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专题04 双曲线15种常见考法归类
思维导图
核心考点聚焦
考点一、求双曲线的标准方程
考点二、双曲线的焦点三角形
考点三、双曲线定义的应用
考点四、双曲线的对称性
考点五、与双曲线有关的轨迹方程
考点六、双曲线的离心率
(一)求双曲线的离心率
(二)求双曲线离心率的取值范围
(三)由双曲线的离心率求参数的取值范围
考点七、与双曲线的渐近线有关的问题
考点八、直线与双曲线的位置关系
考点九、直线与双曲线的弦长问题
考点十、直线与双曲线的中点弦问题
考点十一、双曲线中的向量问题
考点十二、双曲线中参数范围及最值问题
考点十三、双曲线的定点、定值问题
考点十四、双曲线的实际应用
考点十五、双曲线中的存在性(探索性)问题
知识点1 双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
注：1、集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合:.常数要小于两个定点的距离．
2、对双曲线定义中限制条件的理解
(1)当||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|时，M的轨迹不存在．
(2)当||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|时，M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线．
(3)当||MF1|－|MF2||＝0，即|MF1|＝|MF2|时，M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．
(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．具体是哪一支,取决于与的大小.
①若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;
②若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.
知识点2 双曲线的方程及简单几何性质
标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0)
性质 图形
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴 实轴：线段A1A2，长：； 虚轴：线段B1B2，长：； 半实轴长：，半虚轴长：
离心率 e＝∈(1，＋∞)
渐近线 y＝±x y＝±x
知识点3 双曲线的焦点三角形
双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理．
以双曲线上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则
(1)双曲线的定义：
(2)余弦定理：＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ.
(3)面积公式：S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，
重要结论：S△PF1F2=
推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ得
由三角形的面积公式可得
S△PF1F2=
=
知识点4 直线与双曲线的位置关系
1、把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式．
(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．
(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．
(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．
注：直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支．
弦长公式
直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则
（为直线斜率）
3、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长.
1、双曲线方程的辨识方法
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为＋＝1，则当mn<0时，方程表示双曲线．若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线．　　
2、求双曲线标准方程的步骤
(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．
(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．
3、双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程．
(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．
注：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn<0.　　　　
4、双曲线渐近线的求法和设法
(1)若双曲线方程为渐近线方程：
(2)若双曲线方程为（，）渐近线方程：
(3)若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，
(4)若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上）
5、求双曲线离心率的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解，若已知a，b，可利用e＝ 求解．
(2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝，转化为关于e的n次方程求解．如若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．
6、直线和双曲线的一些重要结论
(1)判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立方程组，方程组解的个数就是直线与双曲线交点的个数，联立方程消去x或y中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意x2项或y2项系数是否为零的情况，否则容易漏解．
(2)直线y＝kx＋b与双曲线相交所得的弦长d＝·|x1－x2|＝ |y1－y2|.　　
(3)双曲线中点弦的斜率公式
设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有
证明：设，，则有， 两式相减得：
整理得：，即，因为是弦的中点，
所以： ， 所以
7、双曲线的实际应用
(1)双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题．
(2)利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下：
①建立适当的坐标系．
②求出双曲线的标准方程．
③根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)．
考点剖析
考点一、求双曲线的标准方程
1.双曲线过点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
2.已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3.已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
4.与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
5.已知双曲线的左、右焦点分别为，，，P为C上一点，的中点为Q，为等边三角形，则双曲线C的方程为（ ）．
A． B．
C． D．
6.已知点分别是等轴双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线上，，的面积为8，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
考点二、双曲线的焦点三角形
7.双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于6，那么点P到另一个焦点的距离为（ ）
A．2 B．10 C．14 D．2或10
8.设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的右支交于P，Q两点，则（ ）
A．5 B．6 C．8 D．12
9.设，分别是双曲线的左、右焦点．若点P在双曲线上，且，则_________，_________；
10.设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为__________．
11.若是双曲线的左、右焦点，点在该双曲线上，且是等腰三角形，则的周长是________.
12.已知点F1，F2分别是双曲线=1的左、右焦点，若点P是双曲线左支上的点，且，则△的面积为____.
13.已知分别是双曲线的左、右焦点，P是C上位于第一象限的一点，且，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C． D．
14.设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为．是上一点，且．若的面积为，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
15.【多选】已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，P是C上一点，且位于第一象限，，则（ ）
A．P的纵坐标为 B．
C．的周长为 D．的面积为4
考点三、双曲线定义的应用
16.“，”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
17.“”是“为双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
18.已知曲线C：，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若，则C是双曲线，其渐近线方程为
C．若，则C是圆，其半径是
D．若，则C是两条直线
19.若曲线表示双曲线，那么实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
20.若，则“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
21.已知表示焦点在轴上的双曲线有个，表示焦点在轴上的椭圆有个，则的值为（ ）
A．10 B．14 C．18 D．22
22.已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
23.已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（　　）
A．5 B．7 C．9 D．11
24.已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
考点四、双曲线的对称性
25.已知抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，的渐近线恰为矩形的边，所在直线(为坐标原点)，则双曲线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
26.已知双曲线的离心率为，右焦点为，直线均过点且互相垂直，与双曲线的右支交于两点，与双曲线的左支交于点，为坐标原点，当三点共线时，（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
27.已知双曲线M：的离心率为，A，B分别是它的两条渐近线上的两点（不与原点O重合），的外心为P，面积为12，若双曲线M经过点P，则该双曲线的实轴长为（ ）
A． B． C． D．
考点五、与双曲线有关的轨迹方程
28.一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
29.已知是圆上的一动点，点，线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
30.设点，，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹是（ ）
A． B．
C． D．
31.已知的两个顶点A，B的坐标分别是、，且，所在直线的斜率之积等于2，则顶点C的轨迹方程是（ ）
A．（） B．
C． D．（）
考点六、双曲线的离心率
求双曲线的离心率
32.已知双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
33.已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
34.已知分别为双曲线的左 右焦点，过的直线与双曲线交左支交于两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
35.设分别是双曲线的左 右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
36.已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
37.已知双曲线，（，）的左、右焦点分别为，，过点作一条斜率为的直线与双曲线在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为 .
求双曲线离心率的取值范围
38.已知双曲线（a＞0，b＞0）与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．（1，） B．（1，] C．（，＋∞） D．[ ，＋∞）
39.已知点F为双曲线（，）的右焦点，若双曲线左支上存在一点P，使直线与圆相切，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
40.已知双曲线E：的左右焦点分别为，，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线与轴交于Q点．若，则双曲线E的离心率的取值范围为 ．
41.已知过点可作双曲线的两条切线，若两个切点分别在双曲线的左、右两支上，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
由双曲线的离心率求参数的取值范围
42.设k为实数，已知双曲线的离心率，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
43.已知双曲线的离心率大于，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
44.已知双曲线的左 右焦点分别为，直线在第一象限交双曲线C右支于点A.若双曲线的离心率满足，且，则k的取值范围是 .
考点七、与双曲线的渐近线有关的问题
45.已知双曲线，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
46.若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程为 ．
47.双曲线的右焦点到其渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
48.双曲线的离心率为，则的一条渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
49.已知F为双曲线的左焦点，点，若直线与双曲线仅有一个公共点，则（ ）
A． B．2 C． D．
50.设F1，F2是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若，，，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）
A．90° B．45° C．60° D．30°
考点八、直线与双曲线的位置关系
51.已知直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．C． D．
52.过点作直线，使与双曲线有且仅有一个公共点，这样的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
53.直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的取值范围为（ ）
A．或 B．
C． D．
54.已知直线l： 和双曲线C：，若l与C的上支交于不同的两点，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
55.已知直线与曲线仅有三个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
56.已知直线，曲线，则“l与C相切”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
考点九、直线与双曲线的弦长问题
57.已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（ ）
A． B． C． D．
58.已知双曲线C：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
59.已知双曲线：的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，.以线段为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，且点在第一象限，与另一条渐近线平行.若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
考点十、直线与双曲线的中点弦问题
60.过点作直线l与双曲线交于点A，B，若P恰为AB的中点，则直线l的条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
61.已知双曲线过点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为（　　）
A．3 B．4
C．5 D．6
62.已知双曲线的离心率为2，过点的直线与双曲线C交于A，B两点，且点P恰好是弦的中点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
63.已知点A，B在双曲线上，线段AB的中点为，则（ ）
A． B． C． D．
64.已知双曲线与直线相交于A、B两点，弦AB的中点M的横坐标为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
考点十一、双曲线中的向量问题
65.已知，点P满足，动点M，N满足，，则的最小值是____________．
66.双曲线：，已知是双曲线上一点，分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率；
(2)若双曲线的焦距为，直线过点且与双曲线交于、两点，若，求直线的方程.
