资源简介

6.1　平面向量的概念
1.向量:既有　　　　又有　　　　的量.
2.向量的有关概念
零向量 长度为　　　的向量,记作　　　
单位向量 长度等于　　　　个单位长度的向量
平行向量 (共线向量) 方向　　　　　　　的非零向量,向量a,b平行,记作　　　　 规定:　　　　与任意向量平行
相等向量 长度　　　　且方向　　　　的向量,向量a,b相等,记作　　　　
3.0与0相同吗 0是不是没有方向
4.相等向量一定是共线向量吗 共线向量一定是相等向量吗
一、单选题
1.(教材改编题)下列量不是向量的是 (　　)
A.力 B.速度 C.质量 D.加速度
2.如图,在四边形ABCD中,=,则相等的向量是 (　　)
A.与 B.与
C.与 D.与
2题图
4题图
　　　　　　　　　　　　　　　
3.设O是正方形ABCD的中心,则向量,,,是 (　　)
A.相等向量 B.平行向量
C.有相同起点的向量 D.模相等的向量
4.如图是4×3的格点图(每个小方格都是单位正方形),若起点和终点都在方格的顶点处,则与平行且模为的向量共有 (　　)
A.12个 B.18个 C.24个 D.36个
二、多选题
5.已知a,b是任意两个向量,下列条件能判定向量a与b平行的是 (　　)
A.a=b
B.|a|=|b|
C.a与b的方向相反
D.a与b都是单位向量
6.下列说法正确的是 (　　)
A.有向线段与表示同一向量
B.若a是单位向量,b也是单位向量,则a与b的方向相同或相反
C.若向量是单位向量,则也是单位向量
D.以坐标平面上的定点A为起点,所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆
三、填空题
7.
如图,是某人行走的路线,那么的几何意义是某人从A点沿南偏西　　　　方向行走了　　　　 km.
8.给出下列命题:
①若=,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点;
②在 ABCD中,一定有=;
③若a=b,b=c,则a=c.
其中所有正确命题的序号为　　　　.
四、解答题
9.如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点,四边形BCGF是平行四边形,试分别写出与共线及相等的向量.
10.已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达B地,再从B地按南偏东30°的方向飞行2 000 km到达C地,再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地.
(1)作出向量,,,;
(2)问:D地在A地的什么方向 D地距A地多远
一、选择题
1.若a为任意非零向量,b的模为1,给出下列各式:①|a|>|b|;②a∥b;③|a|>0;④|b|=±1.其中正确的是 (　　)
A.①④ B.③
C.①②③ D.②③
2.(多选题)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=120°,则以下说法正确的是 (　　)
A.与相等的向量只有一个(不含)
B.与的模相等的向量有9个(不含)
C.的模恰好为的模的倍
D.与不共线
2题图
4题图
二、填空题
3.若||=||且=,则四边形ABCD的形状为　　　　.
4.如图,在等腰三角形ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,则下列结论正确的是　　　　.
①是单位向量;②||=||;③∥;④∥.
三、解答题
5.(教材改编题)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画出下列向量:
(1),使||=4,点A在点O北偏东45°;
(2),使=4,点B在点A正东;
(3),使=6,点C在点B北偏东30°.
6.在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD,AB的中点,如图所示.
(1)写出与向量共线的向量;
(2)求证:=.
6.1　平面向量的概念
必备知识·落实
1.大小　方向
2.0　0　1　相同或相反　a∥b　零向量
相等　相同　a=b
3.0与0不同,0是一个实数,0是一个向量,|0|=0.0有方向,其方向是任意的.
4.相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定是相等向量.共线向量仅仅指向量的方向相同或相反;相等向量指大小和方向均相同.
知能素养·进阶
【基础巩固组】
1.C　
2.D　由=知四边形ABCD是平行四边形.由平行四边形的性质知,||=||,且方向相同.
3.D　如图,
向量,,,方向不同,起点不同,不是平行向量,是模相等的向量.
4.C　每个小正方形的边长为1,则对角线长为,每个小正方形中存在两个与平行且模为的向量,一共有12个小正方形,故共有24个所求向量.
5.AC　对于A选项,若a=b,则a与b平行,A选项合乎题意;对于B选项,若=,但a与b的方向不确定,则a与b不一定平行,B选项不合乎题意;对于C选项,若a与b的方向相反,则a与b平行,C选项合乎题意;对于D选项,a与b都是单位向量,这两个向量长度相等,但方向不确定,则a与b不一定平行,D选项不合乎题意.
6.CD　有向线段与的方向相反,不表示同一向量,A错误;
由单位向量的定义知,凡长度为1的向量均称为单位向量,但是对方向没有任何要求,B错误;
因为||=||,所以当是单位向量时,也是单位向量,C正确;
因为向量||=1,
所以点P是以点A为圆心的单位圆上的一点,D正确.
7.【解析】由题干图形可知,的几何意义是从A点沿南偏西30°方向,行走了2 km.
答案:30°　2
8.【解析】=,A,B,C,D四点可能在同一条直线上,故①不正确;在 ABCD中,||=||,与平行且方向相同,故=,故②正确;a=b,则|a|=|b|,且a与b的方向相同;b=c,则|b|=|c|,且b与c的方向相同,则a与c长度相等且方向相同,故a=c,故③正确.
答案:②③
9.【解析】(1)与共线的向量:,,,,,,,,,,.
(2)与相等的向量:,,.
10.【解析】(1)由题意,作出向量,,,,如图所示.
(2)依题意知,△ABC为正三角形,所以AC=2 000 km.又因为∠ACD=45°,CD=1 000 km,所以△ACD为等腰直角三角形,所以AD=1 000 km,∠CAD=45°,所以D地在A地的东南方向,距A地1 000 km.
【素养提升组】
1.B　①中,|a|的大小不能确定,故①错误;②中,两个非零向量的方向不确定,故②错误;④中,向量的模是一个非负实数,故④错误;③正确.
2.ABC　与相等的向量只有,A正确;由已知条件可得||=||=||=||=||=||=||=||=||=||,B正确;如图,过点B作DA的垂线交DA的延长线于点E,
因为∠DAB=120°,四边形ABCD为菱形,
所以∠BDE=∠ABE=30°,
在Rt△BED中,||=,
在Rt△AEB中,||=||=||,
所以||==||,C正确;与方向相同,大小相等,故=,与共线,D错误.
3.【解析】由= BA∥CD且||=||,又||=||,故四边形ABCD为菱形.
答案:菱形
4.【解析】由题图可知,显然与不平行,与不平行,所以③④不正确.又因为等腰三角形ABC的边长不确定,所以不能确定是否为单位向量,所以①不正确.依题意,知CD=BC,所以②正确.
答案:②
5.【解析】(1)由于点A在点O北偏东45°处,所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等.又||=4,小方格边长为1,所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4,于是点A位置可以确定,画出向量如图所示.
(2)由于点B在点A正东方向处,且=4,所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4,纵向小方格数为0,于是点B位置可以确定,画出向量如图所示.
(3)由于点C在点B北偏东30°处,且=6,依据勾股定理可得:在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3,纵向小方格数为3≈5.2,于是点C位置可以确定,画出向量如图所示.
6.【解析】(1)根据题意,与向量共线的向量为:,,.
(2)因为四边形ABCD是平行四边形,AB∥CD,AB=CD,且E,F分别为边CD,AB的中点,
所以BF=ED,且BF∥ED,所以四边形BFDE是平行四边形,所以BE=FD,且BE∥FD,所以=.6.2.2　向量的减法运算
1.相反向量
与向量a长度　　　　　　　,方向　　　　的向量叫做a的相反向量,记作　　　　.
2.方向相反的向量就是相反向量吗 互为相反向量的两个向量一定是共线向量吗
3.向量的减法
(1)定义:向量a加上b的相反向量,叫做a与b的差,即a-b=　　　　.
(2)几何意义:已知向量a,b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则　　　　=a-b,即a-b可以表示从向量　　　　的终点指向向量　　　　的终点的向量.
【基础巩固组】
一、单选题
1.(教材改编题)化简+--的结果是 (　　)
A. B.
C. D.
2.如图,向量=a,=b,=c,则向量可以表示为 (　　)
A.a+b-c
B.a-b+c
C.b-a+c
D.b-a-c
3.设b是a的相反向量,则下列说法错误的是 (　　)
A.a与b的长度必相等
B.a∥b
C.a与b一定不相等
D.a是b的相反向量
4.在△ABC中,D,E,F分别为AB,BC,CA的中点,则-等于 (　　)
A. B. C. D.
二、多选题
5.下列四式中能化简为的是 (　　)
A.+(+)
B.(+)+(-)
C.-+
D.+-
6.如图,在△ABC中,D为BC的中点,则下列结论正确的是 (　　)
A.-= B.-=
C.-=0 D.-=
三、填空题
7.已知 ABCD的对角线AC和BD相交于O,且=a,=b,则=　　　　,=　　　　.(用a,b表示)
8.若a,b为相反向量,且|a|=1,|b|=1,则|a+b|=　　　　,|a-b|=　　　　.
四、解答题
9.向量a,b,c,d,e如图所示,据图解答下列各题:
(1)用a,d,e表示;
(2)用b,c表示;
(3)用a,b,e表示;
(4)用d,c表示.
10.(教材改编题)如图,在 ABCD中,=a,=b.
