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27世纪戴自
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九年级
数
2m=65-x-1,
5A解析若这个点在圆外，则直径d=9一4
学
m=65-x
5(cmr=号（cm);若这个点在圆内，则
x,m都是非负数，
直径d=9十4=13(cm.=号=号(am.故
.取x=26时，m=13,65-x-m=26.
考答
即当x=26时，W最大值=3198.
此圆的半径为2.5cm或6.5cm
答：安排26人生产乙产品时，可获得的最大
6点P在⊙O内
鲜析因为关于x的一元二次
利润为3198元.
方程x2一2x十m=0有两个不相等的实数根，
第三章
圆
所以有（一2）2一4m>0,解得1<1.又知⊙O
的半径r=1,所以m圆
7懈回如图，过点P作PDE
“极速特训营
⊥AB,垂足为D.由题
意可得，∠APD=30°，
1C解析根据图的定义对各选项进行判断：
∠BPD=45.
A.点O为圆心，半径不确定，故不能确定圆：
设AD=x,在Rt△APD中，PD=√3x
B.2cm长为半径，圆心不确定，故不能确定圆；
C.以点O为圆心，以5cm长为半径可确定圆；
在Rt△PBD中，BD=PD=√3x,
D.经过点A,故圆心和半径都不能确定，故不
∴3.x十x=100,解得x=50(W3-1),
能确定圆，
∴.PD=3.x=50(3-√3)≈63.4>50.
2解E矩形的四个顶点能在同
,森林保护区的中心与直线AB的距离大于
个圆上.如图，设AC,BD
保护区的半径，∴.计划修筑的这条高速公路
的交点为O,则点O是这个
不会穿过保护区
圆的圆心
2圆的对称性
证明如下：四边形ABCD是矩形，
..0A=OC=OB=OD.
极速特训营
∴.点A,B,C,D在以点O为圆心，OA为半径
1D2B3C4125
的圆上
5证明脸AC=C,
3D
∴.∠AOC=∠BOC,
4C解析.在△ABC中，
∴.∠AOE=∠BOE.
∠ACB=90°，AB=5,BC=4,
,OA,OB是⊙O的半径，
.AC=√AB-BC2=3,
..OA=OB.
点C在⊙A内且点B在⊙A外，
又OE=OE,
∴AC.△AOE≌△BOE,
知，只有选项C符合
∴.AE=BE.
2741配北师大版数学九年级下，
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九牛级
6解如图，作点A关于MN的对称点A',连接
∴.AC=OC
A'B,交MN于点P,则点P即为所求.连接
同理BD=OD.
学
OA',OB,PA,AM',则∠A'ON=∠AON=
又OC=OD,.AC=BD,
60°，PA=PA'
∴AC=BD
,点B是N的中点，∴∠BON=30°，
8证明E如图，作OM⊥BD于点M,ON⊥CE于
∴.∠A'OB=∠A'ON+∠BON=90.
点N
参考答案
又，OB=OA'=1,A'B=√2，
∴.PA+PB=PA'+PB=A'B=√2
即PA十PB的最小值为√2.
B
,AO平分∠DAE,.OM=ON,
∴.BD=CE
,OM⊥BD,ON⊥CE,
7证明E方法1：如图，连接OC,OD,则OC
MB=DB.NC-CE..MB=NC.
=OD.
∠AMO=∠ANO.
在△AMO和△ANO中，∠MAO=∠NAO.
OA=OA,
B
∴.△AM≌△ANO,.AM=AN,
∴.AB=AC
3
垂径定理
0A=0B,且0M=0A.0N=0B,
·极速特训营
∴.OM=ON.又，CM⊥AB,DN⊥AB,
.Rt△COM≌R1△DON,
1B
解析，AB是⊙O的直径，AB⊥CD,
.∠COM=∠DON,
CE=2CD-12∠0BC=90,
∴.Ac-D.
方法2：如图，连接AC,BD,OC,OD.
2AB=13,
cos∠0E-票=最故选B
22√3
3解如图所示，过点O作OP⊥AB,垂足为P,
连接AO,
M是AO的中点，且CMLAB,
OP过圆心，OP⊥AB,
<配北师大版数学九年级下1275
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27世纪载自
7
切线长定理
学习泪标
1.掌握切线长的概念
2.理解并掌握切线长定理和圆外切四边形的性质
3.会用切线长定理进行有关的计算和证明
回如图是一个测量圆半
瘟故知新
径的工具，利用这个工具
我们可以很快地知道一
1.直线和圆的三种位置关系：相离，相切，相交
个圆的半径，甚至圆柱、
2圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点
球的半径也能很轻松的
的半径.
测出来，你知道它的依据
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.
是什么吗？我们学习了
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过
本节课的知识：你就明白
圆心
其中的道理了
课堂直播间
造就免所不能的你
1切线长和切线长定理
①由切线长定理，得PA=PB.
(1)切线长定义：过圆外一点画
②由切线的性质定理，得OA⊥PA,
圆的切线，这点和切点之间的线段长
OB⊥PB.
叫做这点到圆的切线长，
③图中相等的角有∠1=∠2，∠3=∠4，
(2)切线长定理：过圆外一点画
∠5=∠6，∠7=∠8，∠PAO=∠PB0=
∠PCA=∠PCB=90.
圆的两条切线，它们的切线长相等.
④图中的全等三角形有△PAC≌
学霸笔配。
△PBC,△AO≌△BOC,△POA≌△POB.
(1)如图，P为⊙O外一点，PA,PB是
(2)切线与切线长的区别：它们是两个不
⊙O的两条切线，点A,B为切点，直线PO交
同的概念，切线是直线，不能度量：切线长是线
弦AB于点C,交⊙O于点D,E,则
段的长，这条线段的两个端点分别是圆外
点和切点，可以度量
E
例①如图，PA,PB,CD分别切⊙O于
点A,B,E,己知PA=6.
1921配北师大版数学九年级下，
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27世纪戴自

∠BDC,
可
视频讲解
.∠COD=180°-∠OCD-∠ODC
180-∠ACD-2∠BDC=
(1)求△PCD的周长.
(2)求证：∠C0D=90°-2∠P
180°-7(180°-∠PCD)-2(180
分析(1)图中有三个分别从点P,C,
∠PDC)=(∠PCD+∠PDC
D出发的切线长的基本图形，因此可
2180°-∠P)=90°-7∠P.
以用切线长定理实现线段的等量转
解题有妙招(1)运用切线长定理时，首先
化；(2)∠COD为△PCD两外角平
要找出基本的图形结构，在题图中有三个基
分线的夹角.
本图形结构，分别是从点P引两条切线，从点
(1)解，'CA,CE分别与⊙O相切
C引两条切线和从点D引两条切线
于点A,E,.CA=CE
(2)切线长定理是证线段相等，角相等，孤
·DE,DB分别与⊙O相切于点E,
相等常用的定理
B,.'.DE=DB.
【即学即试】见P197各个击破一
PA,PB分别与⊙O相切于点
2
圆外切四边形
A,B,
四边形的四条边都与圆相切，把
.PA=PB,
这个四边形叫做圆外切四边形，把这
∴.△PCD的周长为PC+CD+PD
个圆叫做四边形的内切圆，如图所
=PC+CE+DE+PD-PC+CA+
示，四边形ABCD是⊙O的外切四
DB+PD=PA+PB=2PA=12.
边形，⊙O是四边形ABCD的内
(2)l证明照.PA,PB,CD分别切⊙O
切圆.
于点A,B,E,
·∠0CD=2
∠ACD,∠ODC=
视频讲解
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