67.已知双曲线（，）中，离心率，实轴长为4
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知直线：与双曲线交于，两点，且在双曲线存在点，使得，求的值.
68.已知双曲线C：的渐近线方程为，且过点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率．
考点十二、双曲线中参数范围及最值问题
69.已知为焦点在轴上的双曲线，其离心率为，为上一动点（除顶点），过点的直线，分别经过双曲线的两个顶点，已知直线的斜率，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
70.【多选】已知实数满足，则下列正确的选项有（ ）
A．的最小值为
B．的取值范围为
C．的最大值为
D．的最小值为
71.点是双曲线上一动点，过做圆的两条切线，切点为，，则的最小值为 .
72.已知双曲线：（，）的离心率为，点到其左右焦点，的距离的差为2．
(1)求双曲线的方程；
(2)在直线上存在一点，过作两条相互垂直的直线均与双曲线相切，求的取值范围．
考点十三、双曲线的定点、定值问题
73.已知双曲线的左 右焦点分别为，离心率为，直线交于两点，且.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点，直线与轴分别相交于两点，且为坐标原点，证明：直线过定点.
74.已知双曲线C与椭圆有相同的焦点，是C上一点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)记C的右顶点为M，与x轴平行的直线l与C交于A，B两点，求证：以AB为直径的圆过点M.
75.已知双曲线：的离心率为，且右焦点到其渐近线的距离为．
(1)求双曲线方程；
(2)设为双曲线右支上的动点．在轴负半轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
76.已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为且过点
(1)求双曲线方程；
(2)若过斜率的直线与该双曲线相交于M，N两点，且双曲线与对应的顶点为T.试探讨直线MT与直线NT的斜率之积是否为定值.若是定值，请求出该值；若不是定值，请说明理由.
77.已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为，点P为C上一动点（异于两点），直线和直线与直线分别交于M，N两点，当垂直于x轴时，的面积为2．
(1)求C的方程；
(2)求证：为定值，并求出该定值．
78.已知双曲线：与双曲线有相同的焦点；且的一条渐近线与直线平行.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线于两点，为坐标原点，试判断的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由.
79.已知双曲线：（，）的渐近线方程为，焦距为10，，为其左右顶点．
(1)求的方程；
(2)设点是直线：上的任意一点，直线、分别交双曲线于点、，，垂足为，求证：存在定点，使得是定值．
考点十四、双曲线的实际应用
80.单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2，最细处的直径为 ，楼底的直径为，楼顶直径为，最细处距楼底 ，则该地标建筑的高为（ ）
A． B． C． D．
81.如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有3个监测点A，B，C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝30km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，3个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早（注：信号每秒传播）
(1)求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；
(2)若C点信号失灵，现立即以C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少千米？
82.某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为，线路AB段上的任意一点N到景点M的距离比到景点的距离都多6km，线路BC段上任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多6km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy.
（1）求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；
（2）规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G位置？
考点十五、双曲线中的存在性(探索性)问题
83.已知双曲线的右焦点为，且点在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点F的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在不与F重合的点P，使得点F到直线PA，PB的距离始终相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
84.已知两点、，动点M满足直线MA与直线MB的斜率之积为3．，动点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点作直线交曲线C于P、Q两点，且两点均在y轴的右侧，直线AP、BQ的斜率分别为、．
①证明：为定值；
②若点Q关于x轴的对称点成点H，探究：是否存在直线l，使得的面积为，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
过关检测
一、单选题
1．（2023·四川甘孜·统考一模）已知圆与中心在原点 焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．3 C．或 D．或
2．（2023上·安徽·高二校联考阶段练习）已知等轴双曲线的对称轴为坐标轴，且经过点，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·安徽芜湖·高二校考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线上一点，若的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·河北承德·高二承德县第一中学校联考阶段练习）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023上·重庆·高二重庆市育才中学校考期中）已知，为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，且.则此双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·湖北孝感·高二校考期末）已知双曲线，过点且被平分的弦所在的直线斜率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·江西宜春·高二校考期末）设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为．是上一点，且．若的面积为4，则（ ）
A．81 B．42 C．2 D．1
8．（2023上·云南楚雄·高三统考期中）双曲线C：的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点.若，且，则直线与的斜率之积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考一模）双曲线，点A，B均在E上，若四边形为平行四边形，且直线OC，AB的斜率之积为3，则双曲线E的渐近线的倾斜角为（ ）
A． B．或
C． D．或
二、多选题
10．（2023上·河南驻马店·高二校联考期末）已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则为椭圆
B．若，则为双曲线
C．若为椭圆，则其长轴长一定大于2
D．曲线不能表示圆
11．（2023上·湖北孝感·高二校考期末）已知点为双曲线的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．双曲线的离心率为
C．以线段为直径的圆的方程为
D．到其中一条渐近线的距离为
12．（2023上·江西上饶·高二上饶市第一中学校考阶段练习）已知点P在双曲线C：上，分别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则（ ）
A． B．
C．点P到x轴的距离为4 D．
13．（2023下·湖南·高二校联考期末）已知双曲线：的右焦点到渐近线的距离为，为上一点，下列说法正确的是（ ）
A．的离心率为
B．的最小值为
C．若，为的左、右顶点，与，不重合，则直线，的斜率之积为
D．设的左焦点为，若的面积为，则
三、填空题
14．（2023上·甘肃白银·高二甘肃省靖远县第一中学校考期末）已知点分别为双曲线的左 右焦点，若双曲线上一点满足，，则 ，双曲线的标准方程为 .
15．（2023上·河北张家口·高二河北省尚义县第一中学校联考阶段练习）已知圆与圆和圆均外切，则点的轨迹方程为 .
16．（2023上·陕西西安·高三统考阶段练习）若点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为 ．
17．（2023上·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）已知双曲线的左 右焦点分别为，点在的左支上，，，延长交的右支于点，点为双曲线上任意一点（异于两点），则直线与的斜率之积 .
18．（2023上·安徽滁州·高二校考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为 .
四、解答题
19．（2023上·山东潍坊·高二统考阶段练习）已知双曲线：的一个焦点为，一条渐近线方程为，为坐标原点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求弦长.
20．（2023上·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期末）已知平面内两个定点，，过动点作直线的垂线，垂足为，且.
(1)求点的轨迹E的方程；
(2)若直线与曲线交于两点，且，，求实数的值.
21．（2023上·宁夏银川·高二校考期末）椭圆：的焦点，是等轴双曲线：的顶点，若椭圆与双曲线的一个交点是，到椭圆两个焦点的距离之和为4
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点M是双曲线上任意不同于其顶点的动点，设直线、的斜率分别为，，求证，的乘积为定值；
22．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线C：的右焦点为，且C的一条渐近线恰好与直线垂直.
(1)求C的方程；
(2)直线l：与C的右支交于A，B两点，点D在C上，且轴.求证：直线BD过点F.
23．（2023上·河南驻马店·高二统考期末）已知圆，，动圆与圆，均外切，记圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)直线过点，且与曲线交于两点，满足，求直线的方程．专题04 双曲线15种常见考法归类
思维导图
核心考点聚焦
考点一、求双曲线的标准方程
考点二、双曲线的焦点三角形
考点三、双曲线定义的应用
考点四、双曲线的对称性
考点五、与双曲线有关的轨迹方程
考点六、双曲线的离心率
(一)求双曲线的离心率
(二)求双曲线离心率的取值范围
(三)由双曲线的离心率求参数的取值范围
考点七、与双曲线的渐近线有关的问题
考点八、直线与双曲线的位置关系
考点九、直线与双曲线的弦长问题
考点十、直线与双曲线的中点弦问题
考点十一、双曲线中的向量问题
考点十二、双曲线中参数范围及最值问题
考点十三、双曲线的定点、定值问题
考点十四、双曲线的实际应用
考点十五、双曲线中的存在性(探索性)问题
知识点1 双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
注：1、集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合:.常数要小于两个定点的距离．
2、对双曲线定义中限制条件的理解
(1)当||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|时，M的轨迹不存在．
(2)当||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|时，M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线．
(3)当||MF1|－|MF2||＝0，即|MF1|＝|MF2|时，M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．
(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．具体是哪一支,取决于与的大小.
①若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;
②若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.
知识点2 双曲线的方程及简单几何性质
标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0)
性质 图形
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴 实轴：线段A1A2，长：； 虚轴：线段B1B2，长：； 半实轴长：，半虚轴长：
离心率 e＝∈(1，＋∞)
渐近线 y＝±x y＝±x
知识点3 双曲线的焦点三角形
双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理．
以双曲线上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则
(1)双曲线的定义：
(2)余弦定理：＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ.
