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8.1　基本立体图形
第1课时　棱柱、棱锥、棱台的结构特征
1.空间几何体
(1)由若干个____________________围成的空间几何体叫做多面体.
(2)一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的__________旋转所形成的曲面叫做旋转面,封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.
2.棱柱
有两个面互相______________,其余各面都是__________,并且相邻两个四边形的公共边都互相__________,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.
3.什么是直棱柱、正棱柱,它们有怎样的关系
4.棱锥
有一个面是________,其余各面都是______________,由这些面所围成的多面体叫做棱锥.
5.棱台
用一个______________的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台.
6.棱台的各侧棱延长线一定相交于一点吗
【基础巩固组】
一、单选题
1.下列命题中,正确的是 (　　)
A.有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面
C.棱柱的侧面是平行四边形,但底面不是平行四边形
D.棱柱的侧棱都相等,侧面是平行四边形
2.如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,截去三棱锥A1-ABC,则剩余的部分是 (　　)
A.三棱锥 B.四棱锥
C.三棱柱 D.五棱锥
3.以下各种情况中,是长方体的是 (　　)
A.直平行六面体
B.侧面是矩形的四棱柱
C.底面是矩形的平行六面体
D.底面是矩形的直棱柱
4.如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是 (　　)
A.棱柱
B.棱台
C.棱柱与棱锥的组合体
D.不能确定
二、多选题
5.下列关于棱台的说法中正确的是 (　　)
A.所有的侧棱交于一点
B.只有两个面互相平行
C.上、下两个底面全等
D.所有的侧面不存在两个面互相平行
6.一个几何体有6个顶点,则这个几何体可能是 (　　)
A.三棱柱　　　　　　B.三棱台
C.五棱锥 D.四面体
三、填空题
7.如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别为CD,BC的中点,沿AE,AF,EF将其折成一个多面体,则此多面体是________.
8.(教材改编题)如图所示,关于几何体的正确说法的序号为________________.
(1)这是一个六面体;
(2)这是一个四棱台;
(3)这是一个四棱柱;
(4)此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱得到;
(5)此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到.
四、解答题
9.如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1,其中E,F,G,H是三棱柱对应边上的中点,过此四点作截面EFGH,把三棱柱分成两部分,各部分形成的几何体是棱柱吗 如果是,是几棱柱,并用符号表示;如果不是,请说明理由.
10.如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VB=VC=4,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,过点A作截面AEF,求△AEF周长的最小值.
【素养提升组】
一、选择题
1.(教材改编题)关于如图所示的4个几何体,说法正确的是 (　　)
A.只有②是棱柱　　　 B.只有②④是棱柱
C.只有①②是棱柱 D.只有①②④是棱柱
2.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为4 cm,高为10 cm,则一质点自点A出发,沿着三棱柱的侧面,绕行两周到达点A1的最短路线的长为 (　　)
A.16 cm B.12 cm
C.24 cm D.26 cm
二、填空题
3.下列关于棱锥、棱台的说法:
①棱台的侧面一定不会是平行四边形;
②棱锥的侧面只能是三角形;
③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥;
④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是________.
4.一个正方体的六个面上分别标有字母A,B,C,D,E,F,如图是此正方体的两种不同放置,则与D面相对的面上的字母是________.
三、解答题
5.(教材改编题)如图,已知长方体ABCD -A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗 如果是,是几棱柱 为什么
(2)用平面BCEF把这个长方体分成两部分,各部分几何体的形状是什么
6.给出两块正三角形纸片(如图所示),要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型,另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型,请设计一种剪拼方案,分别用虚线标示在图中,并作简要说明.
第八章　立体几何初步
8.1　基本立体图形
第1课时　棱柱、棱锥、棱台的结构特征
必备知识·落实
1.(1)平面多边形　(2)一条定直线
2.平行　四边形　平行
3.侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱,正棱柱一定是直棱柱.
4.多边形　有一个公共顶点的三角形
5.平行于棱锥底面
6.一定相交于一点
知能素养·进阶
【基础巩固组】
1.D　由棱柱的定义可知,只有D正确,分别构造图形如图所示:
图①中平面ABCD与平面A1B1C1D1平行,但四边形ABCD与A1B1C1D1不全等,故A错;图②中正六棱柱的相对侧面ABB1A1与EDD1E1平行,但不是底面,B错;图③中正四棱柱底面ABCD是正方形,C错.
2.B　剩余部分是以四边形BCC1B1为底面,A1为顶点的四棱锥.
3.D　由长方体的底面是矩形且侧棱与底面垂直可知长方体是底面是矩形的直棱柱.
4.A　易知有水的部分始终有两个平面平行,而其余各面都易知是平行四边形(水面与两平行平面的交线),因此呈棱柱形状.
5.ABD　由棱台的定义可知:棱台的所有的侧棱交于一点,A正确;只有两个面互相平行,就是上、下底面平行,B正确;上、下两个底面相似,C不正确;所有的侧面不存在两个面互相平行,D正确.
6.ABC　对于A,三棱柱是上下两个三角形,有6个顶点,满足题意;对于B,三棱台是上下两个三角形,有6个顶点,满足题意;对于C,五棱锥的底面为五边形,再加一个顶点,共有6个顶点,满足题意;对于D,四面体的顶点个数为4个,不满足题意.
7.【解析】折叠后,各面均为三角形,且点B,C,D重合为一点,因此该多面体为三棱锥(四面体).
答案:三棱锥(四面体)
8.【解析】(1)正确,因为有六个面,属于六面体的范围;
(2)错误,因为侧棱的延长线不能交于一点,所以不正确;
(3)正确,如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱;
(4)(5)都正确,如图①②所示.
答案:(1)(3)(4)(5)
9.【解析】都是棱柱,截面以上的几何体是三棱柱AEF-A1HG,截面以下的几何体是四棱柱BEFC-B1HGC1.
10.【解析】将三棱锥沿侧棱VA剪开,并将其侧面展开平铺在一个平面上,如图,线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.
因为∠AVB=∠A1VC=∠BVC=30°,所以∠AVA1=90°.
又VA=VA1=4,所以AA1=4.
所以△AEF周长的最小值为4.
【素养提升组】
1.D　棱柱是多面体中最简单的一种,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行.
图①中,满足棱柱的定义,正确;图②中,满足棱柱的定义,正确;图③中,不满足棱柱的定义,不正确;图④中,满足棱柱的定义,是四棱柱,正确.
2.D　将正三棱柱ABC-A1B1C1沿侧棱展开,再拼接一个,如图所示,
最短距离是六个小矩形拼成的矩形对角线的连线的长度,即为三棱柱的侧面上所求路线的最小值.由已知,拼成的矩形的长等于6×4=24 cm,宽等于10 cm,
所以最短路线为l==26 cm.
3.【解析】①正确,棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形;
②正确,由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形;③正确,由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥;④错误,如图所示,四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
答案:①②③
4.【解析】由正方体的两种不同放置可知:与C相对的是F,由题干图A,D与C排列的位置可知D与B相对.
答案:B
5.【解析】(1)是棱柱.是四棱柱.因为长方体中相对的两个面是平行的,其余的每个面都是矩形(四边形),且每相邻的两个矩形的公共边都平行,符合棱柱的结构特征,所以是棱柱.
(2)各部分几何体都是棱柱,
分别为棱柱BB1F-CC1E和棱柱ABFA1-DCED1.
6.【解析】如图(1)所示:
沿正三角形三边中点连线折起,可拼得一个底面为正三角形的三棱锥.
如图(2)所示:
在正三角形三个角上剪出三个相同的四边形,其较长的一组邻边边长为三角形边长的,有一组对角为直角,余下部分按虚线折起,可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱,而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底.第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征
1.圆柱:以______________所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体.
2.圆锥:以直角三角形的________________所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体.
3.圆台:用________________的平面去截圆锥,底面与________之间的部分.
4.球:半圆以____________________为旋转轴,旋转一周形成的曲面叫做球面,球面所围成的旋转体叫做球体,简称球.
5.球和球面有什么区别
6.简单组合体:由________组合而成的几何体.
【基础巩固组】
一、单选题
1.下列说法正确的是 (　　)
A.通过圆台侧面一点,有无数条母线
B.棱柱的底面一定是平行四边形
C.圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形
D.用一个平面去截棱锥,原棱锥底面和截面之间的部分是棱台
2.如图,将阴影部分图形绕图示直线l旋转一周所得的几何体是 (　　)
A.圆锥
B.圆锥和球组成的简单组合体
C.球
D.一个圆锥内部挖去一个球后组成的简单组合体
3.用长为4、宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱,此圆柱轴截面的面积为 (　　)
A.8 B. C. D.
4.用一个平面去截一个圆锥,得到的截面图形可能是 (　　)
A.矩形　B.圆形　C.梯形　D.正方形
二、多选题
5.下列说法正确的是 (　　)
A.圆柱的母线与它的轴可以不平行
B.圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形
C.在圆台的上、下两底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线
D.圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的
6.下列关于球体的说法正确的是 (　　)
A.球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
B.球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
C.一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体
D.球的对称轴只有1条
三、填空题
7.给出以下说法:
①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长;②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长;③用一个平面截一个球,得到的截面可以是一个正方形;④球常用表示球心的字母表示.
其中说法正确的是________(填序号).
8.(教材改编题)如图所示的立体图形可由平面图形__________绕轴旋转而成.
四、解答题
9.(教材改编题)指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的.
10.一个圆锥的高为2 cm,母线与轴的夹角为30°,求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积.
【素养提升组】
一、选择题
1.如图所示的几何体,关于其结构特征,下列说法不正确的是 (　　)
A.该几何体是由2个同底的四棱锥组成的几何体
B.该几何体有12条棱、6个顶点
C.该几何体有8个面,并且各面均为三角形
D.该几何体有9个面,其中一个面是四边形,其余各面均为三角形
2.(多选题)下面关于空间几何体叙述正确的是 (　　)
A.正四棱柱是长方体
B.底面是正多边形的棱锥是正棱锥
C.有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台
D.直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥
二、填空题
3.某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm,如图所示,则该地球仪的半径是
________cm.
4.已知圆锥底面半径为1,母线长为3,某质点从圆锥底面圆周上一点A出发,绕圆锥侧面一周,再次回到A点,则该质点经过的最短路程为__________.
