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专题2 求数列的前n项和
数列求和是数列问题中的基本题型，是数列部分的重点内容，在高考中也占据重要地位，它具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点．数列求和的方法主要有公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法、并项求和法等．
一、公式法
（1）直接利用公式求和：
等差数列的前n项和；等比数列的前n项和.
（2）特殊数列的前项和：
①；②；
③；④.
【典例1】设为等差数列，为正项等比数列，，，，分别求出及的前10项的和及．
二、倒序相加法
如果一个数列首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法，类比推导等差数列的前项和公式，将数列反序，再与原数列相加.
【典例1】已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项的和为（）
A．230 B．115 C．110 D．100
【变式1】已知函数，求．
【变式2】德国大数学家高斯被誉为数学界的王子．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成．因此，此方法也称为高斯算法．现有函数，求的值.
【变式3】设函数，设，．求数列的通项公式．
三、错位相减法
若数列是等差数列,数列是等比数列,求数列的前项和时,将的各项乘等比数列的公比写出和,然后将两式错项对齐,同次项对应相减写出，转化为特殊数列的求和.
【典例1】等比数列的各项均为正数，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【变式1】（2023全国甲卷）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【典例2】（2021全国乙卷）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
四、裂项相消法
（1）适用数列：形如(bn－an＝d，d为常数)的数列可以用裂项求和.
（2）常见裂项：
等差型裂项：
①；②；③.
根式型裂项：
①；②；③.
指数型裂项：
①；②.
【典例1】设数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【变式1】等差数列各项均为正数，，前n项和为，等比数列中，，且．
(1)求与；
(2)证明：．
【典例2】设数列的前n项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和.
【典例3】已知为等比数列的前n项和，若，，成等差数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，且数列的前n项和为，证明：.
五、分组求和法
某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．
【典例1】等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求的值．
六、并项求和法
当通项中含有或或含有时，数列中相邻两项的符号异号，可以考虑使用奇偶并项法将相邻两项合并后求和，对项数的奇偶分别进行求和.
【典例1】已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【典例2】1．已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
七、通项含绝对值的数列求和
【典例1】记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．专题2 求数列的前n项和
数列求和是数列问题中的基本题型，是数列部分的重点内容，在高考中也占据重要地位，它具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点．数列求和的方法主要有公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法、并项求和法等．
一、公式法
（1）直接利用公式求和：
等差数列的前n项和；等比数列的前n项和.
（2）特殊数列的前项和：
①；②；
③；④.
【典例1】设为等差数列，为正项等比数列，，，，分别求出及的前10项的和及．
【答案】；．
【分析】利用等差等比数列的性质，．结合已知条件求得，．进而求得等差数列的公差和等比数列的公比，进而利用求和公式求和.
【详解】解：∵为等差数列，为等比数列，，．
又∵，，∴，，即，
又∵，∴，则．
由知，为公差为的等差数列．
∴．
由知，为公比为的等比数列，
.
二、倒序相加法
如果一个数列首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法，类比推导等差数列的前项和公式，将数列反序，再与原数列相加.
【典例1】已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项的和为（）
A．230 B．115 C．110 D．100
【答案】B
【分析】利用倒序相加法即可求得前20项的和.
【详解】，①
，②
两式相加，又因为
故，所以
所以的前20项的和为
故选：B
【变式1】已知函数，求．
【答案】/
【解析】，
，
设①，
则②，
①+②得
，.
【变式2】德国大数学家高斯被誉为数学界的王子．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成．因此，此方法也称为高斯算法．现有函数，求的值.
【答案】1009
【分析】根据给定的函数式，求出，再利用倒序相加法求和作答.
【详解】由函数，得，
令，
则，
两式相加得，解得，
所以所求值为1009.
故答案为：1009
【变式3】设函数，设，．求数列的通项公式．
【答案】
【分析】通过，将已知倒序相加得出的式子，注意是否满足即可.
【详解】；
时，，
，
相加得，
所以，又，
所以对一切正整数，有；
三、错位相减法
若数列是等差数列,数列是等比数列,求数列的前项和时,将的各项乘等比数列的公比写出和,然后将两式错项对齐,同次项对应相减写出，转化为特殊数列的求和.
【典例1】等比数列的各项均为正数，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据等比数列的通项公式，结合等比数列的下标性质进行求解即可；
（2）利用错位相减法进行求解即可.
【详解】解：（1）设数列的公比为，
则，由
得：，所以.
由，得到
所以数列的通项公式为.
（2）由条件知，
又
将以上两式相减得
所以.
【变式1】（2023全国甲卷）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．
【详解】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
【典例2】（2021全国乙卷）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；
（2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.
【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）证明：由（1）可得，
，①
，②
①②得，
所以，
所以，所以.
四、裂项相消法
（1）适用数列：形如(bn－an＝d，d为常数)的数列可以用裂项求和.
（2）常见裂项：
等差型裂项：
①；②；③.
根式型裂项：
①；②；③.
指数型裂项：
①；②.
【典例1】设数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）利用递推公式,作差后即可求得的通项公式.
（2）将的通项公式代入,可得数列的表达式.利用裂项法即可求得前项和.
【详解】（1）数列满足
时,
∴
∴
当时,,上式也成立
∴
（2）
∴数列的前n项和
【变式1】等差数列各项均为正数，，前n项和为，等比数列中，，且．
(1)求与；
(2)证明：．
【答案】(1);
(2)证明见详解.
【详解】（1）设公差为，公比为，
则，
解得或（舍去），
则；
（2）由（1）得，
则，
则，
则
.
【典例2】设数列的前n项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据与的关系即可求出数列的通项公式
（2），利用裂项相消法即可求出数列的和.
【详解】（1）当时，，解得，
当时，，，
即，即，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以.
（2）由（1）知，
，
所以
.
【典例3】已知为等比数列的前n项和，若，，成等差数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，且数列的前n项和为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）首先列方程，求公比；其次，列方程，求首项；最后求出数列的通项公式；
（2）求出，然后运用裂项相消法求出可得结论.
【详解】（1）设数列的公比为q，
由，，成等差数列可得，
故，解得，
由可得，
解得，故，即数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，
故.
当时，取得最大值，当时，
，
故.
五、分组求和法
某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．
【典例1】等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求的值．
【答案】（1）；（2）
【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为．
由已知得，
解得．
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．
所以
．
六、并项求和法
当通项中含有或或含有时，数列中相邻两项的符号异号，可以考虑使用奇偶并项法将相邻两项合并后求和，对项数的奇偶分别进行求和.
【典例1】已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）当时，，所以；
当时，因为，所以，
两式作差得，即，
因为，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，
故.
（2），
当为偶数时，前项和；
当为奇数时，前项和，
则
【典例2】1．已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.
【详解】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
七、通项含绝对值的数列求和
【典例1】记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；
（2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
所以，
（2）因为，
令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：.

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