(3)面积公式：S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，
重要结论：S△PF1F2=
推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ得
由三角形的面积公式可得
S△PF1F2=
=
知识点4 直线与双曲线的位置关系
1、把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式．
(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．
(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．
(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．
注：直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支．
弦长公式
直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则
（为直线斜率）
3、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长.
1、双曲线方程的辨识方法
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为＋＝1，则当mn<0时，方程表示双曲线．若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线．　　
2、求双曲线标准方程的步骤
(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．
(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．
3、双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程．
(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．
注：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn<0.　　　　
4、双曲线渐近线的求法和设法
(1)若双曲线方程为渐近线方程：
(2)若双曲线方程为（，）渐近线方程：
(3)若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，
(4)若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上）
5、求双曲线离心率的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解，若已知a，b，可利用e＝ 求解．
(2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝，转化为关于e的n次方程求解．如若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．
6、直线和双曲线的一些重要结论
(1)判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立方程组，方程组解的个数就是直线与双曲线交点的个数，联立方程消去x或y中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意x2项或y2项系数是否为零的情况，否则容易漏解．
(2)直线y＝kx＋b与双曲线相交所得的弦长d＝·|x1－x2|＝ |y1－y2|.　　
(3)双曲线中点弦的斜率公式
设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有
证明：设，，则有， 两式相减得：
整理得：，即，因为是弦的中点，
所以： ， 所以
7、双曲线的实际应用
(1)双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题．
(2)利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下：
①建立适当的坐标系．
②求出双曲线的标准方程．
③根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)．
考点剖析
考点一、求双曲线的标准方程
1.双曲线过点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据离心率可得，再由可得曲线方程为，然后将点代入即可求解．
【解答】解：双曲线离心率，故，
将点代入双曲线方程可得，，
故，双曲线的方程为，
故选：A．
2.已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据焦点坐标与渐近线方程，列出方程组，求出，得到C的方程.
【详解】由题意得：，解得：，
故C的方程为：.
故选：D
3.已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意求得，，得到，进而求得双曲线的标准方程.
【详解】由椭圆，可化为标准方程，可得，
因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以，
又因为双曲线过点，可得，则，
所以双曲线的标准方程为.
故选：B.
4.与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆与双曲线的性质即可求解.
【详解】因为椭圆的焦点在轴上，
所以设所求双曲线方程为且，
双曲线的渐近线方程为，所以，即
联立，解得.
所以双曲线方程为.
故选：B.
5.已知双曲线的左、右焦点分别为，，，P为C上一点，的中点为Q，为等边三角形，则双曲线C的方程为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出，利用题干条件得到，，由双曲线定义得到方程，求出，进而得到，，求出双曲线方程.
【详解】设双曲线C的半焦距为．由题可知，即．
因为的中点为Q，为等边三角形，
所以，所以，，
故，所以，，
所以，所以，所以，．
所以双曲线C的方程为．
故选：A
6.已知点分别是等轴双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线上，，的面积为8，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由得，然后由三角形面积、双曲线的定义、勾股定理联立可求得得双曲线方程．
【详解】，是的中点，所以，
，则，
，解得，
所以双曲线方程为．
故选：D．
考点二、双曲线的焦点三角形
7.双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于6，那么点P到另一个焦点的距离为（ ）
A．2 B．10 C．14 D．2或10
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义即可求出答案.
【详解】因为双曲线，
所以，则，
因为点P到它的一个焦点的距离等于6，
设点P到另一个焦点的距离为，
所以，解得或
故选：D.
8.设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的右支交于P，Q两点，则（ ）
A．5 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【分析】由双曲线的定义知，，则，即可得出答案.
【详解】双曲线C：，则，，
由双曲线的定义知：，，
，
所以
.
故选：C.
9.设，分别是双曲线的左、右焦点．若点P在双曲线上，且，则_________，_________；
【答案】
【分析】由得为直角三角形，由可求出；根据双曲线的定义以及勾股定理可求出.
【详解】因为，所以，则为直角三角形，
所以(为原点)，
又，，所以，，
所以.
不妨设点在双曲线的右支上，则，①
又，②
联立①②解得，，
所以.
故答案为：；.
10.设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为__________．
【答案】/
【分析】根据双曲线方程求出、、，再由双曲线的定义求出、，最后由余弦定理计算可得.
【详解】因为双曲线，则，，所以，
因为为双曲线右支上一点，所以，又，
所以，，，
由余弦定理，
即，解得，又，
所以.
故答案为：
11.若是双曲线的左、右焦点，点在该双曲线上，且是等腰三角形，则的周长是________.
【答案】16
【分析】根据条件首先可得，然后可得，即可求出周长.
【详解】双曲线的标准方程为，所以，
因为是等腰三角形，不设在双曲线的右支上，则，
所以，所以的周长为6+6+10=16
故答案为：.
12.已知点F1，F2分别是双曲线=1的左、右焦点，若点P是双曲线左支上的点，且，则△的面积为____.
【答案】16
【分析】由双曲线的定义可知，，再在△中利用由余弦定理可求出，从而求出△的面积．
【详解】双曲线，所以，，所以，，

是双曲线左支上的点，，，
在△中，由余弦定理得，
，
△的面积为.
故答案为：.
13.已知分别是双曲线的左、右焦点，P是C上位于第一象限的一点，且，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】利用勾股定理、双曲线定义求出，再利用三角形的面积公式计算可得答案.
【详解】因为，所以，
由双曲线的定义可得，
所以，解得，
故的面积为．
故选：B.
14.设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为．是上一点，且．若的面积为，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义，余弦定理以及三角形的面积公式列出方程组，即可解出．
【详解】设，，由，的面积为，
可得，∴①
由离心率为，可得，代入①式，可得.
故选：A.
15.【多选】已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，P是C上一点，且位于第一象限，，则（ ）
A．P的纵坐标为 B．
C．的周长为 D．的面积为4
【答案】ABD
【分析】结合、双曲线的定义、三角形的面积和周长等知识进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，
因为，所以.
由双曲线的定义可得①，两边平方得，
即，解得，
故的面积为，D正确.
设P的纵坐标为h，的面积，解得，A正确.
，解得②，
的周长为，C错误.
①＋②可得，B正确.
故选：ABD
考点三、双曲线定义的应用
16.“，”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据双曲线的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】由，可知方程表示焦点在轴上的双曲线；
反之，若表示双曲线，则，即，或，．
所以“，”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件．
故选：A．
17.“”是“为双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】先求方程表示双曲线的条件，再根据两者相等关系确定充要关系.
【详解】因为方程表示双曲线，所以，
又当时，方程表示双曲线，
因此“”是“方程表示双曲线”的充要条件.
故选：C
18.已知曲线C：，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若，则C是双曲线，其渐近线方程为
C．若，则C是圆，其半径是
D．若，则C是两条直线
【答案】C
【分析】把化成椭圆的标准方程并求其焦点所在轴，判断选项A的正误；
把化成双曲线的标准方程并求其渐近线，判断选项B的正误；
把化成圆的标准方程并求其半径，判断选项C的正误；
把化成直线的方程，判断选项D的正误.
【详解】选项A: 时，可化为，
此时，C是椭圆，其焦点在y轴上，判断正确；
选项B: 时分为两种情况：
① 时，可化为
此时，C是双曲线，其渐近线方程为，判断正确；
② 时，可化为
此时，C是双曲线，其渐近线方程为，判断正确；
选项C: 时，可化为
此时C是圆，其半径是，不是，判断错误；
选项D: 时，可化为
即或，此时C是两条直线，判断正确.
故选：C
19.若曲线表示双曲线，那么实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由方程表示双曲线求解实数k的取值范围即可.
【详解】曲线表示双曲线，所以即可.
解得或，
所以实数k的取值范围是：.
故选：B.
20.若，则“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用方程为表示双曲线的条件，求得的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义判断条件和结论的关系.
【详解】因为方程表示双曲线，
所以，
解得或，
因为由可推出或，但是由或不能推出，
所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，
故选：A
21.已知表示焦点在轴上的双曲线有个，表示焦点在轴上的椭圆有个，则的值为（ ）
A．10 B．14 C．18 D．22
【答案】D
【分析】根据方程表示双曲线或椭圆的类型，确定参数的取值，确定m和n的值，即可得答案.
【详解】由题意表示焦点在轴上的双曲线，则，
故b的取值可取，a可取，故，
表示焦点在轴上的椭圆，则，
则可取，
即，故，
故选：D
22.已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】根据双曲线的定义得，利用平面几何的知识，两点间线段最短，即可求出最值.
【详解】由双曲线方程可知，，，故右焦点，左焦点，
当点在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知，所以，
从而，又为定值，
所以，此时点在线段与双曲线的交点处（三点共线距离最短），
故选：B.
