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专题53 双曲线及其性质
知识梳理 考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧
题型归类 题型一：双曲线的定义与标准方程
题型二：双曲线的焦点与焦距
题型三：双曲线的范围与对称性
题型四：双曲线的顶点、实轴、虚轴
题型五：双曲线的渐近线
题型六：双曲线的离心率
题型七：双曲线的应用
培优训练 训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强化测试 单选题：共8题
多选题：共4题
填空题：共4题
解答题：共6题
一、【知识梳理】
【考纲要求】
1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.
【考点预测】
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)若a(2)若a＝c，则集合P为两条射线；
(3)若a>c，则集合P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图　形
性　质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
【常用结论】
1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.
2.离心率e＝＝＝.
3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.
4.若渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0).
5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.
6.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.
7.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为.
【方法技巧】
1.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.
2.用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根据条件求解.
3.与双曲线－＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0).
4.求双曲线离心率或其取值范围的方法：
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.
5.双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线可由－＝0即得两渐近线方程±＝0.
6.双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系.
7.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.
二、【题型归类】
【题型一】双曲线的定义与标准方程
【典例1】（多选）（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，右顶点为，过的直线交双曲线的右支于，两点（其中点在第一象限内），设，分别为，的内心，则（ ）
A．点的横坐标为2
B．当时，
C．当时，内切圆的半径为
D．
【解析】【答案】BCD
【分析】根据双曲线方程有，利用双曲线定义及圆切线性质求圆在x轴上的切点横坐标即可判断A；根据，结合双曲线定义、勾股定理求判断B；利用圆的切线性质得内切圆半径判断C；由内切圆圆心性质得，结合直角三角形性质有判断D.
【详解】由双曲线方程知：，令圆在x轴上的切点横坐标为，
结合双曲线定义及圆切线性质有，即，
所以圆在x轴上的切点与右顶点为重合，又轴，则的横坐标为1，A错；
由，则，故，
而，所以，故，得，
所以，B对；
若为内切圆圆心且知：以直角边切点和为顶点的四边形为正方形，
结合双曲线定义：内切圆半径
由B分析知：，C对；
由分别是的角平分线，又，
所以，结合A分析易知，
在中，D对.
故选：BCD
【典例2】（2023·上海浦东新·统考三模）已知曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 ．
【解析】【答案】．
【分析】根据双曲线标准方程的特点求解.
【详解】 是焦点在x轴的双曲线，
，即 ；
故答案为： .
【典例3】（2019·河北·模拟预测）已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于3，且经过点（-3,8），直线与双曲线交于点A、B．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求△的面积.
【解析】【答案】（1）（2）
【详解】解:(1)设代入(-3，8)得
∴方程为:
(2)联立的
【题型二】双曲线的焦点与焦距
【典例1】（多选）（2023·重庆·统考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，若为直角三角形，则（ ）
A．
B．双曲线的离心率
C．双曲线的焦距为
D．的面积为
【解析】【答案】BD
【分析】画图分析，由双曲线的相关性质计算判断即可.
【详解】如图所示：

若为直角三角形，由双曲线的对称性可知：
，且.
设，则由双曲线的定义得：，.
所以在直角三角形中，由勾股定理得：.
解得：，所以，
所以的面积为：.故D正确；
，所以，故C不正确；
由可知，，，
所以，故A不正确；
，故B正确.
故选：BD.
【典例2】（2023·湖南郴州·统考一模）已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为 .
【解析】【答案】9
【分析】求出椭圆的焦点坐标，进而求出，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】的焦点坐标为，故，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为9.
故答案为：9
【典例3】（2022·全国·高考模拟）给定椭圆方程，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大，并求相应的四边形的顶点坐标．
【解析】【答案】双曲线方程为：.
四个点坐标为，，，.
【分析】设双曲线方程为，四个交点一个坐标为，则四边形面积为，
由等号成立的条件，求出四边形顶点坐标，代入双曲线方程，解出即得双曲线的方程.
【详解】因为双曲线与椭圆有相同的焦点，
设双曲线方程为，
设四个交点其中一个坐标为，四边形面积为S，由椭圆及双曲线的对称性，其他三个点分别为，，，，
当且仅当时，等号成立，代入椭圆方程，得，，
所以四个点坐标为，，，，
将其中一点代入双曲线方程，得
，因为，所以，
双曲线方程为：.
【题型三】双曲线的范围与对称性
【典例1】（多选）（2021·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知双曲线的上下两个顶点分别是，上下两个焦点分别是，P是双曲线上异于的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（ ）
A．渐近线方程为
B．直线的斜率之积等于定值
C．使为等腰三角形的点P有且仅有4个
D．焦点到渐近线的距离等于b
【解析】【答案】BD
【分析】对A：由双曲线焦点在轴上，可得A错误；对B：设，则化简可得B正确；对C：若点在第一象限，可以分别以焦点，为顶点构成等腰三角形，根据对称性，C错误；对D：由点到直线距离公式可得D正确.
【详解】解：对A：因为双曲线方程为，所以焦点在轴上，
所以渐近线方程为，所以选项A错误；
对B：设，则，
所以，所以选项B正确；
对C：若点在第一象限，可以分别以焦点，为顶点构成等腰三角形，根据对称性，点有且仅有8个，故选项C错误；
对D：设焦点坐标为，渐近线方程为，
则焦点到渐近线的距离，故选项D正确；
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：对B：利用两点间的斜率公式及点在双曲线上进行化简；对C：利用双曲线的对称性分析判断.
【典例2】（2022·全国·高三专题练习）若点依次为双曲线的左、右焦点，且，，. 若双曲线C上存在点P，使得，则实数b的取值范围为 .
【解析】【答案】
【分析】已知双曲线C上存在点P，使得，设，则，将点P代入双曲线方程，综合可得，根据，，，即可求出实数b的取值范围.
【详解】错解：
设双曲线上的点满足，即，
又，
，即，
，且，
，
实数b的取值范围是.
错因：
忽略了双曲线中.
正解：
设双曲线上的点满足，即，
又，
，即，
，且，
，
又，实数b的取值范围是.
故答案为：.
【典例3】（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知双曲线M：的离心率为，点，分别为其左、右焦点，点为双曲线M在第一象限内一点，设的平分线PQ交y轴于点Q，当时，.
(1)求双曲线M的方程；
(2)若，此时直线交双曲线M于A、B两点，求面积的最大值.
【解析】【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的离心率及可求出得出方程；
（2）写出直线PQ的方程，联立椭圆方程，由根与系数的关系及三角形的面积公式得出面积表达式，换元后利用二次函数求最值.
