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第21讲 构造论证二
兴趣篇
1、如图所示，在的警戒方格内，每个哨所可以监视横、竖、斜方向的全部单位方格。
现在已经建了两个哨所。请你挑选一个方格，再建立一个哨所，使得所有的方格都被监
视到。
【分析】第二行第三列
2、（1）把1,2,3，…，8,9按合适的顺序填在图1第二行的空格中，使得每一列上、下两数之和都是平方数。
（2）能否将1,2,3，…，10,11按合适的顺序填在图2第二行的空格中，使得每一列上、下两数之和都是平方数？
【分析】（1）考虑到9只能和7配，先填入9和7；剩下的6只能和3配，4只能和5配，依次填好；所以从左至右填入的数依次是8，2，6，5，4，3，9，1，7；
（2）考虑11只能和5配，那么没有数和4配，不能
3、今有长度为1,2,3，…，198,199的金属杆各一根。请问：能否用上全部的金属杆，不弯曲其中的任何一根，把它们焊接成：（1）一个正方体框架；（2）一个长方体框架？
【分析】（1）总长，不是12的倍数，不能；
（2）能，此时长方体框架的长、宽、高之和为，可以分别为4577、199、199
4、老师对六位同学的三门功课语文、数学、体育进行了一次测验，六位同学的体育得分是1分或者2分，数学得分是1分、2分或者3分，语文得分是1分、2分、3分或者4分。如果一位同学的三门功课成绩都不低于另一个同学的三门功课成绩，就说这个同学比另一个同学优秀。测验完成后老师发现这六位同学谁也不比别人优秀，请问：这六位同学三科得分分别为多少？
【分析】这6位同学在三门课上的得分分别是（1分，1分，4分），（1分，2分，3分），（1分，3分，2分），（2分，1分，3分），（2分，2分，2分），（2分，3分，1分）
5、把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：能否使得每一条直线上的红圈个数都是奇数？
【分析】如果每边红色圈数目都是奇数，那么5条边总红色圈个数就是奇数；而实际上每个红圈被计算了2次，总红色圈数目是2的倍数，是偶数，矛盾，所以不能
6、（1）能否在的方格表的各个小方格内分别填入数1,2，…，15,16，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和？
（2）能否在方格表的各个小方格内分别填入数1,2，…，24,25，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和？
【分析】（1）能，构造一个满足条件的表格
1 2 15 16
3 4 13 14
5 6 11 12
7 8 9 10
（2）如果可以的话，每行数字和都是偶数，那么总数字和是偶数，而1~16的数字和是奇数，矛盾，所以不能
7、如图是把一张的方格纸去掉两个角所得的图形。
（1）请把所有的格子涂上红、蓝两色之一，使得每个小长方形（不论横竖）的2个方格中都恰有1个红格和1个蓝格；
（2）能否用的小长方形恰好拼满这张表格？
【分析】（1）
，其中空白的格子涂上蓝色，涂红色；
（2）不能，因为每次的小长方形恰好覆盖了1红1蓝，如果可以的话，覆盖的红与蓝的数目应该一样，但图中红蓝数目是不一样的，所以不能。
8、全班25名同学分五排，每排五人坐在教室里，每个座位的前、后、左、右位子称为它的
邻座。在儿童节每一位同学都买了一份礼物送给他的一个邻座，能否可以让大家适当地
送出礼物，使得每一位同学都刚好收到一份礼物呢？
【分析】把25个方格进行黑白相间染色，每次交换座位，总是一个黑色格子的人交换到白色格子里，一个白色格子的人交换到黑色格子里，如果可以的话，黑白数目应该一样，但实际黑白格子数目不同，所以不能
9、将一个的方格表分为如图的5块区域，在其中填入16个互不相同的正整数，使得每一块区域中所填数的和都相等。这16个数的总和最小是多少？
【分析】对于6格区域，4格区域，3格区域，这13个格子最小是1~13，和是91，那么平均一个区域至少是31，按照每块区域31构造一个表格，如下图。最小是155
15 12 4 11
13 2 3 10
18 5 6 9