23.已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（　　）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】C
【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理，利用三角形三边关系，可得答案.
【详解】由双曲线，则，即，且，
由题意，
，
当且仅当共线时，等号成立.
故选：C.
24.已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线定义得，则利用三角形任意两边之差小于第三边求出的最小值即为.
【详解】由题意得双曲线焦点在轴上，，，，
所以下焦点，设上焦点为，则，
根据双曲线定义：，在上支，
，,
在中两边之差小于第三边，，
,
.
故选：D.
考点四、双曲线的对称性
25.已知抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，的渐近线恰为矩形的边，所在直线(为坐标原点)，则双曲线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据四边形为矩形以及双曲线的渐近线关于轴对称，可得，利用抛物线方程求出，再根据可求得，从而可得结果.
【详解】因为四边形为矩形，所以，即双曲线的两条渐近线垂直，
根据双曲线的渐近线关于轴对称，可得，
所以，即，
又抛物线的焦点，所以双曲线中，
所以由可得，所以，
所以双曲线的方程为.
故选：D
26.已知双曲线的离心率为，右焦点为，直线均过点且互相垂直，与双曲线的右支交于两点，与双曲线的左支交于点，为坐标原点，当三点共线时，（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据题意作出图形，由双曲线的对称性及双曲线的定义，利用勾股定理建立方程求解可得.
【详解】设双曲线另一焦点为，连接，如图，
因为三点共线，，
所以由双曲线的对称性知，四边形为矩形，
设，则，，
在中，，即，
又，解得或（舍去），
在中，，即，
解得，即.
故选：B
27.已知双曲线M：的离心率为，A，B分别是它的两条渐近线上的两点（不与原点O重合），的外心为P，面积为12，若双曲线M经过点P，则该双曲线的实轴长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的离心率可得双曲线的两条渐近线是互相垂直的，然后利用双曲线经过的外心，同时结合双曲线的对称性和直角三角形的外心特点，通过的面积建立方程，然后解出方程即可
【详解】离心率为，则有：
又有：可得：，此时两条渐近线垂直，即，且直线和直线均与轴的夹角均为
则的外心为在线段的中点
若双曲线M经过点，根据双曲线的对称性可知：当且仅当轴时，且点为双曲线的顶点
此时有：，
的面积为12，则有：
解得：
故双曲线的实轴长为：
故选：C
考点五、与双曲线有关的轨迹方程
28.一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由两圆相切分析可知，符合双曲线的定义，可得，，根据双曲线中a，b，c的关系，即可求出动圆圆心的轨迹方程.
【详解】解：已知圆：圆心，半径为4，
动圆圆心为，半径为，
当两圆外切时：，所以；
当两圆内切时：，所以；
即，表示动点P到两定点的距离之差为常数4，符合双曲线的定义，
所以P在以M、N为焦点的双曲线上，且，，
，
所以动圆圆心的轨迹方程为：，
故选：C.
29.已知是圆上的一动点，点，线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意有，从而有，根据双曲线的定义得点的轨迹为是以F1、F2为焦点的双曲线．再写出其方程即可.
【详解】如图所示：
∵是圆上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点，
∴，，
∵是圆上一动点，∴，∴，
∴，，，
∴点的轨迹为以F1、F2为焦点的双曲线，且，，得，
∴点的轨迹方程为.
故选：C.
30.设点，，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设动点，根据已知条件，结合斜率公式，即可求解.
【详解】解：设动点，则，
则，，，
直线与直线的斜率之积为定值，
，化简可得，，
故点的轨迹方程为.
故选：C.
31.已知的两个顶点A，B的坐标分别是、，且，所在直线的斜率之积等于2，则顶点C的轨迹方程是（ ）
A．（） B．
C． D．（）
【答案】A
【分析】首先设点，根据条件列式，再化简求解.
【详解】设，，
所以，整理为：，，
故选：A
考点六、双曲线的离心率
求双曲线的离心率
32.已知双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件求得，从而求得双曲线的离心率.
【详解】由题意，双曲线的焦点在轴上，
由于双曲线的渐近线方程为，
所以，即，
所以.
故选：A
33.已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用点差法即可．
【详解】由F、N两点的坐标得直线l的斜率．
∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c=2．
设双曲线C的方程为，则．
设，，则，，．
由，得，
即，∴，易得，，，
∴双曲线C的离心率．
故选：B．
34.已知分别为双曲线的左 右焦点，过的直线与双曲线交左支交于两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由为圆心，为半径为径的圆经过点，得，结合双曲线的定义及勾股定理可得解．
【详解】解：由题意得，
设，则，，，，
在中，
由勾股定理得，解得，
则，，
在中，
由勾股定理得，化简得，
所以的离心率，
故选：B
35.设分别是双曲线的左 右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由双曲线的方程可得两焦点的坐标及渐近钱的方程，由题意求出 的方程，与渐近线联立求出P的坐标，进而求出的值，由点到直线的距离公式，求的值，由由求出a，c的关系，进而求出离心率．
【详解】由双曲线的方程可得双曲线渐近线方程：，右焦点，
到渐近线的距离，
由渐近线的对称性，设渐近线为，①
则直线方程为∶ ②，
由①②可得， 则，
左焦点，所以 ，
由，有，得，
即 ， ，则的离心率为
故选∶C·
36.已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】利用椭圆和双曲线的定义及可以列出关于，的方程，再利用均值定理即可得到的最小值
【详解】设椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，
，，（） ，
则，解之得
又
则
则，则
则，则
（当且仅当时等号成立）
则的最小值为
故选：B
37.已知双曲线，（，）的左、右焦点分别为，，过点作一条斜率为的直线与双曲线在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为 .
【答案】/
【分析】由双曲线的焦半径公式结合几何图形的性质计算即可.
【详解】
如图所示，设，则，
所以，
又M在第一象限，即，故，
因为，过M作轴于D，，
故，
即，故，
解之得（负值舍去）.
故答案为：
求双曲线离心率的取值范围
38.已知双曲线（a＞0，b＞0）与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．（1，） B．（1，] C．（，＋∞） D．[ ，＋∞）
【答案】C
【分析】根据渐近线的斜率的范围可求离心率的范围.
【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，由题意得，
所以双曲线的离心率．
故选：C.
39.已知点F为双曲线（，）的右焦点，若双曲线左支上存在一点P，使直线与圆相切，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意求出直线的斜率为，然后列出不等式，转化为求解双曲线的离心率的范围即可
【详解】设直线为，
因为直线与圆相切，
所以，所以
解得，
因为点在双曲线的右支上，
所以，
所以，所以，
所以，
所以，
故选：B
40.已知双曲线E：的左右焦点分别为，，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线与轴交于Q点．若，则双曲线E的离心率的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题意设点并解出Q点坐标为，再根据可得，即可解得，由P为双曲线右支上一点可得，解不等式即可求得离心率的取值范围.
【详解】如下图所示，根据题意可得，
设，则直线的方程为，
所以直线与轴的交点，
由可得，即，
整理得，即；
又因为P为双曲线右支上一点，所以，
当时，共线与题意不符，即；
可得，整理得，即，
解得或（舍）；
即双曲线E的离心率的取值范围为.
故答案为：
41.已知过点可作双曲线的两条切线，若两个切点分别在双曲线的左、右两支上，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】要满足题意，点必须在渐近线与轴围成的区域，且不能在渐近线及轴上，即可得到，即可得到离心率的取值范围.
【详解】要满足题意，点必须在渐近线与轴围成的区域，且不能在渐近线及轴上.
所以必须满足，得，，，，
又，.
故选：B
由双曲线的离心率求参数的取值范围
42.设k为实数，已知双曲线的离心率，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意确定，根据双曲线离心率的范围可得不等式，即可求得答案.
【详解】由题意双曲线方程为,可得，
故实半轴，则，
由得，则，
即k的取值范围为，
故选：A．
43.已知双曲线的离心率大于，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线方程，讨论实轴位置，求出离心率，由已知离心率范围列出不等式可解得的范围．
【详解】当双曲线实轴在轴上时，，解得，
此时，所以，
解得，所以，
当双曲线实轴在轴上时，，解得，不符合题意.
综上，解得.
故选：A．
44.已知双曲线的左 右焦点分别为，直线在第一象限交双曲线C右支于点A.若双曲线的离心率满足，且，则k的取值范围是 .
【答案】
【分析】由双曲线的定义结合勾股定理得出，再由等面积法得出，，再由结合离心率公式以及范围得出k的取值范围.
【详解】设，由题可知，∴.
∴，∴，∴.
又由，可知，∴，解得.
∵，，∴.
∴，依题意，，∴.
