平分弦所对的劣孤：
,⊙O的直径为10cm,
⑤平分弦所对的优孤，知二推三注意：当①③
成立时，③足一条非直径的弦，
.0A=7×10=5(cm).
(4)在根据垂径定理及
其推论进行计算时，常涉及
在Rt△OAM中，OM=√/OA2-AM2
弦长a,弦心距d(圆心到孩
=/52-32=4(cm),
的距离)，半径r及弓形高h
(弦所对的弧的中点到弦中点的距离)这四者
,.圆心O到弦AB的距离为4cm,
之间的关系.如图所示，它们之间的关系为
解题有妙招在圆中，常常作出弦心距，连
=d+(号）r=d+h.
接半径，构造一个由半径，弦心距，弦的一半国
成的直角三角形，通过解直角三角形来求圆
例②下列说法中，正确的是(
中线段的长。
A.过弦的中，点的直线平分弦所对的
【即学即试】见P162各个击破
两条弧
2
垂径定理的推论
B.弦的垂直平分线平分它所对的两
章
平分弦（不是直径）的直径垂直
条弧，但不一定过圆心
于弦，并且平分弦所对的弧.
C.过弦中点的直径平分弦所对的两
条弧
学霸笔记。
(1)注意平分的弦是一条非直径的滋，如
D.平分弦所对的两条弧的直线平
果是直径就不成立了.
分弦
(2)垂径定理的推论用
解析过弦的中点的直线有无数条，
几何语言表示：
只有一条平分弦所对的两条孤，选项
如图，在⊙0中，
A错误；弦的垂直平分线一定过圆
CD是直径，弦AB
不是直径，AE=BE,
心，选项B错误；选项C忽略了被平
∴.CDIAB,AC=C,AD=D
分的弦是非直径的条件，选项C错
1601配北师大版数学九年级下
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九年级
数
2m=65-x-1,
5A解析若这个点在圆外，则直径d=9一4
学
m=65-x
5(cmr=号（cm);若这个点在圆内，则
x,m都是非负数，
直径d=9十4=13(cm.=号=号(am.故
.取x=26时，m=13,65-x-m=26.
考答
即当x=26时，W最大值=3198.
此圆的半径为2.5cm或6.5cm
答：安排26人生产乙产品时，可获得的最大
6点P在⊙O内
鲜析因为关于x的一元二次
利润为3198元.
方程x2一2x十m=0有两个不相等的实数根，
第三章
圆
所以有（一2）2一4m>0,解得1<1.又知⊙O
的半径r=1,所以m圆
7懈回如图，过点P作PDE
“极速特训营
⊥AB,垂足为D.由题
意可得，∠APD=30°，
1C解析根据图的定义对各选项进行判断：
∠BPD=45.
A.点O为圆心，半径不确定，故不能确定圆：
设AD=x,在Rt△APD中，PD=√3x
B.2cm长为半径，圆心不确定，故不能确定圆；
C.以点O为圆心，以5cm长为半径可确定圆；
在Rt△PBD中，BD=PD=√3x,
D.经过点A,故圆心和半径都不能确定，故不
∴3.x十x=100,解得x=50(W3-1),
能确定圆，
∴.PD=3.x=50(3-√3)≈63.4>50.
2解E矩形的四个顶点能在同
,森林保护区的中心与直线AB的距离大于
个圆上.如图，设AC,BD
保护区的半径，∴.计划修筑的这条高速公路
的交点为O,则点O是这个
不会穿过保护区
圆的圆心
2圆的对称性
证明如下：四边形ABCD是矩形，
..0A=OC=OB=OD.
极速特训营
∴.点A,B,C,D在以点O为圆心，OA为半径
1D2B3C4125
的圆上
5证明脸AC=C,
3D
∴.∠AOC=∠BOC,
4C解析.在△ABC中，
∴.∠AOE=∠BOE.
∠ACB=90°，AB=5,BC=4,
,OA,OB是⊙O的半径，
.AC=√AB-BC2=3,
..OA=OB.
点C在⊙A内且点B在⊙A外，
又OE=OE,
∴AC.△AOE≌△BOE,
知，只有选项C符合
∴.AE=BE.
2741配北师大版数学九年级下，
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九牛级
6解如图，作点A关于MN的对称点A',连接
∴.AC=OC
A'B,交MN于点P,则点P即为所求.连接
同理BD=OD.
学
OA',OB,PA,AM',则∠A'ON=∠AON=
又OC=OD,.AC=BD,
60°，PA=PA'
∴AC=BD
,点B是N的中点，∴∠BON=30°，
8证明E如图，作OM⊥BD于点M,ON⊥CE于
∴.∠A'OB=∠A'ON+∠BON=90.
点N
参考答案
又，OB=OA'=1,A'B=√2，
∴.PA+PB=PA'+PB=A'B=√2
即PA十PB的最小值为√2.
B
,AO平分∠DAE,.OM=ON,
∴.BD=CE
,OM⊥BD,ON⊥CE,
7证明E方法1：如图，连接OC,OD,则OC
MB=DB.NC-CE..MB=NC.
=OD.
∠AMO=∠ANO.
在△AMO和△ANO中，∠MAO=∠NAO.
OA=OA,
B
∴.△AM≌△ANO,.AM=AN,
∴.AB=AC
3
垂径定理
0A=0B,且0M=0A.0N=0B,
·极速特训营
∴.OM=ON.又，CM⊥AB,DN⊥AB,
.Rt△COM≌R1△DON,
1B
解析，AB是⊙O的直径，AB⊥CD,
.∠COM=∠DON,
CE=2CD-12∠0BC=90,
∴.Ac-D.
方法2：如图，连接AC,BD,OC,OD.
2AB=13,
cos∠0E-票=最故选B
22√3
3解如图所示，过点O作OP⊥AB,垂足为P,
连接AO,
M是AO的中点，且CMLAB,
OP过圆心，OP⊥AB,
<配北师大版数学九年级下1275
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