三、解答题
5.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径的比为1∶4,母线长为10 cm,求圆锥的母线长.
6.(教材改编题)如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,且AD第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体
的结构特征
必备知识·落实
1.矩形的一边
2.一条直角边
3.平行于圆锥底面　截面
4.它的直径所在直线
5.球面和球是两个完全不同的概念,球是球面围成的空间,球面是球的表面部分;球可以看作“实心”的,球面应看作“空心”的.
6.简单几何体
知能素养·进阶
【基础巩固组】
1.C　因为通过圆台侧面一点只有一条母线,所以A不正确;因为棱柱的底面不一定是平行四边形,可以是任意多边形,所以B不正确;因为由棱台的定义,要求上、下底面平行,所以D不正确;因为圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形,三角形的两腰是其母线,所以C正确.
2.D　将阴影部分图形绕图示直线l旋转一周所得的几何体是一个圆锥内部挖去一个球后组成的简单组合体.
3.B　当围成的圆柱底面周长为4,高为2时,设圆柱底面圆的半径为r,则2πr=4,所以r=,所以轴截面是长为2、宽为的矩形,所以轴截面的面积为2×=.同理,当围成的圆柱底面周长为2,高为4时,轴截面的面积也为.
4.B　因为圆锥的侧面是曲面,底面是圆,所以用一个平面去截一个圆锥,得到的截面图形可能是圆形,不可能是矩形、梯形、正方形.
5.BD　圆柱的母线与它的轴是平行的,所以A错误;圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形,所以B正确;在圆台的上、下两底面圆周上各取一点,这两点的连线不一定是圆台的母线,所以C错误;圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的,所以D正确.
6.BC　空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面,所以A错误,B正确;由球体的定义,知C正确;球的每一条直径所在的直线均为它的对称轴,所以D错误.
7.【解析】根据球的定义知,①正确;因为球的直径必过球心,所以②不正确;因为球的任何截面都是圆面,所以③不正确;球常用表示球心的字母表示,④正确.
答案:①④
8.【解析】题图中的半球可由③绕轴旋转一周而成,也可由④绕轴旋转180°而成.
答案:③④
9.【解析】(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成.
(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成.
(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成.
10.【解析】如图轴截面SAB,圆锥SO的底面直径为AB,SO为高,SA为母线,则
∠ASO=30°.
在Rt△SOA中,AO=SO·tan 30°=(cm).
SA===(cm).
所以S△ASB=SO·2AO=(cm2).
所以圆锥的母线长为 cm,圆锥的轴截面的面积为 cm2.
【素养提升组】
1.D　该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥,因此它是这两个四棱锥的组合体,所以四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面,故D说法不正确.
2.AD　因为正四棱柱是底面为正方形的直棱柱,所以正四棱柱是长方体,故选项A正确;因为底面是正多边形,并且顶点在底面内的射影是底面中心,这样的棱锥叫做正棱锥,故选项B错误;由棱台的定义,棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面间的部分叫做棱台,故选项C错误;直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥,故选项D正确.
3.【解析】如图所示,
由题意知,北纬30°所在小圆的周长为12π,
则该小圆的半径r=6,其中∠ABO=30°,
所以该地球仪的半径R==4 cm.
答案:4
4.【解析】如图,根据题意得该质点经过的最短路程为侧面展开图中弦AA'的长度.因为底面圆的周长为2π,母线长为3,所以侧面展开图的扇形的圆心角为,即
∠ASA'=,所以在Rt△ASD中,∠ASD=,AS=3,所以AD=AS·sin∠ASD=,所以AA'=3.
答案:3
5.【解析】设圆锥的母线长为y cm,圆台的上、下底面半径分别为x cm、4x cm,作圆锥的轴截面如图,
在Rt△SOA中,O'A'∥OA,所以SA'∶SA=O'A'∶OA,
即(y-10)∶y=x∶4x,所以y=,
所以圆锥的母线长为 cm.
6.【解析】如图所示,旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体.8.2　立体图形的直观图
1.斜二测画法
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',且使∠x'O'y'=________,它们确定的平面表示水平面.
(2)已知图形中________x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成________x'轴或y'轴的线段.
(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中______________,平行于y轴的线段,在直观图中______________.
2.用斜二测画法画出的平面图形的直观图是一样的吗
3.直观图与原图形面积之间有何关系
4.与画水平放置的平面图形直观图相比,用斜二测画法画立体图形的直观图时还要注意哪些方面
【基础巩固组】
一、单选题
1.(教材改编题)长方形的直观图可能为下图中的哪一个 (　　)
A.①②　B.①②③　C.②⑤　D.③④⑤
2.如图甲所示为一个平面图形的直观图,则此平面图形可能是图乙中的 (　　)
3.一个水平放置的三角形的斜二测直观图是有一条边水平的等边三角形,则这个三角形一定是 (　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.以上都有可能
4.如图,边长为1的正方形O'A'B'C'是一个水平放置的平面图形OABC的直观图,则图形OABC的面积是 (　　)
A. B. C. D.2
二、多选题
5.等腰三角形ABC的直观图可能是 (　　)
A.① B.② C.③ D.④
6.(教材改编题)给出以下关于斜二测直观图的结论,其中正确的是 (　　)
A.角的水平放置的直观图一定是角
B.最长的线段在直观图中对应的线段仍最长
C.相等的线段在直观图中仍然相等
D.若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行
三、填空题
7.水平放置的△ABC的直观图如图所示,已知A'C'=4,B'C'=,则原图中AB边上中线的实际长度为________.
8.在如图所示的直观图中,四边形O'A'B'C'为菱形且边长为2 cm,则在xOy坐标系中原四边形OABC为________(填形状),面积为________cm2.
四、解答题
9.如图,一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,求原图形的面积.
10.(教材改编题)
用斜二测画法画出图中五边形ABCDE的直观图.
【素养提升组】
一、选择题
1.把四边形ABCD按斜二测画法得到平行四边形A'B'C'D'(如图所示),其中B'O'=O'C'=2,O'D'=.则四边形ABCD一定是一个 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.梯形 B.矩形 C.正方形 D.菱形
2.(多选题)如图所示是水平放置三角形的直观图,点D'是△A'B'C'的B'C'边的中点,A'B',B'C'分别与y'轴、x'轴平行,则三条线段AB,AD,AC中 (　　)
A.最长的是AB　　 　B.最长的是AC
C.最短的是AC D.最短的是AB
二、填空题
3.一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面大小一样,已知长方体的长、宽、高分别为20 m,5m,10 m,四棱锥的高为8 m,若按1∶500的比例画出它的直观图,那么直观图中长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为___________.
4.已知一矩形的长为6,用斜二测画法画出其水平放置的直观图的面积为3,则原矩形的宽为________.
三、解答题
5.如图所示,在△ABC中,AC=12 cm,AC边上的高BD=12 cm.
(1)画出水平放置的△ABC的直观图;
(2)求直观图的面积.
6.(教材改编题)作出底面边长为2,侧棱长为3的正三棱柱的直观图.
8.2　立体图形的直观图
必备知识·落实
1.(1)45°(或135°)　(2)平行于　平行于
(3)保持原长度不变　长度为原来的一半
2.不一定,如果建立坐标轴不同,作出的直观图不一定相同.
3.若一个平面多边形的面积为S,其直观图的面积为S',则有S'=S或S=2S'.
4.(1)画轴时,与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴,直观图中与之对应的是z'轴.
(2)平行于z轴(或在z轴上)的线段,在其直观图中平行性和长度都不变.
知能素养·进阶
【基础巩固组】
1.C　由斜二测画法知,平行线依然平行,但是直角不再是直角,所以②⑤正确.
2.C　直观图中有两边分别与坐标轴平行,所以原图中这两边必垂直,符合条件的只有C.
3.C　一个水平放置的三角形的斜二测直观图是有一条边水平的等边三角形,则这个三角形一定是钝角三角形,如图:
4.D　还原直观图为原图形如图所示,
因为O'A'=1,所以O'B'=,还原回原图形后,OA=O'A'=1,OB=2O'B'=2.
所以原图形的面积为1×2=2.
5.CD　由题意得,由直观图的画法可知:当∠x'O'y'=45°时,等腰三角形的直观图是④;当∠x'O'y'=135°时,等腰三角形的直观图是③;综上,等腰三角形ABC的直观图可能是③④.
6.AD　由斜二测画法规则可知,直观图保持线段的平行性,所以D对,A对;而线段的长度,角的大小在直观图中都会发生改变,所以B,C错.
7.【解析】由直观图得出原平面图形△ABC,如图所示:
则直观图中A'C'=4,B'C'=,所以△ABC是直角三角形,且AC=4,BC=3,所以AB=5,
可得AB边上的中线长度为.
答案:
8.【解析】由斜二测画法可知,四边形OABC为矩形,其中OA=2 cm,OC=4 cm,所以矩形OABC的面积S=2×4=8 cm2.
答案:矩形　8
9.【解析】一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,所以原图形ABCD为直角梯形,且AB⊥BC,且AB=2A'B'=2,AD=A'D'=1,又等腰梯形A'B'C'D'中,B'C'=1+2×=1+,所以BC=B'C'=1+,所以
S梯形ABCD=(AD+BC)·AB=×(1+1+)×2=2+,所以原图形的面积为2+.