(1)当a,b满足什么条件时,a+b与a-b所在的直线互相垂直
(2)a+b与a-b有可能为相等向量吗 为什么
【素养提升组】
一、选择题
1.已知A,B,C为三个不共线的点,P为△ABC所在平面内一点,若+=+,则下列结论正确的是 (　　)
A.点P在△ABC内部　 B.点P在△ABC外部
C.点P在直线AB上 D.点P在直线AC上
2.已知O为四边形ABCD所在平面内的一点,且向量,,,满足+=+,则四边形ABCD的形状为 (　　)
A.平行四边形　 B.矩形
C.菱形 D.梯形
二、填空题
3.如图,已知=a,=b,=c,=d,且四边形ABCD为平行四边形,则a-b+c-d=　　　　　.
三、解答题
4.如图,在△ABC中,D,E分别为边AC,BC上的任意一点,O为AE,BD的交点,已知=a,=b,=c,=e,用a,b,c,e表示向量.
5.在平行四边形ABCD中,∠ABC=60°,=a,=b,若|a|=|a+b|=2,求|a-b|的值.
6.2.2　向量的减法运算
必备知识·落实
1.相等　相反　-a
2.相反向量的长度相等,只是方向相反的向量不一定是相反向量.方向相同或相反的向量是共线向量,所以互为相反向量的两个向量一定是共线向量.
3.(1)a+(-b)　(2)　b　a
知能素养·进阶
【基础巩固组】
1.C　因为+=,
所以+--=-=.
2.C　=+=-+=b-a+c.
3.C　根据相反向量的定义可知,C错误,因为0与0互为相反向量,但0与0相等.
4.D　如图所示,在△ABC中,D,E,F分别为AB,BC,CA的中点,可得=,=,则-=-==.
5.ABC　A中,+(+)=++=+=+=;
B中,(+)+(-)=++-=++-=+=;
C中,-+=+=;
D中,+-=-=+,显然+-不能化简为.
6.BD　-=,A错;-==,B正确;-=+=≠0,C错;-=,D正确.
7.【解析】如图,==-=b-a,=-=--=-a-b.
答案:b-a　-a-b
8.【解析】因为a,b为相反向量,所以a+b=0,即|a+b|=0,又a=-b,所以|a-b|=|2a|=2.
答案:0　2
9.【解析】由题图知=a,=b,=c,=d,=e.
(1)=++=d+e+a;
(2)=-=--=-b-c;
(3)=++=e+a+b;
(4)=-=-(+)=-c-d.
10.【解析】(1)=+=a+b,
=-=a-b.
若a+b与a-b所在的直线互相垂直,即AC⊥BD.
因为当|a|=|b|时,平行四边形ABCD为菱形,此时AC⊥BD,故当a,b满足|a|=|b|时,a+b与a-b所在的直线互相垂直.
(2)不可能.因为 ABCD的两对角线不可能平行,所以a+b与a-b不可能为共线向量,更不可能为相等向量.
【素养提升组】
1.D　因为+=+,
所以-=-,
所以=+,-=,即=.
故点P在边AC所在的直线上.
2.A　因为+=+,
所以-=-,=.
所以||=||,且DA∥CB,
所以四边形ABCD是平行四边形.
3.【解析】由题意得,+=0,所以-+-=0,
即a-b+c-d=0.
答案:0
4.【解析】在△OBE中,有=+=e-c,
在△ABO中,=+=e-c-a,
在△ABD中,=+=a+b,
所以在△OAD中,=+=e-c-a+a+b=e-c+b.
5.【解析】依题意,||=|a+b|=2,如图所示.
又||=|a|=2,∠ABC=60°,所以△ABC是等边三角形,所以BC=AB.所以 ABCD为菱形,AC⊥BD,
所以|a2|=+.
即4=1+,所以|a-b|=2.6.2.4　向量的数量积
1.等边△ABC中,向量,的夹角是　　　　,
若向量a,b同向,则向量a,b的夹角是　　　　,
若向量a,b反向,则向量a,b的夹角是　　　　.
2.向量的数量积:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,把数量　　　　　　叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=　　　　　　.
规定:零向量与任一向量的数量积为　　　　.
3.投影向量:设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则向量a在向量b上的投影向量为　　　　.
4.向量数量积的性质:设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则:(1)a·e=e·a=　　　　.
(2)a⊥b 　　　　.
(3)当a与b同向时,a·b=　　　　;
当a与b反向时,a·b=　　　　.
特别地,a·a=　　　　或　　　　=.
(4)|a·b|　　　　|a||b|.
5.向量数量积的运算律
(1)a·b=　　　　.
(2)(λa)·b=λ(a·b)=　　　　.
(3)(a+b)·c=　　　　.
【基础巩固组】
一、单选题
1.若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,则a·a+a·b等于 (　　)
A. B. C.1+ D.2
2.已知向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=3,则= (　　)
A.0 B.2
C. D.
3.已知向量a与b,|a|=3,|b|=2,|a+b|=,则向量a与b的夹角为 (　　)
A. B. C. D.
4.已知平面向量a,b满足|a|=,|b|=4,且a,b的夹角为30°,则 (　　)
A.a⊥ B.b⊥
C.b⊥ D.a⊥
二、多选题
5.已知正方形ABCD的边长为2,向量a,b满足=2a,=2a+b,则 (　　)
A.|b|=B.a⊥b
C.a·b=2 D.(4a+b)⊥b
6.若a,b,c是空间的非零向量,则下列命题中的假命题是 (　　)
A.(a·b)·c=(b·c)·a
B.若a·b=-,则a∥b
C.若a·c=b·c,则a∥b
D.若a·a=b·b,则a=b
三、填空题
7.在△ABC中,AB=5,BC=7,∠ABC=,则·的值为　　　　.
8.已知e1,e2是夹角为的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2,若k=1,则a·b=　　　;若a·b=0,则实数k的值为　　　　.
四、解答题
9.已知|a|=2,|b|=3,分别求出下列条件中的a·b.
(1)a与b的夹角θ为60°;
(2)a⊥b;
(3)a∥b.
10.(教材改编题)已知|a|=1,a·b=,(a+b)·(a-b)=.
(1)求|b|的值;
(2)求向量a-b与a+b夹角的余弦值.
【素养提升组】
一、选择题
1.已知两个单位向量a,b,其中向量a在向量b方向上的投影的模为.若,则实数λ的值为 (　　)
A.- B.- C.0 D.
2.(多选题)设a为非零向量,下列有关向量的描述正确的是 (　　)
A.=1 B.∥a
C.=a D.·a=|a|
二、填空题
3.
如图,AB是圆C的弦,设=a,=b,则向量在向量上的投影向量为　　　　(用a或b表示).
4.已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量,若向量e1+ke2与ke1+e2的夹角为钝角,则k的取值范围为　　　　　　　　　　.
三、解答题
5.已知向量a,b不共线,且满足|a|=2,|b|=1,c=3a-2b,d=2a+kb.
(1)若c∥d,求实数k的值;
(2)若=2.
①求向量a和b夹角的余弦值;
②当c⊥d时,求实数k的值.
6.在四边形ABCD中,已知AB=9,BC=6,=2.
(1)若四边形ABCD是矩形,求·的值;
(2)若四边形ABCD是平行四边形,且·=6,求与夹角的余弦值.
6.2.4　向量的数量积
必备知识·落实
1.　0　π
2.|a||b|·cosθ　|a||b|·cosθ　0
3.|a|cos θe
4.(1)|a|cosθ　(2)a·b=0
(3)|a||b|　-|a||b|　|a|2　|a|　(4)≤
5.(1)b·a　(2)a·(λb)　(3)a·c+b·c
知能素养·进阶
【基础巩固组】
1.B　a·a+a·b=|a|2+|a||b|cos 60°=1+=.
2.D　因为向量a,b满足a·b=0,=1,=3,则=
===.
3.B　设向量a与b的夹角为α,因为|a|=3,|b|=2,
因为|a+b|2=,所以9+2×3×2cosα+4=19,
所以cosα=,
因为α∈[0,π],所以α=.
4.D　a2==12,b2==16,a·b=cos 30°=12,
所以a·=a2+a·b=24,b·=b2+a·b=28,b·=-b2+a·b=-4,
a·=a2-a·b=0,即a⊥.
5.AD　由条件可得:b=-=,
所以|b|=||=2,A正确;
a=,与不垂直,B错误;
a·b=·=-2,C错误;
4a+b=+=,根据正方形的性质有AC⊥BD,所以(4a+b)⊥b,D项正确.
6.ACD　(a·b)·c是与c共线的向量,(b·c)·a是与a共线的向量,a与c不一定共线,A错,若a·b=-|a|·|b|,则a与b方向相反,所以a∥b,B对,若a·c=b·c,则(a-b)·c=0,即(a-b)⊥c,不能推出a∥b,C错,若a·a=b·b,则|a|=|b|,a与b方向不一定相同,不能推出a=b,D错.
7.【解析】因为AB=5,BC=7,与的夹角θ=π-=,
所以·=·×cos=-5×7×=-.
答案:-
8.【解析】当k=1时,a·b=(e1-2e2)·(e1+e2)=-e1·e2-2=-.
由a·b=0得(e1-2e2)·(ke1+e2)=0.
整理,得k-2+(1-2k)cos=0,
解得k=.
答案:-　
9.【解析】(1)当a与b的夹角θ为60°时,
a·b=|a||b|cosθ=2×3×cos 60°=3;
(2)当a⊥b,即a与b的夹角θ为90°时,
a·b=|a||b|cosθ=2×3×cos 90°=0;
(3)当a∥b,即a与b的夹角θ=0°或θ=180°时,
若θ=0°,则a·b=|a||b|cosθ=2×3×cos 0°=6;
若θ=180°,则a·b=|a||b|cosθ=2×3×cos 180°=-6.
10.【解析】(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2=.
因为|a|=1,所以1-|b|2=,所以|b|=.
(2)因为|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+2×+=2,
|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2×+=1,
所以|a+b|=,|a-b|=1.令a+b与a-b的夹角为θ,则cosθ===,
即向量a-b与a+b夹角的余弦值是.