【详解】（1）根据题意可得，∴，
当时，将代入双曲线方程中，易得，
∴，∴，
∴双曲线M的方程为；
（2）设PQ与x轴交于点N，如图，

则，
又，∴，
∵PQ为的平分线，∴，
∴，∴直线PQ的方程为：，
令，得，
∴直线的方程为，即，
联立，可得，
易得，设，，则，，
又，∴，
∴，
令，则，
∴面积的最大值为.
【题型四】双曲线的顶点、实轴、虚轴
【典例1】（多选）（2023·河北沧州·校考三模）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上第一象限内一点，且，，关于的平分线的对称点恰好在上，则（ ）
A．的实轴长为2
B．的离心率为
C．的面积为
D．的平分线所在直线的方程为
【解析】【答案】ACD
【分析】求出双曲线的解析式，即可求出实轴长和离心率，求出焦点即可得出面积，利用倾斜角即可求出的平分线所在直线的方程.
【详解】由题意，
在中，
∵关于的平分线的对称点恰好在上，
∴，，三点共线，且，
∵，∴.
设，，
根据双曲线定义可得，，
解得，，即，∴.
在中，根据勾股定理可得，，解得，
∴的实轴长为2，所以A正确；
又，，∴的离心率为，所以B不正确；
的面积为，∴C正确；
∵，∴，
∵，易得的平分线的倾斜角为，
∴的平分线所在直线的方程为，即，所以D正确.
故选：ACD.
【典例2】（2022·浙江·模拟）已知圆．以圆与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ．
【解析】【答案】
【分析】根据题意求圆与坐标轴的交点得，，进而得双曲线的焦点为，顶点为，即，进而得答案.
【详解】解：对于圆，
令，得圆与坐标轴的交点分别为，，
令，由于，故无解.
所以圆与坐标轴的交点为，，
所以，根据题意得，双曲线的焦点为，顶点为
所以，
所以双曲线的标准方程为．
故答案为：
【典例3】（2023·江西·校联考二模）已知椭圆方程：，其离心率为，且分别是其左顶点和上顶点，坐标原点到直线的距离为.
(1)求该椭圆的方程；
(2)已知直线交椭圆于两点，双曲线：的右顶点与交双曲线左支于两点，求证：直线的斜率为定值，并求出定值.
【解析】【答案】(1)，
(2)证明见解析，
【分析】（1）易得两点坐标，在中利用等面积法可得，再结合离心率即可求得标准方程；（2）易知，设出直线方程并于双曲线联立，再结合在椭圆上，即可得两点的坐标表示，利用两点间斜率公式以及直线，化简变形整理即可得.
【详解】（1）由已知可知，所以，
在中，等面积可得
又因为该椭圆离心率为，即
解得
所以该椭圆方程为.
（2）设，
由，可设直线方程：，直线BE方程：
将直线AE与双曲线联立可得，，
又因为，代入上式中可得
解得，代入直线方程：，
所以点坐标为
同理可得点坐标为：
所以直线的斜率.
所以直线的斜率为定值，该定值为
【题型五】双曲线的渐近线
【典例1】（多选）（2024·浙江台州·统考一模）已知为双曲线：上位于第一象限内一点，过点作x轴的垂线，垂足为，点与点关于原点对称，点为双曲线的左焦点，则（ ）
A．若，则
B．若，则的面积为9
C．
D．的最小值为8
【解析】【答案】ABD
【分析】根据题意结合四边形的形状分析A，B；将转化成直线斜率，借助渐近线斜率判断C；由双曲线定义，利用与之间的关系求最值判断选项D.
【详解】设双曲线右焦点为，由题意可知，四边形为平行四边形，如图：
由双曲线：可知：，，，
对于A，因为，
所以，
所以四边形为矩形，
所以，故A正确；
对于B，据双曲线定义可知：，，
若，则四边形为矩形，
则，所以，
即，
所以，所以，
所以，故B正确；
对于C，由双曲线的方程可知，
在中，
又因为双曲线渐近线方程为：，
所以
所以，即，故C错误；
对于D，，
当且仅当时，取到最小值为8，故D正确.
故选：ABD
【典例2】（2023上·四川成都·高三石室中学校考期中）已知点在双曲线上，直线是双曲线的渐近线，则双曲线的标准方程是
【解析】【答案】
【分析】由渐近线方程可设双曲线的方程为：，根据双曲线经过点代入即可求解．
【详解】由题意得：双曲线的渐近线为：，所以可设双曲线的方程为：，
因为点在双曲线上，所以代入得：，即：，
所以：双曲线的方程为：.
故答案为：.
【典例3】（2023·全国·模拟预测）已知双曲线：的离心率为，左 右焦点分别为，，两条渐近线为，，垂直于点，直线交于点，为坐标原点.
(1)求的值.
(2)若双曲线的实轴长为，过点作斜率为的直线（与轴不重合）交于，两点，是的右顶点，设直线，的斜率分别为，，判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【解析】【答案】(1)
(2)是定值，为定值
【分析】（1）已知离心率，可以求出渐近线方程，根据直线与垂直，求出直线，直线与直线联立求出点坐标，进而求出、、，进而求出结果.
（2）设直线直线的方程为，交点，，则可表示为，直线和双曲线联立得到根与系数的关系代入，解得.
【详解】（1）
因为双曲线的离心率，所以，所以，
所以双曲线的渐近线方程为，
不妨令：，：，
因为直线垂直，所以，
故，又，所以，
所以点到直线：的距离，
所以，
因为，，
所以直线的方程为，与的方程联立可得，则，
解得，
故，则，
在中，由勾股定理可得，
故，
所以.
（2）是定值.
由题意知，得，，
所以双曲线的方程为，
所以，，直线的方程为，
设交点，，
由消去得，
则有，，
因为，，
所以
，
所以，为定值.
【题型六】双曲线的离心率
【典例1】（多选）（2023·海南·统考模拟预测）已知双曲线的焦点分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．渐近线方程为
B．双曲线与椭圆的离心率互为倒数
C．若双曲线上一点满足，则的周长为28
D．若从双曲线的左 右支上任取一点，则这两点的最短距离为6
【解析】【答案】CD
【分析】根据椭圆、双曲线的定义与性质逐项分析判断.
【详解】设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距，
由题意可知：，且焦点在x轴上，
对于选项A：双曲线的渐近线方程为，即，故A错误；
对于选项B：双曲线的离心率，
设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距，
则，可得椭圆的离心率，
且，所以双曲线与椭圆的离心率不互为倒数，故B错误；
对于选项C：由双曲线的定义可知：，
可得，所以的周长为，故C正确；
对于选项D：若从双曲线的左 右支上任取一点，由双曲线的对称性可知这两点的最短距离为，故D正确；
故选：CD.