10.【解析】过点A作AO⊥CD,建立平面直角坐标系如图,作BF⊥x轴,EG⊥x轴,垂足分别为F,G,
(1)作坐标系x'O'y',使∠x'O'y'=45°;
(2)在x'轴上取点C',D',F',G'使O'C'=OC,O'D'=OD,O'F'=OF,O'G'=OG;
(3)在y'轴上取点A',使O'A'=OA,作F'B'∥y'轴,使F'B'=FB,作G'E'∥y'轴,使G'E'=GE;
(4)连接A'B',B'C',D'E',E'A',得五边形ABCDE的直观图.(正五边形的直观图的形状如图所示)
【素养提升组】
1.D　根据斜二测直观图还原原平面四边形ABCD如图所示:
由图可知,OD⊥BC,OC=OB=2,OD=2O'D'=2,
由勾股定理可得,CD==4=BC,在斜二测直观图中,四边形A'B'C'D'为平行四边形,则A'D'∥B'C'且A'D'=B'C',在四边形ABCD中,AD∥BC且AD=BC,所以,四边形ABCD为菱形.
2.BD　由题意知,在原图形△ABC中,AB⊥BC,AD为BC边上的中线,所以最长的是AC,最短的是AB.
3.【解析】由比例可知长方体的长、宽、高和棱锥的高,应分别为4 cm,1cm,2 cm和1.6 cm,再结合直观图,与x,z轴平行的直线长度不变,与y轴平行的直线长度为原图的,则图形的尺寸应为4 cm,0.5cm,2cm,1.6 cm.
答案:4 cm,0.5cm,2cm,1.6 cm
4.【解析】用斜二测画法画出矩形水平放置的直观图面积为S'=3,则原矩形的面积为S=2S'=3×2=12;所以原矩形的宽为b==2.
答案:2
5.【解析】(1)①以D为原点,AC所在直线为x轴,DB所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图①,
②画出对应的x',y'轴,使∠x'D'y'=45°,
在x'轴上取点A',C',使D'A'=DA,D'C'=DC,
在y'轴上取点B',使D'B'=DB,
连接A'B',C'B',则△A'B'C'即为△ABC的直观图,如图②.
(2)在图②中,作B'E⊥A'C',E为垂足,
因为D'B'=DB=6 cm,∠B'D'E=45°,
所以B'E=6×=3(cm),
所以S△A'B'C'=×A'C'×B'E=×12×3
=18(cm2).
6.【解析】(1)画轴.如图①,画出x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画底面.在x轴上取A,B两点使OA=OB=1,在y轴上取C点使OC=,作水平放置的等边三角形(俯视图)的直观图△ABC.
(3)画侧棱.过A,B,C各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取线段AA',BB',CC',且AA'=BB'=CC'=3,如图①.
(4)成图.顺次连接A',B',C',并加以整理(擦去辅助线,将遮挡部分用虚线表示),得到的图形就是所求的几何体的直观图,如图②.8.3　简单几何体的表面积与体积
8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的________.
2.棱柱、棱锥、棱台的体积
体积 说明
棱柱 V棱柱=Sh S为棱柱的________,h为棱柱的________
棱锥 V棱锥=Sh S为棱锥的________,h为棱锥的________
棱台 V棱台=(S'+ +S)h S',S分别为棱台的________________,h为棱台的________
3.棱柱、棱锥、棱台体积之间有何内在关系
【基础巩固组】
一、单选题
1.正方体的表面积为96,则正方体的体积为 (　　)
A.48　　B.64　　C.16　　D.96
2.(教材改编题)侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥,底面边长为a时,该三棱锥的表面积是 (　　)
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
3.已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3,体对角线的长是2,则这个长方体的体积是 (　　)
A.6 B.12 C.24 D.48
4.在棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1中,三棱锥B-AB1C1的体积为 (　　)
A. B. C. D.
二、多选题
5.下列说法正确的有 (　　)
A.多面体的表面积等于围成多面体的各个面的面积之和
B.棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的
C.沿不同的棱将多面体展开,得到的展开图相同,表面积相等
D.多面体的侧面积等于各个侧面的面积之和
6.三棱柱的底面是正三角形,侧棱垂直于底面,它的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形,则它的体积可能为 (　　)
A. B. C.2 D.4
三、填空题
7.已知一个正六棱锥的底面边长为1,侧棱长为,那么它的体积为________.
8.如图,一个棱长为4的正方体被挖去一个高为4的正四棱柱后得到图中的几何体,若该几何体的体积为60,则挖去的正四棱柱的底边边长为________,该几何体的表面积为________.
四、解答题
9.如图,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E为AA1的中点,F为CC1上一点,求三棱锥A1-D1EF的体积.
10.如图,正六棱锥被过棱锥高PO的中点O'且平行于底面的平面所截,得到正六棱台OO'和较小的棱锥PO'.
(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比;
(2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm,小棱锥的底面边长为4 cm,求截得的棱台的侧面面积和表面积.
【素养提升组】
一、选择题
1.过棱锥各侧棱中点的截面将棱锥分成上下两部分,则这两部分的体积之比为 (　　)
A.2∶5 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶7
2.开尔文胞体是一种多面体,它由正六边形和正方形围成(其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形),已知该多面体共有24个顶点,且棱长为2,则该多面体的表面积是(　　)
A.24(+1) B.24+6
C.48+24 D.16+8
二、填空题
3.一个正四棱台,其上、下底面均为正方形,边长分别为8 cm和18 cm,侧棱长为13 cm,则这个正四棱台的侧面积为________cm2,表面积为________cm2.
4.(教材改编题)如图1,一个正三棱柱容器,底面边长为a,高为2a,内装水若干,将容器放倒,把一个侧面作为底面,如图2,这时水面恰好为中截面,则水的体积为________,图1中容器内水面的高度是________.
三、解答题
5.如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为4的正方形,EF∥AB,EF=2,EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3,求该多面体的体积.
6.用硬纸做一个体积为32,高为2的长方体无盖纸盒,这个纸盒的长、宽各为多少时,表面积最小 并求出最小值.
8.3　简单几何体的表面积与体积
8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
必备知识·落实
1.和
2.底面积　高　底面积　高　上、下底面面积　高
3.棱柱、棱锥、棱台体积之间的关系:
知能素养·进阶
【基础巩固组】
1.B　设正方体的棱长为a,则6a2=96,解得a=4,所以正方体的体积为43=64.
2.A　因为侧面都是等腰直角三角形,故侧棱长等于a,
所以S表=a2+3××=a2.
3.D　设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x,2x,3x,又体对角线长为2,
则x2+(2x)2+(3x)2=(2)2,
解得x=2.
所以三条棱长分别为2,4,6.
所以V长方体=2×4×6=48.
4.A　如图所示,
正方体ABCD -A1B1C1D1中,棱长AB=1,
则三棱锥B-AB1C1的体积为:
=
=××B1C1
=××1×1×1
=.
5.AD　A正确.多面体的表面积等于围成多面体的侧面积与底面积之和.B错误.棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的,不一定是等腰梯形.C错误.由于剪开的棱不同,同一个几何体的表面展开图可能不相同.但是,不论怎么剪,同一个多面体表面展开图的面积是一样的.D正确.多面体的侧面积等于各个侧面的面积之和.
6.BD　由题意可知该三棱柱为正三棱柱,因为正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形,所以有如下两种情况:
(1)6是底面周长,4是三棱柱的高,此时底面积S=×2×=,体积V=Sh=4;
(2)4是底面周长,6是三棱柱的高,此时底面积S=××=,体积V=Sh=.
7.【解析】因为正六棱锥的高h==2,所以V=Sh=×6××2=.
答案:
8.【解析】设正四棱柱的底面边长为m,则4(42-m2)=60,解得m=1,
所以该几何体的表面积为42×4+(42-12)×2+4×1×4=110.
答案:1　110
9.【解析】由题图易知=,
因为=EA1·A1D1=a2,
又三棱锥F-A1D1E的高为CD=a,
所以=×a×a2=a3,
所以=a3.
10.【解析】(1)由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧=1∶4,则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧=4∶1∶3.
(2)如图所示,因为小棱锥的底面边长为4 cm,
所以大棱锥的底面边长为8 cm,
又PA=12 cm,所以A1A=6 cm.
又梯形ABB1A1的高h'==4(cm),
所以S棱台侧=6××4=144(cm2),
所以S棱台表=S棱台侧+S上底+S下底=144+24+96=(144+120) cm2
【素养提升组】
1.D　过棱锥各侧棱中点的截面将棱锥分成上下两部分,以三棱锥为例如图所示:
因为△EFG与△BCD的相似比为1∶2,
则S△EFG=S△BCD,而棱锥A-EFG与棱锥A-BCD的高也是1∶2.所以VA-EFG∶VA-BCD=1∶8,
即有VA-EFG∶VEFG-BCD=1∶7.
2.C　边长为2的正方形的面积为2×2=4,正六边形的面积为6××2×2×=6.
又正方形有4个顶点,正六边形有6个顶点,该多面体共有24个顶点,
所以该多面体共有=6个正方形,有=8个正六边形.
所以该多面体的表面积S=8×6+6×4=48+24.
3.【解析】由已知可得正四棱台侧面梯形的高为
h==12(cm),
所以S侧=4××(8+18)×12=624(cm2),
S上底=8×8=64(cm2),S下底=18×18=324(cm2),于是表面积为S=624+64+324=
1 012(cm2).
答案:624　1 012
4.【解析】在题图2中,水所占部分为四棱柱.四棱柱底面积为S=×a2×
sin 60°-××sin 60°=a2,高为2a,体积为V=a2×2a=a3,设题图1中水高度为h,则V=×a2×sin 60°×h=a3,解得h=a.
答案:a3　a
5.【解析】如图,连接EB,EC,AC.V四棱锥E-ABCD=×42×3=16.
因为AB=2EF,EF∥AB,所以S△EAB=2S△BEF.
所以V三棱锥F-EBC=V三棱锥C-EFB=V三棱锥C-ABE=V三棱锥E-ABC
=×V四棱锥E-ABCD=4.
所以多面体的体积V=V四棱锥E-ABCD+V三棱锥F-EBC=16+4=20.