31 7 8 1
10、能否将1,2,3，…，9,10排成一行，使得任意相邻三个数之和都不大于16？能否使得任意相邻三个数之和都不大于15？
【分析】能，其中一种排法是10，5，1，9，4，3，8，2，6，7；
不能，如果能的话，除去首个数字，剩下9个数正好分为3组，每组数之和都不大于15，总和就不大于45，但10个数总和是55，所以只能每组数正好15，且第一个数是10。此时除去最后一个数字，剩下9个数也正好分为3组，每组数之和都不大于15，总和就不大于45，但10个数总和是55，那么末位数字也是10，矛盾，所以不能。
拓展篇
1、有7个不为0的自然数，它们的和正好等于它们的积。请写出一组满足要求的数。
【分析】1，1，1，1，1，2，7或者3,4,1,1,1,1,1
2、如图，平面上有5个点，它们之间可以连10条线段。请问：至少要去掉多少条线段，才
能使得其中没有以这5个点为顶点的三角形？
【分析】共10个三角形，每去掉1条线段，能破坏3个三角形，要破坏10个三角形，至少要去掉4条，如图，构造一个去掉4条满足条件的图形
3、如图，一个幸运转盘分为内圆和外环两部分，并且被五条半径平均分割开。其中内圆是固定的，外环可以转动，但转动后必须使得分割线重新组成半径。请把0至9这10个数字分别填入图中的10个区域，使得不管外环怎么转动，总有大圆的一个扇形的两部分所填数字的和为9。
【分析】其中一种填法如下图所示。
4、平面上6条直线，它们的交点称为“结点”，每条直线上“结点”的个数称为这条直线的“标志数”。图1中的3条直线的“标志数”都等于2，只有一种取值；图2中的3条直线的“标志数”却有两种取值。现在请你用直尺画出6条直线，使得它们中间任何3条直线都不共点，且相应的6个“标志数”至少取3个不同的数值。
【分析】每组平行线的标志数都相同，而要取到3个不同的标志数，至少有3组不同的平行线，且每组平行线的数目也不一样。其中一种画法如下图所示，图中的标志数有3，4，5
5、（1）能否将1至8这8个数放在一条直线上，使得任意三个相邻数的和都不小于13？
（2）能否将1至8这8个数放在一个圆圈上，使得任意三个相邻数的和都不小于13？
【分析】（1）能，其中一种放法是1，4，8，7，3，6，5，2；
（2）不能，8两边有两个数，设为a和b，如果a、b恰好是1和2的话，这连续的3个数和小于13。如果a和b中有1个大于2的话，至少是3。那么除它和8之外的6个数，正好分成2组，总和不小于36-8-3=25，肯定有1组比13小。
6、一本故事书有10篇故事，这些故事占的篇幅从1页到10页各不相同。如果从书的第1页开始印第一个故事，每一个故事总是从新的一页开始印，那么故事从奇数页起头的最多有几篇？最少有几篇？
【分析】令偶数故事都从奇数页开始，最多8篇；令偶数故事都从偶数页开始，至少3篇
7、在的方格表中至少应该去掉多少个格子，才能使得剩下的图形中不存在如图所示的“L型”？
【分析】把图形分成4个田字格，每个田字格至少要去掉2个才能满足要求，所以至少要去掉8个；构造一种去掉8个的方法：去掉1，3行。
8、黑板上写着3个数8、18、28，老师现在请一些同学上黑板对这3个数进行操作。进行一次操作是指：把3个数进行如下变化，或者减1，或者加2。请问：能否经过若干次操作后得到6、7、8？能否经过若干次操作后得到8、8、8？
【分析】观察除以3的余数（2,0,1）（1,2,0）（0,1,2）（2,0,1）所以6，7,8可以，8,8,8不行。
9、有3堆石子，每次可以从这三堆中同时拿走相同数目的石子（各次这个数目可以改变），也可以由一堆中取一半石子放入另外任一堆石子中。请问：
（1）如果开始时，3堆石子的数目分别是34、55、82，按上述操作，能否把3堆石子都拿光？
（2）如果开始时，3堆石子的数目分别是80、60、50，按上述操作，能否把3堆石子都拿光？
如果可以，请设计一种取石子的方案；
如果不可以，请说明理由。
【分析】（1）能，按照（0,21,48）（24,21,24）（4,1,4）（2,3,4）（0,1,2）（1,1,1）（0,0,0）的顺序就能做到；
（2）不能，因为总数除以3的余数不变，原来总数除以的余数不为0，所以最后除以3的余数也不能是0。