【典例2】（2023·四川绵阳·统考二模）已知双曲线C的方程为：，离心率为，过C的右支上一点，作两条渐近线的平行线，分别交x轴于M，N两点，且．过点P作的角平分线，在角平分线上的投影为点H，则的最大值为 ．
【解析】【答案】/
【分析】根据离心率及可求出双曲线方程，再由双曲线的定义及中线的向量表示运算即可得解.
【详解】，
，即，
两渐近线方程为，
设为右支上一点，则，
设，，
分别令，可得，，
又，
，即，
，
所以双曲线方程为，故，
延长交于，如图，

因为平分且，所以，
又，，为中点，
，
，
，
，
即的最大值为.
故答案为：
【典例3】（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）已知双曲线的离心率为2.
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若双曲线的右焦点为，若直线与的左，右两支分别交于两点，过作的垂线，垂足为，试判断直线是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.
【解析】【答案】(1)；
(2)直线是否过定点，证明见解析.
【分析】（1）根据题意可得，即可得出答案；
（2）设直线的方程，直线与双曲线的左右两支分别交于点，则，联立直线与双曲线的方程，设，结合韦达定理可得，写出直线的方程，令，解得,即可得出答案．
【详解】（1）由双曲线的离心率为2，
所以，所以，
所以双曲线的渐近线方程为.
（2）由题意可得直线的斜率不为0，设直线的方程，
因为直线与双曲线的左右两支分别交于点，
则，
联立，得，
设，
则，直线的方程，
令，得
，
所以直线过定点.

【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
【题型七】双曲线的应用
【典例1】（多选）（2023·山东潍坊·统考一模）双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线.平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左，右焦点，过右支上一点作直线交轴于点，交轴于点.则（ ）
A．的渐近线方程为 B．点的坐标为
C．过点作，垂足为，则 D．四边形面积的最小值为4
【解析】【答案】ACD
【分析】根据方程，可直接求出渐近线方程，即可判断A项；由已知可得，进而结合双曲线方程，即可得出点的坐标，即可判断B项；根据双曲线的光学性质可推得，点为的中点.进而得出，结合双曲线的定义，即可判断C项；由，代入利用基本不等式即可求出面积的最小值，判断D项.
【详解】对于A项，由已知可得，，所以的渐近线方程为，故A项正确；
对于B项，设，则，整理可得.
又，所以，所以有，解得，所以点的坐标为，故B项错误；
对于C项，如上图，显然为双曲线的切线.
由双曲线的光学性质可知，平分，延长与的延长线交于点.
则垂直平分，即点为的中点.
又是的中点，所以，，故C项正确；
对于D项，，
当且仅当，即时，等号成立.
所以，四边形面积的最小值为4，故D项正确.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：C项中，结合已知中，给出的双曲线的光学性质，即可推出.
【典例2】（2022·辽宁·东北育才学校校联考二模）青花瓷，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一.如图是一个落地青花瓷，其外形称为单叶双曲面，且它的外形左右对称，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为16，上瓶口圆的直径为20，上瓶口圆与最小圆圆心间的距离为12，则该双曲线的离心率为 .
【解析】【答案】
【分析】由题意作出轴截面，最短直径为，根据已知条件点在双曲线上，代入双曲线的标准方程，结合，，的关系可求得离心率的值．
【详解】由题意作出轴截面如图：以花瓶最细处横截面圆的直径为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
设双曲线的方程为：，
花瓶最细处横截面圆直径为，设B为花瓶上瓶口轴截面上的点，
则由已知可得是双曲线上的点，且,
故,解得，故
故，
故答案为：．
【典例3】（2021·上海·统考模拟预测）（1）团队在点西侧、东侧20千米处设有、两站点，测量距离发现一点满足千米，可知在、为焦点的双曲线上，以点为原点，东侧为轴正半轴，北侧为轴正半轴，建立平面直角坐标系，在北偏东60°处，求双曲线标准方程和点坐标.
（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有、两站点，测量距离发现千米，千米，求（精确到1米）和点位置（精确到1米，1°）
【解析】【答案】（1），；（2），点位置北偏东.
【分析】（1）求出，，的值即可求得双曲线方程，求出直线的方程，与双曲线方程联立，即可求得点坐标；
（2）分别求出以、为焦点，以，为焦点的双曲线方程，联立即可求得点的坐标，从而求得，及点位置．
【详解】（1）由题意可得，，所以，
所以双曲线的标准方程为，
直线，联立双曲线方程，可得，，
即点的坐标为，．
（2）①，则，，所以，
双曲线方程为；
②，则，，所以，
所以双曲线方程为，
两双曲线方程联立，得，，
所以米，设与轴夹角为，则，利用计算器求得，
∴点位置北偏东．
三、【培优训练】
【训练一】（2021·安徽马鞍山·统考三模）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若直线过抛物线焦点，与抛物线相交于，两点，求证：；
（3）若直线与抛物线相交于，两点，且，那么直线是否一定过焦点，请说明理由．
【解析】【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）直线不一定过焦点，理由见解析.
【分析】（1）利用抛物线焦点与双曲线右焦点重合列方程，化简求得，从而求得抛物线的标准方程.
（2）设出直线的方程，联立直线的方程与抛物线方程，化简写出根与系数关系，由此计算证得.
（3）设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线方程，结合进行化简，由此证得直线不一定过焦点.
【详解】（1）抛物线焦点为，
双曲线可化为，，故其右焦点为，
所以，解得，
所以抛物线方程为.
（2）设直线的方程为，设，
，消去并化简得，
所以，，
所以.
（3）依题意可知与不平行，设直线的方程为，,
，消去并化简得，
，，
依题意，
解得或，所以直线过或，不一定过抛物线焦点.
【点睛】圆锥曲线中，求解与向量坐标运算有关的问题，可考虑利用根与系数关系来求解.
【训练二】（2023·江苏南京·校考一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别、焦距为2，且与双曲线共顶点．P为椭圆C上一点，直线交椭圆C于另一点Q．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点P的坐标为，求过P、Q、三点的圆的方程；
(3)若，且，求的最大值．
【解析】【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由焦距为2得到，再由双曲线的顶点求出，得到，椭圆方程；
（2）求出的方程，与椭圆方程联立后得到点Q的坐标，待定系数法求出圆的方程；
（3）设，，由向量共线得到，将两点坐标代入椭圆方程中，求出，从而表达出，结合基本不等式求出最值.