6.【解析】设底面矩形的长为x,则宽为,记所求表面积为S,则S=16+2×2x+2×2×=16+4x+,
因为x>0,所以4x+≥2=32,
即S≥32+16=48,当且仅当4x=,即x=4时取等号,此时宽也为4.所以当这个纸盒的长为4、宽为4时,表面积最小,最小值为48.8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱 侧面积:S侧=______ 表面积:S=________
圆锥 侧面积:S侧=______ 表面积:S=________
圆台 侧面积:S侧=__________ 表面积:S=____________
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有什么关系
3.圆柱、圆锥、圆台的体积
圆柱 V圆柱=Sh=______
圆锥 V圆锥=Sh=______
圆台 V圆台=(S++S')h =π(r2+rr'+r'2)h
4.圆柱、圆锥、圆台体积公式之间有什么关系 __________________.
5.球的表面积和体积公式
(1)表面积公式S=____________;
(2)体积公式V=______________. (R为球的半径)
【基础巩固组】
一、单选题
1.已知一个圆柱的表面积等于侧面积的,且其轴截面的周长为16,则该圆柱的体积为 (　　)
A.8π B.16π C.27π D.36π
2.一个圆锥的表面积为π,它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形,则该圆锥的高长为 (　　)
A. B.2 C. D.
3.(教材改编题)将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球,则该球的体积为 (　　)
A.π B.π C. D.
4.若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 (　　)
A.12π B.24π
C.36π D.144π
二、多选题
5.等腰直角三角形直角边长为1 ,现将该三角形绕其某一边旋转一周 ,则所形成的几何体的表面积可以为 (　　)
A.π B.(1+)π
C.2π D.(2+)π
6.圆柱的侧面展开图是边长分别为2a,a的矩形,则圆柱的体积为 (　　)
A.　　　　　　　　B.
C. D.
三、填空题
7.已知一圆台的底面圆的周长分别为4π和10π,高为4,则圆台的表面积为________.
8.两个半径为1的铁球,熔化后铸成一个大球,则这个大球的半径为________.
四、解答题
9.如图,圆柱的底面半径为2,球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面.
(1)计算圆柱的表面积;
(2)计算图中圆锥、球、圆柱的体积比.
10.如图所示,一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋,请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径,杯子壁厚忽略不计),使冰淇淋融化后不会溢出杯子,怎样设计最省材料 材料最省为多少
【素养提升组】
一、选择题
1.已知正四面体A-BCD外接球的表面积为12π,则该正四面体的表面积为 (　　)
A.4 B.6 C.8 D.12
2.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题,大概意思如下:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水,天池盆盆口直径为2尺8寸,盆底直径为1尺2寸,盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸,则平均降雨量是(注:①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②1尺等于10寸) (　　)
A.3寸 B.4寸 C.5寸 D.6寸
二、填空题
3.(教材改编题)某种浮标是一个半球,其直径为0.2 m,如果在浮标的表面涂一层防水漆,每平方米需要0.5 kg涂料,那么给1 000个这样的浮标涂防水漆需要涂料______kg.(π取3.14)
4.如图为一个盛满水的圆锥形玻璃杯,现将一个球状物体放入其中,使其完全浸没于杯中,球面与圆锥侧面相切,且与玻璃杯口所在平面相切,则溢出水的体积为________.
三、解答题
5.(教材改编题)如图,在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱,求圆柱的表面积.
6.已知圆柱的底面半径为2,高为3,垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形ABCD(如图).若底面圆的弦AB所对的圆心角为,求圆柱被分成两部分中较大部分的体积.
8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
必备知识·落实
1.2πrl　2πr(r+l)　πrl　πr(r+l)
π(r'l+rl)　π(r'2+r2+r'l+rl)
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系:
S圆柱侧=2πrlS圆台侧=π(r'+r)lS圆锥侧=πrl.
3.πr2h　πr2h
4.圆柱、圆锥、圆台体积公式之间的关系:
5.(1)4πR2　(2)πR3
知能素养·进阶
【基础巩固组】
1.B　设圆柱的底面半径为r,母线长为l,
则,解得.
所以该圆柱的体积为V=π×22×4=16π.
2.D　设圆锥底面半径是r,母线长l,所以πr2+πrl=π,即r2+rl=1.①,根据圆心角公式得π=,即l=3r②,由①②解得r=,l=,
所以高h===.
3.D　将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球,该球为正方体的内切球,其半径为,所以球的体积为π×=.
4.C　这个球是正方体的外接球,其半径等于正方体的体对角线的一半,
即R==3,
所以,这个球的表面积为S=4πR2=4π×32=36π.
5.AB　如果是绕直角边旋转,形成圆锥,圆锥底面半径为1,高为1,母线就是直角三角形的斜边,所以所形成的几何体的表面积为S=πrl+πr2=π×1×+π×12=(+1)π.
如果绕斜边旋转,形成的是上下两个圆锥,圆锥的半径是直角三角形斜边的高,两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边,母线长是1,所以形成的几何体的表面积为
S=2×πrl=2×π××1=π.
综上可知形成几何体的表面积是(+1)π或π.
6.AB　设圆柱底面半径为r,若高是a,则2πr=2a,r=,V=πr2a=π××a=,若高是2a,则2πr=a,r=,V=πr2·2a=π××2a=.
7.【解析】设圆台的上下底面半径分别为r,R,
则2πr=4π,2πR=10π,r=2,R=5,
圆台的母线长l==5,
所以圆台的表面积S=4π+25π+×5×(4π+10π)=4π+25π+35π=64π.
答案:64π
8.【解析】设大球的半径为r,则π×13×2=πr3,所以r=.
答案:
9.【解析】(1)由已知可得圆柱的高和圆锥的高均为4,故圆柱的表面积S=2×π×22+2π×2×4=24π.
(2)因为圆锥的底面半径为2,高为4,所以圆锥的体积
V圆锥=×π×22×4=;
因为球的直径与圆柱底面的直径相等,所以球的半径为2,所以球的体积V球=×23=;
又圆柱的体积V圆柱=π×22×4=16π;
所以V圆锥∶V球∶V圆柱=∶∶16π=1∶2∶3.
10.【解析】要使冰淇淋融化后不会溢出杯子,则必须有V圆锥≥V半球,
而V半球=××43,V圆锥=π×42×h,
则有π×42×h≥××43,解得h≥8,
即当圆锥形杯子的高大于或等于8 cm时,冰淇淋融化后不会溢出杯子.
又因为S圆锥侧=4π,
所以当高为8 cm时,制作的杯子最省材料,材料最省为16π cm2.
【素养提升组】
1.C　设外接球半径为R,则S=4πR2=12π,解得R=,将正四面体A-BCD恢复成正方体,知正四面体的棱为正方体的面对角线,故AB××=2,解得AB=2,故该正四面体的表面积为4××(2)2=8.
2.A　作出圆台的轴截面如图所示:
由题意知,BF=14寸,OC=6寸,OF=18寸,OG=9寸.
即G是OF的中点,所以GE为梯形OCBF的中位线,
所以GE==10(寸).
所以盆中积水的体积为π×(100+36+10×6)×9=588π(立方寸),
又盆口的面积为142π=196π(平方寸),
所以平均降雨量是=3(寸),
即平均降雨量是3寸.
3.【解析】由题意知,半球的半径R=0.1 m.一个浮标的表面积S=·4πR2+πR2=3πR2=3×3.14×0.12=0.094 2 m2,所以1 000个浮标涂防水漆需要涂料1 000×0.5×0.0 942=47.1(kg).
答案:47.1
4.【解析】如图,球心为圆锥截面三角形的中心,
圆锥截面为正三角形,且边长为2,设球的半径为r,则r=×=.溢出水的体积等于球的体积:π×()3=.
答案:
5.【解析】设圆锥的底面半径为R,圆柱的底面半径为r,高为h,表面积为S,则R=OC=2,AC=4,AO==2,h=,AE=AO-h=.
如图所示,易知△AEB∽△AOC,所以=,
即=,所以r=1,
S圆柱底=2πr2=2π,S圆柱侧=2πr·h=2π.
所以S=S圆柱底+S圆柱侧=2π+2π=(2+2)π.
6.【解析】设截面ABCD将圆柱分成的两部分中较大部分的体积为V1,圆柱的体积为V,DC将圆柱的底面分成的两部分中,较大部分的面积为S1,圆柱的底面积为S,
则S1=×π×22+×2×2×=+,
V=π×22×3=12π,S=π×22=4π,
所以依题意可得=,
则V1=V=×12π=10π+3.8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1　平面
1.平面
平面是由点构成,平的,向四周__________.
2.平面基本事实及其推论
(1)基本事实
基本事实1:过不在一条直线上的三个点,有__________个平面;
基本事实2:如果一条直线上的________在一个平面内,那么这条直线在这个平面内;
基本事实3:
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有__________条过该点的公共直线.
(2)推论
推论1:经过一条直线和______________,有且只有一个平面;
推论2:经过______________,有且只有一个平面;
推论3:经过______________,有且只有一个平面.
3.经过空间中三个点可以作出几个平面
【基础巩固组】
一、单选题
1.(教材改编题)能确定一个平面的条件是 (　　)
A.空间三个点
B.一个点和一条直线
C.无数个点
D.两条相交直线
2.若直线l上有两个点在平面α外,则 (　　)
A.直线l上至少有一个点在平面α内
B.直线l上有无穷多个点在平面α内
C.直线l上所有点都在平面α外
D.直线l上至多有一个点在平面α内
3.若两个不重合的平面有公共点,则公共点有 (　　)
A.1个
B.2个
C.1个或无数个
D.无数个且在同一条直线上
4.如果直线a 平面α,直线b 平面α,且a∥b,M∈a,N∈b,且M∈l,N∈l,那么 (　　)
A.l α B.l α
C.l∩α=M D.l∩α=N
二、多选题
5.如果一条直线与两条直线都相交,那么这三条直线共可确定的平面个数为 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
6.在空间中,下列结论正确的是 (　　)
A.三角形确定一个平面
B.四边形确定一个平面
C.梯形可确定一个平面
D.圆心和圆上两点确定一个平面
三、填空题
7.用符号语言表示以下各概念:
①点A,B在直线a上__________;
②直线a在平面α内__________.
8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,试根据图形填空:
(1)平面AA1B1B∩平面A1B1C1D1=______________;
(2)平面A1C1CA∩平面ABCD=__________.
