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27世纪教自
章末好时光
ZHANGMO HAO SHIGUANG
《知识常青藤
今免朵品是比的线
sinA=
LA的对边-g
正弦
斜边
∠A的邻边b
COs A=
概念
余弦
斜边
在Rt△ABC中
∠A的对边
∠C=90%
tan A=
正切
∠A的邻边
锐角三
由概念求锐角三角函数值
角函数
般锐角的三角函数值利用计算器
由角的度数求锐
sin 30=1
30
角三角函数值
…
an30°-3
计算
!特殊角的三
角函数值
in45°-2
c0s45°-2
tan45°=1
22.
8in60°_③
c0s60°=
tan60°=3
锐角三角函数
由锐角三角函数
利用计算器
值求角的度数
根据特殊角的三角函数值求得特殊角
三边之间的关系a2+b-c2(勾股定理)
知道除直角外的两
个元素至少有一条
应
边，就可以求出其
依据
两锐角之间的关系
∠A+∠B=90°
用余三个未知元素
55年4中中
a,b为
5555
直角边，
边角之间
b
tan A=a
c为斜边
的关系nA=&石1=
，0sA=
(1)已知斜边和一直角边
解直角三
基本类型
角形及其
(2)已知斜边和一锐角
应用
解决与仰角、俯角有关的实际问题
标导导县量单每单单标标导每每每单单单银导县后后银后标银标银银后后银银标银后后县
解决与坡度、坡角有关的实际问题
简单应用
解决与方向角有关的实际问题
解决与生活有关的其他实际问题
1501配人敷版数学九年级下，
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∠HANGMO HAO SHIGUANG
考情观察室
不是尽功，是一完受欲到
专题
锐角三角函数
例②计算：
w√/tan260°-4tan60°+4
解读有关锐角三角函数常见的
2w2sin45°
题目：(1)已知锐角或边长求锐角
tan
60°-tan20°·tan70:
的三角函数值：(2)已知三角函数
分析本题需要准确地代入

值求对应的锐角或边长，因此，准
特殊角的三角函数值，再根
确把握边角关系，熟记特殊角的三
视频讲解
据二次根式的性质及互余的
角函数值，灵活运用关系式是解决
两个角的正切函数的关系(tanA·
此类问题的根本.求锐角的三角函
tanB=1,其中A十B=90°)进行化
数值一般有以下三种方法：(1)直
简计算
接根据数据求比值；(2)根据两边
解3原式=√(tan60°-2)z一
关系或结合勾股定理求比值；
(3)通过相似图形寻找中间比或等
2v2X
2
√3-1
角进行转化，
=√(W3-2)2
2
例①在△ABC中，∠C=90°，若sinA
3-1
=3
，AC=4,求AB的值.
=2-√3-
23+1)=1-23.
(W3)2-1
屠图"sinA=3-BC
拓/展/演/练
6AB'
12sin60°+2sin30的值等于(
∴.设BC=3k,则AB=6k.
又.AC=4,∠C=90°，
A.1
B.1十√3
.BC2+AC2=AB2,即(W3k)2+42
C.√3
D.2√3
=(6k)2,
2(2022·江苏扬州中考)在△ABC
解得=4（负值舍去），
中，∠C=90°，a,b,c分别为∠A,
33
∠B,∠C的对边，若2=ac,则sinA
∴AB=24V33_8V33
33
11
的值为
×配人教版数学九年级下1151
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九牛级
数
AB BD
BE-AB'
和+证亦
11
学
,AB=BD·BE=BD·(BD+DE)=BD2+
第二十八章
锐角三角函数
BD·DE,
参
∴.62=BD十8，∴.BD=2√7（负值舍去），
28.1
锐角三角函数
品-2解得cB-12
4
7
”极速特训营
案
10I解E(1)在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC
1D(解析锐角B的正切值是指∠B的对边与
=6,∠ABC=60°.