【素养提升组】
1.C　记a与b的夹角为θ,则a在b上的投影的模为cosθ,则cosθ=,
因为⊥,所以·=2λa2-b2+a·b
=2λ-1+(2-λ)·=λ=0,故λ=0.
2.ABD　表示与向量a同方向的单位向量,所以=1正确,∥a正确,所以A,B正确;当a不是单位向量时,=a不正确,所以C不正确;
·a=cos 0°=×=,所以D正确.
3.【解析】如图所示,过点C作CD⊥AB,垂足为D,连接CB,则向量在向量上的投影向量为.
因为CA=CB,所以D是AB的中点,
所以==.
答案:
4.【解析】因为e1+ke2与ke1+e2的夹角为钝角,
所以(e1+ke2)·(ke1+e2)=k+k+(k2+1)e1·e2=2k<0,所以k<0.
当k=-1时,e1+ke2与ke1+e2方向相反,它们的夹角为π,不符合题意,舍去.
综上,k的取值范围是k<0且k≠-1.
答案:(-∞,-1)∪(-1,0)
5.【解析】(1)因为c∥d,且c≠0.令d=λc,
即2a+kb=λ(3a-2b),又a,b不共线,
所以,
所以k=-.
(2)①设a与b的夹角为θ,
因为=2,
|a-b|2=|a|2-2|a|·|b|cosθ+|b|2=4,
又=2,=1,所以cosθ=;
②因为c⊥d,所以c·d=0,
所以·=0,
所以6+a·b-2k=0,
又=2,=1,
所以a·b=.所以k=44.
6.【解析】(1)因为四边形ABCD是矩形,
所以·=0,
由=2,
得=,==-.
所以·=(+)·(+)
=·
=-·-=36-×81=18.
(2)由题意,=+=+=+,=+=+=-,
所以·=·
=-·-
=36-·-18=18-·.
又·=6,
所以18-·=6,
所以·=36.
设与的夹角为θ,
又·=||·||cosθ=9×6×cos θ=54cos θ,
所以54cos θ=36,
即cosθ=.
所以与夹角的余弦值为.6.3　平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1　平面向量基本定理
1.平面向量基本定理
(1)定理:如果e1,e2是同一平面内的两个　　　向量,那么对于这一平面内的　　　　向量a,　　　　　实数λ1,λ2,使a=　　　　　　.
(2)基底:　　　　的向量{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
2.平面向量基本定理叙述了平面内一个怎样的理论事实
3.基底有哪些性质
一、单选题
1.如图,在△ABC中,D为BC的中点,点E在AD上,且=3,则= (　　)
A.+　　　B.+
C.+ D.+
2.已知A,B,D三点共线,且对任一点C,有=+λ,则λ等于 (　　)
A.　　B.　　C.-　　D.-
3.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则= (　　)
A.2 B.4 C.5 D.7
4.A,B,O是平面内不共线的三个定点,且=a,=b,点P关于点A的对称点为Q,点Q关于点B的对称点为R,则等于 (　　)
A.a-b B.2(b-a)
C.2(a-b) D.b-a
二、多选题
5.
如图所示,设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点,下列向量组可作为该平面内所有向量的基底的是 (　　)
A.与 B.与
C.与 D.与
6.(教材改编题)如图,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=,E,F分别为CD,BC的中点,则正确的是 (　　)
A.=+
B.=+
C.·=25
D.·=·
三、填空题
7.已知a=e1+e2,b=2e1-e2,c=-2e1+4e2(e1,e2是同一平面内的两个不共线向量),则c=　　　　.(用a,b表示)
8.如图所示,在平行四边形ABCD中,点M,N分别为DC,BC边上的中点,已知=a,=b,用基底{a,b}表示=　　　　.
四、解答题
9.如图所示,在 ABCD中,点E,F分别为BC,DC边上的中点,DE与BF交于点G,若=a,=b,试用基底{a,b}表示向量,.
10.如图,在平行四边形ABCD中,AD=AB,点E是AB的中点,AF=AD,BG=BC,判断EF与EG的位置关系并用向量方法证明.
一、选择题
1.如图所示,平面内的两条直线OP1和OP2将平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包括边界),若=a+b,且点P落在第Ⅰ部分,则实数a,b满足 (　　)
A.a>0,b>0 B.a>0,b<0
C.a<0,b>0 D.a<0,b<0
1题图
2题图
2.如图,在等腰梯形ABCD中,DC=AB,BC=CD=DA,DE⊥AC于点E,则= (　　)
A.- B.+
C.- D.+
二、填空题
3.如图,平面内有三个向量,,,其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=2,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值等于　　　　.
4.若点M是△ABC所在平面内一点,且满足:=+.则△ABM与△ABC的面积之比为　　　　.
三、解答题
5.如图所示,在平行四边形ABCD中,M,N分别为DC,BC的中点,已知=c,=d,试用c,d表示,.
6.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,DM=DE,若=a,=b.
(1)用a,b表示;
(2)若N为线段BC上的点,且BN=BC,利用向量方法证明:A,M,N三点共线.
6.3　平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1　平面向量基本定理
必备知识·落实
1.(1)不共线　任一　有且只有一对　λ1e1+λ2e2
(2)不共线
2.平面向量基本定理告诉我们,平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和,并且这种分解是唯一的.
3.基底的性质
(1)不共线性
平面内两个不共线的向量才可以作为一个基底,基底不同,表示也不同.
(2)不唯一性
对基底的选取不唯一.平面内任一向量a都可被这个平面的一个基底{e1,e2}线性表示,且在基底确定后,这样的表示是唯一的.
(3)若基底选取不同,则表示同一向量的实数λ1,λ2可以不同,也可以相同.
知能素养·进阶
【基础巩固组】
1.C　在△ABC中,D为BC的中点,则=(+),又=3,所以=,所以=×(+)=+.
2.C　因为A,B,D三点共线,所以存在实数t,使=t,
则-=t(-).
所以=+t(-)=(1-t)+t.
所以解得λ=-.
3.B　根据题意不妨取如图所示的两个互相垂直的单位向量e1,e2,
则a=-e1+e2,b=6e1+2e2,c=-e1-3e2.
因为c=λa+μb(λ,μ∈R),
所以-e1-3e2=λ(-e1+e2)+μ(6e1+2e2)=(-λ+6μ)e1+(λ+2μ)e2,
所以解得所以=4.
4.B　如图,a=(+),
b=(+),相减得b-a=(-),
所以=2(b-a).
5.AC　B中与共线,D中与共线,AC中两向量不共线.
6.ABD　由题意可知,=+=+,=+=+,故A,B正确;
·-·=(-)·=·
=·=0,故D正确;
·=(+)·(+)
=+·+
=×42+×4×4×+×4×4=26,故C不正确.
7.【解析】设c=λa+μb,
则-2e1+4e2=λ(e1+e2)+μ(2e1-e2)
=(λ+2μ)e1+(λ-μ)e2,
因为e1,e2不共线,
所以解得
故c=2a-2b.
答案:2a-2b
8.【解析】方法一:=-
=-b--a=a-b.
方法二:==(a-b).
答案:(a-b)
9.【解析】=++=-++
=-++=a-b.
=++=-++=b-a.
10.【解析】EF⊥EG,证明如下:
设=a,=b,由题意,
=-=-=b-a,
=+=+=a+b,所以·=-
=×-=0,
所以⊥,即EF⊥EG.
【素养提升组】
1.C　当点P落在第Ⅰ部分时,按向量与分解时,一个与反向,一个与同向,故a<0,b>0.
2.A　因为CD=DA,DE⊥AC,
所以E是AC 的中点,
所以=+=+=-,
又因为DC∥AB,DC=AB,
所以=,
所以=-.
3.【解析】如图,以OA,OB所在射线为邻边,OC为对角线作平行四边形ODCE,
则=+.
因为∠EOA=120°,∠AOC=30°.
所以∠EOC=90°,所以∠DCO=90°.
在Rt△OCD中,因为||=2,∠COD=30°,∠OCD=90°,
所以||=4,||=2,
故=4,=2,
即λ=4,μ=2,
所以λ+μ=6.
答案:6
4.【解析】由=+可知M,B,C三点共线,如图,
令=λ,则=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ λ=,所以=,
即△ABM与△ABC面积之比为1∶4.
答案:1∶4
5.【解析】设=a,=b,则=+=+=a+b,①
=+=+=a+b,②
由①②得解得
即=-c+d,=c-d.
6.【解析】(1)根据条件,=+
=+
=-+
=-+(-)
=-+=-a+b;
(2)=+=a+=a+b,
=+=+=+(-)=+=a+b,
所以=2,所以A,M,N三点共线.6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示
1.数乘运算的坐标表示
已知a=(x,y),则λa=　　　　.
2.平面向量共线的充要条件
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,
(1)a,b共线的充要条件是存在实数λ,使a=　　　　b.
(2)若用坐标表示,向量a,b(b≠0)共线的充要条件是　　　　　　　.
3.两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)共线的坐标条件能表示成=吗
4.中点坐标公式
已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2),若P是线段P1P2的中点,则点P的坐标为　　　　.
一、单选题
1.设向量a=,b=,则3a-b= (　　)
A. B.
C. D.
2.(教材改编题)已知向量a=(2,x),b=(1,x-1),若(2a-b)∥a,则x= (　　)
A.-2 B.2
C. D.-
3.设点A(2,0),B(4,2),若点P在直线AB上,且||=2||,则点P的坐标为 (　　)
A.(3,1)
B.(1,-1)
C.(3,1)或(1,-1)
D.(3,1)或(1,1)
4.在 ABCD中,=(3,7),=(-2,3),对称中心为O,则等于 (　　)
A. B.
C. D.
二、多选题
5.已知A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),则下列结论正确的是 (　　)
A.=-
B.+=
C.+=
D.=-2
6.已知向量a=(x,3),b=(-3,x),则下列叙述中不正确的是 (　　)
A.存在实数x,使a∥b
B.存在实数x,使(a+b)∥a
C.存在实数x,m,使(ma+b)∥a
D.存在实数x,m,使(ma+b)∥b
三、填空题
7.已知向量a=,b=,则a与b的位置关系是　　　　.