四、解答题
9.如图,已知:a α,b α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a,求证:PQ α.
10.如图所示,直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线,并说明理由.
【素养提升组】
一、选择题
1.如图,α∩β=l,A∈α,B∈α,C∈β,C l,直线AB∩l=D,A,B,C三点确定的平面为γ,则平面γ,β的交线必过 (　　)
A.点A 　　 B.点B
C.点C,但不过点D 　　 D.点C和点D
2.(多选题)三条两两平行的直线可以确定平面的个数可能为 (　　)
A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.3
二、填空题
3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1的所有棱中,既与AB共面,又与CC1共面的棱有________条.
4.空间中三个平面最少把空间分成________部分;最多把空间分成________部分.
三、解答题
5.如图,已知平面α, β, 且α∩β=l.设在梯形ABCD中,AD∥BC,且AB α,CD β.
求证:AB,CD,l共点(相交于一点).
6.如图所示,E,F分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1和AA1的中点,你能利用所学的知识,画出平面BED1F与平面ABCD的交线吗
8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1　平面
必备知识·落实
1.无限延展
2.(1)且只有一　两个点　且只有一
(2)这条直线外一点　两条相交直线　两条平行直线
3.当三个点共线时可以作出无数个平面;当三个点不共线时只能作唯一的一个平面.
知能素养·进阶
【基础巩固组】
1.D　不在同一条直线上的三个点可确定一个平面,A,B,C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点,故不正确.
2.D　由已知得直线l α,故直线l上至多有一个点在平面α内.
3.D　利用基本事实3可知如果两个平面有一个公共点,则它们就一定有一条交线,而线是由无数个点构成的,所以这两个平面有无数个在同一直线上的公共点.
4.A　因为M∈a,N∈b,a α,b α,所以M∈α,N∈α.而M,N确定直线l,根据基本事实2可知,l α.
5.BCD　如果三条直线都交于一点,且三线不共面,则每两条直线都确定一个平面,共确定3个平面;
如果三条直线两两相交,交于不同的三点,则只确定1个平面;如果两条直线不在同一个平面内,另一条与其均相交,则只确定2个平面;如果两条直线平行,另一条与其均相交,则只确定1个平面.综上,这三条直线共可确定1或2或3个平面.
6.AC　对于选项A,三角形的三个顶点不共线,不共线的三点确定的平面有且只有一个,故正确.
对于选项B,四边形假设为空间四边形,确定的平面可能有四个,故错误.
对于选项C,由于梯形有两条对边平行,所以确定的平面有且只有一个,故另两条边也在该平面上,故正确.
对于选项D,当圆心和圆上的两点在同一条线上时,不能确定一个平面,故错误.
7.①A∈a,B∈a　②a α
8.【解析】由题图可知,平面AA1B1B∩平面A1B1C1D1=直线A1B1;平面A1C1CA∩平面ABCD=直线AC.
答案:(1)直线A1B1　(2)直线AC
9.【证明】因为PQ∥a,所以PQ与a确定一个平面β.
所以直线a β,点P∈β.
因为P∈b,b α,所以P∈α.
又因为a α,所以α与β重合.所以PQ α.
10.【解析】由题意知,点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点,即点S在平面SBD和平面SAC的交线上.由于AB>CD,则分别延长AC和BD交于点E,如图所示.
因为E∈AC,AC 平面SAC,所以E∈平面SAC.
同理可证E∈平面SBD,
所以点E在平面SBD和平面SAC的交线上.
连接SE,故直线SE是平面SBD和平面SAC的交线.
【素养提升组】
1.D　A,B,C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合,故C,D∈γ,又C,D∈β,故C,D在γ和β的交线上.
2.BD　当三条直线是同一平面内的平行直线时,确定一个平面;当三条直线是三棱柱侧棱所在的直线时,确定三个平面.
3.【解析】由题图可知,既与AB共面又与CC1共面的棱有CD,BC,BB1,AA1,C1D1共5条.
答案:5
4.【解析】当三个平面两两平行时,可以把空间分成四部分,当三个平面两两相交且存在一个公共点时,把空间分成8部分.
答案:4　8
5.【证明】因为在梯形ABCD中,AD∥BC,所以AB,CD是梯形ABCD的两腰.
所以AB,CD必定相交于一点.设AB∩CD=M.又因为AB α,CD β,所以M∈α,M∈β.
所以M∈α∩β.又因为α∩β=l,所以M∈l.即AB,CD,l共点(相交于一点).
6.【解析】如图,在平面AA1D1D内,D1F与DA不平行,分别延长D1F与DA,则D1F与DA必相交,设交点为M,连接MB,
因为M∈FD1,M∈DA,FD1 平面BED1F,DA 平面ABCD,所以M在平面BED1F与平面ABCD的交线上,又B在平面BED1F与平面ABCD的交线上,所以平面BED1F∩平面ABCD=MB.
故直线MB为所求作的两平面的交线.8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系
1.空间两条直线的位置关系
相交直线、__________、__________.
2.空间中直线与平面之间的位置关系
直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行;其中______________、______________称为直线在平面外.
3.空间中两个平面的位置关系
平面与平面平行、______________.
4.分别在两个平面内的直线是异面直线吗
5.异面直线的判定
直线a α,b∩α=A,A a 直线a,b是异面直线.
【基础巩固组】
一、单选题
1.(教材改编题)已知直线m 平面α,P m,Q∈m,则 (　　)
A.P α,Q∈α B.P∈α,Q α
C.P α,Q α D.Q∈α
2.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 (　　)
A.2对 B.3对 C.6对 D.12对
3.如图是一正方体的表面展开图,MN和PQ是两条面对角线,则在正方体中,直线MN与直线PQ的位置关系为 (　　)
A.相交 B.平行 C.异面 D.重合
4.下列说法中,正确的个数是 (　　)
①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条直线也和这个平面相交;
②经过两条异面直线中的一条直线,有一个平面与另一条直线平行;
③两条相交直线,其中一条与一个平面平行,则另一条一定与这个平面平行.
A.0 B.1 C.2 D.3
二、多选题
5.如果点M是两条异面直线a,b外的一点,则过点M且与a,b都平行的平面 (　　)
A.可能有一个 B.恰有两个
C.可能没有 D.有无数个
6.在正方体的一个面所在的平面内任意画一条直线,则与它异面的正方体的棱的条数可能是 (　　)
A.8　　　　B.7　　　　C.6　　　　D.5
三、填空题
7.若一个平面内的一条直线与另一个平面相交,则这两个平面的位置关系是________.
8.如图,在过正方体ABCD-A1B1C1D1的任意两个顶点的所有直线中,与直线AC1异面的直线的条数为________.
四、解答题
9.用符号语言描述图形中的直线、平面之间的位置关系.
(1)
(2)
10.求证:与两条异面直线分别相交的两条直线不平行.
【素养提升组】
一、选择题
1.在以下四个图中,直线a与直线b平行的位置关系只能是 (　　)
2.平面α∥平面β,直线a∥α,则 (　　)
A.a∥β B.a在面β上
C.a与β相交 D.a∥β或a β
二、填空题
3.若直线l上有两点到平面α的距离相等,则直线l与平面α的关系是__________.
4.如图,点G,H,M,N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形是________.
三、解答题
5.如图,已知不共面的直线a,b,c相交于O点,M,O是直线a上的两点,N,Q分别是直线b,c上的一点,求证:MN和PQ是异面直线.
6.如图,已知平面α与平面β相交于直线m,直线n β,且m∩n=A,直线l α,且l∥m.证明:n,l是异面直线.
8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系
必备知识·落实
1.平行直线　异面直线
2.直线与平面相交　直线与平面平行
3.平面与平面相交
4.不一定,可能相交或者平行.
知能素养·进阶
【基础巩固组】
1.D　因为Q∈m,m α,所以Q∈α.
因为P m,所以有可能P∈α,也有可能P α.
2.C　如图所示,
在长方体中没有与体对角线平行的棱,要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线,只要去掉与AC1相交的六条棱,其余的都与体对角线异面,所以与AC1异面的棱有BB1,A1D1,A1B1,BC,CD,DD1,所以长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对.
3.C　根据题意,由正方体的表面展开图还原成正方体,如图,易得直线MN与PQ异面.
4.C　易知①正确,②正确.③中两条相交直线中一条与平面平行,另一条可能平行于平面,也可能与平面相交,故③错误.
5.AC　当点M在过a且与b平行的平面或过b且与a平行的平面内时,这样满足条件的平面没有;当点M不在上述两个平面内时,满足条件的平面只有一个.
6.ABC　在一个正方体内任意画一条直线,可能有如图所示的四种情况,
则分别对应每个图形找出其他平面内与这条直线异面的直线,
第一幅图可找出与直线异面的有4条,
第二幅图可找出与直线异面的有6条,
第三幅图可找出与直线异面的有7条,
第四幅图可找出与直线异面的有8条,
不可能有5条.
7.【解析】两平面有公共点,故两平面相交.
答案:相交
8.【解析】在过正方体ABCD-A1B1C1D1的任意两个顶点的所有直线中,与直线AC1异面的直线有A1D1,DD1,CD,A1B1,BC,BB1,B1D1,B1C,D1C,BD,A1D,A1B,共12条.
答案:12
9.【解析】(1)m α,n β,α∩β=l,m∥n∥l;
(2)a α,b β,α∩β=l,a∩b=M.
10.【证明】如图,
a与b是两条异面直线,AB,CD分别与a,b相交,若A与C(或B与D)重合,则AB与CD相交,AB与CD不平行;
若A与C,B与D均不重合,假设AB∥CD,则AB与CD共面α,
因为A,C都在直线a上,B,D都在直线b上,则a,b都在平面α内,与a与b是异面直线矛盾,假设错误.
综上,与两条异面直线分别相交的两条直线不平行.
【素养提升组】
1.D　选项A中,平面α,β内的两直线异面,则a与b异面;
选项B中,平面α,β内的两直线异面,则a与b异面;
选项C中,平面α,β内的两直线异面,则a与b异面;
选项D中,平面α,β内的两直线相交,两相交直线可以求得一个平面,则a与b相交或平行,由题图可知,a与b平行.