【详解】（1）双曲线的顶点坐标为，故，
由题意得，故，
故椭圆的方程为．
（2）因为，，所以的方程为，
由，解得点Q的坐标为．
设过P，Q，三点的圆为，
则，解得，，，
所以圆的方程为；
（3）设，，
则，，
因为，所以，即，
所以，解得，
所以
，
因为，所以，当且仅当，
即时，取等号．最大值为．
【训练三】（2023·浙江宁波·统考一模）已知双曲线C：的焦距为6，其中一条渐近线的斜率为，过点的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，M为线段PQ上与端点不重合的任意一点，过点M且与平行的直线分别交另一条渐近线和C于点
(1)求C的方程；
(2)求的取值范围.
【解析】【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由渐近线斜率得，结合求得得双曲线方程；
（2）设.直线的方程为，代入双曲线方程应用韦达定理得，同时由两交点在右支得出，然后求出各点坐标计算出并代入韦达定理的结论化此式为关于的函数，从而可求得其取值范围．
【详解】（1）由的焦距为6，知，即；
又渐近线方程为，则，
故，即，从而，
因此，双曲线的方程为.
（2）设.直线的方程为，则.
将直线的方程代入得有两正根，
则,且，
又，解上述不等式组，得.
因为的方程为，则与的交点横坐标为
将的方程代入得即为点的横坐标，
故，
所以，，
即的取值范围为.
【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线相交中范围问题，一般设交点坐标为，设直线方程为（或），代入圆锥曲线方程后应用韦达定理得，由相交得出参数范围，计算出要求范围的量交代入韦达定理的结论化为所设参数的函数，从而求得其取值范围，
【训练四】（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知双曲线：（，）的离心率是，实轴长是2，为坐标原点.设点为双曲线上任意一点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，的面积为.
(1)当的方程为时，求的值；
(2)设，求证：为定值.
【解析】【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）首先求双曲线方程，直线方程与双曲线方程联立，得到，并利用两
角和的正切公式表示，并求，最后代入三角形面积公式，
即可求解；（2）利用向量的坐标表示关系，点的坐标用点的坐标表示，并代入双曲线方程求，再代入面积公式，即可证明定值.
【详解】（1）由题意可知，，，，
则，.双曲线C的方程为.
设，，，
把：代入，得，又，
，，
，.
，
.
（2）证明：双曲线渐近线方程为，则，.
由，得，.
，，
化简可得.
，
为定值.

【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线相交的综合应用，重点考查弦长公式，
三角恒等变换，以及韦达定理，本题的关键是利用点的坐标，正确表示.
【训练五】（2023上·江苏连云港·高三统考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过点且不与轴重合的直线与椭圆交于，两点（点在点，之间）.
(1)记直线，的斜率分别为，，求的值；
(2)设直线与交于点，求的值.
【解析】【答案】(1)0
(2)1
【分析】（1）设直线l的方程为，联立方程组，利用韦达定理求参数，从而得的值；
（2）设由对称关系得的方程和的方程，联立方程组得，代入椭圆方程，得点在双曲线上运动，且，恰好为该双曲线的焦点，从而得的值.
【详解】（1）设直线l的方程为，，.
联立方程组，整理得，
则，即，
所以
；
（2）由（1）可知，，故直线与关于直线对称，
设直线与椭圆的另一个交点为，则与关于轴对称，
设，则.
所以直线的方程为，直线的方程为，
故点满足方程组，解得，
因为点在椭圆C上，所以，
即，整理得，
所以点在双曲线上运动，且，恰好为该双曲线的焦点，
依题意，点在，之间，所以，得，点在双曲线的右支上运动，
所以.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
【训练六】（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）已知双曲线的离心率为2，右焦点与抛物线的焦点重合，双曲线的左、右顶点分别为，，点为第二象限内的动点，过点作双曲线左支的两条切线，分别与双曲线的左支相切于两点，，已知，的斜率之比为.

(1)求双曲线的方程；
(2)直线是否过定点？若过定点请求出定点坐标，若不过定点请说明理由.
(3)设和的面积分别为和，求的取值范围.
参考结论：点为双曲线上一点，则过点的双曲线的切线方程为.
【解析】【答案】(1)
(2)过定点，定点坐标为
(3)
【分析】（1）由条件确定双曲线的焦点位置，设其方程，再列出关于的方程，解方程可得双曲线方程，
（2）设，由条件，的斜率之比为可得，设，，，结合所给结论求切线，方程，由此可得直线的方程，由此判断结论；
（3）先证明，设，结合设而不求法表示，再通过换元，利用函数的单调性求其取值范围.
【详解】（1）由已知双曲线为焦点在轴上，中心为原点的双曲线，
设其方程为，
因为双曲线的离心率为2，
所以，，
又双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的焦点坐标为，
所以，所以，
双曲线的标准方程为；
（2）知，，设，
所以，，
因为，的斜率之比为，即，
解得，所以点在直线上，
设，，，
则切线方程为：，
则切线方程为：，
因为点既在直线上又在直线上，
即：，，
所以直线的方程为：，化简可得，
所以直线过定点；

（3）由（2）得直线过定点，所以，，，
所以，点到直线的距离为点到直线的距离的3倍，所以，，
因为，所以，，
若直线的斜率为，则直线与双曲线的左支的交点为与已知矛盾，
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，
直线与双曲线的交点坐标为，
故切线的方程为，切线的方程为，
此时点的坐标为，与点在第二象限矛盾，
设，
将代入双曲线中得
，由已知，
方程的判别式，
所以，，，
由已知，
所以，，
所以，，
化简可得，又，
所以或，
所以的取值范围为
所以
令，则，
所以
函数在上单调递增，
所以，
所以，的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：解决直线与双曲线的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、双曲线的条件；
(2)强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
四、【强化测试】
【单选题】
1. （2023·全国·模拟预测）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】【答案】A
【分析】由椭圆和双曲线的定义及条件可求，根据双曲线离心率的定义可得结果.
【详解】因为，，依题意，由椭圆及双曲线的定义得：
，，
由，
解得，而，所以双曲线的离心率．
故选：A．
2. （2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）已知是椭圆的长轴上的两个顶点，点是椭圆上异于长轴顶点的任意一点，点与点关于轴对称，则直线与直线的交点所形成的轨迹为（ ）
A．双曲线 B．抛物线
C．椭圆 D．两条互相垂直的直线
【解析】【答案】A
【分析】由题意设出点，坐标，然后求出直线与直线的方程，根据直线方程的特点，两方程相乘，从而得到点的轨迹方程，进而得解.
【详解】
由于是椭圆的长轴上的两个顶点，所以，
设，则，
所以直线的方程为①，直线的方程为②，
①②得，
又因为在椭圆上，所以，即，
所以，即，
即直线与直线的交点在双曲线上.
故选：A.
3. （2023·福建泉州·统考模拟预测）已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【解析】【答案】A
【分析】根据双曲线的性质得到，，即可解得，从而求得答案.