故答案为：
考点七、与双曲线的渐近线有关的问题
45.已知双曲线，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线几何性质解决即可.
【详解】由题知，双曲线中，，焦点在轴上，渐近线方程为，
所以双曲线的渐近线方程为，
故选：A
46.若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【分析】将点的坐标代入方程，求出，即可求出渐近线方程.
【详解】双曲线经过点，
，，解得，所以双曲线方程为，
又，则该双曲线的渐近线方程为．
故答案为：．
47.双曲线的右焦点到其渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得焦点坐标及渐近线方程，运用点到直线的距离公式，计算即可.
【详解】双曲线，可得，，，
则右焦点到它的渐近线的距离为．
故选：．
48.双曲线的离心率为，则的一条渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据离心率计算公式，即可容易求得结果.
【详解】因为的离心率为，所以，
所以渐近线方程为.
故选：B.
49.已知F为双曲线的左焦点，点，若直线与双曲线仅有一个公共点，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】根据题意分析可得直线与渐近线平行，结合平行关系运算求解.
【详解】由双曲线可得，
则双曲线的左焦点，渐近线为，
由题意可得：直线与渐近线平行，则，解得.
故选：C.
50.设F1，F2是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若，，，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）
A．90° B．45° C．60° D．30°
【答案】C
【分析】根据题目条件求出双曲线方程，得到渐近线方程，可得两条渐近线的夹角.
【详解】设，，由双曲线的定义可知，
又，，，可得，，
即，解得，，
可得双曲线的渐近线方程为，两条渐近线的夹角为.
故选：C
考点八、直线与双曲线的位置关系
51.已知直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】将直线方程与双曲线方程联立，消去，利用判别式研究即可.
【详解】联立，消去得，
当时，方程有解，即直线与双曲线有公共点；
当时，，解得或.
故选：C.
52.过点作直线，使与双曲线有且仅有一个公共点，这样的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】D
【分析】利用直线与双曲线联立组成的方程组仅有一组解，即可求得满足条件的直线共有4条.
【详解】当过点的直线斜率不存在时，其方程为，
直线与双曲线有且仅有一个公共点，满足要求；
当过点的直线斜率存在时，其方程可设为，
由，整理得
当时，方程可化为，方程仅有一根，
直线与双曲线有且仅有一个公共点，符合题意；
当时，方程可化为，方程仅有一根，
直线与双曲线有且仅有一个公共点，符合题意；
当时，若方程仅有一组解，
则，解之得
此时方程为，整理得，则
此时直线与双曲线有且仅有一个公共点，符合题意
综上，满足条件的直线共有4条
故选：D
53.直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的取值范围为（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】D
【分析】已知直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，将直线与双曲线两个方程联立，得到的一元二次方程有一正一负根，即可得出结论．
【详解】联立，消y得，.
因为直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，
所以方程有一正一负根，
所以，整理得，解得.
所以的取值范围为.
故选：D．
54.已知直线l： 和双曲线C：，若l与C的上支交于不同的两点，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据l与C的上支交于不同的两点，联立两个方程，根据判别式和韦达定理列不等式，即可求出t的取值范围
【详解】解：由题意
在直线l：和双曲线C：中，
若l与C的上支交于不同的两点
∴即
∴解得：
∴t的取值范围为
故选：D.
55.已知直线与曲线仅有三个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将曲线的表达式整理变形可知，其图象是由上半椭圆和上半双曲线组成的，再根据直线与双曲线的渐近线平行，利用数形结合讨论临界位置结合交点个数即可求得实数的取值范围.
【详解】由题意得曲线，即，可得；
当时得到即；
当时得到；
由以上可得曲线的如图中所示，
易知直线与双曲线的一条渐近线平行；
把直线向上平移到点时，即与曲线有两个交点，此时；
继续向上平移至与半椭圆相切前有3个交点．
当直线与椭圆的上半部分相切时，
联立直线与椭圆的方程代入整理得
即或（舍），由图示可得；
综上可知.
故选：C
56.已知直线，曲线，则“l与C相切”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】将曲线的方程两边平方，即可得到曲线表示双曲线在轴及轴上方部分，求出双曲线的渐近线，再结合图象判断即可.
【详解】解：对于曲线，则，
所以，即，表示双曲线在轴及轴上方部分，
双曲线的渐近线为，
又直线与渐近线平行（重合），
由图可知，当时直线与曲线相切，
所以“与相切”是“”的既不充分也不必要条件；
故选：D
考点九、直线与双曲线的弦长问题
57.已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设直线MN为，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k值，利用弦长公式求解即可.
【详解】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线MN为，联立双曲线：
设，则，所以，解得，
则，.
弦长|MN|.
故选：D.
58.已知双曲线C：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】根据渐近线方程和焦点坐标可解得，再将直线方程代入双曲线方程消元，由韦达定理和弦长公式可得.
【详解】双曲线C：的一条渐近线方程是，，即左焦点，，，，，双曲线C的方程为易知直线l的方程为，设，，由，消去y可得，，
故选：D
59.已知双曲线：的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，.以线段为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，且点在第一象限，与另一条渐近线平行.若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据与渐近线平行，得到是等边三角形，，从而求出各边长，由勾股定理求出，结合渐近线斜率求出，从而求出，，从而求出的面积.
【详解】过点M作MB⊥x轴于点B，
OM与ON是双曲线的两条渐近线，故，
因为与渐近线ON平行，所以，
故，
因为，所以，
所以是等边三角形，，
故，，，
因为，
由勾股定理得：，即，
又因为，所以，
由得：，
从而，解得：，
所以，
则，，
故.
故选：A
考点十、直线与双曲线的中点弦问题
60.过点作直线l与双曲线交于点A，B，若P恰为AB的中点，则直线l的条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合一元二次方程根的判别式进行判断即可.
【详解】设直线l：，由，
得，（※）
设，，则，由，即，得，此时，（※）式为，由于，所以直线l与双曲线无公共点，这样的直线不存在.
故选：A
61.已知双曲线过点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为（　　）
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】D
【分析】设出，，利用“点差法”即可求出结果.
【详解】设，，则有与，两式相减得：，即，
又因为为AB的中点，所以，得到，
即直线AB的斜率为6.
故选：D.
62.已知双曲线的离心率为2，过点的直线与双曲线C交于A，B两点，且点P恰好是弦的中点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用点差法即可求解
【详解】由已知得，又，，可得.
则双曲线C的方程为.设，，
则两式相减得，
即.
又因为点P恰好是弦的中点，所以，，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
经检验满足题意
故选：C
63.已知点A，B在双曲线上，线段AB的中点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先结合已知条件，利用点差法求出直线的斜率，进而得到直线的方程，然后联立双曲线方程，结合韦达定理和弦长公式求解即可.
【详解】不妨设，，
从而，，
由两式相减可得，，
又因为线段AB的中点为，从而，，
故，即直线AB的斜率为，
直线AB的方程为：，即，
将代入可得，，
从而，，
故.
故选：C.
64.已知双曲线与直线相交于A、B两点，弦AB的中点M的横坐标为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，，利用点差法结合中点坐标可得，从而可求双曲线C的渐近线方程.
【详解】设，，则，由点差法得．
∵，∴，，∴，又，
∴，∴渐近线方程为.
故选：A．
考点十一、双曲线中的向量问题
65.已知，点P满足，动点M，N满足，，则的最小值是____________．
【答案】3
【分析】以的中点O为坐标原点，的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，由双曲线定义得点P的轨迹是以，为焦点，实轴长为6的双曲线的左支，然后根据双曲线的性质，数量积的运算律求解．
【详解】以的中点O为坐标原点，的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则，由双曲线定义可知，点P的轨迹是以，为焦点，实轴长为6的双曲线的左支，即点P的轨迹方程为．，由，
可得．
因为的最小值为，所以的最小值是3．
故答案为：3.
66.双曲线：，已知是双曲线上一点，分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率；
(2)若双曲线的焦距为，直线过点且与双曲线交于、两点，若，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由点在双曲线上得到，再由，的斜率之积为得到，从而得到，由此可求得双曲线的离心率；
（2）先由条件求得双线曲方程，再联立直线与双曲线得到，又由得到，从而求得值，由此可得直线的方程.
【详解】（1）因为是双曲线E上一点，
可得，即为，
由题意可得，，
可得，即有.
（2）由题意可得，，则双曲线的方程为，
易知直线斜率存在，设直线的方程为，
联立直线与双曲线的方程，可得，
设，则，，①
又，可得，②
由①②可得， ，
代入①可得，解得，
则直线l的方程为.
67.已知双曲线（，）中，离心率，实轴长为4
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知直线：与双曲线交于，两点，且在双曲线存在点，使得，求的值.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据离心率以及实轴长即可求解的值，进而可求双曲线方程，
（2）联立直线与曲线的方程，得韦达定理，进而结合向量满足的关系即可代入求值.