8.已知e1,e2不共线,若向量ke1+2e2与向量e1+3ke2反向共线,则实数k的值为　　　　.
四、解答题
9.(教材改编题)已知向量a=(1,3),b=(-2,1).向量m=a-2b,n=a+b.
(1)求向量m,n的坐标;
(2)判断向量m与n是否平行,并说明理由.
10.已知O为坐标原点,=(1,1),=(3,-1),=(a,b).
(1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系.
(2)若=2,求点C的坐标.
一、选择题
1.设向量a=,b=,c=,用{a,b}作基底可将c表示为c=pa+qb,则实数p,q的值为(　　)
A.p=4,q=1 B.p=1,q=4
C.p=0,q=4 D.p=1,q=-4
2.已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),则下列说法正确的是 (　　)
A.A,B,C三点共线 B.A,C,D三点共线
C.AB∥CD D.AC∥BD
二、填空题
3.已知平面向量a=(m,-4),b=(-1,m+3),若存在实数λ<0,使得a=λb,则实数m的值为　　　　.
4.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-3-m),若点A,B,C能构成三角形,则实数m应满足的条件为　　　　.
三、解答题
5.已知A,B,C三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),并且=,=,求证:∥.
6.如图所示,在△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),=,=,AD与BC相交于点M,求点M的坐标.
6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示
必备知识·落实
1.(λx,λy)
2.(1)λ　(2)x1y2-x2y1=0
3.不一定,x2,y2有一者为零时,比例式没有意义,只有x2y2≠0时,才能使用.
4.
知能素养·进阶
【基础巩固组】
1.B　因为向量a=(-1,3),b=(-5,4),
所以3a-b=.
2.B　根据题意,向量a=(2,x),b=(1,x-1),则2a-b=(3,x+1),若(2a-b)∥a,
则有2(x+1)=3x,解得x=2.
3.C　因为A(2,0),B(4,2),所以=(2,2),
因为点P在直线AB上,且||=2||,
所以=2或=-2,
所以=(1,1)或(-1,-1),
所以点P的坐标为(3,1)或(1,-1).
4.B　=-=-(+)=
-(1,10)=.
5.AD　因为=(-2,1),=(2,-1),
所以=-,所以A正确;
因为+=≠,所以B错误;
因为+=≠,所以C错误;
因为=(-4,0),-2=(0,2)-2(2,1)=(-4,0),所以D正确.
6.ABC　由a∥b得x2=-9,无实数解,故A中叙述错误,符合题意;
a+b=(x-3,3+x),由(a+b)∥a得3(x-3)-x(3+x)=0,即x2=-9,无实数解,故B中叙述错误,符合题意;
ma+b=(mx-3,3m+x),由(ma+b)∥a得(3m+x)x-
3(mx-3)=0,即x2=-9,无实数解,故C叙述错误,符合题意;
由(ma+b)∥b得-3(3m+x)-x(mx-3)=0,即m(x2+9)=0,所以m=0,x∈R,故D中叙述正确,不符合题意.
7.【解析】因为向量a=(2,-1),b=,所以a=-3b,因此a与b平行.
答案:平行
8.【解析】因为e1,e2不共线,所以e1+3ke2≠0.
又因为向量ke1+2e2与向量e1+3ke2反向共线,
所以存在实数λ,且λ<0,使ke1+2e2=λ(e1+3ke2)=λe1+3kλe2,即
解得k=(舍去)或k=-.
答案:-
9.【解析】(1)由a=(1,3),b=(-2,1),
得m=a-2b=(1,3)-(-4,2)=(5,1),
n=a+b=+(-2,1)=;
(2)m=(5,1),n=,
因为5×-1×=14≠0,
所以向量m与n不平行.
10.【解析】(1)因为已知=(1,1),=(3,-1),
=(a,b),
若A,B,C三点共线,则∥,
即=λ·,即(a-1,b-1)=λ (2,-2),
所以a-1=2λ,b-1=-2λ,即a+b=2.
(2)若=2,(a-1,b-1)=2(2,-2),
所以a=5,b=-3,所以点C的坐标为(5,-3).
【素养提升组】
1.B　由题得(3,-2)=p(-1,2)+q(1,-1)=(q-p,2p-q),
所以解得p=1,q=4.
2.C　因为=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),=(1-(-1),5-(-1))=(2,6),
=(2-1,7-5)=(1,2),
=(2-1,7-3)=(1,4).
A不正确,因为2×6-4×2=4≠0,所以与不共线,所以A,B,C三点不共线.
B不正确,因为2×2-6×1=-2≠0,所以与不共线,所以A,C,D三点不共线.
C正确,因为2×2-4×1=0,所以∥.
又因为A,B,C三点不共线,所以AB与CD不重合,所以AB∥CD.
D不正确,因为2×4-6×1=2≠0,所以与不共线,所以AC与BD不平行.
3.【解析】因为a=λb,所以(m,-4)=λ(-1,m+3),
则
解得λ=4或λ=-1,
又λ<0,所以λ=-1,所以m=1.
答案:1
4.【解析】=-=(6,-3)-(3,-4)=(3,1),=-=(5-m,-3-m)-(3,-4)=(2-m,1-m),由于点A,B,C能构成三角形,则与不共线,则3(1-m)-(2-m)≠0,解得m≠.
答案:m≠
5.【证明】设E(x1,y1),F(x2,y2),
依题意有=(2,2),=(-2,3),=(4,-1).
因为=,所以=,
因为=,所以=.
因为=(x1+1,y1)=,
所以x1=-,y1=,
所以E.
因为=(x2-3,y2+1)=,
所以x2=,y2=0,
所以F,
所以=,
又因为4×-×(-1)=0,
所以∥.
6.【解析】因为==(0,5)=,
所以C.
因为==(4,3)=,所以D.
设M(x,y),则=(x,y-5),
==.
因为∥,所以-x-2(y-5)=0,
即7x+4y=20.①
又=,=,
因为∥,所以x-4=0,
即7x-16y=-20　②,联立①②解得x=,y=2,
故点M的坐标为.6.3.5　平面向量数量积的坐标表示
1.平面向量数量积的坐标表示
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.则:
(1)a·b=　　　　　　　　;
(2)|a|2=　　　　　　,或|a|=　　　　　　;
(3)a⊥b 　　　　　　　　;
(4)若a,b为非零向量,则cosθ==　　　　　　　　　　.
2.向量垂直与向量平行的坐标表示有什么区别
一、单选题
1.(教材改编题)若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足条件(8a-b)·c=24,则x等于 (　　)
A.6 B.2
C.4 D.3
2.已知向量a=(2,-1),b=(3,-2),c=(1,m),若(a-b)⊥c,则|c|= (　　)
A.1 B.
C. D.2
3.在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=2,D为BC的中点,E,F都在线段AB上,且AE=EF=FB,则·= (　　)
A. B.
C.-2 D.2
4.已知向量a=,b=,且a与b的夹角为锐角,则实数k的取值范围是 (　　)
A.
B.
C.
D.∪
二、多选题
5.已知两个非零向量a,b满足2a+b=(4,5),a-2b=(-3,5),则下列结论中正确的是 (　　)
A.a=(1,3) B.b=(3,2)
C.a·b=-1 D.a+b=(4,5)
6.设向量a=(1,-1),b=(2,0),则下列结论中成立的有(　　)
A.|a-b|=|a|
B.(a-b)∥a
C.(a-b)⊥a
D.a在b上的投影向量为(1,0)
三、填空题
7.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则x+y=　　　　.
8.已知向量a,b满足a=(-1,1),|b|=2|a|,且a·b=1,则a,b夹角的余弦值为　　　　.
四、解答题
9.(教材改编题)已知向量a=(1,1),b=(-3,4).
(1)求的值;
(2)求向量a与a-b夹角的余弦值.
10.已知A(1,2),B(4,0),C(8,6),D(5,8),判断由此四点构成的四边形的形状.
一、选择题
1.(教材改编题)已知A(2,1),B(3,2),C(-1,4),则△ABC是 (　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
2.(多选题)设向量a=,b=,则下列叙述错误的是 (　　)
A.若k<-2,则a与b的夹角为钝角
B.的最小值为2
C.与b共线的单位向量只有一个为,-
D.若=2,则k=2或-2
二、填空题
3.如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=,则·的值是　　　　.
4.已知点P(1,1),O为坐标原点,点A,B分别在x轴和y轴上,且满足PA⊥PB,则(+)·=　　　　,|+|的最小值为　　　　.
三、解答题
5.设平面向量a=(cosα,sin α)(0≤α<2π),b=-,.
(1)求证:向量a+b与a-b垂直;
(2)若向量a+b与a-b的模相等,求角α.
6.已知A(3,2),B(-2,1),C(1,-1)且=-2.
(1)证明:△ABC是等腰直角三角形;
(2)求cos∠APC.
6.3.5　平面向量数量积的坐标表示
必备知识·落实
1.(1)x1x2+y1y2　 (2)+　
(3)x1x2+y1y2=0　 (4)
2.向量垂直与向量平行的条件容易混淆,注意以下特点:
项目 坐标表示 记忆口诀
垂直 a⊥b x1x2+y1y2=0 对应相乘和为0
平行 a∥b x1y2-x2y1=0 交叉相乘差为0
知能素养·进阶
【基础巩固组】
1.B　由题意得8a-b=(6,3),c=(3,x),
所以(8a-b)·c=18+3x=24,解得x=2.