10、（1）能否将1至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为平方数？
（2）能否将1至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为质数？
【分析】（1）能。下面的排法满足要求：9，7，2，14，11，5，4，12，13，3，6，10，15，1，8
（2）能。下面的排法满足要求：15，4，13，6，11，8，9，10，7，12，5，14，3，2，1
11、（1）能否用16个如图1所示的“T型”拼成一个的棋盘？
（2）能否用8个如图1所示的“T型”和8个如图2所示的“L型”拼成一个的棋盘？
（3）能否用1个如图1所示的“T型”和15个如图2所示的“L型”拼成一个的棋盘？
【分析】（1）能，把图形分成4块，每块都按照下左图的方式分割；
（2）能，把图形分成4块，其中2块按照下左图分割，2块按照下右图分割；
（3）不能，把整个图形黑白相间染色，那么“T型”覆盖黑色格子数为1个或者3个，而“L型”覆盖黑色格子数为2个，那么总覆盖黑格子数为奇数个，但实际总黑色格子数为偶数个。所以无法覆盖。
12、（1）能否用9个如图1所示的的长方形拼成一个的棋盘？
（2）能否用9个如图2所示的“L型”拼成一个的棋盘？
【分析】（1）不能，按照如左图方式染色，每个的长方形覆盖了1个黑色格子，那么9个的长方形只能覆盖9个黑色格子，但图中有10个黑色格子，所以不能完全覆盖；
（2）不能，如右图方式染色，每个“L型”覆盖奇数个黑格，9个“L型”覆盖了奇数个黑格，而黑格总数是偶数，所以不能完全覆盖。
超越篇
1、能否可以用77个的长方体小木块装满一个的长方体匣子（匣内不留任何
空隙）？若能，请给出具体装法；若不能，请说明理由。
【分析】不能，的长方体木块任何一面都可以被3整除，而的长方体的匣子的 面不能被3整除。
2、黑板上写着两个数1和2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数和，则增写
这个数，比如：可增写5（因为）；可增写11（因为）。一直写下去，请问：能否得到下面两个数？若能，请你写出得到的过程；若不能，请说明理由。
（1）143；（2）144
【分析】（1）1，2，5，11，71，143；（2）不能，除2外全是奇数
3、将平面上每一点都染成红、黄两种颜色之一。证明：无论怎样染色，都一定存在长为1的线段，它的两个端点是同样颜色的。
【分析】边长为1的等边三角形三个顶点必有两点同色，那两点所在边符合要求
4、在的方格表中至少需要放多少个棋子，才能保证每行、每列以及每一条与对角线平行的直线上都有棋子？（角上单独一个格子也可以组成一条与对角线平行的直线，图中阴影部分的三个格子组成的直线也是与对角线平行的直线。）
【分析】显然每个角上的小方格都要放棋子，然后按照从右上到左下的方向，共有11条斜线，这11条斜线每条斜线上都至少要1个棋子，再加上角上多放的1个，至少要12个，如下图是一种放12个棋子的方法。
5、（1）能否从图1中的格出发，每次走到相邻的小格子，最后走到格，并且每个格子都刚好到一次？
（2）中国象棋的马是走“日”字型路线。如图2，如果马在点，那么它能跳到、、、四点之一。如果马开始在点，它能否跳3步后回到点；能否跳9步后回到点？
【分析】（1）按照黑白相间染色，每次走都是从黑格到白格或者从白格到黑格，如果可以的话，黑格数目应该等于白格，但实际黑格数和白格数目不相同，所以不能；
（2）把所有格点黑白相间染色，每次走都是从黑点到白点或者从白点到黑点，如果可以的话，黑点数目和白点应该一样，但实际黑点和白点数目不相同，所以不能。
6、如图，用若干个和的小长方形既不重叠，也不留孔隙地拼成一个的大长
方形，最少要用小长方形共多少个？
【分析】用的长方形越多，长方形总数越少，解不定方程，得最大的y值为18，对应1个的。次大的y值为12，对应x值为8个，如下图染色，每个的长方形覆盖1个黑格，每个的最多覆盖1个黑格，由于黑格数是20个，所以总的长方形个数至少要20个。所以只能选择次大的方法，对应总共有20个长方形。