2.D　如图(1)满足a∥α,α∥β,此时a∥β;
如图(2)满足a∥α,α∥β,此时a β.
3.【解析】当这两点在α的同侧时,l与α平行;当这两点在α的异侧时,l与α相交.
答案:平行或相交
4.【解析】根据题意,
在①中,MG∥HN且MG=NH,则四边形MGHN是平行四边形,有HG∥MN,不是异面直线;
在②中,直线GH,MN既不平行也不相交,是异面直线;
在③中,GM∥HN且GM≠HN,故HG,NM必相交,不是异面直线;
在④中,直线GH,MN既不平行也不相交,是异面直线.
综合可得:②④正确.
答案:②④
5.【证明】方法一:(反证法)假设MN和PQ共面,设所确定的平面为α,那么点P,Q,M,N和O都在平面α内,所以直线a,b,c都在平面α内,
这与已知a,b,c不共面矛盾,
所以假设不成立,MN和PQ是异面直线.
方法二:(直接证法)因为a∩c=O,所以a,c确定一个平面,设为α,由已知P∈平面α,Q∈平面α,
所以PQ 平面α,又M∈平面α,且M PQ,N 平面α,所以MN和PQ是异面直线.
6.【证明】若n,l共面,设该平面为γ,
因为A∈n,n γ,所以A∈γ.又因为l γ,所以平面γ经过点A和直线l,所以平面γ与α重合.
由于α与γ重合,且m γ,所以平面γ经过直线m和n.因为m与n是相交直线,
所以γ与β也重合,于是α与β重合,
这就与条件α∩β=m矛盾,故假设不成立.
所以n,l是异面直线.8.5　空间直线、平面的平行
8.5.1　直线与直线平行
1.基本事实4
　　　　　　　　的两条直线平行.
2.等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角　　　　　　　　　　　　.
3.如果空间中两条相交直线与另外两条直线分别平行,那么两组直线所形成的锐角(或直角)什么关系
【基础巩固组】
一、单选题
1.下列四面体中,直线EF与MN平行的是(　　)
2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,M,N分别是棱AB,BC,A1B1,BB1,C1D1,CC1的中点,则下列结论正确的是 (　　)
A.直线GH和MN平行,GH和EF相交
B.直线GH和MN平行,MN和EF相交
C.直线GH和MN相交,MN和EF异面
D.直线GH和EF异面,MN和EF异面
3.在三棱台A1B1C1-ABC中,G,H分别是AB,AC的中点,则GH与B1C1的位置关系是(　　)
A.相交　　B.异面　　C.平行　　D.垂直
4.若异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=l,则直线l (　　)
A.与直线a,b都相交
B.至少与a,b中的一条相交
C.至多与a,b中的一条相交
D.与a,b中的一条相交,另一条平行
二、多选题
5.(教材改编题)已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中(如图),l 平面A1B1C1D1,且l与B1C1不平行,则下列可能成立的是(　　)
A.l与AD平行　　　　B.l与AD不平行
C.l与AC平行 D.l与BD垂直
6.如图,在四面体A-BCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法中正确的是 (　　)
A.M,N,P,Q四点共面
B.∠QME=∠CBD
C.△BCD∽△MEQ
D.四边形MNPQ为梯形
三、填空题
7.已知棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D'中,M,N分别为CD,AD的中点,则MN与A'C'的位置关系是　　　　.
8.在四棱锥P-ABCD中,E,F,G,H分别是PA,PC,AB,BC的中点,若EF=2,则GH=　　　　.
四、解答题
9.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P,经过点P作棱BC的平行线,应该怎样画 请说明理由.
10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.
(1)求证:四边形BB1M1M为平行四边形;
(2)求证:∠BMC=∠B1M1C1.
【素养提升组】
一、选择题
1.如图,在三棱锥P-ABC中,E,F,G,H,I,J分别为线段PA,PB,PC,AB,BC,CA的中点,则下列说法正确的是 (　　)
A.PH∥BG B.IE∥CP
C.FH∥GJ D.GI∥JH
2.如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,G,H分别在边CD,DA上,且满足CG=GD,DH=2HA,则四边形EFGH为 (　　)
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.梯形
二、填空题
3.如图是正方体的表面展开图,E,F,G,H分别是棱的中点,则EF与GH在原正方体中的位置关系为　　　　.
4.已知点E,E'分别是正方体ABCD-A'B'C'D'的棱AD,A'D'的中点,则∠BEC与∠B'E'C'　　　　.(填相等或互补)
三、解答题
5.在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别是棱AB,AD,B1C1,C1D1的中点,
求证:(1)EF∥E1F1;
(2)∠EA1F=∠E1CF1.
6.如图,△ABC和△A'B'C'的对应顶点的连线AA',BB',CC'交于同一点O,且.
(1)求证:A'B'∥AB,A'C'∥AC,B'C'∥BC;
(2)求的值.
8.5　空间直线、平面的平行
8.5.1　直线与直线平行
必备知识·落实
1.平行于同一条直线　2.相等或互补
3.相等
知能素养·进阶
【基础巩固组】
1.C　根据过平面内一点和平面外一点的直线,与平面内不过该点的直线异面,可判定A,B中EF,MN异面;C中直线EF与MN平行;
D中,若EF∥MN,则过EF的平面与底面相交,EF就跟交线平行,则过点N有两条直线与EF平行,不可能.
2.B　易知GH∥MN,又因为E,F,M,N分别为所在棱的中点,易知EF,DC,MN交于一点.
3.C　如图所示,
因为G,H分别是AB,AC的中点,所以GH∥BC,又由三棱台的性质得BC∥B1C1,所以GH∥B1C1.
4.B　由题意知:直线l与a,b可都相交,也可只与一条相交,故A,C,D错误;
但直线l不会与两条都不相交,
若l与a,b都不相交,因为l与a都在α内,
所以l∥a,同理l∥b,所以a∥b,
这与a,b异面直线矛盾,
故直线l至少与a,b中之一相交.故B正确.
5.BCD　假设l∥AD,则由AD∥BC∥B1C1,知l∥B1C1,这与l与B1C1不平行矛盾,所以l与AD不平行.
6.ABC　由中位线定理,易知MQ∥BD,ME∥BC,QE∥CD,NP∥BD.对于A,
有MQ∥NP,所以M,N,P,Q四点共面,故A说法正确;
对于B,根据等角定理,得∠QME=∠CBD,故B说法正确;对于C,由等角定理,
知∠QME=∠DBC,∠MEQ=∠BCD,所以△BCD∽△MEQ,故C说法正确;
由三角形的中位线定理,知MQBD,NPBD,所以MQNP,
所以四边形MNPQ为平行四边形,故D说法不正确.
7.【解析】MNAC,又因为ACA'C',所以MNA'C'.
答案:平行
8.【解析】由题意知EFAC,GHAC,
故EFGH,故GH=2.
答案:2
9.【解析】如图,在平面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1,交A1B1于点E,交C1D1于点F,则直线EF即为所求.理由如下:因为EF∥B1C1,BC∥B1C1,所以EF∥BC.
10.【证明】(1)因为ABCD-A1B1C1D1为正方体,
所以AD=A1D1,且AD∥A1D1,
又M,M1分别为棱AD,A1D1的中点,
所以AM=A1M1且AM∥A1M1,
所以四边形AMM1A1为平行四边形,
所以MM1=AA1且MM1∥AA1.
又AA1=BB1且AA1∥BB1,
所以MM1=BB1且MM1∥BB1,
所以四边形BB1M1M为平行四边形.
(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,
所以B1M1∥BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,
所以C1M1∥CM.因为∠BMC和∠B1M1C1方向相同,
所以∠BMC=∠B1M1C1.
【素养提升组】
1.C　如图,连接FH,JG,因为E,F,G,H,I,J分别为线段PA,PB,PC,AB,BC,CA的中点,
所以FH∥PA,GJ∥PA,所以FH∥GJ.
2.D　因为E,F分别为AB,BC的中点,
所以EFAC,又=,=,
所以=,所以HGAC,
所以EF∥HG且EF≠HG,所以四边形EFGH为梯形.
3.【解析】将正方体的表面展开图还原构造成正方体,
如图所示:
分别取AB,AA1的中点Q,P,连接EP,FQ,PQ,A1B,由正方体的结构特征可得EF∥PQ.又因为点Q,P,H,G分别是AB,AA1,A1B1,BB1的中点,故PQ∥A1B,HG∥A1B,故PQ∥HG.所以EF∥GH.
答案:平行
4.【解析】如图所示,因为点E,E'分别是AD,A'D'的中点,所以AE∥A'E',且AE=A'E'.所以四边形AEE'A'是平行四边形.
所以AA'∥EE',且AA'=EE'.
又因为AA'∥BB',且AA'=BB'.
所以EE'∥BB',且EE'=BB'.
所以四边形BB'E'E是平行四边形.
所以BE∥B'E',同理可证CE∥C'E'.
又因为∠BEC与∠B'E'C'的两边方向相同,
所以∠BEC=∠B'E'C'.
答案:相等
5.【证明】(1)连接BD,B1D1,图略.在△ABD中,因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EF∥BD,同理E1F1∥B1D1,
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
因为AA1DD1,AA1BB1,所以B1BDD1,
所以四边形BDD1B1是平行四边形,
所以BD∥B1D1,所以EF∥E1F1.
(2)取A1B1的中点M,连接BM,F1M,图略.
因为MF1B1C1,B1C1BC,所以MF1BC,
所以四边形BCF1M是平行四边形,
所以MBCF1,因为A1MEB,所以四边形EBMA1是平行四边形,所以A1E∥MB,所以A1E∥CF1,
同理可证:A1F∥E1C,
又∠EA1F与∠F1CE1两边的方向均相反,
所以∠EA1F=∠E1CF1.
6.【解析】(1)AA'∩BB'=O,且==,
所以A'B'∥AB,同理,A'C'∥AC,B'C'∥BC.