2.B　由题设可得a-b=(-1,1),
因为(a-b)⊥c,故-1×1+1×m=0,
解得m=1,所以c=(1,1),故|c|=.
3.A　如图,建立平面直角坐标系,
则D(0,1),E,F,
所以=,=,
所以·=2×1-×=2-=.
4.D　a与b的夹角为锐角,
,解得k>-且k≠2,
即k的取值范围是∪(2,+∞).
5.AC　因为2a+b=(4,5),a-2b=(-3,5),所以5a=2(4,5)+(-3,5)=(5,15),所以a=(1,3),所以b=(4,5)-2(1,3)=(2,-1),所以a·b=2-3=-1,a+b=(3,2).
6.ACD　因为a=(1,-1),b=(2,0),所以a-b=(-1,-1),
对A:|a-b|=,|a|=,所以|a-b|=|a|,故A正确;
对B:因为1×(-1)-(-1)×(-1)=-2≠0,所以a-b与a不平行,故B错误;
对C:(a-b)·a=-1+1=0,所以(a-b)⊥a,故C正确;
对D:a在b上的投影为==1,则a在b上的投影向量为(1,0),故D正确.
7.【解析】因为向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,所以a·c=2x-4=0,得x=2,1×(-4)=2y,解得y=-2,所以x+y=2-2=0.
答案:0
8.【解析】由题意得|a|=,|b|=2,a·b=1,设a,b夹角为θ,则cosθ===.
答案:
9.【解析】(1)因为a-b=(4,-3),所以|a-b|=5;
(2)由(1)知a·(a-b)=·
=1×4+1×=1,=,|a-b|=5,
所以cos===.
10.【解析】因为=(4,0)-(1,2)=(3,-2),=(8,6)-(5,8)=(3,-2),
所以=,所以四边形ABCD是平行四边形.
因为=(5,8)-(1,2)=(4,6),
所以·=3×4+(-2)×6=0,
所以⊥,所以四边形ABCD是矩形.
因为||=,||=2,||≠||,所以四边形ABCD不是正方形.
综上,四边形ABCD是矩形.
【素养提升组】
1.B　由已知=(1,1),=(-3,3),
所以cosA===0,则A=,所以△ABC是直角三角形.
2.CD　对于选项A,若a与b的夹角为钝角,则a·b<0且a与b不共线,
则k-2<0且-k≠2,解得k<2且k≠-2,故选项A正确,不符合题意;对于选项B,=≥2,当且仅当k=0时,等号成立,故选项B正确,不符合题意;
对于选项C,=,与b共线的单位向量为±,即与b共线的单位向量为,-或-,,故选项C错误,符合题意;
对于选项D,=2=2,即=2,解得k=±2,故选项D错误,符合题意.
3.【解析】以A为坐标原点,AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,
则B(,0),D(0,2),C(,2),E(,1).
可设F(x,2),因为·=(,0)·(x,2)=x=,
所以x=1,所以·=(,1)·(1-,2)=.
答案:
4.【解析】设A(a,0),B(0,b),则=(a-1,-1),
=(-1,b-1),
因为PA⊥PB,所以·=(a-1)×(-1)+(-1)×(b-1)=0,
所以a+b=2,则(+)·=(a-2,b-2)·(-1,-1)=4-(a+b)=2,
|+|=
==
=,
所以当a=1时,|+|取得最小值.
答案:2　
5.【解析】(1)由题意,知a+b=,
a-b=cosα+,sin α-.
所以(a+b)·(a-b)=cos2α-+sin2α-=0,
所以(a+b)⊥(a-b).
(2)易得|a|=1,|b|=1.由题意,
知(a+b)2=(a-b)2,化简得a·b=0,
所以-cos α+sin α=0,所以tan α=.
又0≤α<2π,所以α=或α=.
6.【解析】(1)由题意得=(2,3),=(-3,2),
因为·=0,所以CA⊥CB,
所以△ABC是直角三角形,
又因为||==,||==,
所以||=||,所以△ABC是等腰直角三角形.
(2)设点P(x,y),则=(x-3,y-2),
=(-2-x,1-y),
因为=-2,所以x-3=4+2x且y-2=2y-2,解得x=-7,y=0,
所以P(-7,0),所以=(8,-1),=(10,2),
所以·=78,||=,||=2,
所以cos∠APC==.6.4.1　平面几何中的向量方法
6.4.2　向量在物理中的应用举例
【基础巩固组】
一、单选题
1.若=3a,=-5a,且,则四边形ABCD是 (　　)
A.平行四边形 B.菱形
C.等腰梯形 D.直角梯形
2.△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,=(+),且||=||,则·为 (　　)
A.1 B.
C.-1 D.-
3.已知D为△ABC的边BC的中点,△ABC所在平面内有一点P,满足=+,则的值为 (　　)
A.1 B. C. D.2
4.加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态时,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为400 N,则该学生的体重(单位:kg)约为 (　　)
(参考数据:取重力加速度大小为g=10 m/s2,≈1.732)
A.63 B.69 C.75 D.81
二、多选题
5.已知O是四边形ABCD内一点,若+++=0,则下列结论错误的是 (　　)
A.四边形ABCD为正方形,点O是正方形ABCD的中心
B.四边形ABCD为任意四边形,点O是四边形ABCD的对角线交点
C.四边形ABCD为任意四边形,点O是四边形ABCD的外接圆的圆心
D.四边形ABCD为任意四边形,点O是四边形ABCD对边中点连线的交点
6.已知△ABC是边长为2的等边三角形,D,E分别是AC,AB上的两点,且=,=2,BD与CE交于点O,则下列说法正确的是 (　　)
A.·=-1
B.+=0
C.=
D.在方向上的投影向量为
三、填空题
7.(教材改编题)力F=(-1,-2)作用于质点P,使P产生的位移为s=(3,4),则力F对质点P做的功是__________.
8.(教材改编题)一条两岸平行的河流,水速为1 m/s,小船的速度为2 m/s,为使所走路程最短,小船应朝与水速夹角为________的方向行驶.
四、解答题
9.如图所示,在矩形ABCD中,AB=,BC=3,BE⊥AC,垂足为E,求ED的长.
10.已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,垂足为E,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.
【素养提升组】
一、选择题
1.已知点A,B,C,则下列结论正确的是 (　　)
A.A,B,C三点共线
B.⊥
C.连接A,B,C构成锐角三角形
D.连接A,B,C构成钝角三角形
2.已知平面向量a,b的夹角为,且=,=2.在△ABC中,=2a+2b,=2a-6b,D为BC的中点,则AD的长等于 (　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
二、填空题
3.如图所示,小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时设水的阻力大小不变,那么小船匀速靠岸过程中,下列说法中正确的是________.(写出所有正确答案的序号)
①绳子的拉力不断增大;
②绳子的拉力不断变小;
③船的浮力不断变小;
④船的浮力保持不变.
4.已知平行四边形ABCD,AB=4,AD=,∠BAD为锐角,且sin∠BAD=,点P0是边CD上一定点,点P是边CD上一动点,若·≥·恒成立,则=________.
三、解答题
5.如图所示,一个物体受到同一平面内三个力F1,F2,F3的作用,沿北偏东45°的方向移动了8 m,其中|F1|=2 N,方向为北偏东30°;|F2|=4 N,方向为北偏东60°;|F3|=6 N,方向为北偏西30°,求合力F所做的功.
6.如图,在 OACB中,BD=BC,OD与BA相交于点E.求证:BE=BA.
6.4　平面向量的应用
6.4.1　平面几何中的向量方法
6.4.2　向量在物理中的应用举例
知能素养·进阶
【基础巩固组】
1.C　因为=3a,=-5a,
所以∥,||≠||,因为||=||,所以四边形ABCD是等腰梯形.
2.A　由题意知,O为BC的中点,且∠ABC=60°,||=2,||=1,所以·=1×2×=1.
3.A　因为=+,所以PA必为以PB,PC为邻边的平行四边形的对角线.因为D为边BC的中点,所以D为PA的中点,所以=1.
4.B　由题意知,|F1|=|F2|=400 N,夹角θ=60°,所以G+F1+F2=0,即G=-(F1+F2);
所以G2=(F1+F2)2=4002+2×400×400×cos 60°+4002=3×4002;|G|=400(N),则该学生的体重(单位:kg)约为40=40×1.732≈69(kg).
5.ABC　由+++=0知,+=-(+).设AB,CD的中点分别为E,F,由向量加法的平行四边形法则,知+=0,O是EF的中点.同理,设AD,BC的中点分别为M,N,则O是MN的中点.所以O是EF,MN的交点.
6.BCD　由题意知E为AB中点,则CE⊥AB,
以E为原点,,分别为x轴,y轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示:
所以,E(0,0),A(1,0),B(-1,0),C(0,),D(,),
设O(0,y),y∈(0,),故=(1,y),=(-,y-),因为∥,所以y-=-y,解得y=,
即O是CE中点,+=0,所以选项B正确;
===,所以选项C正确;
因为CE⊥AB,·=0,所以选项A错误;
=(,),=(1,),在方向上的投影向量为==,所以选项D正确.
7.【解析】由题意得,W=F·s=(-1,-2)·(3,4)=-11.
答案:-11
8.【解析】如图所示,为使小船所走路程最短,v水+v船应与岸垂直,又==1,==2,∠ADC=90°,所以∠CAD=30°.所以小船应朝与水速成120°角的方向行驶.