7、六位音乐家在一个音乐节上相聚，在安排的每场音乐会上，有某些音乐家演奏，而另外几位音乐家就作为观众欣赏演出。要使每位音乐家都能够作为观众观看其他任何一位音乐家的表演，这样的音乐会至少要安排几场？为什么？
【分析】定义一位音乐家观看另一位音乐家为1次欣赏，那么总共需要30次欣赏才能满足要求。安排3人演奏3人观看，能得到最多的欣赏次数，为9次，根据抽屉原理，至少需要安排4场演出，才能够满足要求。以下是满足要求的4场演出，音乐家分别编号为1~6号，括号内的数字为演出的音乐家编号。（1,2,3）（1,5,6）（2,4,6）（3,4,5）
8、把的方格纸分成若干张、或的小纸片，最少能分成多少张？
【分析】按照如图方式分割，最少21块第21讲构造论证二
内容概述
各种需要构造具体实例或给出严格论证的组合问题．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析、染色分析和不等式估计等．
典型问题
兴趣篇
1．如图21-1所示，在6×6的警戒方格内，每个哨所可以监视横、竖、斜方向的全部单位方格．现在已经建了两个哨所．请你挑选一个方格，再建立一个哨所，使得所有的方格都被监视到。
2．(1)把1，2，3，…，8，9按合适的顺序填在图21-2第二行的空格中，使得每一列上、下两数之和都是平方数．
(2)能否将1，2，3，…，10，1 1按合适的顺序填在图21-3第二行的空格中，使得每一列上、下两数之和都是平方数？
3．今有长度为1，2，3，…，198，199的金属杆各一根．请问：能否用上全部的金属杆，不弯曲其中的任何一根，把它们焊接成：(1)一个正方体框架；(2)一个长方体框架？
4．老师对六位同学的三门功课语文、数学、体育进行了一次测验，六位同学的体育得分是1分或者2分，数学得分是1分、2分或者3分，语文得分是1分、2分、3分或者4分．如果一位同学的三门功课成绩都不低于另一个同学的三门功课成绩，就说这个同学比另一个同学优秀．测验完成后老师发现这六位同学谁也不比别人优秀，请问：这六位同学三科得分分别为多少？
5．把图21-4中的圆圈任意涂上红色或蓝色．问：能否使得每一条直线上的红圈个数都是奇数
6．(1)能否在4×4的方格表的各个小方格内分别填人数1，2，…，15，16，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和？(2)能否在5×5方格表的各个小方格内分别填人数1，2，…，24，25，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和？
7．图21-5是把一张6×6的方格纸去掉两个角所得的图形．
(1)请把所有的格子涂上红、蓝两色之一，使得每个1×2小长方形（不论横竖）的2个方格中都恰有1个红格和1个蓝格；
(2)能否用1×2的小长方形恰好拼满这张表格？
8．全班25名同学分五排，每排五人坐在教室里，每个座位的前、后、左、右位子称为它的邻座．在儿童节每一位同学都买了一份礼物送给他的一个邻座，能否可以让大家适当地送出礼物，使得每一位同学都刚好收到一份礼物呢？
9．将一个4×4的方格表分为如图21-6的5块区域，在其中填人16个互不相同的正整数，使得每一块区域中所填数的和都相等．这16个数的总和最小是多少？
10．能否将1，2，3，…，9，10排成一行，使得任意相邻三个数之和都不大于167能否使得任意相邻三个数之和都不大于15 7
拓展篇
1．有7个不为0的自然数，它们的和正好等于它们的积．请写出一组满足要求的数．
2．如图21-7，平面上有5个点，它们之间可以连10条线段，请问：至少要去掉多少条线段，才能使得其中没有以这5个点为顶点的三角形？
3．如图21-8，一个幸运转盘分成内圆和外环两部分，并且被五条半径平均分割开．其中内圆是固定的，外环可以转动，但转动后必须使得分割线重新组成半径．请把0至9这10个数字分别填入图中的10个区域，使得不管外环怎么转动，总有大圆的一个扇形的两部分所填数字的和为9．
4．平面上6条直线，它们的交点称为“结点”，每条直线上“结点”的个数称为这条直线的“标志数”，图21-9中的3条直线的“标志数”都等于2，只有一种取值；图21-10中的3条直线的“标志数”却有两种取值．现在请你用直尺画出6条直线，使得它们中间任何3条直线都不共点，且相应的6个“标志数”至少取3个不同的数值．