(2)因为A'B'∥AB,A'C'∥AC,且A'B'和AB,A'C'和AC方向相反,
所以∠BAC=∠B'A'C'.
同理,∠ABC=∠A'B'C',∠ACB=∠A'C'B',
所以△ABC∽△A'B'C',==,
所以==.8.5.3　平面与平面平行
1.平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内的两条　　　　直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行.
2.如果一个平面内的两条直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行吗
3.平面与平面平行的性质定理
两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么　　　　　平行.
4.面面平行的其他性质
(1)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行;
(2)夹在两平行平面之间的平行线段相等;
(3)两个平面平行,其中一个平面上任意一点到另一个平面的距离相等.
【基础巩固组】
一、单选题
1.平面α∥平面β,点A,C在平面α内,点B,D在平面β内,若AB=CD,则AB,CD的位置关系是 (　　)
A.平行 B.相交
C.异面 D.以上都有可能
2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1D1,BC,A1D1的中点,则下列结论正确的是 (　　)
A.MN∥AP 　 B.MN∥BD1
C.MN∥平面BB1D1D 　 D.MN∥平面BDP
3.已知直线l,m,平面α,β,下列结论正确的是 (　　)
A.l∥β,l α α∥β
B.l∥β,m∥β,l α,m α α∥β
C.l∥m,l α,m β α∥β
D.l∥β,m∥β,l α,m α,l∩m=M α∥β
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E,F,则四边形D1EBF的形状是 (　　)
A.矩形 B.菱形
C.平行四边形 D.正方形
二、多选题
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列直线或平面与平面ACD1平行的有 (　　)
A.直线A1B B.直线BB1
C.平面A1DC1 D.平面A1BC1
6.已知平面α∥平面β,P是α,β外一点,过点P的直线m与α,β分别交于A,C两点,过点P的直线n与α,β分别交于B,D两点,且PA=6,PD=8,AC=9,则BD的长可能为 (　　)
A.16 B.24
C.14 D.
三、填空题
7.
如图,四边形ABCD所在的平面与平面α平行,且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形,则四边形ABCD的形状一定是　　　　　　.
8.(教材改编题)设α,β,γ是三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,在命题“α∩β=m,n γ,且　　　　,则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题.
①α∥γ,n β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m γ.
四、解答题
9.如图,在四棱锥P-ABCD中,点E为PA的中点,点F为BC的中点,底面ABCD是平行四边形,对角线AC,BD交于点O.
求证:平面EFO∥平面PCD.
10.如图,AB是圆柱OO1底面的直径,PA是圆柱OO1的母线,C是圆O上的点(异于A,B两点),Q为PA的中点,G为△AOC的重心,求证:QG∥平面PBC.
【素养提升组】
一、选择题
1.
棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱AA1的中点,过C,M,D1作正方体的截面,则截面的面积为(　　)
A.2 B.4 C. D.5
2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,则下列结论中正确的是 (　　)
A.AD1∥平面EFGH
B.BD1∥GH
C.BD∥EF
D.平面EFGH∥平面A1BCD1
二、填空题
3.如图所示,设E,F,E1,F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,CD,A1B1,C1D1的中点,则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是　　　　　　.
4.如图所示,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,则=　　　　.
三、解答题
5.如图,四边形ABCD为矩形,A,E,B,F四点共面,且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形,∠BAE=∠AFB=90°.求证:平面BCE∥平面ADF.
6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,CC1的中点,AC与BD交于点O.求证:
(1)CE∥FD1;
(2)平面AEC∥平面BFD1.
8.5.3　平面与平面平行
必备知识·落实
1.相交
2.不一定.当这两条直线平行时,这两个平面有可能相交.
3.两条交线
知能素养·进阶
【基础巩固组】
1.D　夹在两个平行平面间的平行线段相等,但夹在两个平行平面间的相等线段可以平行、相交或异面.
2.C　由题意,取B1C1的中点E,连接EM,NE,B1D1,BD,如图.
M,N,P分别是C1D1,BC,A1D1的中点,
所以BB1∥NE,B1D1∥EM,EM∩NE=E,BB1∩B1D1=B1,
所以平面EMN∥平面BB1D1D,
那么MN∥平面BB1D1D.
3.D　如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,
直线AB∥CD,则直线AB∥平面DC1,直线AB 平面AC,但是平面AC与平面DC1不平行,所以选项A错误;取BB1的中点E,CC1的中点F,则可证EF∥平面AC,B1C1∥平面AC.又EF 平面BC1,B1C1 平面BC1,但是平面AC与平面BC1不平行,所以选项B错误;直线AD∥B1C1,AD 平面AC,B1C1 平面BC1,但平面AC与平面BC1不平行,所以选项C错误;很明显选项D是两个平面平行的判定定理,所以选项D正确.
4.C　因为平面和左右两个平行侧面分别交于ED1,BF,所以ED1∥BF,同理D1F∥EB,所以四边形D1EBF是平行四边形.
5.AD　对于A,由于A1B∥D1C,且A1B 平面ACD1,D1C 平面ACD1,
可得直线A1B∥平面ACD1;
对于B,由于B1B∥D1D,且D1D∩平面ACD1=D1,可得直线B1B不平行平面ACD1;
对于C,由于A1D与AD1相交,A1D 平面A1DC1,可得平面A1DC1不与平面ACD1平行;
对于D,由于A1B∥D1C,C1B∥D1A,A1B,C1B 平面A1BC1且相交,
可得平面A1BC1∥平面ACD1.
6.BD　因为α∥β,所以AB∥CD.
若P在α,β的同侧时,则有PC=PA+AC=15,
因为=,所以PB=,所以BD=PD-PB=;
若点P在α,β之间时,则有PC=AC-PA=3,
因为=,所以PB=16,所以BD=PB+PD=24.综上,BD=或BD=24.
7.【解析】因为平面AC∥α,平面AA1B1B∩α=A1B1,
平面AA1B1B∩平面ABCD=AB,所以AB∥A1B1,
同理可证CD∥C1D1.又A1B1∥C1D1,
所以AB∥CD.同理可证AD∥BC,
所以四边形ABCD是平行四边形.
答案:平行四边形
8.【解析】由面面平行的性质定理可知,①正确;
当m∥γ,n∥β时,n和m可能平行或异面,②错误;
当n∥β,m γ时,n和m在同一平面内,且没有公共点,所以,m∥n,③正确.
答案:①或③
9.【证明】因为四边形ABCD是平行四边形,AC∩BD=O,所以点O为BD的中点.
又因为点F为BC的中点,所以OF∥CD.
又OF 平面PCD,CD 平面PCD,所以OF∥平面PCD,
因为点O,E分别是AC,PA的中点,所以OE∥PC,
又OE 平面PCD,PC 平面PCD,
所以OE∥平面PCD.又OE 平面EFO,OF 平面EFO,且OE∩OF=O,所以平面EFO∥平面PCD.
10.【证明】连接OG并延长交AC与M,连接QM,QO.
由G为△AOC的重心,得M为AC中点,
由Q为PA中点,得QM∥PC.
又O为AB中点,得OM∥BC.
因为QM∩MO=M,所以平面OMQ∥平面PBC,
因为QG 平面OMQ,所以QG∥平面PBC.
【素养提升组】
1.C　如图,
由面面平行的性质知截面与平面ABB1A1的交线MN是△AA1B的中位线,所以截面是等腰梯形CD1MN,易求MN=,CD1=2,MD1=NC=,
所以此截面的面积S=×(+2)×
=.
2.D　在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,在A中,BC1与平面EFGH相交,又AD1∥BC1,故AD1不平行于平面EFGH,故A错误;
在B中,BD1∩CD1=D1,CD1∥GH,
故BD1不可能平行于GH,故B错误;在C中,BD∩A1B=B,A1B∥EF,故BD与EF不可能平行,故C错误;
在D中,EF∥A1B,FG∥BC,A1B∩BC=B,EF∩FG=F,所以平面EFGH∥平面A1BCD1,故D正确.
3.【解析】由题意得A1E∥BE1,A1E 平面BCF1E1,
BE1 平面BCF1E1,所以A1E∥平面BCF1E1.
同理,A1D1∥平面BCF1E1.
又A1E∩A1D1=A1,A1E,A1D1 平面EFD1A1,
所以平面EFD1A1∥平面BCF1E1.
答案:平行
4.【解析】由题图知,因为平面α∥平面ABC,
所以AB∥平面α,又由平面α∩平面PAB=A'B',则A'B'∥AB,
同理可得B'C'∥BC,A'C'∥AC,
所以∠B'A'C'=∠BAC,∠A'B'C'=∠ABC,∠A'C'B'=∠ACB,
所以△A'B'C'∽△ABC,
因为PA'∶AA'=2∶3,即PA'∶PA=2∶5,
所以A'B'∶AB=2∶5,
由相似三角形面积比为相似比的平方,
所以=.
答案:
5.【证明】因为四边形ABCD为矩形,所以BC∥AD,
又BC 平面ADF,AD 平面ADF,
所以BC∥平面ADF.
因为△ABE和△ABF均为等腰直角三角形,
且∠BAE=∠AFB=90°,
所以∠BAF=∠ABE=45°,所以AF∥BE,
又BE 平面ADF,AF 平面ADF,
所以BE∥平面ADF.又BC 平面BCE,BE 平面BCE,BC∩BE=B,所以平面BCE∥平面ADF.
6.【证明】(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CC1∥DD1且CC1=DD1,因为E,F分别为DD1,CC1的中点,则CF∥D1E且CF=D1E,
所以四边形CED1F为平行四边形,则CE∥FD1.
(2)因为四边形ABCD为正方形,AC∩BD=O,则O为BD的中点,因为E为DD1的中点,则OE∥BD1,
因为OE 平面BFD1,BD1 平面BFD1,所以OE∥平面BFD1,因为CE∥FD1,CE 平面BFD1,FD1 平面BFD1,所以CE∥平面BFD1,
因为OE∩CE=E,所以平面ACE∥平面BFD1.8.6.3　平面与平面垂直(一)
1.二面角的平面角
定义:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作　　　　　于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
2.为什么二面角的平面角大小与在二面角棱上的取点无关
3.平面与平面垂直
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是　　　　,就说这两个平面互相垂直.