答案:120°
9.【解析】以A为坐标原点,AD,AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(0,),C(3,),
D(3,0),=(3,),
设=λ,则E的坐标为,
故=.
因为BE⊥AC,所以·=0,
即9λ+3λ-3=0,
解得λ=,所以E,
故=,||=,
即ED=.
10.【证明】如图,以B为原点,BC,BA所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系.
设A,C,则D,=.
设=λ,则=+=+=.
又因为=,⊥,所以·=0,
所以-2λ+2=0,解得λ=,所以=.所以=-=.
又因为=,所以cos∠ADB==,cos∠FDC==.
又因为∠ADB,∠FDC∈,所以∠ADB=∠FDC.
【素养提升组】
1.D　由点A,B,C,可得=,=,
则·=-4<0,所以C是钝角.
2.A　因为=(+)=(2a+2b+2a-6b)=2a-2b,所以||2=4(a-b)2=4(a2-2b·a+b2)=
4×=4,
则||=2,所以AD=2.
3.【解析】设水的阻力为f,绳的拉力为F,F与水平方向夹角为θ,则cos θ=,所以=.因为θ增大,所以cosθ减小,所以增大.因为sin θ增大,所以船的浮力减小.
答案:①③
4.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,
因为∠BAD为锐角,且sin∠BAD=,则cos∠BAD=,
则sin∠BAD==,即yD=2,又cos∠BAD==,即xD=1,
所以D,可知A,B,C,
设P,1≤m≤5,所以·=·=m2-4m+4=,
当m=2时,·取得最小值为0,此时P,
若·≥·恒成立,则P0,所以=1.
答案:1
5.【解析】以O为原点,正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系,如图所示,则F1=(1,),F2=(2,2),F3=(-3,3),所以F=F1+F2+F3=(2-2,2+4).
又=(4,4),
故F·=(2-2)×4+(2+4)×4
=4×6=24.
合力F所做的功为24 J.
6.【证明】因为O,E,D三点共线,
所以向量与向量共线.
则存在实数λ1,使得=λ1.
而=+=+,
则=λ1+.
又因为A,E,B三点共线,
所以与共线,
则存在实数λ2,使=λ2=λ2(-).
所以=λ2-λ2.而+=,
所以+λ2-λ2=λ1+.
即(1-λ2)+λ2=λ1+.
因为与不共线,
所以
所以λ2=.
所以=,即BE=BA.6.4.3　余弦定理、正弦定理
第1课时　余弦定理
1.余弦定理
a2=　　　　　　　　,
b2=　　　　　　　　,
c2=　　　　　　　　.
2.余弦定理和勾股定理有什么关系
3.余弦定理的推论
cosA=　　　　　　　　　　　　　　　,
cosB=　　　　　　　　　　　　　　　,
cosC=　　　　　　　　　　　　　　　.
4.利用余弦定理可以解的三角形的问题
(1)已知两边及其夹角,解三角形;
(2)已知三边,解三角形.
5.已知三角形的两边及其中一边的对角,能否利用余弦定理解三角形
一、单选题
1.在△ABC中,已知a=1,b=2,∠C=60°,则c等于 (　　)
A.3 B. C.5 D.
2.在△ABC中,C=,AB=7,BC=3,则AC= (　　)
A. B.5 C. D.6
3.(教材改编题)在△ABC中,已知a=3,b=5,c=,则最大角与最小角的和为 (　　)
A.90° B.120°
C.135° D.150°
4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若>0,则△ABC是 (　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.以上均有可能
二、多选题
5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=15,c=16,B=60°,则a边的值可以
是 (　　)
A.8+
B.8+
C.8-
D.8-
6.△ABC为钝角三角形,a=3,b=4,c=x,则x的取值可以是 (　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
三、填空题
7.在△ABC中,若(a+c)(a-c)=b(b-c),则A=　　　　　.
8.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为　　　　　　.
四、解答题
9.在△ABC中,已知a=2,b=6+2,c=4,求A,B,C.
10.在△ABC中,BC=a,AC=b,且a,b是方程x2-2x+2=0的两根,2cos(A+B)=1.求:
(1)角C;
(2)AB的长.
一、选择题
1.在△ABC中,tan A=,AC=,AB=4,则BC= (　　)
A. B.4 C. D.
2.(多选题)在△ABC中,满足(a2+c2-b2)tan B=ac的角B的值为 (　　)
A. B. C. D.
二、填空题
3.在△ABC中,若a∶b∶c=2∶∶(+1),则△ABC的最大内角的余弦值为　　　　.
4.在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则A=　　　,AC边上的高为　　　.
三、解答题
5.在△ABC中,若B=60°,2b=a+c,试判断△ABC的形状.
6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(cosA-sin A)cosB=0.
(1)求角B的大小;
(2)若a+c=1,求b的取值范围.
6.4.3　余弦定理、正弦定理
第1课时　余弦定理
必备知识·落实
1.b2+c2-2bccos A　a2+c2-2accos B
a2+b2-2abcos C
2.在△ABC中,由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,若角C=90°,则cosC=0,于是c2=a2+b2,这说明勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推广.
3.　　
5.能解三角形.当已知三角形两边和其中一边的对角时,如已知a,b,A,可用a2=b2+c2-2bccos A求解c,可能有两解.
知能素养·进阶
【基础巩固组】
1.B　由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcos C=1+4-2×1×2×=3,所以c=.
2.B　在△ABC中,C=,AB=7,BC=3,如图所示:
由余弦定理得72=AC2+32-2·3·AC·cos,
整理得AC2+3·AC-40=0,
解得AC=5或AC=-8(不合题意,舍去),
所以AC=5.
3.B　在△ABC中,因为a=3,b=5,
c=,所以最大角为B,最小角为A,
所以cosC===,
所以C=60°,所以A+B=120°,
所以△ABC中的最大角与最小角的和为120°.
4.C　由>0得-cosC>0,
所以cosC<0,从而C为钝角,因此△ABC一定是钝角三角形.
5.AC　在△ABC中,b=15,c=16,B=60°,
由余弦定理:b2=a2+c2-2accosB,
即a2-16a+31=0,解得a=8±.
6.AC　若x>4,则x所对的角为钝角,
所以<0且x<3+4=7,所以5若x<4,则4对的角为钝角,
所以<0且3+x>4,所以1所以x的取值范围是(1,)∪(5,7),故AC选项满足.
7.【解析】因为(a+c)(a-c)=b(b-c),
所以b2+c2-a2=bc,
所以cosA==.
因为A∈(0,π),所以A=.
答案:
8.【解析】因为bcosC+ccosB=asinA,
所以由余弦定理得b·+c·=asinA,
整理,得a=asinA.
所以sin A=1.
又A∈(0,π),所以A=.
故△ABC为直角三角形.
答案:直角三角形
9.【解析】根据余弦定理,cosA===.
因为A∈(0,π),
所以A=,cos C=
=,
因为C∈(0,π),所以C=.
所以B=π-A-C=π--=,
所以A=,B=,C=.
10.【解析】(1)因为cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-,且C∈(0,π),所以C=.
(2)因为a,b是方程x2-2x+2=0的两根,所以
所以AB2=b2+a2-2abcos =(a+b)2-ab=10,所以AB=.
【素养提升组】
1.C　设AC=b,AB=c,BC=a,则b=,c=4,
因为tan A=>0,A∈(0,π),
所以=,A∈,
又因为sin2A+cos2A=1,
解得cosA=,
由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccos A
=()2+42-2××4×=5,所以BC=.
2.BD　因为(a2+c2-b2)tan B=ac,
所以·tan B=,
即cosB·tanB=sin B=.
因为0所以角B的值为或.
3.【解析】因为a∶b∶c=2∶∶(+1),
不妨设a=2k,b=k,c=(+1)k,显然a所以△ABC的最大内角为C,
则cosC=
=
===.
答案:
4.【解析】由余弦定理,可得cosA===.
又0则AC边上的高h=ABsinA=3×=.
答案:　
5.【思路探求】根据三角形三边的关系,用a,c表示边b,再结合角B等于60°,利用余弦定理即可求出三角形三边的关系.
【解析】由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B.
因为B=60°且b=,
所以=a2+c2-2accos 60°.
整理,得(a-c)2=0,所以a=c,所以a=b=c,
所以△ABC为正三角形.
6.【解析】(1)由已知得-cos(A+B)+cosAcosB-sin A·cosB=0,即有sin AsinB-sin AcosB=0.
因为sin A≠0,所以sin B-cos B=0.
又cosB≠0,所以tan B=.
又0(2)由余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B.
因为a+c=1,cos B=,有b2=3(a-)2+.
又01.基线
在测量过程中,根据测量的需要而确定的线段叫做基线,一般来说,基线　　　　,测量的精确度越高.
2.测量时是否一定要选取基线
3.方向角
以观测者为中心,　　　　　　　与目标方向线所成的小于90°的水平角.
一、单选题
1.海上A,B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,A,C两岛相距20海里,则B岛与C岛间的距离是 (　　)
A.10海里　　 B.10海里
C.300海里 D.700海里
2.如图所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得
∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m,则河的宽度为 (　　)
A.230 m　 B.240 m　 C.50 m　 D.60 m
3.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10 m,吊杆AC=15 m,吊索AB=5 m,起吊的货物与岸的距离AD为 (　　)
A.30 m B.m
C.15 m D.45 m
4.(教材改编题)如图,地面有四个5G中基站A,B,C,D,已知CD=(+)km,
∠ADB=∠CDB=30°,∠DCA=45°,∠ACB=60°,则A,B两个中基站的距离是(　　)
A.4 km B.2 km
C. km D.6 km
二、多选题
5.如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B间的距离,李宁同学首先选定了与A,B不共线的一点C,然后给出了下列测量方案(△ABC的角A,B,C所对的边分别记为a,b,c),则一定能确定A,B间距离的方案为 (　　)
A.测量A,B,b B.测量a,b,C
C.测量A,B,a D.测量A,B,C
6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=,则下列说法正确的是 (　　)
A.ac的最小值是4
B.ac的最大值是4
C.a+3c的最小值是3+2
D.a+3c的最小值是4+2
三、填空题
7.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图,测得AC的长度为4 m,∠A=30°,则其跨度AB的长为　　　　　.