【详解】由题意得：，解得：，
即双曲线的方程为，所以的渐近线方程是.
故选：A.
4. （2023上·安徽·高二合肥市第六中学校联考期中）若双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．7
【解析】【答案】B
【分析】先求出椭圆的焦点，再由两曲线的焦点重合，列方程可求出的值.
【详解】因为椭圆的焦点为，
所以双曲线的焦点为，
故，解得.
故选：B.
5. （2022·新疆·统考模拟预测）已知点是双曲线上的动点，，分别为其左，右焦点，为坐标原点.则的最大值是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【解析】【答案】D
【分析】设在右支上，根据双曲线的性质求得、且，由已知双曲线有，结合的范围求范围，即可得结果.
【详解】由双曲线的对称性，假设在右支上，即，
由到的距离为，而，
所以，
综上，，同理，则，
对于双曲线，有且，
所以，而，即.
故选：D
【点睛】关键点点睛：双曲线上点到焦点距离与到距离的比值为，求焦半径、，进而结合已知双曲线求目标式范围.
6. （2023·甘肃陇南·统考一模）已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，焦距为6，点在双曲线上，且，，则双曲线的实轴长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解析】【答案】A
【分析】运用代入法，结合已知等式进行求解即可.
【详解】把代入中，得，即，
因为，，
所以，
又，所以，解得，舍去，则.
故选：A
7. （2023·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与该双曲线的一条渐近线交于点．若，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】【答案】C
【分析】求出直线与渐近线交点，利用得出关系，即可得解.
【详解】联立，可解得，所以，
所以，
．
由，可得，
即，即．
又因为，所以，
所以双曲线的离心率，
故选：．
8. （2023·全国·模拟预测）圆锥曲线的光学性质在实际生活中有着广泛的应用．我国首先研制成功的“双曲线电瓶新闻灯”就是利用了双曲线的光学性质，即从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点．如图，已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，当入射光线和反射光线PE互相垂直时（其中P为入射点），，则该双曲线的离心率为（ ）

A． B．2 C． D．
【解析】【答案】B
【分析】根据三角函数的定义表示出，利用勾股定理表示出，根据双曲线的定义得到，即得离心率.
【详解】设双曲线C的焦距为，因为，，
所以，，
所以，故该双曲线的离心率为．
故选：B
【多选题】
9. （2023·广东广州·统考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点别为，，过点的直线l与双曲线的右支相交于两点，则（ ）
A．若的两条渐近线相互垂直，则
B．若的离心率为，则的实轴长为
C．若，则
D．当变化时，周长的最小值为
【解析】【答案】ACD
【分析】根据双曲线的渐近线、离心率、定义、三角形的周长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，，
A选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以，故A正确；
B选项，若的离心率为，
解得，所以实轴长，故B错误；
C选项，若，则，
整理得，故C正确；
D选项，根据双曲线的定义可知，，
两式相加得，
所以周长为，
当时，取得最小值，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以周长的最小值为，故D正确.
故选：ACD
10. （2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知曲线是顶点分别为的双曲线，点（异于）在上，则（ ）
A．
B．的焦点为
C．的渐近线可能互相垂直
D．当时，直线的斜率之积为1
【解析】【答案】ACD
【分析】根据双曲线方程的形式特征判断A、B；求出渐近线，利用渐近线互相垂直求解即可判断C；设点的坐标，求解斜率之积即可判断D.
【详解】若是双曲线，则，解得，
此时曲线表示焦点在轴上的双曲线，
其焦点为，，故选项A正确、选项B错误；
的渐近线方程为，当时，的渐近线的斜率为，此时两条渐近线互相垂直，
满足题意，故选项C正确；
当时，，其顶点坐标分别为，，
设，则，故选项D正确.
故选：ACD.
11. （2023·全国·模拟预测）已知是定圆（为圆心）上的一个动点，是不在圆上的一个定点.若点满足，且，则点的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线（单支）
【解析】【答案】AB
【分析】由题设可得且在直线上，讨论与圆的位置关系，结合椭圆、双曲线、圆的定义判断的轨迹.
【详解】由，得，故，所以.
由知，点在直线上.
当与圆心重合时，为线段的中点，故轨迹是以为圆心的圆（半径为的一半）.
当在圆内（不与重合）时，，所以的轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆.
当在圆外时，，
所以的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线.
若在之间时，轨迹在靠近焦点的分支上；
若在之间时，轨迹在靠近焦点的分支上；
故选：AB.
12. （2023·江苏苏州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，过且倾斜角为的直线分别交的左、右两支于点，，直线交于另一点，连接，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】【答案】ABD
【分析】确定直线方程，计算交点坐标，得到，A正确，根据两点间距离公式得到，B正确，计算，C错误，计算到两直线的距离不相等，正确，得到答案.
【详解】双曲线的右焦点为，直线，

，解得或，
即，，根据对称性知.
对选项A：，故，正确；
对选项B：，，故，正确；
对选项C：，，，
，错误；
对选项D：直线，到的距离为，
到的距离为，两者不相等，，正确；
故选：ABD.
【填空题】
13. （2023·安徽合肥·统考一模）已知双曲线E：的左右焦点分别为，，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线与轴交于Q点．若，则双曲线E的离心率的取值范围为 ．
【解析】【答案】
【分析】根据题意设点并解出Q点坐标为，再根据可得，即可解得，由P为双曲线右支上一点可得，解不等式即可求得离心率的取值范围.
【详解】如下图所示，根据题意可得，
设，则直线的方程为，
所以直线与轴的交点，
由可得，即，
整理得，即；
又因为P为双曲线右支上一点，所以，
当时，共线与题意不符，即；
可得，整理得，即，
解得或（舍）；
即双曲线E的离心率的取值范围为.
故答案为：
14. （2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知，分别为双曲线的左、右焦点，C的离心率为，过且倾斜角为120°的直线l与C交于A，B两点，若的内切圆的面积为，则C的虚轴长为 ．
【解析】【答案】6
【分析】由题意可得， C的渐近线方程为，的内切圆的半径为，结合双曲线的定义可得，联立直线和双曲线方程，由韦达定理及弦长公式可得，从而有，求解即可得答案.
【详解】解：由C的离心率为可知，则，所以C的渐近线方程为．
经过的直线l的倾斜角为120°，
所以A，B都在C的左支上．

因为的内切圆的面积为，
所以的内切圆的半径为，
所以的面积为，
由双曲线的定义可知，
所以．
又，
所以，解得，
由题可知，
所以直线l的方程为，
联立得，
所以，，
则，
所以，解得，则，故C的虚轴长为．
故答案为：6
【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线综合性问题要紧扣圆锥曲线的定义、韦达定理及弦长公式求解.