5．(1)能否将1至8这8个数放在一条直线上，使得任意三个相邻数的和都不小于13？
(2)能否将l至8这8个数放在一个圆圈上，使得任意三个相邻数的和都不小于13？
6．一本故事书有10篇故事，这些故事占的篇幅从1页到10页各不相同，如果从书的第1页开始印第一个故事，每一个故事总是从新的一页开始印，那么故事从奇数页起头的最多有几篇？最少有几篇？
7．在4×4的方格表中至少应该去掉多少个格子，才能使得剩下的图形中不存在如图21-11所示的“L型”？
8．黑板上写着3个数8、18、28，老师现在请一些同学上黑板对这3个数进行操作．进行一次操作是指：把3个数进行如下变化，或者减1，或者加2．请问：能否经过若干次操作后得到6、7、87能否经过若干次操作后得到8、8、87
9．有3堆石子，每次可以从这三堆中同时拿走相同数目的石子（各次这个数目可以改变），也可以由一堆中取一半石子放人另外任一堆石子中．请问：
(1)如果开始时，3堆石子的数目分别是34、55、82，按上述操作，能否把3堆石子都拿光？
(2)如果开始时，3堆石子的数目分别是80、60、50，按上述操作，能否把3堆石子都拿光？
如果可以，请设计一种取石子的方案；如果不可以，请说明理由．
10．(1)能否将l至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为平方数？
(2)能否将1至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为质数？
11．(1)能否用16个如图21-12所示的“T型”拼成一个8×8的棋盘？
(2)能否用8个如图21-12所示的“T型”和8个如图21-13所示的“L型”拼成一个8×8的棋盘？
(3)能否用1个如图21-12所示的“T型”和15个如图21-13所示的“L型”拼成一个8×8的棋盘？
12．(1)能否用9个如图21-14所示的1×4的长方形拼成一个6×6的棋盘？
(2)能否用9个如图21-15所示的“L型”拼成一个6×6的棋盘？
超越篇
1．能否可以用77个3×3×1的长方体小木块装满一个7×9×11的长方体匣子（匣内不留任何空隙） 若能，请给出具体装法；若不能，请说明理由．
2．黑板上写着两个数1和2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数a和b，则增写a×b + a + b这个数，比如：可增写5（因为1×2 + 1 + 2 = 5）；可增写11(因为1×5 + l + 5 = 11)．一直写下去，请问：能否得到下面两个数？若能，请你写出得出的过程；若不能，请说明理由． (1) 143； (2) 144.
3．将平面上每一点都染成红、黄两种颜色之一．证明：无论怎样染色，都一定存在长为1的线段，它的两个端点是同样颜色的．
4．在6×6的方格表中至少需要放多少个棋子，才能保证每行、每列以及每一条与对角线平行的直线上都有棋子？（角上单独一个格子也可以组成一条与对角线平行的直线，图21-16中阴影部分的三个格子组成的直线也是与对角线平行的直线．）
5．(1)能否从图21-17中的A格出发，每次走到相邻的小格子，最后走到B格，并且每个格子都刚好到一次？
(2)中国象棋的马是走“日”字型路线．如图21-18，如果马在A点，那么它能跳到B、C、D、E四点之一．如果马开始在A点，它能否跳3步后回到A点；能否跳9步后回到A点？
6．如图21-19，用若干个1×6和1×7的小长方形既不重叠，也不留孔隙地拼成一个11×12的大长方形，最少要用小长方形共多少个？
7．六位音乐家在一个音乐节上相聚，在安排的每场音乐会上，有某些音乐家演奏，而另外几位音乐家就作为观众欣赏演出．要使每位音乐家都能够作为观众观看其他任何一位音乐家的表演，这样的音乐会至少要安排几场？为什么？
8．把11×11的方格纸分成若干张3×3、2×2或1×1的小纸片，最少能分成多少张？

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