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第一章 数与式
第一节 实数及其运算
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 实数的相关概念 ☆☆☆ 实数这一考点在中考数学中属于较为简单的一类考点，在中考，实数的分类及相关概念主要以选择题或填空题形式考查，比较简单；科学记数法、近似数多以选择题或填空题形式考查，有大数和小数两种形式，有时带“亿”“万”“千万”等单位，做题时要仔细审题，切忽略单位；实数的大小比较常以选择题形式出现，常与数轴结合考查；实数的运算考查形式多样，多数以解答题形式出现，结合绝对值、锐角三函数、二次根式、平方根、立方根等知识考查. 对于实数的复习，需要学生熟练掌握实数相关概念及其性质的应用、实数运算法则和顺序等考点.
考点2 科学记数法与近似数 ☆☆☆
考点3数轴、相反数、绝对值、倒数 ☆
考点4 平方根、算术平方根、立方根 ☆☆☆
考点5实数的大小比较 ☆☆☆
考点6实数的运算 ☆☆☆
1．实数的分类：
（1）按实数的定义分类：
（2） 按实数的性质分类：
2.实数的有关概念
(1)数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴．
与数轴上的点一一对应．
(2)相反数：如果两个数只有 不同，那么我们称其中一个数是另一个数的相反数．0的相反数是 ．若a，b互为相反数，则a＋b＝ ．在数轴上，表示相反数的两个数的点位于原点左右两侧，且到原点的距离相等
(3)倒数：1 一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数．若a，b互为倒数，则ab＝ ． 没有倒数．倒数等于本身的数是
(4)绝对值：一个数在数轴上对应的点到原点的 叫做这个数的绝对值．
|a|是一个非负数，即|a| ．
(5)平方根、算术平方根、立方根：
若x2＝a(a≥0)，则x是a的平方根，正数a有两个平方根，记做±，0的平方根是 ，负数没有平方根．其中是a的算术平方根，0的算术平方根是 ．
若x3＝a，则x是a的立方根，任何数都有立方根，a的立方根是3，正数有一个正立方根；0的立方根是0；负数有一个负立方根.
3.科学记数法与近似数
(1)科学记数法：
科学记数法就是把一个数表示成 的形式．
当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；
当原数绝对值小于1时，写成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）.
(2)近似数：一个近似数 到哪一位，就说这个数精确到哪一位．
注：近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0
4.实数的运算
(1)运算律：
加法交换律：a＋b＝ ；
加法结合律：(a＋b)＋c＝ ；
乘法交换律：ab＝ ；
乘法结合律：(ab)c＝ ；
分配律：a(b＋c)＝ ．
(2)实数的运算顺序：
实数的运算顺序是先算 ，再算 ，最后算 ．如果有括号，一般先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算 ，同级运算应 依次进行．
(3)零指数幂、负整数指数幂：
任何不等于零的数的零次幂都等于1，即a0＝ (a≠0)．任何不等于零的数的－p(p是正整数)次幂，等于这个数的p次幂的倒数，即a－p＝ (a≠0，p是正整数)．
5.实数的大小比较
(1)数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的 ．
(2)作差比较法：设a，b是任意实数，则a－b＞0 ；a－b<0 ；a－b＝0 ．
■考点一　实数的相关概念
◇典例1：（2023 老河口市模拟）下列实数中，是有理数的是（　　）
A．π B． C． D．
◆变式训练
1.（2023 云南）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向东走60米记作+60米，则向西走80米可记作（　　）
A．﹣80米 B．0米 C．80米 D．140米
2.（2023 沭阳县模拟）在3.14，﹣，，0这四个数中，属于无理数的是（　　）
A．3.14 B．﹣ C． D．0
（2023 武汉）写出一个小于4的正无理数是　 　．
■考点二 科学记数法与近似数
◇典例2：（2023 湖州）国家互联网信息办公室2023年5月23日发布的《数字中国发展报告（2022年）》显示，2022年我国数字经济规模达502000亿元．用科学记数法表示502000，正确的是（　　）
A．0.502×106 B．5.02×106 C．5.02×105 D．50.2×104
◆变式训练
1.（2023 温州）苏步青来自“数学家之乡”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000公里的行星命名为“苏步青星”．数据218000000用科学记数法表示为（　　）