15. （2023·海南·校联考模拟预测）已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦距为 .
【解析】【答案】
【分析】利用双曲线的性质计算即可.
【详解】由题意可知的渐近线方程，
故双曲线的焦距为.
故答案为：
16. （2023上·吉林长春·高二校考期末）已知，是双曲线：的左、右两个焦点，若直线与双曲线交于，两点，且四边形为矩形，则双曲线的离心率为 ．
【解析】【答案】
【分析】根据题意由矩形的对角线相等建立方程求出的关系即可求出双曲线的离心率.
【详解】因为点在直线上，设，
又因为点在双曲线上，则，解得，
所以，
整理得：，解得或（舍去），
所以.
故答案是：.
【解答题】
17. （2023·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，点，且的面积为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)直线交轴于点，与双曲线的左、右两支分别交于点E，F（不同于点A），记直线AE，AF分别与直线交于点M，N，证明：是的中点．
【解析】【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可得关于的方程组，求解方程组可得双曲线的标准方程；
（2）联立方程得到一元二次方程，判别式，利用韦达定理，表达出直线方程，,求出，从而判断为中点.
【详解】（1）由题知
解得
所以双曲线的标准方程为．
（2）联立，
可得．
设，，
则，，
则，．
直线的方程为，
令，得，
直线的方程为，
令，得．
因为
，
所以，
所以，
即是的中点．
18. （2023·四川凉山·三模）已知双曲线T：的离心率为，且过点．若抛物线C：的焦点F与双曲线T的右焦点相同．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点且斜率为正的直线l与抛物线C相交于A，B两点（A在M，B之间），点N满足：，求与面积之和的最小值，并求此时直线l的方程．
【解析】【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根据条件先计算双曲线方程，再根据焦点计算抛物线方程即可；
（2）设l的方程与抛物线联立，利用韦达定理及线段比例关系将两个三角形的面积之和转化为A、B两点的坐标关系式，再利用基本不等式求最值即可得A、B坐标.
【详解】（1）由题意得：，解之得，即双曲线的右焦点为，
，所以；
（2）
根据题意不妨设直线l的方程为，，，，
则由得
∴
∵，∴，
又，
同理，
∴，
当且仅当，时，“＝”成立，
即，
此时，直线l的方程为．
19. （2023·全国·模拟预测）已知双曲线的虚轴长为，左焦点为F．
(1)设O为坐标原点，若过F的直线l与C的两条渐近线分别交于A，B两点，当时，求的面积；
(2)设过F的直线l与C交于M，N两点，若x轴上存在一点P，使得为定值，求出点P的坐标及该定值．
【解析】【答案】(1)
(2)P的坐标为，定值为0
【分析】（1）由双曲线C的虚轴长得出的值，再求出双曲线C的标准方程，从而得出焦点坐标和渐近线方程，设直线l的方程为与双曲线方程联立得出点的坐标，得的长，再根据得出的长即可求出的面积；
（2）设，分别求出直线l的斜率不存在和斜率为0时的值，并建立方程求出m的值，为探求一般情况下的值做准备，再根据直线l与坐标轴垂直时求出的m及的值直接研究当时的值是否为0即可．
【详解】（1）由题意可知，，得，
所以双曲线C的标准方程为，
则，双曲线C的渐近线方程为，
由对称性可知，直线l与垂直和直线l与垂直这两种情况下的面积是相等，
不妨设直线l与垂直，则直线l的方程为，
则点A在渐近线上，点B在渐近线上，
由，解得，
则，
所以，
易知，
所以，
故的面积．
（2）设，
当轴时，直线l的方程为，代入，解得，
不妨取，，则，
当轴时，直线l的方程为，代入，解得，
不妨取，，则，
令，解得，此时，
当直线l与坐标轴不垂直时，设直线l的方程为，
代入，得，，
设，，则，，
当点P的坐标为时，
．
综上可知，当点P的坐标为时，为定值0．
20. （2023·全国·模拟预测）已知双曲线的右顶点为，右焦点为，点到的一条渐近线的距离为，动直线与在第一象限内交于B，C两点，连接，.
(1)求E的方程；
(2)若，证明：动直线过定点.
【解析】【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据双曲线的方程写出渐近线方程以及焦点F的坐标，利用点到直线距离公式求得，即可得到双曲线的方程；
（2）联立直线l与双曲线E的方程，根据韦达定理得到B，C的横坐标满足，，由题中条件结合斜率定义及两角和差的正切公式可得，整理后得到m与k的关系，即可得证.
【详解】（1）由题可得，双曲线的一条渐近线方程为，，
则点到的一条渐近线的距离，解得，
所以的方程为.
（2）证明：由（1）可得，，
依题意，直线的斜率一定存在，
所以设直线，，.
因为动直线与在第一象限内交于B，C两点，且E的一条渐近线斜率为1，所以.
联立整理得，
则，
根据韦达定理得，，.
由斜率定义得，，.
因为，
所以，
化简得，，即，
变形得，，①
将代入①整理可得，，②
将，代入②得，
，
化简得，，即，解得或.
当时，直线，此时直线过点，不符合题意；
当时，直线，此时直线过点.
综上，动直线过定点.
【点睛】关键点点睛：本题第（2）小问中，解题关键在于利用斜率与倾斜角的关系及两角和差的正切公式，将题中条件转化成与的关系，进而利用韦达定理化简求解.
21. （2023·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，A为双曲线C左支上一点，．
(1)求双曲线C的离心率；
(2)设点A关于x轴的对称点为B，D为双曲线C右支上一点，直线与x轴交点的横坐标分别为，且，求双曲线C的方程．
【解析】【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）利用双曲线定义结合条件中等式，即可求得答案；
（2）设，，，从而表示出直线的方程，继而求得的表达式，利用即可求得a的值，即得答案.
【详解】（1）由于A为双曲线C左支上一点，
由双曲线的定义可知，
所以．
整理，得，所以，
所以双曲线C的离心率为．
（2）由（1）可设双曲线C的标准方程为．

设，，．
直线AD的方程为．
令，则．
直线BD的方程为，
令，则．
所以．
因为，满足方程，
所以，,
所以,
所以双曲线C的方程为．
【点睛】关键点睛：求解双故曲线方程时，关键在于利用的方程求出的表达式，进而利用求出参数a.
