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21世纪载自
章木好时光
ZHANGMO HAO SHIGUANG
知识常青藤
今吴永脱是起动线
圆心
确定圆的要素
半径
半圆：半圆是弧，但弧不一定是半圆
圆的有关概念
弧劣孤
优弧
等弧
弦
直径：直径是弦：但弦不定是直径
圆是轴对称图形
轴对称
对称轴任意一条过圆心的直线
垂径定理及其推论
对称性
圆是中心对称图形
中心对称
对称中心圆心
圆心角、弧、弦之间的关系
圆心角顶点在圆心上
圆周角顶点在圆周上，
角两边和圆相交
圆的有关性质
角的有关性质
圆周角定理
圆周角定理的推论
圆内接四边形的性质定理
圆
确定圆的条件不在同条直线上的二个点确定个厕
三角形的外接圆一外心
三角形的内切圆一内心
相离(d>)
切线的性质
直线和圆的位置关系，
相切(d=
切线的判定
相交d切线长定理
顶点在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多
外接圆边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆
有关概念
中心角
正边形的中心角为360
4月sh
边心距
圆内接正多边形
尺规作圆的内接正多边形
I=nTR
弧长公式
180
圆的有关计算
S据=九TR
.360
扇形面积公式
1
Sa6=子
444e444
<配北师大版数学九年级下1215
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∠HANGMU HAU SHIGUANG
考情观察室
不是尽功，是一定要殿到
专题
垂径定理
在Rt△PAM中，PM=5,MA=3,
.PA=√52-32=4.又点P在第
解读垂径定理一直是圆中考查
四象限，点P的坐标为(4，一7)
的重点内容，主要考查与垂径定理
故选C.
有关的计算和垂径定理的综合应
用.利用垂径定理解题的基本方法
是构造由半径、弦长的一半和弦心
M
L--p
距围成的直角三角形，通过解直角
三角形来解决问题，它是圆中求半
径、弦长、弦心距、圆心角等常用的
解题方法，
拓/展/演/练
1(宁夏银川中考)银川市某居民区
例①如图所示，半径为5的⊙P与y
处圆形下水管道破裂，修理人员
轴分别相交于M(0,一4)，N(0,
准备更换一段新管道，如图所示，
一10)两点，则圆心P的坐标
污水水面宽度为60cm,水面至管
为(
道顶端距离为10cm,则修理人员
应准备内径多大的管道？
视频讲解
+60 cm+
P
A
10 cm
0
A.(5,-4)
B.(4,-5)
C.(4,-7)
D.(5,-7)
解析如图所示，过点P作PA⊥
MN,垂足为点A.求出线段PA和
OA的长即可求出点P的坐标.由垂
径定理，可得MA=
2MN=3,而
OM=4,所以OA=7.连接PM.
2161配北师大版数学九年级下：
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九年级
数
2m=65-x-1,
5A解析若这个点在圆外，则直径d=9一4
学
m=65-x
5(cmr=号（cm);若这个点在圆内，则
x,m都是非负数，
直径d=9十4=13(cm.=号=号(am.故
.取x=26时，m=13,65-x-m=26.
考答
即当x=26时，W最大值=3198.
此圆的半径为2.5cm或6.5cm
答：安排26人生产乙产品时，可获得的最大
6点P在⊙O内
鲜析因为关于x的一元二次
利润为3198元.
方程x2一2x十m=0有两个不相等的实数根，
第三章
圆
所以有（一2）2一4m>0,解得1<1.又知⊙O
的半径r=1,所以m圆
7懈回如图，过点P作PDE
“极速特训营
⊥AB,垂足为D.由题
意可得，∠APD=30°，
1C解析根据图的定义对各选项进行判断：
∠BPD=45.
A.点O为圆心，半径不确定，故不能确定圆：
设AD=x,在Rt△APD中，PD=√3x
B.2cm长为半径，圆心不确定，故不能确定圆；
C.以点O为圆心，以5cm长为半径可确定圆；
在Rt△PBD中，BD=PD=√3x,
D.经过点A,故圆心和半径都不能确定，故不
∴3.x十x=100,解得x=50(W3-1),
能确定圆，
∴.PD=3.x=50(3-√3)≈63.4>50.
2解E矩形的四个顶点能在同
,森林保护区的中心与直线AB的距离大于
个圆上.如图，设AC,BD
保护区的半径，∴.计划修筑的这条高速公路
的交点为O,则点O是这个
不会穿过保护区
圆的圆心
2圆的对称性
证明如下：四边形ABCD是矩形，
..0A=OC=OB=OD.
极速特训营
∴.点A,B,C,D在以点O为圆心，OA为半径
1D2B3C4125
的圆上
5证明脸AC=C,
3D
∴.∠AOC=∠BOC,
4C解析.在△ABC中，
∴.∠AOE=∠BOE.
∠ACB=90°，AB=5,BC=4,
,OA,OB是⊙O的半径，
.AC=√AB-BC2=3,
..OA=OB.
点C在⊙A内且点B在⊙A外，
又OE=OE,
∴AC.△AOE≌△BOE,
知，只有选项C符合
∴.AE=BE.
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九牛级
6解如图，作点A关于MN的对称点A',连接
∴.AC=OC
A'B,交MN于点P,则点P即为所求.连接
同理BD=OD.
学
OA',OB,PA,AM',则∠A'ON=∠AON=
又OC=OD,.AC=BD,
60°，PA=PA'
∴AC=BD
,点B是N的中点，∴∠BON=30°，
8证明E如图，作OM⊥BD于点M,ON⊥CE于
∴.∠A'OB=∠A'ON+∠BON=90.
点N
参考答案
又，OB=OA'=1,A'B=√2，
∴.PA+PB=PA'+PB=A'B=√2
即PA十PB的最小值为√2.
B
,AO平分∠DAE,.OM=ON,
∴.BD=CE
,OM⊥BD,ON⊥CE,
7证明E方法1：如图，连接OC,OD,则OC
MB=DB.NC-CE..MB=NC.
=OD.
∠AMO=∠ANO.
在△AMO和△ANO中，∠MAO=∠NAO.
OA=OA,
B
∴.△AM≌△ANO,.AM=AN,
∴.AB=AC
3
垂径定理
0A=0B,且0M=0A.0N=0B,
·极速特训营
∴.OM=ON.又，CM⊥AB,DN⊥AB,
.Rt△COM≌R1△DON,
1B
解析，AB是⊙O的直径，AB⊥CD,
.∠COM=∠DON,
CE=2CD-12∠0BC=90,
∴.Ac-D.
方法2：如图，连接AC,BD,OC,OD.
2AB=13,
cos∠0E-票=最故选B
22√3
3解如图所示，过点O作OP⊥AB,垂足为P,
连接AO,
M是AO的中点，且CMLAB,
OP过圆心，OP⊥AB,
<配北师大版数学九年级下1275
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