8.有一个长为1千米的斜坡,它的倾斜角为75°,现要将其倾斜角改为30°,则坡底要伸长　　　　千米.
四、解答题
9.如图,A,B两点之间隔着一座小山,现要测量A,B两点间的距离,选择在同一水平面上且均能直线到达的C点,经测量AC=50 m,BC=40 m,B在C北偏东45°方向上,A在C北偏西75°方向上,求AB的长.
10.海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°,距离为12海里;在A处看灯塔C,在货轮的北偏西30°,距离为8海里;货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在南偏东60°,求:
(1)A处与D处之间的距离;
(2)灯塔C与D处之间的距离.
一、选择题
1.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD,已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,从D沿着DC走到C用了3分钟,若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径为 (　　)
A.50米 B.50米
C.50米 D.50米
2.(教材改编题)台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动,离台风中心30千米内的地区为危险区,城市B在A的正东40千米处,B城市处于危险区内的持续时间为(　　)
A.0.5小时 B.1小时
C.1.5小时 D.2小时
二、填空题
3.某船开始看见一座灯塔在南偏东30°方向,该船沿南偏东60°方向航行45 km后,看见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离是　　　km.
4.如图,为了测量两座山峰上P,Q两点之间的距离,选择山坡上一段长度为
300 m且和P,Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点,现测得
∠PAB=90°,∠PAQ=∠PBA=∠PBQ=60°,则P,Q两点间的距离为　　　　m.
三、解答题
5.一次机器人足球比赛中,甲队1号机器人由A点开始做匀速直线运动,到达点B时,发现足球在点D处正以自己速度的两倍向点A做匀速直线滚动,如图所示,已知AB=4 dm,AD=17 dm,∠BAD=45°,若忽略机器人原地旋转所需的时间,则该机器人最快可在何处截住足球
6.如图,某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A,B之间的距离,她在西江南岸找到一点C,从C点可以观察到点A,B;找到一个点D,从D点可以观察到点A,C;找到一个点E,从E点可以观察到点B,C.测量得到数据:∠ACD=90°,∠ADC=60°,∠ACB=15°,∠BCE=105°,∠CEB=45°,DC=CE=1.
(1)求△CDE的面积;
(2)求A,B之间的距离.
第3课时　余弦定理、正弦定理
应用举例——距离问题
必备知识·落实
1.越长
2.测量时必须选取基线,因为无论应用正弦定理还是余弦定理解三角形时,至少应已知一边的长度.
3.指北或指南的方向线
知能素养·进阶
【基础巩固组】
1.A　如图,由已知得,在△ABC中,AB=10海里,AC=20海里,∠BAC=60°,
由余弦定理,可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 60°=102+202-2×10×20×=300.
故BC=10海里.
2.D　在△ABC中∠CAB=30°,∠CBA=75°,
所以∠ACB=75°,∠ACB=∠ABC.
所以AC=AB=120 m.如图,
作CD⊥AB,垂足为D,则CD即为河的宽度.
在Rt△ACD中,由正弦定理,得
=,
所以=,
所以CD=60 m,所以河的宽度为60 m.
3.B　在△ABC中,cos∠ABC==,∠ABC∈(0,π),
所以sin∠ABC==,
所以在Rt△ABD中,AD=AB·sin∠ABC=5×=(m).
4.C　由题意可得∠DAC=75°,∠DBC=45°,
在△ADC中,由正弦定理得AC===2,
在△BDC中,由正弦定理得BC===+1,在△ACB中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2×AC×BC·cos ∠ACB=(2)2+(+1)2-2×2×(+1)×=10,所以AB= km.
5.ABC　对于A,利用内角和定理先求出C=π-A-B,再利用正弦定理=解出c;
对于B,直接利用余弦定理c2=a2+b2-2abcos C即可解出c;
对于C,先利用内角和定理求出C=π-A-B,再利用正弦定理=解出c;
对于D,解不出c.
6.AD　由题意知S△ABC=S△ABD+S△BDC,由角平分线的性质以及面积公式可得ac·sin60°=a·sin30°+c·sin30°,化简得ac=a+c,所以ac=a+c≥2,当且仅当a=c时成立,解得ac≥4,故A正确,B错误;因为ac=a+c,所以1=+,所以a+3c=(a+3c)=4++≥4+2=4+2,当且仅当=,即a=c时等号成立,故C错误,D正确.
7.【解析】方法一:由题意知,∠A=∠B=30°,
所以∠C=180°-30°-30°=120°,
由正弦定理得,=,
即AB===4m.
答案:4m
方法二:过点C作CD⊥AB,由等腰三角形性质可知D为AB的中点,AD=AC·cosA=4×=2(m),
所以AB=2AD=4m.
答案:4m
8.【解析】如图,∠BAO=75°,∠C=30°,AB=1千米,
所以∠ABC=∠BAO-∠C=75°-30°=45°.
在△ABC中,=,所以AC===(千米).
答案:
9.【解析】依题意知∠ACB=120°,AC=50 m,BC=40 m,
应用余弦定理得AB=
=
=10(m),
故AB的长为10m.
10.【解析】由题意,画出示意图.
(1)在△ABD中,由已知∠ADB=60°,B=45°,AB=12海里.
由正弦定理得AD=·sin45°=24(海里).
(2)在△ADC中,由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos30°=242+(8)2-2×24×8×=(8)2,
所以CD=8(海里).
【素养提升组】
1.D　设该扇形的半径为r米,连接CO,如图所示.
由题意得OD=100米,DC=150米,
因为DC∥OA,∠AOB=120°,所以∠ODC=60°,
在△CDO中,由余弦定理得:
CD2+OD2-2CD·OD·cos60°=OC2,
即1502+1002-2×150×100×=r2,
解得:r=50,所以该扇形的半径为50米.
2.B　设t小时后,B城市恰好处于危险区内,则由余弦定理得:(20t)2+402-2×20t×40cos 45°=302.
化简得:4t2-8t+7=0,
所以t1+t2=2,t1t2=.
从而|t1-t2|==1.
3.【解析】设灯塔位于A处,船开始的位置为B,航行45 km后到C处,如图所示,延长CA,与BD交于点D.
∠DBC=60°,∠ABD=30°,BC=45 km,
所以∠ABC=60°-30°=30°,∠BAC=180°-60°=120°.
△ABC中,由正弦定理=,
可得AC===15(km).
即此时船与灯塔的距离是15 km.
答案:15
4.【解析】因为∠PAB=90°,∠PAQ=60°,
所以∠BAQ=30°,
在△ABQ中,因为∠PBA=∠PBQ=60°,
所以∠ABQ=120°,又∠BAQ=30°,
所以∠AQB=180°-120°-30°=30°,
由正弦定理,得=,AQ=900 m.
在Rt△ABP中,解得AP=900 m.
因为AQ=AP=900 m,又∠PAQ=60°,
所以△APQ是等边三角形,所以PQ=900 m,
所以P,Q两点间的距离为900 m.
答案:900
5.【解析】设机器人最快可在点C处截住足球,点C在线段AD上,连接BC,如图所示,
设BC=xdm,由题意知CD=2xdm,AC=AD-CD=(17-2x)dm.
在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A,
即x2=(4)2+(17-2x)2-8(17-2x)cos 45°,
解得x1=5,x2=.
所以AC=17-2x=7(dm)或AC=-(dm)(舍去).
所以该机器人最快可在线段AD上离A点7 dm的点C处截住足球.
6.【解析】(1)∠DCE=360°-90°-15°-105°=150°,
所以S△CDE=×|CD|×|CE|×sin150°=×1×1×=;
(2)由题可得在Rt△ACD中,
|AC|=|DC|·tan∠ADC=1×tan60°=,
在△BCE中,∠CBE=180°-105°-45°=30°,
由正弦定理可得=,即=,
解得|BC|=,
因为cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45°=,则在△ABC中,由余弦定理可得|AB|2=()2+()2-2××=2-,
所以|AB|=.第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例——高度、角度问题
1.视角
视角是指观察物体的两端　　　　张开的角度.
2.仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的　　　　　　和目标视线的夹角.目标视线在　　　　　　　时叫仰角,目标视线在　　　　　　时叫俯角.
3.方位角
从指北方向　　　转到目标方向线所成的水平角.其取值范围为　　　　.
4.方向角与方位角是相同的角吗
一、单选题
1.从地面上观察一建在山顶上的建筑物,测得其视角为α,同时测得建筑物顶部仰角为β,则山顶的仰角为 (　　)
A.α+β B.α-β
C.β-α D.α
2.如图所示,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的高度为18 km,速度为1 000 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为30°,经过1 min后又看到山顶的俯角为75°,则山顶的高度为(精确到0.1 km,参考数据:≈1.732)(　　)
A.11.4 km B.6.6 km
C.6.5 km D.5.6 km
3.如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100 m到达B处,又测得C对于山坡的斜度为45°,若CD=50 m,山坡对于地平面的坡角为θ,则cosθ= (　　)
A.　　B.2-　　C.-1　　D.
4.如图,无人机在离地面高200 m的A处,观测到山顶M处的仰角为15°、山脚C处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN为 (　　)
A.150 m B.200 m
C.300 m D.300 m
二、多选题
5.甲、乙两楼相距20米,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°,则 (　　)
A.甲楼高20米
B.甲楼高米
C.乙楼高米
D.乙楼高40米
6.一艘客船上午9:30在A处,测得灯塔S在它的北偏东30°方向,之后它以每小时32 nmile的速度继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时测得客船与灯塔S相距8 nmile,则灯塔S可能在B处的 (　　)
A.北偏东75°
B.南偏东15°
C.东北方向
D.东南方向
三、填空题
7.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=　　　　　　m.