【详解】（1）因为双曲线的离心率，实轴长为4，
，解得，
因为
所以双曲线的标准方程为
（2）将直线与曲线联立 得，
设，，则，，
设，由得，
即 ，又因为，解得，
所以或.
68.已知双曲线C：的渐近线方程为，且过点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程为和双曲线过点，联立求解；
（2）由题意设直线方程为，令，得到M的坐标，设，根据，用k表示点Q的坐标，再根据点Q在双曲线上，代入双曲线方程求解.
【详解】（1）解：因为双曲线C：的渐近线方程为，
所以，
又因为双曲线C：过点，
所以，解得，
所以双曲线的方程为；
（2）由（1）知：，则，
由题意设直线方程为，令，得，则，
设，则，
因为，
所以，则，
解得，因为点Q在双曲线上，
所以，解得，
所以直线l的斜率为.
考点十二、双曲线中参数范围及最值问题
69.已知为焦点在轴上的双曲线，其离心率为，为上一动点（除顶点），过点的直线，分别经过双曲线的两个顶点，已知直线的斜率，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由离心率可得由题意可得，由斜率，即可得斜率的取值范围.
【详解】设双曲线的方程为为上一动点，上顶点下顶点离心率为，即可得
直线为直线PA, 直线为直线PB,
则，
，又，，可得，
故选：C
70.【多选】已知实数满足，则下列正确的选项有（ ）
A．的最小值为
B．的取值范围为
C．的最大值为
D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】对A，将双曲线方程代入可得，再结合或求解最小值即可；对B，设，根据题意可得与有交点，再数形结合分析的范围即可；对C，根据展开，结合基本不等式取等号的条件判断即可；对D，注意到所求式为二次时，故可根据“1”的妙用，可得，再根据双曲线性质可得，再换元根据基本不等式求解即可.
【详解】对A，因为，故，故，又由双曲线性质可得或，故当时原式取最小值，故A正确；
对B，设，则与有交点，此时分析相切时的临界条件.
联立，即，故，解得，数形结合可得或，故B正确；
对C，，当且仅当，即时取等号，但代入可得无解，故的最大值不能取到，故C错误；
对D，由题，，由双曲线的渐近线可得，，故可设，则，当且仅当，即时取等号，此时，故的最小值为，故D正确.
故选：ABD
71.点是双曲线上一动点，过做圆的两条切线，切点为，，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由于是直角三角形，且，所以当取得最小值时，取得最小值，设出，，表达出，配方后求出最小值，从而得到答案.
【详解】由题知：设，，则，
由于是直角三角形，且，所以当取得最小值时，取得最小值，

则
，当时，等号成立，
故，
故答案为:.
72.已知双曲线：（，）的离心率为，点到其左右焦点，的距离的差为2．
(1)求双曲线的方程；
(2)在直线上存在一点，过作两条相互垂直的直线均与双曲线相切，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线离心率以及点到左、右焦点的距离之差为2，可求得a，b，c，进而求得双曲线的标准方程；（2）根据过点作两条相互垂直的直线与双曲线相切，讨论斜率不存在和斜率存在两种情况，①若其中一条切线的斜率不存在，则另一条切线的斜率为0，则不满足条件；②若切线的斜率存在，则设其斜率为，，从而得到切线方程，再根据切线与双曲线相切，联立方程组，得，进而可得关于的一元二次方程，再根据两切线互相垂直有，即可得到，再结合在直线上，推出，求解即可得到的取值范围．
【详解】（1）依题意有双曲线的左、右焦点为，，
则，得，
则，
所以双曲线的方程为；
（2）①若其中一条切线的斜率不存在，则另一条切线的斜率为0，则不满足条件；
②若切线的斜率存在，则设其斜率为，，则切线方程为，
联立，消并整理得，
则，
化简得，即，
化成关于的一元二次方程，
设该方程的两根为，，即为两切线的斜率，所以，即，
又点在直线上，所以直线与圆有交点，
所以，即，即，
故的取值范围为．
考点十三、双曲线的定点、定值问题
73.已知双曲线的左 右焦点分别为，离心率为，直线交于两点，且.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点，直线与轴分别相交于两点，且为坐标原点，证明：直线过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据双曲线的定义，结合离心率得，，进而得答案；
（2）设，则，进而求出直线，的方程，并与椭圆联立方方程解得，进而得直线的方程为，并整理得即可证明结论.
【详解】（1）解：因为，
所以，解得，
设双曲线的半焦距为，因为离心率为，
所以，解得，
则，
所以双曲线的标准方程为.
（2）证明：设，则，，
直线的方程为，
直线的方程为.
联立方程消去并整理得
显然，即
所以，，
联立方程消去并整理得，
显然，即，
，
即当时，直线的方程为，
将上面求得的的解析式代入得，
整理得，
所以直线过定点.
74.已知双曲线C与椭圆有相同的焦点，是C上一点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)记C的右顶点为M，与x轴平行的直线l与C交于A，B两点，求证：以AB为直径的圆过点M.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设出双曲线标准方程，由共焦点得a2+b2=6，再将点代入标准方程联立即可求解；
（2）要证以AB为直径的圆过点M，即证AM⊥BM，设直线l为y=m（m≠0），结合双曲线方程求出，证明即可.
(1)
由已知设双曲线C的方程为，
由已知得a2+b2=12-6=6，且，
解得a2=b2=3，∴双曲线C的方程为；
(2)
证明：设直线l的方程为y=m（m≠0），
与x2-y2=3联立解得或，
不妨设，
由（1）知点，
∴AM，BM的斜率分别为，
，
所以AM⊥BM，
故以AB为直径的圆过点M.
75.已知双曲线：的离心率为，且右焦点到其渐近线的距离为．
(1)求双曲线方程；
(2)设为双曲线右支上的动点．在轴负半轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由双曲线的性质以及距离公式得出方程；
（2）由三角函数得出，，再由结合倍角公式得出.
【详解】（1）由题意可知，，解得
即双曲线方程为；
（2）设，，，
则，.
因为，所以
即，即，得.
所以，存在点满足题意.
76.已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为且过点
(1)求双曲线方程；
(2)若过斜率的直线与该双曲线相交于M，N两点，且双曲线与对应的顶点为T.试探讨直线MT与直线NT的斜率之积是否为定值.若是定值，请求出该值；若不是定值，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)是定值，定值为.
【分析】（1）由题可设双曲线方程为，进而即得；
（2）利用直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理法表示出直线MT和直线NT的斜率乘积，结合条件即得.
【详解】（1）由题意，可设双曲线方程为，
又双曲线过点，
所以，即，
故双曲线方程为；
（2）由题知，设直线MN的方程为，且，
则由，得 ，
故 ，
故直线MT和直线NT的斜率乘积即可表示为：
，
即，
故直线MT和直线NT的斜率乘积为定值且该定值为.
77.已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为，点P为C上一动点（异于两点），直线和直线与直线分别交于M，N两点，当垂直于x轴时，的面积为2．
(1)求C的方程；
(2)求证：为定值，并求出该定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析，90°
【分析】（1）由题意可得的方程组，从而得到结果；
（2）设，得到直线和直线的方程，解出M，N两点坐标，可知，从而得到定值.
【详解】（1）由题意知，则．当轴时，，
故的面积，解得，
故C的方程为．
（2）由（1）得，设，
则直线，令，得；
直线，令得．
故，
因为，故，
又，则．
因此，
故，即．
78.已知双曲线：与双曲线有相同的焦点；且的一条渐近线与直线平行.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线于两点，为坐标原点，试判断的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)是，2
【分析】（1）根据题意列式求解，即可得方程；（2）设直线，联立方程由可得，根据题意求的坐标，即可求的面积，化简整理即可.
【详解】（1）设双曲线的焦距为，
由题意可得：，则，
则双曲线的方程为.
（2）由于直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），则直线的斜率存在，
设直线的方程为，
则，消得：，
则，可得：①
设与轴交点为，
则，
∵双曲线两条渐近线方程为：，
联立，解得，即，
同理可得：，
则（定值）.
79.已知双曲线：（，）的渐近线方程为，焦距为10，，为其左右顶点．
(1)求的方程；
(2)设点是直线：上的任意一点，直线、分别交双曲线于点、，，垂足为，求证：存在定点，使得是定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由双曲线的渐近线方程及焦距求解双曲线的方程即可；
（2）设出直线的方程与双曲线的方程联立得到韦达定理，与直线，，联立最终得到点的轨迹方程，即可求解.
【详解】（1）依题意：.
（2）证明：如图：

设、，，
直线：，即：.