22. （2022·上海浦东新·统考一模）已知双曲线：的左、右焦点分别是、，左、右两顶点分别是、，弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延长线与线段CD相交于点如图)．
⑴若是的一条渐近线的一个方向向量，试求的两渐近线的夹角；
⑵若，，，，试求双曲线的方程；
⑶在⑴的条件下，且，点C与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线l：分别相交于点M和N，试问：以线段MN为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由．
【解析】【答案】⑴ ⑵ ⑶圆过x轴上两个定点和
【分析】⑴ 可得，从而，，即
⑵ 求得即，从而得，代入双曲线方程知：即可；
⑶ 可得的方程为：，求得，，
令，所以，
以MN为直径的圆的方程为：，
于是，
即可得圆过x轴上两个定点．
【详解】解：⑴ 双曲线的渐近线方程为：
即，所以，
从而，，
所以
⑵ 设，则由条件知：，，即
所以，，
代入双曲线方程知：
双曲线的方程：
⑶ 因为，所以，由⑴知，，所以的方程为：，
令，所以，，令，所以，，令，所以，
故以MN为直径的圆的方程为：，
即，
即，
若以MN为直径的圆恒经过定点
于是
所以圆过x轴上两个定点和
【点睛】本题考查了双曲线的方程与性质，以及圆过定点问题，属于中档题．专题53 双曲线及其性质
知识梳理 考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧
题型归类 题型一：双曲线的定义与标准方程
题型二：双曲线的焦点与焦距
题型三：双曲线的范围与对称性
题型四：双曲线的顶点、实轴、虚轴
题型五：双曲线的渐近线
题型六：双曲线的离心率
题型七：双曲线的应用
培优训练 训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强化测试 单选题：共8题
多选题：共4题
填空题：共4题
解答题：共6题
一、【知识梳理】
【考纲要求】
1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.
【考点预测】
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)若a(2)若a＝c，则集合P为两条射线；
(3)若a>c，则集合P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图　形
性　质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
【常用结论】
1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.
2.离心率e＝＝＝.
3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.
4.若渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0).
5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.
6.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.
7.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为.
【方法技巧】
1.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.
2.用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根据条件求解.
3.与双曲线－＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0).
4.求双曲线离心率或其取值范围的方法：
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.
5.双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线可由－＝0即得两渐近线方程±＝0.
6.双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系.
7.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.
二、【题型归类】
【题型一】双曲线的定义与标准方程
【典例1】（多选）（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，右顶点为，过的直线交双曲线的右支于，两点（其中点在第一象限内），设，分别为，的内心，则（ ）
A．点的横坐标为2
B．当时，
C．当时，内切圆的半径为
D．
【典例2】（2023·上海浦东新·统考三模）已知曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 ．
【典例3】（2019·河北·模拟预测）已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于3，且经过点（-3,8），直线与双曲线交于点A、B．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求△的面积.
【题型二】双曲线的焦点与焦距
【典例1】（多选）（2023·重庆·统考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，若为直角三角形，则（ ）
A．
B．双曲线的离心率
C．双曲线的焦距为
D．的面积为
【典例2】（2023·湖南郴州·统考一模）已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为 .
【典例3】（2022·全国·高考模拟）给定椭圆方程，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大，并求相应的四边形的顶点坐标．
【题型三】双曲线的范围与对称性
【典例1】（多选）（2021·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知双曲线的上下两个顶点分别是，上下两个焦点分别是，P是双曲线上异于的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（ ）
A．渐近线方程为
B．直线的斜率之积等于定值
C．使为等腰三角形的点P有且仅有4个
D．焦点到渐近线的距离等于b
【典例2】（2022·全国·高三专题练习）若点依次为双曲线的左、右焦点，且，，. 若双曲线C上存在点P，使得，则实数b的取值范围为 .
【典例3】（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知双曲线M：的离心率为，点，分别为其左、右焦点，点为双曲线M在第一象限内一点，设的平分线PQ交y轴于点Q，当时，.
(1)求双曲线M的方程；
(2)若，此时直线交双曲线M于A、B两点，求面积的最大值.
【题型四】双曲线的顶点、实轴、虚轴
【典例1】（多选）（2023·河北沧州·校考三模）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上第一象限内一点，且，，关于的平分线的对称点恰好在上，则（ ）
A．的实轴长为2
B．的离心率为
C．的面积为
D．的平分线所在直线的方程为
【典例2】（2022·浙江·模拟）已知圆．以圆与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ．
【典例3】（2023·江西·校联考二模）已知椭圆方程：，其离心率为，且分别是其左顶点和上顶点，坐标原点到直线的距离为.
(1)求该椭圆的方程；
(2)已知直线交椭圆于两点，双曲线：的右顶点与交双曲线左支于两点，求证：直线的斜率为定值，并求出定值.
【题型五】双曲线的渐近线
【典例1】（多选）（2024·浙江台州·统考一模）已知为双曲线：上位于第一象限内一点，过点作x轴的垂线，垂足为，点与点关于原点对称，点为双曲线的左焦点，则（ ）
A．若，则
B．若，则的面积为9
C．
D．的最小值为8
【典例2】（2023上·四川成都·高三石室中学校考期中）已知点在双曲线上，直线是双曲线的渐近线，则双曲线的标准方程是
【典例3】（2023·全国·模拟预测）已知双曲线：的离心率为，左 右焦点分别为，，两条渐近线为，，垂直于点，直线交于点，为坐标原点.
(1)求的值.
(2)若双曲线的实轴长为，过点作斜率为的直线（与轴不重合）交于，两点，是的右顶点，设直线，的斜率分别为，，判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【题型六】双曲线的离心率
【典例1】（多选）（2023·海南·统考模拟预测）已知双曲线的焦点分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．渐近线方程为
B．双曲线与椭圆的离心率互为倒数
C．若双曲线上一点满足，则的周长为28
D．若从双曲线的左 右支上任取一点，则这两点的最短距离为6
【典例2】（2023·四川绵阳·统考二模）已知双曲线C的方程为：，离心率为，过C的右支上一点，作两条渐近线的平行线，分别交x轴于M，N两点，且．过点P作的角平分线，在角平分线上的投影为点H，则的最大值为 ．
【典例3】（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）已知双曲线的离心率为2.
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若双曲线的右焦点为，若直线与的左，右两支分别交于两点，过作的垂线，垂足为，试判断直线是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.
【题型七】双曲线的应用
【典例1】（多选）（2023·山东潍坊·统考一模）双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线.平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左，右焦点，过右支上一点作直线交轴于点，交轴于点.则（ ）
A．的渐近线方程为 B．点的坐标为
C．过点作，垂足为，则 D．四边形面积的最小值为4
【典例2】（2022·辽宁·东北育才学校校联考二模）青花瓷，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一.如图是一个落地青花瓷，其外形称为单叶双曲面，且它的外形左右对称，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为16，上瓶口圆的直径为20，上瓶口圆与最小圆圆心间的距离为12，则该双曲线的离心率为 .
