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6
直线和圆的位置关系
学习泪标
1.理解直线和圆的三种位置关系和三角形的内
切圆的有关概念，
2.知道切线的概念，探索切线的性质，能判定
回@在天气晴朗的早晨看
条直线为圆的切线.
日出时，如果把太阳看
作圆，把地平线看作
3.会运用切线的判定和性质进行有关计算和证明
条直线，冉冉升起的太
盒敌知新
阳与地平线有怎样的位
点和圆的位置关系是由这个点到圆心的距离
置关系？带着这个问
与半径的大小关系决定的.如果圆的半径是r,这
题，我们一起学习直线
个点到圆心的距离为d,那么：
与圆的位置关系吧
(1)点在圆外台d>r;(2)点在圆上台d=r;
(3)点在圆内→d课堂直播间
婆就免所不能的你
1
直线和圆的位置关系
的半径
直线和
识多一点点
(1)判断直线和圆的位置关
系有两种方法：①根据公共点的个数判定：
圆的位
相交
相切
相离
②根据圆心到直线的距离与半径的大小关
置关系
系确定
d与
(2)直线和圆的位置关系与圆心到直线的
dd=r
d>r
的关系
距离d和半径”的大小关系是互逆的.以相交
为例：：直线l与⊙O相交，∴，dr,∴。直线1与⊙O相交.相切和相离也同样
图例
成立
直线名称
割线
切线
例①如图，在Rt△ABC中，∠C=
公共点
90°，AC=6cm,BC=8cm,则直线
0
个数
AB和以点C为圆心，”为半径的圆
注：d为圆心到直线l的距离，为圆
有何位置关系？为什么？
×配北师大版数学九年级下1179
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课堂直播
和⊙C相离；
(2)当r=4.8cm时，CD=r,直线
AB和⊙C相切；
(3)当r=7cm时，CD(1)r=4cm;
和⊙C相交，
(2)r=4.8cm;
)解题有妙招我们要求的CD实际上是
(3)r=7cm.
Rt△ABC斜边上的高，Rt△ABC的面积可以
分析判断直线AB与⊙C的位置关
用AB·CD和号AC·BC两种方法未表
系，需要比较圆心到直线的距离与半
示，它们是相等的，所以得到AB·CD=AC·
径的大小关系，半径数值已有，只要
BC,从而求出CD的值，我们把这种方法叫等
求出圆心到直线的距离，进行比较
积法.在直角三角形中，我们常用这种方法求
即可.
斜边上的高.实际上，任何一个图形，只要它的
面积能用两种不同的方法表示，就可以用等
解过点C作CD⊥AB于点D,
积法来求线段长
如图.
【即学即试】见P190各个击破一
2圆的切线的概念和性质
直线和圆有唯一的公共点（即直
●
线和圆相切)时，这条直线叫做圆的
章
切线，这个唯一的公共点叫做切点.
●
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC
切线的性质定理：圆的切线垂直
6
cm,BC=8cm,则AB
于过切点的半径
WAC2+BC2=√/62+82=10(cm).
:Sc=2AB.CD=2AC·BC,
.AB·CD=AC·BC,即10×CD
学霸笔记
=6×8,
(1)切线的性质定理用几何符号表示：
.∴.CD=4.8cm.
直线l切⊙O于点A,.OA⊥.
(1)当r=4cm时，CD>r,直线AB
(2)当有已知的切线时，常常连接切，点和
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九年级
数
2m=65-x-1,
5A解析若这个点在圆外，则直径d=9一4
学
m=65-x
5(cmr=号（cm);若这个点在圆内，则
x,m都是非负数，
直径d=9十4=13(cm.=号=号(am.故
.取x=26时，m=13,65-x-m=26.
考答
即当x=26时，W最大值=3198.
此圆的半径为2.5cm或6.5cm
答：安排26人生产乙产品时，可获得的最大
6点P在⊙O内
鲜析因为关于x的一元二次
利润为3198元.
方程x2一2x十m=0有两个不相等的实数根，
第三章
圆
所以有（一2）2一4m>0,解得1<1.又知⊙O
的半径r=1,所以m圆
7懈回如图，过点P作PDE
“极速特训营
⊥AB,垂足为D.由题
意可得，∠APD=30°，
1C解析根据图的定义对各选项进行判断：
∠BPD=45.
A.点O为圆心，半径不确定，故不能确定圆：
设AD=x,在Rt△APD中，PD=√3x
B.2cm长为半径，圆心不确定，故不能确定圆；
C.以点O为圆心，以5cm长为半径可确定圆；
在Rt△PBD中，BD=PD=√3x,
D.经过点A,故圆心和半径都不能确定，故不
∴3.x十x=100,解得x=50(W3-1),
能确定圆，
∴.PD=3.x=50(3-√3)≈63.4>50.
2解E矩形的四个顶点能在同
,森林保护区的中心与直线AB的距离大于
个圆上.如图，设AC,BD
保护区的半径，∴.计划修筑的这条高速公路
的交点为O,则点O是这个
不会穿过保护区
圆的圆心
2圆的对称性
证明如下：四边形ABCD是矩形，
..0A=OC=OB=OD.
极速特训营
∴.点A,B,C,D在以点O为圆心，OA为半径
1D2B3C4125
的圆上
5证明脸AC=C,
3D
∴.∠AOC=∠BOC,
4C解析.在△ABC中，
∴.∠AOE=∠BOE.
∠ACB=90°，AB=5,BC=4,
,OA,OB是⊙O的半径，
.AC=√AB-BC2=3,
..OA=OB.
点C在⊙A内且点B在⊙A外，
又OE=OE,
∴AC.△AOE≌△BOE,
知，只有选项C符合
∴.AE=BE.
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九牛级
6解如图，作点A关于MN的对称点A',连接
∴.AC=OC
A'B,交MN于点P,则点P即为所求.连接
同理BD=OD.
学
OA',OB,PA,AM',则∠A'ON=∠AON=
又OC=OD,.AC=BD,
60°，PA=PA'
∴AC=BD
,点B是N的中点，∴∠BON=30°，
8证明E如图，作OM⊥BD于点M,ON⊥CE于
∴.∠A'OB=∠A'ON+∠BON=90.
点N
参考答案
又，OB=OA'=1,A'B=√2，
∴.PA+PB=PA'+PB=A'B=√2
即PA十PB的最小值为√2.
B
,AO平分∠DAE,.OM=ON,
∴.BD=CE
,OM⊥BD,ON⊥CE,
7证明E方法1：如图，连接OC,OD,则OC
MB=DB.NC-CE..MB=NC.
=OD.
∠AMO=∠ANO.
在△AMO和△ANO中，∠MAO=∠NAO.
OA=OA,
B
∴.△AM≌△ANO,.AM=AN,
∴.AB=AC
3
垂径定理
0A=0B,且0M=0A.0N=0B,
·极速特训营
∴.OM=ON.又，CM⊥AB,DN⊥AB,
.Rt△COM≌R1△DON,
1B
解析，AB是⊙O的直径，AB⊥CD,
.∠COM=∠DON,
CE=2CD-12∠0BC=90,
∴.Ac-D.
方法2：如图，连接AC,BD,OC,OD.
2AB=13,
cos∠0E-票=最故选B
22√3
3解如图所示，过点O作OP⊥AB,垂足为P,
连接AO,
M是AO的中点，且CMLAB,
OP过圆心，OP⊥AB,
<配北师大版数学九年级下1275
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