（记，）代入中得：
.
所以，.
又因为直线：、直线：联立得：
.
.
.
.
即或（舍）.
所以.
所以，点轨迹为，以为圆心，2为半径的圆上，所以，.
考点十四、双曲线的实际应用
80.单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2，最细处的直径为 ，楼底的直径为，楼顶直径为，最细处距楼底 ，则该地标建筑的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设双曲线的方程是，
由已知可得 ，将点坐标代入解得 的值，从而得到双曲线的方程，最后利用双曲线的方程
解得 的坐标即可求得地标建筑的高.
【详解】解：以地标建筑的最细处所在直线为 轴，双曲线的虚轴为 轴，建立平面直角坐标系如图所示.
由题意可得：，，
设，双曲线的方程是，
则，解得 ，
所以双曲线的方程是：，
将点代入得，
解得，
所以该地标建筑的高为： .
故选： .
81.如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有3个监测点A，B，C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝30km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，3个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早（注：信号每秒传播）
(1)求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；
(2)若C点信号失灵，现立即以C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少千米？
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）设观察员可能出现的位置为点,由题意可知,即可判断出观察员所有可能出现的位置为双曲线的左支.结合，，即可求出其轨迹；
（2）设轨迹上一点为，利用两点的距离公式则可表示出，再结合点在轨迹上，消元后利用二次函数的单调性，即可得出的最小值.即可写出答案.
【详解】（1）设观察员可能出现的位置为点，
由题意，得，
故点的轨迹为双曲线的左支，
设双曲线方程为，又，，
所以，
故点的轨迹方程为；
（2）设轨迹上一点为，则，
又，所以，
所以|，
当且仅当时，取得最小值，
故扫描半径r至少是．
82.某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为，线路AB段上的任意一点N到景点M的距离比到景点的距离都多6km，线路BC段上任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多6km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy.
（1）求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；
（2）规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G位置？
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由题意结合双曲线即圆的定义可得轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；
（2），由，写出两点间的距离，化为关于的函数，利用配方法求最值.
【详解】解：（1）∵线路段上的任意一点到N景点的距离比到景点M的距离都多6，
∴线路段所在的的曲线是以定点M，N为左右焦点的双曲线的左支，
则其方程为；
∵线路段上任意一点到O的距离都相等，
∴线路段所在的曲线是以O为圆心，以为半径的圆，
则其方程为；
∵线路段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多6，
∴线路段所在的曲线是以定点Q，P为上下焦点的双曲线的下支，
则其方程为.
故轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程为；
（2）设，由，则，
由（1）得，，即.
则.
∴当时，.
则站点为时，站点G到景点Q的距离最近.
考点十五、双曲线中的存在性(探索性)问题
83.已知双曲线的右焦点为，且点在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点F的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在不与F重合的点P，使得点F到直线PA，PB的距离始终相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，，理由见解析
【分析】（1）首先得，再将点的坐标代入双曲线方程，联立方程求解，即可求双曲线方程；
（2）假设存在点，据题意设，联立方程得到，，再由点到直线的距离相等可得，由此代入式子即可求得点坐标，再考虑斜率不存在的情况即可
【详解】（1）由题意得，，
所以，所以，，
所以双曲线C的标准方程为；
（2）假设存在，设，，
由题意知，直线斜率不为0，设直线，
联立，消去，得，
则，，
且，，
因为使得点F到直线PA，PB的距离相等，所以PF是的角平分线，
则，即，则，
整理得，故，
即，因为，所以，此时；
当直线的斜率不存在时，根据抛物线的对称性，易得也能让点F到直线PA，PB的距离相等；
综上所述，故存在满足题意
84.已知两点、，动点M满足直线MA与直线MB的斜率之积为3．，动点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点作直线交曲线C于P、Q两点，且两点均在y轴的右侧，直线AP、BQ的斜率分别为、．
①证明：为定值；
②若点Q关于x轴的对称点成点H，探究：是否存在直线l，使得的面积为，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)① 证明见解析；②存在；或
【分析】(1)根据条件列出方程化简即可求出曲线方程；
(2) 设直线，，，联立方程组，利用韦达定理得出的和、积. ①利用两点的坐标直接表述出，将的和、积代入化简即可求证为定值；②根据题意求出的直线方程，通过整理化简得出直线过定点，根据三角形的面积求出的值，进而求解即可.
【详解】（1）令，根据题意可知：，
化简，可得：，
所以曲线C的方程为：.
（2）设，，可设直线，联立方程
可得：，
则，
故且
①
．
②∵轴，∴，由两点式方程可得的直线方程为：
，
∴，将，代入可得：
，
将代入上式，得到：
，
所以直线过定点，
∴
∴或（舍）
所以存在直线l，使得的面积为，
直线l的方程为：或．
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一、单选题
1．（2023·四川甘孜·统考一模）已知圆与中心在原点 焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．3 C．或 D．或
【答案】D
【分析】分双曲线的焦点在x轴上和y轴上，由圆心到渐近线的距离等于半径列式求解即可.
【详解】因为可化为，
则圆的圆心为，半径为2，
当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为，则其渐近线方程为，
由题意得，即，所以，
所以，
当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为，则其渐近线方程为，
由题意得，即，所以，
则，
故选：D.
2．（2023上·安徽·高二校联考阶段练习）已知等轴双曲线的对称轴为坐标轴，且经过点，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出等轴双曲线的标准方程，将代入即可求解.
【详解】设等轴双曲线的方程为，
将点代入得，解得.
所以双曲线的标准方程为.
故选:C.
3．（2023上·安徽芜湖·高二校考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线上一点，若的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】不妨设在右支上，则，利用余弦定理及面积公式得到，从而得解.
【详解】双曲线，则、，所以，不妨设在右支上，
则，，
由余弦定理，
即，
又，
，
所以，即，
所以，又，所以，
则.
故选：C
4．（2023上·河北承德·高二承德县第一中学校联考阶段练习）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的离心率可求得的值，由此可得出双曲线的渐近线方程.
【详解】，，，
渐近线方程为，渐近线方程为．
故选：B．
5．（2023上·重庆·高二重庆市育才中学校考期中）已知，为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，且.则此双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意，可得夹角的取值范围，整理相关等式，进而可得离心率的函数表达式，利用不等式定义，可得答案.
【详解】设，，，由，则，
显然，则整理可得，由，
则，
解得，由双曲线的定义可知：，
则，整理可得，
化简可得，由，且，
则，可得或，
解得或，所以，解得.
故选：C.
6．（2023上·湖北孝感·高二校考期末）已知双曲线，过点且被平分的弦所在的直线斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用点差法求出斜率即可.
【详解】设，因为点在双曲线上，
所以，
两式相减得到，
因为过点且被平分，
所以，代入上式可得，
故选：C
7．（2023上·江西宜春·高二校考期末）设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为．是上一点，且．若的面积为4，则（ ）
A．81 B．42 C．2 D．1
【答案】D
【分析】由题得出，然后结合面积公式、双曲线的定义和勾股定理得出答案.
【详解】
因为，所以，
又P在双曲线上，所以
又的面积为4，所以，
结合，解得，
又，所以，又，所以，
故选：D.
8．（2023上·云南楚雄·高三统考期中）双曲线C：的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点.若，且，则直线与的斜率之积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，利用双曲线定义推出相关线段的长，进而在和中利用余弦定理，求出以及，继而求得，再结合双曲线方程推出，即可求得答案.
【详解】由题意结合双曲线定义可知，且，
不妨设，则，，，
.
在中，，由余弦定理得，
即，即，
解得.
在中，由余弦定理得，
即，即，结合，
即得，故得，即.
又可设，则，
而，故，
故选：A
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据所给，分别在和中利用余弦定理，求出，继而求得，再结合双曲线方程推出，即可求解.
9．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考一模）双曲线，点A，B均在E上，若四边形为平行四边形，且直线OC，AB的斜率之积为3，则双曲线E的渐近线的倾斜角为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【分析】利用点差法，结合双曲线渐近线方程、平行四边形的性质、中点坐标公式进行求解即可.
【详解】设，显然线段的中点坐标为，
因为四边形为平行四边形，
所以线段的中点坐标和线段的中点坐标相同，即为，
因此点坐标为，
因为直线OC，AB的斜率之积为3，
所以，
因为点A，B均在E上，
所以，
两式相减得：，
所以两条渐近线方程的倾斜角为或，
故选：B

【点睛】关键点睛：本题的关键是应用点差法和平行四边形的性质.
二、多选题
10．（2023上·河南驻马店·高二校联考期末）已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则为椭圆
B．若，则为双曲线
C．若为椭圆，则其长轴长一定大于2
D．曲线不能表示圆
【答案】BC
【分析】A，B项，求出的范围，即可判断曲线的形状；C项，求出为椭圆时的范围，分类讨论即可得出其长轴长的范围；D项，通过A选项即可得出结论.