【典例3】（2021·上海·统考模拟预测）（1）团队在点西侧、东侧20千米处设有、两站点，测量距离发现一点满足千米，可知在、为焦点的双曲线上，以点为原点，东侧为轴正半轴，北侧为轴正半轴，建立平面直角坐标系，在北偏东60°处，求双曲线标准方程和点坐标.
（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有、两站点，测量距离发现千米，千米，求（精确到1米）和点位置（精确到1米，1°）
三、【培优训练】
【训练一】（2021·安徽马鞍山·统考三模）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若直线过抛物线焦点，与抛物线相交于，两点，求证：；
（3）若直线与抛物线相交于，两点，且，那么直线是否一定过焦点，请说明理由．
【训练二】（2023·江苏南京·校考一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别、焦距为2，且与双曲线共顶点．P为椭圆C上一点，直线交椭圆C于另一点Q．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点P的坐标为，求过P、Q、三点的圆的方程；
(3)若，且，求的最大值．
【训练三】（2023·浙江宁波·统考一模）已知双曲线C：的焦距为6，其中一条渐近线的斜率为，过点的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，M为线段PQ上与端点不重合的任意一点，过点M且与平行的直线分别交另一条渐近线和C于点
(1)求C的方程；
(2)求的取值范围.
【训练四】（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知双曲线：（，）的离心率是，实轴长是2，为坐标原点.设点为双曲线上任意一点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，的面积为.
(1)当的方程为时，求的值；
(2)设，求证：为定值.
【训练五】（2023上·江苏连云港·高三统考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过点且不与轴重合的直线与椭圆交于，两点（点在点，之间）.
(1)记直线，的斜率分别为，，求的值；
(2)设直线与交于点，求的值.
【训练六】（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）已知双曲线的离心率为2，右焦点与抛物线的焦点重合，双曲线的左、右顶点分别为，，点为第二象限内的动点，过点作双曲线左支的两条切线，分别与双曲线的左支相切于两点，，已知，的斜率之比为.

(1)求双曲线的方程；
(2)直线是否过定点？若过定点请求出定点坐标，若不过定点请说明理由.
(3)设和的面积分别为和，求的取值范围.
参考结论：点为双曲线上一点，则过点的双曲线的切线方程为.
四、【强化测试】
【单选题】
1. （2023·全国·模拟预测）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2. （2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）已知是椭圆的长轴上的两个顶点，点是椭圆上异于长轴顶点的任意一点，点与点关于轴对称，则直线与直线的交点所形成的轨迹为（ ）
A．双曲线 B．抛物线
C．椭圆 D．两条互相垂直的直线
3. （2023·福建泉州·统考模拟预测）已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
4. （2023上·安徽·高二合肥市第六中学校联考期中）若双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．7
5. （2022·新疆·统考模拟预测）已知点是双曲线上的动点，，分别为其左，右焦点，为坐标原点.则的最大值是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
6. （2023·甘肃陇南·统考一模）已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，焦距为6，点在双曲线上，且，，则双曲线的实轴长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7. （2023·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与该双曲线的一条渐近线交于点．若，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8. （2023·全国·模拟预测）圆锥曲线的光学性质在实际生活中有着广泛的应用．我国首先研制成功的“双曲线电瓶新闻灯”就是利用了双曲线的光学性质，即从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点．如图，已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，当入射光线和反射光线PE互相垂直时（其中P为入射点），，则该双曲线的离心率为（ ）

A． B．2 C． D．
【多选题】
9. （2023·广东广州·统考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点别为，，过点的直线l与双曲线的右支相交于两点，则（ ）
A．若的两条渐近线相互垂直，则
B．若的离心率为，则的实轴长为
C．若，则
D．当变化时，周长的最小值为
10. （2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知曲线是顶点分别为的双曲线，点（异于）在上，则（ ）
A．
B．的焦点为
C．的渐近线可能互相垂直
D．当时，直线的斜率之积为1
11. （2023·全国·模拟预测）已知是定圆（为圆心）上的一个动点，是不在圆上的一个定点.若点满足，且，则点的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线（单支）
12. （2023·江苏苏州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，过且倾斜角为的直线分别交的左、右两支于点，，直线交于另一点，连接，，，则（ ）
A． B． C． D．
【填空题】
13. （2023·安徽合肥·统考一模）已知双曲线E：的左右焦点分别为，，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线与轴交于Q点．若，则双曲线E的离心率的取值范围为 ．
14. （2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知，分别为双曲线的左、右焦点，C的离心率为，过且倾斜角为120°的直线l与C交于A，B两点，若的内切圆的面积为，则C的虚轴长为 ．
15. （2023·海南·校联考模拟预测）已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦距为 .
16. （2023上·吉林长春·高二校考期末）已知，是双曲线：的左、右两个焦点，若直线与双曲线交于，两点，且四边形为矩形，则双曲线的离心率为 ．
【解答题】
17. （2023·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，点，且的面积为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)直线交轴于点，与双曲线的左、右两支分别交于点E，F（不同于点A），记直线AE，AF分别与直线交于点M，N，证明：是的中点．
18. （2023·四川凉山·三模）已知双曲线T：的离心率为，且过点．若抛物线C：的焦点F与双曲线T的右焦点相同．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点且斜率为正的直线l与抛物线C相交于A，B两点（A在M，B之间），点N满足：，求与面积之和的最小值，并求此时直线l的方程．
19. （2023·全国·模拟预测）已知双曲线的虚轴长为，左焦点为F．
(1)设O为坐标原点，若过F的直线l与C的两条渐近线分别交于A，B两点，当时，求的面积；
(2)设过F的直线l与C交于M，N两点，若x轴上存在一点P，使得为定值，求出点P的坐标及该定值．
20. （2023·全国·模拟预测）已知双曲线的右顶点为，右焦点为，点到的一条渐近线的距离为，动直线与在第一象限内交于B，C两点，连接，.
(1)求E的方程；
(2)若，证明：动直线过定点.
21. （2023·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，A为双曲线C左支上一点，．
(1)求双曲线C的离心率；
(2)设点A关于x轴的对称点为B，D为双曲线C右支上一点，直线与x轴交点的横坐标分别为，且，求双曲线C的方程．
22. （2022·上海浦东新·统考一模）已知双曲线：的左、右焦点分别是、，左、右两顶点分别是、，弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延长线与线段CD相交于点如图)．
⑴若是的一条渐近线的一个方向向量，试求的两渐近线的夹角；
⑵若，，，，试求双曲线的方程；
⑶在⑴的条件下，且，点C与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线l：分别相交于点M和N，试问：以线段MN为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由．

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