A．0.218×109 B．2.18×108 C．21.8×102 D．218×106
2.（2023 日照）芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（　　）
A．1.4×10﹣8 B．14×10﹣7 C．0.14×10﹣6 D．1.4×10﹣9
■考点三 数轴、相反数、绝对值、倒数
◇典例3：1.（2023 广州）﹣（﹣2023）＝（　　）
A．﹣2023 B．2023 C． D．
2.（2023 哈尔滨）﹣的绝对值是（　　）
A． B．10 C．﹣ D．﹣10
◆变式训练
1．（2023 青海）﹣3的绝对值是 　　．
2．（2023 岳阳）2023的相反数是（　　）
A． B． C．2023 D．﹣2023
3．（2023 自贡）如图，数轴上点A表示的数是2023，OA＝OB，则点B表示的数是（　　）
A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣
■考点四　 平方根、立方根及实数的估算
◇典例4：（1） （2023 淄博）实数25的平方根是 　 　．
（2）（2023 湖州）已知a，b是两个连续整数，，则a+b的值是 　　．
◆变式训练
1．（2022 攀枝花）2的平方根是（　　）
A．2 B．±2 C． D．
2．（2023 浙江）﹣8的立方根是（　　）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．不存在
3．（2023 鄂州）计算：＝　4　．
4．（2023 宁夏）估计的值应在（　　）
A．3.5和4之间 B．4和4.5之间 C．4.5和5之间 D．5和5.5之间
■考点五　 实数的大小比较
◇典例5：（2023 绵阳）在实数0，，﹣π，中，最小的数是（　　）
A．﹣π B．0 C． D．
◆变式训练
1．（2023 扬州）已知a＝，b＝2，c＝，则a、b、c的大小关系是（　　）
A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a
■考点六　 实数的运算
◇典例5：（2023 台州）计算：．
◆变式训练
1．（2023 广西）计算：（﹣1）×（﹣4）+22÷（7﹣5）．
2.（2023 天津）的值等于（　　）
A．1 B． C． D．2
1．（2022 宁波）﹣2022的相反数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣2022 D．2022
2．（2023 衢州）手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：dBm），则下列信号最强的是（　　）
A．﹣50 B．﹣60 C．﹣70 D．﹣80
3．（2023 萧山区二模）的倒数是（　　）
A． B． C．﹣2023 D．2023
4．（2023 温州）如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
5．（2023 湖州）国家互联网信息办公室2023年5月23日发布的《数字中国发展报告（2022年）》显示，2022年我国数字经济规模达502000亿元．用科学记数法表示502000，正确的是（　　）
A．0.502×106 B．5.02×106 C．5.02×105 D．50.2×104
6．（2023 平湖市一模）近期爆发的流感病毒形状一般为球形，直径大约为0.000 000 102米，数0.000 000 102用科学记数法可表示为（　　）
A．1.02×10﹣7 B．1.02×107 C．1.02×10﹣8 D．1.02×108
7．（2021 湖州）化简的正确结果是（　　）
A．4 B．±4 C．2 D．±2
8．（2023 嘉兴）下面四个数中，比1小的正无理数是（　　）
A． B．﹣ C． D．
9．（2022 舟山）估计的值在（　　）
A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间
10．（2023 丽水）计算：|﹣|+（﹣2023）0+2﹣1．
11．（2023 西湖区三模）计算6+（），嘉琪同学的计算过程如下，原式＝6+（）+6+＝﹣12+18＝6．请你判断嘉琪的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．
12．（2023 东阳市三模）计算：|﹣2|﹣（﹣2）0+tan45°+．
1．（2023 大同模拟）公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示．后来，这一学派的希帕索斯发现，边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示，由此引发了第一次数学危机．这里“不能用整数或整数的比表示的数”是指（　　）
A．质数 B．负数 C．无理数 D．有理数
2．（2023 辽宁）2的绝对值是（　　）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