4.判定定理
如果一个平面过另一个平面的　　　　,那么这两个平面垂直.
5.定义能否作为判定两个平面垂直的依据
【基础巩固组】
一、单选题
1.若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,那么这两个二面角(　　)
A.相等 B.互补
C.相等或互补 D.关系无法确定
2.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是 (　　)
A.m⊥n,m∥α,n∥β
B.m⊥n,α∩β=m,n α
C.m∥n,n⊥β,m α
D.m∥n,m⊥α,n⊥β
3.空间四边形ABCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,则 (　　)
A.平面ABC⊥平面ADC
B.平面ABC⊥平面ADB
C.平面ABC⊥平面DBC
D.平面ADC⊥平面DBC
4.从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α,β分别作垂线PE,PF,E,F为垂足,若
∠EPF=60°,则二面角α-l-β的平面角的大小是 (　　)
A.60° B.120°
C.60°或120° D.不确定
二、多选题
5.设α是给定的平面,A,B是不在α内的任意两点,则 (　　)
A.在α内存在直线与直线AB平行
B.在α内存在直线与直线AB相交
C.在α内存在直线与直线AB垂直
D.存在过直线AB的平面与α垂直
6.在棱长都相等的四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则下面结论中成立的是 (　　)
A.BC∥平面PDF
B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面ABC
D.平面PAE⊥平面ABC
三、填空题
7.阅读下面题目及其证明过程,在横线处填写上正确结论.
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,O是正方形ABCD的中心,PO⊥底面ABCD,E是PC的中点.
求证:平面PAC⊥平面BDE.
证明:因为PO⊥底面ABCD,所以PO⊥BD.又因为AC⊥BD,且AC∩PO=O,
所以　　　　　.
又因为BD 平面BDE,
所以平面PAC⊥平面BDE.
8.在三棱锥P-ABC中,PA=PB=AC=BC=2,PC=1,AB=2,则二面角P-AB-C的大小为　　　　.
四、解答题
9.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点.
证明:平面BDC1⊥平面BDC.
10.如图所示,在△ABC中,AB⊥BC,SA⊥平面ABC,DE垂直平分SC,且分别交AC,SC于点D,E,又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大小.
【素养提升组】
一、选择题
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1-BD-A的正切值等于(　　)
A. B. C. D.
2.已知AB是圆柱上底面的一条直径,C是上底面圆周上异于A,B的一点,D为下底面圆周上一点,且AD⊥圆柱的底面,则必有 (　　)
A.平面ABC⊥平面BCD
B.平面BCD⊥平面ACD
C.平面ABD⊥平面ACD
D.平面BCD⊥平面ABD
二、填空题
3.如图,在四棱锥S -ABCD中,底面ABCD为正方形,SA⊥平面ABCD,AC与BD相交于点O,点P是侧棱SC上一动点,则图中一定与平面PBD垂直的平面是　　　　　.
4.将锐角A为60°,边长为a的菱形ABCD沿BD折叠,使半平面ABD与半平面CBD为60°的二面角,则折叠后A与C之间的距离为　　　　.
三、解答题
5.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形,AA1=4,点E,F,M,N分别为棱CC1,BC,BB1,AA1的中点.
(1)求三棱锥E-AFM的体积;
(2)求证:平面B1D1E⊥平面C1MN.
6.如图,在三棱台DEF-ABC中, AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.
(1)求证:BD∥平面FGH;
(2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面BCD⊥平面EGH.
8.6.3　平面与平面垂直(一)
必备知识·落实
1.垂直
2.根据等角定理,取不同点时,角都是相等的.
3.直二面角
4.垂线
5.能.定义既是判定也是性质.
知能素养·进阶
【基础巩固组】
1.D　如图所示,二面角A-BC-D为直二面角,平面EFDG⊥平面ABC,当平面HDG绕DG转动时,平面HDG始终与平面BCD垂直,因为二面角H-DG-F的大小不确定,所以两个二面角的大小关系不确定.
2.C　因为n⊥β,m∥n,所以m⊥β.
因为m α,由面面垂直的判定定理,所以α⊥β.
3.D　因为BC⊥AD,AD⊥BD,BC∩BD=B,
所以AD⊥平面BCD.
因为AD 平面ADC,所以平面ADC⊥平面DBC.
4.C　因为PE⊥α,PF⊥β,
所以P,E,F三点确定的平面垂直于α和β.
过点E作l的垂线,垂足为O,
连接OF,易知l⊥OF且P,E,O,F四点共面,
则∠FOE为二面角的平面角,如图所示.
此时,∠FOE+∠EPF=180°,
所以二面角α-l-β的平面角为120°.
当点P的位置如图所示时,
此时∠FOE=∠EPF,所以二面角α-l-β的平面角为60°.
5.CD　对于A,若直线AB与α相交,则不存在过直线AB的平面与α平行,故A错误;
对于B,当直线AB与α平行时,平面α内不存在直线与直线AB相交,故B错误;
对于C,无论直线AB与α平行,还是直线AB与α相交,在α内都存在直线与直线AB垂直,故C正确;
对于D,无论直线AB与α平行,还是直线AB与α相交,都存在过直线AB的平面与α垂直,故D正确.
6.ABD　可画出对应图形,如图所示,
则BC∥DF,又DF 平面PDF,BC 平面PDF,
所以BC∥平面PDF,故A成立;
由AE⊥BC,PE⊥BC,BC∥DF,
知DF⊥AE,DF⊥PE,所以DF⊥平面PAE,
故B成立;又DF 平面ABC,
所以平面ABC⊥平面PAE,故D成立.
7.【解析】因为PO⊥底面ABCD,所以PO⊥BD.
又因为AC⊥BD,且AC∩PO=O,
所以BD⊥平面PAC.又因为BD 平面BDE,
所以平面PAC⊥平面BDE.
答案:BD⊥平面PAC
8.【解析】取AB中点M,连接PM,MC,
则PM⊥AB,CM⊥AB,
所以∠PMC就是二面角P-AB-C的平面角.
在△PAB中,PM==1,
同理MC=1,则△PMC是等边三角形,
所以∠PMC=60°.
答案:60°
9.【证明】由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,
所以BC⊥平面ACC1A1.
又DC1 平面ACC1A1,所以DC1⊥BC.
由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,
所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.
又DC∩BC=C,所以DC1⊥平面BDC.
又DC1 平面BDC1,故平面BDC1⊥平面BDC.
10.【解析】因为E为SC的中点,且SB=BC,
所以BE⊥SC.又DE⊥SC,BE∩DE=E,
所以SC⊥平面BDE,所以BD⊥SC.
又SA⊥平面ABC,可得SA⊥BD,SC∩SA=S,
所以BD⊥平面SAC,从而BD⊥AC,BD⊥DE,
所以∠EDC为二面角E-BD-C的平面角.
设SA=AB=1,
在△ABC中,因为AB⊥BC,
所以SB=BC=,AC=,所以SC=2.
在Rt△SAC中,∠DCS=30°,
所以∠EDC=60°,即二面角E-BD-C为60°.
【素养提升组】
1.C　如图所示,
连接AC交BD于O,连接A1O,∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角.
设A1A=a,则AO=a,
所以tan∠A1OA==.
2.B　因为AB是圆柱上底面的一条直径,所以AC⊥BC,又AD⊥圆柱的底面,
所以AD⊥BC,因为AC∩AD=A,所以BC⊥平面ACD.又BC 平面BCD,
所以平面BCD⊥平面ACD.
3.【解析】因为在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,所以BD⊥AC.
因为SA⊥平面ABCD,所以SA⊥BD.
因为SA∩AC=A,所以BD⊥平面SAC.
因为BD 平面PBD,
所以平面PBD⊥平面SAC.
答案:平面SAC
4.【解析】设折叠后点A到A1的位置,
取BD的中点E,连接A1E,CE.
则BD⊥CE,BD⊥A1E.
于是∠A1EC为二面角A1-BD -C的平面角.
故∠A1EC=60°.
因为A1E=CE,所以△A1EC是等边三角形.
所以A1E=CE=A1C=a.
答案:a
5.【解析】(1)因为AB⊥侧面BCC1B1,
所以AB⊥平面EFM,
又因为M,E分别为BB1,CC1的中点,
所以四边形MBCE为正方形,
所以△MEF的面积为S△MEF=ME·MB
=×2×2=2.
所以三棱锥A-EFM的体积为V三棱锥A-EFM
=S△MEF·AB=×2×2=,
所以三棱锥E-AFM的体积为.
(2)长方体ABCD-A1B1C1D1中,四边形BCC1B1是矩形,
因为E,M分别为棱CC1,BB1的中点,且BB1=4,B1C1=2,
所以四边形MEC1B1是正方形,
所以C1M⊥B1E,
又N,M分别为棱AA1,BB1的中点,
所以NM⊥平面BCC1B1,
又B1E 平面BCC1B1,
所以NM⊥B1E,
又因为NM∩C1M=M,NM,C1M 平面C1MN,
所以B1E⊥平面C1MN,
又B1E 平面B1D1E,
所以平面B1D1E⊥平面C1MN.
6.【证明】(1)如图所示,连接DG,
设CD∩GF=M,连接MH.
在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,
所以AC=2DF.
因为G是AC的中点,
所以DF∥GC,且DF=GC,
所以四边形CFDG是平行四边形,
所以DM=MC.
因为BH=HC,所以MH∥BD.
又BD 平面FGH,MH 平面FGH,
所以BD∥平面FGH.
(2)因为G,H分别为AC,BC的中点,
所以GH∥AB.
因为AB⊥BC,所以GH⊥BC.
又H为BC的中点,所以EF∥HC,EF=HC,
所以四边形EFCH是平行四边形,
所以CF∥HE.
因为CF⊥BC,所以HE⊥BC.
又HE,GH 平面EGH,HE∩GH=H,
所以BC⊥平面EGH.
又BC 平面BCD,
所以平面BCD⊥平面EGH.

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