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2
圆的对称性
学习泪标
1.掌握圆的轴对称性和中心对称性及相关的
性质，明白圆在变化中的特点
2.理解圆心角、孤、弦之间的关系定理及其推论
3.会利用圆心角、弧、弦之间的关系定理及其推
论解决实际问题。
回上图是轴对称图形
吗？如果是，它的对称
鼎故知新
轴是什么？你能找到多
1.轴对称图形：如果一个平面图形沿某一条直线
少条对称轴？
折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这
个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
2.中心对称图形：在平面内，把一个图形绕某个点
旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形
重合，这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫
做它的对称中心
课堂直播间
验就尼所不能的你
1
圆的对称性
直线是圆的对称轴，
(1)圆是轴对称图形，其对称轴
(2)过圆心的直线有无数条，所以圆有无
是任意一条过圆心的直线.
数条对称轴。
(3)国既是轴对称 形又是中心对称
(2)圆是中心对称图形，对称中
图形
心为圆心
(3)圆具有旋转不变性.一个圆
例①下列说法中，正确的有
绕它的圆心旋转任意一个角度，都能
个
与原来的图形重合.由此可见，圆的
①每一条直径都是圆的一条对称轴：
中心对称性是旋转不变性的特例，
②圆既是轴对称图形又是中心对称
识多一点点(1)圆的对称轴是直线，不能
图形；③圆绕圆心旋转58°能与原来
说直径是它的对称轴，而应该说直径所在的
的圆重合；④我们前面学行四
1541配北师大版数学九年级下·
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27世纪载自
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边形，矩形，菱形，正方形既是轴对称
如图，在⊙O中，若∠AOB=
图形又是中心对称图形；⑤等边三角
∠COD,则有AB=CD,AB=CD
形既是轴对称图形又是中心对称
图形
解析}①错，对称轴是一条直线，而直
径是一条线段，可以改为每一条直径
所在的直线都是圆的一条对称轴；
2推论
②对；③对，根据圆的旋转不变性可
在同圆或等圆中，如果两个圆心
得；④错，平行四边形只是中心对称
角，两条弧，两条弦中有一组量相等，
图形，不是轴对称图形；⑤错，等边三
那么它们所对应的其余各组量都分
角形只是轴对称图形不是中心对称
别相等
图形.
02
学霸笔记
解题有妙招到断图形的轴对称性和中心
(1)应用定理时，不能忽略“在同圆或等团
对称性，弄清楚轴对称图形和中心对称图形
中”这个前捉条件，如果丢掉了这个前提条件，
的概念是关键.还要记住对称轴是一条直线，
即使圆心角相等，它们所对的孤、弦也不一定
中心对称图形必须绕着某个点旋转180.
相等.
【即学即试】见P157各个击破
(2)我们可以在推论两个圆心角，两条孤
两条弦三组相等的量中再加上一组—两条
2
圆心角、弧、弦之间的关系定理
弦的弦心距，定理也是成立的，也就是说：同圆
及其推论
或等圆中，如果两个圆心角，两条孤，两条弦，
圆心角：角的顶点在圆心，角的
两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们
所对应的其余各组量都分别相等.我们可以
两边与圆有两个交点，这样的角叫做
简单地把圆心角、孤、弦、弦心距之间的关系记
圆心角.
为“等对等关系”即：等圆心角台等孤台等孩
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦
→等弦心距
心距.（弦心距也可以说成圆心到弦
(3)注意“对应”一词，如由“弦相等”得出
的垂线段的长)
“孤相等”，这里的“孤相等”指的是对应的劣孤
1定理
和劣弧相等，优弧和优弧相等
在同圆或等圆中，相等的圆心角
例②如图，AB,CD是⊙O的两条直
所对的弧相等，所对的弦相等。
径，CE∥AB.求证：BC=AE=AD
×配北师大版数学九年级下1155
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九年级
数
2m=65-x-1,
5A解析若这个点在圆外，则直径d=9一4
学
m=65-x
5(cmr=号（cm);若这个点在圆内，则
x,m都是非负数，
直径d=9十4=13(cm.=号=号(am.故
.取x=26时，m=13,65-x-m=26.