∠B的邻边的比值，两边都扩大到原来的2倍，
.∠A=∠D=120°，
比值不变
.∠AEB+∠ABE=180°-120°=60.
24
(解析}如图所示，过点C作CE⊥AB于E,
∠BEF=120,
,.∠AEB+∠DEF=180°-120°=60，
由题意得CE=4,AE=3,
∠ABE=∠DEF,
.AC=√AE+CE=5,
△ABEO△DEr'-能
.'sin A=
AC 5
AE=t.DF=y.=
6
y 6-x'
y关于x的函数解析式是y=一
62+x
点E在线段AD上，且与A,D两点不重
E:B
合，∴.0x6.
3B
(解析，AB是⊙O的直径，AB⊥CD,CE
(2),y=-
2+x=-(x-3+2,
1
2CD=12,∠0BC=90,0C=2AB=13.
:当x=3时，y有最大值y的最大值为号
eos∠0E-畏最故选B
11B
12I证明3，AD⊥AB,BE⊥AB,FC⊥AB,
4厩@在锐角三角形ABC中，：sinB=
2
∴.AD∥CF∥BE.
CF
cosA=②
∠B=60,∠A=45
,CF∥AD,.△BFC△BDA,
AD
又，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=75.
鼎
5解3(1)sin673824"≈0.92；
,CF∥BE,∴.△AFC∽△AEB,
(2)tan6327'≈2.00；
儷指
(3)cos18°5927"≈0.95.
CF_CB+AC=1.
6解9(1).cosA=0.5761,
器+器
AB
∴.∠A≈54.82°.
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九牛级
(2)tanA=15.21,.∠A≈86.24
AB=6V2,∠A=45,∴.AE=DE
数
(3)sinA=0.3562,.∠A≈20.87.
又AE+BE=AB,
学
7医@依题意.得号+10°=90°-(（号+20），解
∴.x十5.x=6√2，即x=√2，
得a=72,
.AD=w/DE2十AE=2.
sin 35"
12懈@如图，过点A作直径AD交⊙O于点D,
81解到原式=sin210°十cos210°-
c0s35
参考答
连接CD
c0s话X0s35
c0s550=1-8in35
sin 55
=1-1=0.
AD为直径，∴.∠ACD
s1n35
=90°
9l解e,cos2x=1一sin2a,.原式可化为
:∠D=∠B,.tanD=
2(1-sin2a)+7sin a-5=0,2sin2a-7sin a
十3=0.
tan B=5
4
1
2
解得sina=或sina=3(舍去).
又，'tanD=
品…品
,a为锐角，∴a=30°，
..CD=-
∴AD=VAC+CD-2
8
5
10B解析设小正方形的边长为1，把AB向上
平移一个单位长度到DE,连接CE,如图。
即⊙0的直径为2
D
13解E设x1,x2是方程x2一2xtan0-3=0的
B
两个根。
、
由根与系数的关系，知x十x2=2tan9,xx2
=-3.x号十x号=10，
∴.(x1十x2)2-2x12=10,
则DE∥AB,.∠APC=∠EDC
即(2tan)2-2×(-3)=10,
在△DCE中，有C=√22+12=√5，DC
∴.tan0=±1.
√22+42=2√5，DE=√/32+42=5，
又'0°<0<90°，
∴.EC2+DC2=5+20=25=DE2,∴.△DCE
.tan0=一1不符合题意，应舍去，
是直角三角形，且∠DCE=90°，
.tan0=1,∴.0=45°，
∴.cos∠APC=cos∠EDC=
DC_25
1
1
D
1=2,
5
六sn9sin45=
2
故选B.
11解E如图，过点D作DE⊥AB于点E.
.tan0+-1
sin o=1+v2,tan 0.
sin 0=1X/2
1
m∠DBA-器=号·
=√2，
.设DE=x,则BE=5x
∴2-(1+V2)x+2=0是以tan,1
日为
,∠C=90°，AC=BC=6,
根的一元二次方程。
《配人教版数学九年级下1237
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