8.(教材改编题)甲船在A处观察乙船,乙船在它的北偏东60°方向的B处,两船相距a n mile,乙船向正北行驶,若甲船的速度是乙船的倍,则甲船应沿　　　　　方向行驶才能追上乙船;追上时甲船行驶了　　　n mile.
四、解答题
9.(教材改编题)在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α=60°,在塔底C处测得点A的俯角β=45°,已知铁塔BC部分高32米,求山高CD.
10.如图,某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点A,B,C.为增加景区人民的收入,景区管委会又开发了风景优美的景点D.经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8 km处,位于景点B的正北方向上,还位于景点C的北偏西75°方向上,已知AB=5 km,AD>BD.
(1)景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路,不考虑其他因素,求出这条公路的长;
(2)求∠ACD的正弦值.
一、选择题
1.飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内,已知飞机的高度为海拔15 000 m,速度为1 000 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为18°,经过108 s后又看到山顶的俯角为78°,则山顶的海拔高度为 (　　)
A. km
B. km
C. km
D. km
2.在灯塔A的正东方向,相距40海里的B处,有一艘渔船遇险,在原地等待营救.海警船在灯塔A的南偏西30°,相距20海里的C处.现海警船要沿直线CB方向,尽快前往B处救援,则sin∠ACB等于 (　　)
A.　B.　C.　D.
二、填空题
3.(教材改编题)如图,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30米,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高为　　　　米.
4.如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,四边形ABHL,ACFG,BCDE都是正方形,AN⊥DE于点N,交BC于点M.可证△ABE与△HBC全等,进而得到矩形BENM与正方形ABHL面积相等;同理可得到矩形CDNM与正方形ACFG面积相等.在该图中,若tan∠BAE=,则sin∠BEA=　　　　.
三、解答题
5.如图所示,在地面上共线的三点A,B,C处测得一建筑物的仰角分别为30°,45°,60°,且AB=BC=60 m,求建筑物的高度.
6.如图,某运动员从A市出发沿海岸一条笔直公路以每小时15 km的速度向东进行长跑训练,长跑开始时,在A市南偏东方向距A市75 km,且与海岸距离为45 km的海上B处有一艘划艇与运动员同时出发,要追上这位运动员.
(1)划艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员
(2)求划艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角.
(3)若划艇每小时最快行驶11.25 km,划艇全速行驶,应沿何种路线行驶才能尽快追上这名运动员,最快需多长时间
第4课时　余弦定理、正弦定理
应用举例——高度、角度问题
必备知识·落实
1.视线
2.水平视线　水平视线上方　水平视线下方
3.顺时针　0°~360°({θ|0°≤θ<360°})
4.方向角和方位角不是相同的角.方向角是指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,而方位角是从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角.
知能素养·进阶
【基础巩固组】
1.C　如图可知,山顶的仰角为β-α.
2.B　因为AB=1 000×=(km),C=75°-30°=45°,
所以BC=·sin 30°=(km).
所以航线离山顶的距离h=BC·sin 75°=×sin 75°=×sin(45°+30°)≈11.4(km).
所以山顶的高度约为18-11.4=6.6(km).
3.C　在△ABC中,由正弦定理得:
BC===50(-)m,
在△BCD中,由正弦定理得:
sin∠BDC=
==-1,
因为θ=∠BDC-90°,
所以cosθ=cos(∠BDC-90°)=sin∠BDC=-1.
4.D　因为AD∥BC,
所以∠ACB=∠DAC=45°,
所以AC=AB=200 m,
又∠MCA=180°-60°-45°=75°,∠MAC=15°+45°=60°,
所以∠AMC=45°,
在△AMC中,=,
所以MC==200 m,
所以MN=MCsin∠MCN=200sin60°=300 m.
5.AC　甲楼的高为20tan 60°=20×=20(米);乙楼的高为20-20tan 30°=20-20×=(米).
6.AB　画出示意图如图,
客船半小时航行的路程为32×=16(n mile),所以AB=16 n mile.
又BS=8 n mile,∠BAS=30°,
所以=,
所以sin ∠ASB=,所以∠ASB=45°或∠ASB=135°.
当船在B处时,∠ASB=45°,∠B'BS=75°;
当船在B'处时,∠ASB'=135°,∠AB'S=15°.
综上,灯塔S在B处的北偏东75°或南偏东15°.
7.【解析】由题意,在△ABC中,∠BAC=30°,∠ABC=180°-75°=105°,故∠ACB=45°.
又AB=600 m,故由正弦定理得=,
解得BC=300 m.
在Rt△BCD中,CD=BC·tan 30°=300×=100 m.
答案:100
8.【解析】如图所示,设在C处甲船追上乙船,乙船到C处用的时间为t,乙船的速度为v,则BC=tv,AC=tv,又B=120°,则由正弦定理=,得=,
所以sin ∠CAB=,所以∠CAB=30°,
所以甲船应沿北偏东30°方向行驶.
又∠ACB=180°-120°-30°=30°,
所以BC=AB=a n mile,
所以AC=
==a(n mile).
答案:北偏东30°　a
9.【解析】由α=60°,β=45°易得∠BAD=60°,∠CAD=45°,
设AD=x米,则CD=AD·tan∠CAD=AD·tan45°=x,
BD=AD·tan∠BAD=AD·tan60°=x,
所以BC=BD-CD=x-x=32,
所以x==16(+1).
即山高为16(+1)米.
10.【解析】(1)在△ABD中,∠ADB=30°,AD=8 km,AB=5 km,设DB=x km,
则由余弦定理得52=82+x2-2×8×x×cos30°,
即x2-8x+39=0,
解得x=4±3,
而4+3>8,舍去,所以x=4-3,
所以这条公路的长为(4-3)km.
(2)在△ADB中,=,
所以sin∠DAB==,
所以cos∠DAB=,
在△ACD中,∠ADC=∠ADB+∠BDC=30°+75°=105°,
所以cos∠ADC=cos105°=cos(60°+45°)
=cos60°cos45°-sin60°sin45°=,
sin∠ADC=sin105°=sin(60°+45°)=,
所以sin∠ACD=sin[180°-(∠DAC+∠ADC)]
=sin(∠DAC+∠ADC)
=sin∠DAC·cos∠ADC+cos∠DAC·sin∠ADC
=×+×=.
【素养提升组】
1.D　如图,作CD⊥AB于点D,
∠A=18°,∠ACB=78°-18°=60°,
因为108 s=0.03 h,所以AB=1 000×0.03=30(km).
在△ABC中,由正弦定理可得=,
可得BC==20sin18°,
因为CD⊥AD,所以C到AB边的距离为CD=BCsin∠CBD=BCsin78°=20sin18°sin78°,
所以山顶的海拔高度为(15-20sin18°sin78°)km.
2.A　在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,
由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°
=1 600+400-2×40×20×(-)=2 800,
所以BC=20,由正弦定理得sin∠ACB=·sin∠BAC=×=.
3.【解析】在△BCD中,∠CBD=180°-15°-30°=135°,
由正弦定理得=,
所以BC==15.
在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=15tan 60°=15(米).
所以塔高AB=15米.
答案:15
4.【解析】设AB=k,AC=m,BC=n,可得k2+m2=n2,
又△ABE≌△HBC,
可得AE=CH==,
在△ABE中,tan∠BAE==,
又sin2∠BAE+cos2∠BAE=1,
解得sin∠BAE=,cos∠BAE=,
由cos∠BAE=
=
===,
化为8k2-2km-m2=0,解得m=2k,
又k2+m2=n2,可得n=k,
在△ABE中,=,即=,
可得sin∠BEA=.
答案:
5.【解析】设建筑物的高度为h,
由题图知,PA=2h,PB=h,PC=h,
所以在△PBA和△PBC中,分别由余弦定理,
得cos∠PBA=,①
cos∠PBC=.②
因为∠PBA+∠PBC=180°,
所以cos∠PBA+cos∠PBC=0.③
由①②③,解得h=30或h=-30(舍去),
即建筑物的高度为30m.
6.【解析】(1)设划艇以v km/h的速度从B处出发,沿BC方向(如图),t h后与运动员在C处相遇,过B作AC的垂线BD,则BD=45,AD=60,
在△ABC中,AB=75,AC=15t,BC=vt,
则sin∠BAC==,cos∠BAC=.
由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AB·ACcos∠BAC,
得v2t2=(15t)2+752-2×75×15t×.
整理得:v2=-+225
=5 625(-)2+81.
当=,即t=时,v2取得最小值81,即vmin=9 km/h,
所以划艇至少以9 km/h的速度行驶才能追上这位运动员.
(2)当v=9 km/h时,
在△ABC中,AB=75,AC=15×=,BC=9×=,
由余弦定理得cos∠ABC=
==0,
所以∠ABC=90°,所以划艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角为90°.
(3)划艇每小时最快行驶11.25 km,全速行驶,假设划艇沿着垂直于海岸的方向,即BD方向行驶,而BD=45,此时到海岸距离最短,需要的时间最少,所以需要=4(h),而4 h时运动员向东跑了15×4=60(km),而AD=60,
即4 h时,划艇和运动员相遇在点D.
所以划艇应垂直于海岸向北的方向行驶才能尽快追上这名运动员,最快需要4 h.

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