考答
即当x=26时，W最大值=3198.
此圆的半径为2.5cm或6.5cm
答：安排26人生产乙产品时，可获得的最大
6点P在⊙O内
鲜析因为关于x的一元二次
利润为3198元.
方程x2一2x十m=0有两个不相等的实数根，
第三章
圆
所以有（一2）2一4m>0,解得1<1.又知⊙O
的半径r=1,所以m圆
7懈回如图，过点P作PDE
“极速特训营
⊥AB,垂足为D.由题
意可得，∠APD=30°，
1C解析根据图的定义对各选项进行判断：
∠BPD=45.
A.点O为圆心，半径不确定，故不能确定圆：
设AD=x,在Rt△APD中，PD=√3x
B.2cm长为半径，圆心不确定，故不能确定圆；
C.以点O为圆心，以5cm长为半径可确定圆；
在Rt△PBD中，BD=PD=√3x,
D.经过点A,故圆心和半径都不能确定，故不
∴3.x十x=100,解得x=50(W3-1),
能确定圆，
∴.PD=3.x=50(3-√3)≈63.4>50.
2解E矩形的四个顶点能在同
,森林保护区的中心与直线AB的距离大于
个圆上.如图，设AC,BD
保护区的半径，∴.计划修筑的这条高速公路
的交点为O,则点O是这个
不会穿过保护区
圆的圆心
2圆的对称性
证明如下：四边形ABCD是矩形，
..0A=OC=OB=OD.
极速特训营
∴.点A,B,C,D在以点O为圆心，OA为半径
1D2B3C4125
的圆上
5证明脸AC=C,
3D
∴.∠AOC=∠BOC,
4C解析.在△ABC中，
∴.∠AOE=∠BOE.
∠ACB=90°，AB=5,BC=4,
,OA,OB是⊙O的半径，
.AC=√AB-BC2=3,
..OA=OB.
点C在⊙A内且点B在⊙A外，
又OE=OE,
∴AC.△AOE≌△BOE,
知，只有选项C符合
∴.AE=BE.
2741配北师大版数学九年级下，
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九牛级
6解如图，作点A关于MN的对称点A',连接
∴.AC=OC
A'B,交MN于点P,则点P即为所求.连接
同理BD=OD.
学
OA',OB,PA,AM',则∠A'ON=∠AON=
又OC=OD,.AC=BD,
60°，PA=PA'
∴AC=BD
,点B是N的中点，∴∠BON=30°，
8证明E如图，作OM⊥BD于点M,ON⊥CE于
∴.∠A'OB=∠A'ON+∠BON=90.
点N
参考答案
又，OB=OA'=1,A'B=√2，
∴.PA+PB=PA'+PB=A'B=√2
即PA十PB的最小值为√2.
B
,AO平分∠DAE,.OM=ON,
∴.BD=CE
,OM⊥BD,ON⊥CE,
7证明E方法1：如图，连接OC,OD,则OC
MB=DB.NC-CE..MB=NC.
=OD.
∠AMO=∠ANO.
在△AMO和△ANO中，∠MAO=∠NAO.
OA=OA,
B
∴.△AM≌△ANO,.AM=AN,
∴.AB=AC
3
垂径定理
0A=0B,且0M=0A.0N=0B,
·极速特训营
∴.OM=ON.又，CM⊥AB,DN⊥AB,
.Rt△COM≌R1△DON,
1B
解析，AB是⊙O的直径，AB⊥CD,
.∠COM=∠DON,
CE=2CD-12∠0BC=90,
∴.Ac-D.
方法2：如图，连接AC,BD,OC,OD.
2AB=13,
cos∠0E-票=最故选B
22√3
3解如图所示，过点O作OP⊥AB,垂足为P,
连接AO,
M是AO的中点，且CMLAB,
OP过圆心，OP⊥AB,
<配北师大版数学九年级下1275
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