【详解】由题意，
在曲线中，
A项，当时，，
但当即时，曲线为圆，故A错误；
B项，当时，，为双曲线，B正确；
C项，若为椭圆，由A选项知，，
当时，，
∴长轴为，
当时，
∴长轴为，故C正确；
D项，由A知当时，曲线为圆，D错误.
故选：BC.
11．（2023上·湖北孝感·高二校考期末）已知点为双曲线的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．双曲线的离心率为
C．以线段为直径的圆的方程为
D．到其中一条渐近线的距离为
【答案】AB
【分析】根据双曲线方程可得，根据双曲线的几何性质逐项判断AB即可，根据圆心和半径求解圆的方程判断C，根据点到直线的距离公式即可求解D.
【详解】由双曲线可得：，所以，
故渐近线方程为，故A正确；
离心率为，故B正确；
因为的中点为，且，
所以以线段为直径的圆的方程为，故C错误；
由题意左焦点为，到一条渐近线的距离为，故D错误.
故选：AB
12．（2023上·江西上饶·高二上饶市第一中学校考阶段练习）已知点P在双曲线C：上，分别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则（ ）
A． B．
C．点P到x轴的距离为4 D．
【答案】BC
【分析】利用双曲线的定义可判断选项，取点P的坐标为即可判断选项，利用三角形面积公式即可判断选项，利用余弦定理即可判断选项.
【详解】由已知得双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，
则右焦点的横坐标为，
由双曲线的定义可知，，故错误；
设点，则，
所以，故C正确；
由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，
得，
由双曲线的定义，得，
所以，故B正确；
由余弦定理,得 ，
所以，故D错误．
故选：BC．
13．（2023下·湖南·高二校联考期末）已知双曲线：的右焦点到渐近线的距离为，为上一点，下列说法正确的是（ ）
A．的离心率为
B．的最小值为
C．若，为的左、右顶点，与，不重合，则直线，的斜率之积为
D．设的左焦点为，若的面积为，则
【答案】ACD
【分析】根据题意列关于的等式，从而可得双曲线的方程，计算离心率，的最小值，结合动点满足的方程，列式计算，在焦点三角形中，由双曲线的定义，余弦定理以及三角形面积公式列式即可计算出.
【详解】由已知可得，，所以，
则的方程为，离心率为，A正确；
因为的最小值为，所以B错误；
设，则，，
，所以C正确；
设，由
可得，得，
则，所以D正确．
故选：ACD
三、填空题
14．（2023上·甘肃白银·高二甘肃省靖远县第一中学校考期末）已知点分别为双曲线的左 右焦点，若双曲线上一点满足，，则 ，双曲线的标准方程为 .
【答案】
【分析】由题意可得，即有；由双曲线定义可得，结合余弦定理即可解得，又即可得.
【详解】因为，，所以，
即，则，所以；
则，
设，所以，
由余弦定理知，解得，
因为，所以，即双曲线的方程为.
故答案为：；.
15．（2023上·河北张家口·高二河北省尚义县第一中学校联考阶段练习）已知圆与圆和圆均外切，则点的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】根据两圆外切时半径与圆心的关系得出，即可得出，根据双曲线的定义得出点的轨迹为双曲线的上支，设出其方程为，根据双曲线的定义列式解出与，即可得出答案.
【详解】当圆与圆均外切时，，
所以，
则点的轨迹为双曲线的上支，设轨迹方程为，
则，
则，
所以轨迹方程为.
故答案为：.
16．（2023上·陕西西安·高三统考阶段练习）若点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】根据双曲线方程求出、、，设右焦点为，再由双曲线的定义计算可得.
【详解】双曲线，则，，所以，设右焦点为，
圆，圆心为，半径，
圆，圆心为，半径，
且恰为双曲线的左焦点，，
又点是双曲线右支上的一点，则，
所以，
当且仅当、、三点共线（在之间）时取等号.
故答案为：
17．（2023上·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）已知双曲线的左 右焦点分别为，点在的左支上，，，延长交的右支于点，点为双曲线上任意一点（异于两点），则直线与的斜率之积 .
【答案】2
【分析】先利用平面向量加法的法则和双曲线的性质求出和的边长，再分别利用余弦定理联立可得，最后根据斜率公式求解即可.
【详解】依题意，设双曲线的半焦距为，则，
因为是的中点，所以，故由得，
又因为，所以，
在中，，
在中，，
所以，解得，所以，
所以双曲线方程为，则，
设，，，
所以，

故答案为：2
18．（2023上·安徽滁州·高二校考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为 .
【答案】/
【分析】由离心率求出、，再由双曲线定义结合已知可得，从而求出的周长.
【详解】由题意可得，，
，
，，
为双曲线右支上一点，
，
又 ，
，
则的周长为．
故答案为：．

四、解答题
19．（2023上·山东潍坊·高二统考阶段练习）已知双曲线：的一个焦点为，一条渐近线方程为，为坐标原点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求弦长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线的几何性质即可求解，
（2）根据点差法，结合中点弦可得直线方程，即可根据弦长公式求解.
【详解】（1）由焦点可知，
又一条渐近线方程为，所以，
由可得，解得，
故双曲线的标准方程为.
（2）设中点的坐标为，
则
两式子相减得：，
化简得，
即，又，所以，
所以中点的坐标为，
所以直线的方程为，即.
将代入得，，
则，
,
20．（2023上·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期末）已知平面内两个定点，，过动点作直线的垂线，垂足为，且.
(1)求点的轨迹E的方程；
(2)若直线与曲线交于两点，且，，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设点坐标为，结合，列出方程，即可求解；
（2）联立方程组，根据直线与双曲线交于两点，求得且，设，，结合，得出，即可求解.
【详解】（1）解：设点坐标为，则，
可得，，，
因为，可得，即，
所以点的轨迹方程为.
（2）解：联立方程组，整理得，
因为直线与双曲线交于两点，可得，解得且，
设，，则，，
由，
又由，可得，
因为所以
所以，
所以，
化简得即，解得或，
由且，所以.
21．（2023上·宁夏银川·高二校考期末）椭圆：的焦点，是等轴双曲线：的顶点，若椭圆与双曲线的一个交点是，到椭圆两个焦点的距离之和为4
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点M是双曲线上任意不同于其顶点的动点，设直线、的斜率分别为，，求证，的乘积为定值；
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】(1)根据双曲线的方程确定的坐标，从而得出椭圆的焦距，再根据椭圆的定义可得椭圆的长轴为4，进而确定椭圆的方程.
(2)设点M的坐标，用点M,三点的坐标表示，再根据点M满足双曲线的方程，求解出的值.
【详解】（1）解：根据题意，点的坐标分别为
从而椭圆的焦距，得
又椭圆上一点P到椭圆两个焦点的距离之和为4，所以椭圆的长轴，即
从而得
故椭圆的方程为：
（2）设点，则
因为点M在双曲线上，所以，代入上式得
故的乘积为定值1.
22．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线C：的右焦点为，且C的一条渐近线恰好与直线垂直.
(1)求C的方程；
(2)直线l：与C的右支交于A，B两点，点D在C上，且轴.求证：直线BD过点F.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据焦点坐标及渐近线的斜率列式求解即可；
（2）设点的坐标，联立直线与双曲线方程，韦达定理，根据向量共线坐标运算得三点共线，即证.
【详解】（1）由焦点坐标为得，所以，
又双曲线C：的一条渐近线恰好与直线垂直，
得即，所以，
所以双曲线C的方程为，即.
（2）由题意可知直线l的斜率存在且不为0，所以，
设，，则，由（1）可知，双曲线C的渐近线为，
又直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，则，即.
联立，消去x得，
则，得，
，，则，
又，所以，，
所以，
所以，又，有公共点F，所以B，F，D三点共线，
所以直线BD过点F.

23．（2023上·河南驻马店·高二统考期末）已知圆，，动圆与圆，均外切，记圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)直线过点，且与曲线交于两点，满足，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两圆的位置关系结合双曲线的定义分析求解；
（2）不妨设，，，由可得，结合韦达定理运算求解.
【详解】（1）由题意可知：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
由条件可得，即，
则根据双曲线的定义可知，点是以，为焦点，以2为实轴长的双曲线的右支，
则，可得，
所以曲线的方程为．
（2）由（1）可知：双曲线的渐近线方程为，即，
由于且直线的斜率不等于0，
不妨设，，，
则，，
由可得，
联立方程，消去x得
则，由韦达定理可得，
由，解得，
代入可得，
解得，即，
因此直线，即.

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