3．（2023 青岛）的相反数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣7 D．7
4．（2023 怀化）2023年4月12日21时，正在运行的中国大科学装置“人造太阳”——世界首个全超导托卡马克东方超环（EAST）装置取得重大成果，在第122254次实验中成功实现了403秒稳态长脉冲高约束模式等离子体运行，创造了托卡马克装置高约束模式运行新的世界纪录．数据122254用科学记数法表示为（　　）
A．12.2254×104 B．1.22254×104 C．1.22254×105 D．0.122254×106
5．（2023 遂宁）纳米是表示微小距离的单位，1纳米＝0.000001毫米，而1毫米相当于我们通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1纳米是多么的小．中科院物理所研究员解思深领导的研究组研制出世界上最细的碳纳米管一一直径0.5纳米．0.5纳米相当于0.0000005毫米，数据0.0000005用科学记数法可以表示为（　　）
A．0.5×10﹣6 B．0.5×10﹣7 C．5×10﹣6 D．5×10﹣7
6．（2023 淄博）﹣|﹣3|的运算结果等于（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
7．（2023 常州）下列实数中，其相反数比本身大的是（　　）
A．﹣2023 B．0 C． D．2023
8．（2023 锦江区二模）的算术平方根是（　　）
A．±6 B．6 C． D．
9．（2023 梧州一模）若，则a+b的值是（　　）
A．8 B．2 C．﹣8 D．﹣2
10．（2023 邵阳）的立方根是 　　．
11．（2023 衢州）计算：﹣1＝　　．
12．（2023 常州）计算：（﹣1）0+2﹣1＝　　．
13．（2023 扎兰屯市一模）如果，那么x+2y的算术平方根为 　　．
14．（2022 杭州）计算：（﹣6）×（﹣■）﹣23．
圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
（1）如果被污染的数字是，请计算（﹣6）×（﹣）﹣23．
（2）如果计算结果等于6，求被污染的数字．
15．（2023 衡水模拟）已知算式“（﹣9）×2﹣5”．
（1）嘉嘉将数字“5”抄错了，所得结果为﹣21，则嘉嘉把“5”错写成了 　　；
（2）淇淇不小心把运算符号“×”错看成了“+”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果大多少？
16．（2023 上海）计算：+﹣（）﹣2+|﹣3|．
17．（2023 北京）计算：4sin60°+（）﹣1+|﹣2|﹣．
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第一章 数与式
第一节 实数及其运算
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 实数的相关概念 ☆☆☆ 实数这一考点在中考数学中属于较为简单的一类考点，在中考，实数的分类及相关概念主要以选择题或填空题形式考查，比较简单；科学记数法、近似数多以选择题或填空题形式考查，有大数和小数两种形式，有时带“亿”“万”“千万”等单位，做题时要仔细审题，切忽略单位；实数的大小比较常以选择题形式出现，常与数轴结合考查；实数的运算考查形式多样，多数以解答题形式出现，结合绝对值、锐角三函数、二次根式、平方根、立方根等知识考查. 对于实数的复习，需要学生熟练掌握实数相关概念及其性质的应用、实数运算法则和顺序等考点.
考点2 科学记数法与近似数 ☆☆☆
考点3数轴、相反数、绝对值、倒数 ☆
考点4 平方根、算术平方根、立方根 ☆☆☆
考点5实数的大小比较 ☆☆☆
考点6实数的运算 ☆☆☆
1．实数的分类：
（1）按实数的定义分类：
（2） 按实数的性质分类：
2.实数的有关概念
(1)数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴．
实数与数轴上的点一一对应．
(2)相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数是另一个数的相反数．0的相反数是__0 ．若a，b互为相反数，则a＋b＝ 0 ．在数轴上，表示相反数的两个数的点位于原点左右两侧，且到原点的距离相等
(3)倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数．若a，b互为倒数，则ab＝1． 0 没有倒数．倒数等于本身的数是1或－1
(4)绝对值：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．
|a|是一个非负数，即|a|≥0．
(5)平方根、算术平方根、立方根：
若x2＝a(a≥0)，则x是a的平方根，正数a有两个平方根，记做±，0的平方根是0，负数没有平方根．其中是a的算术平方根，0的算术平方根是0．
若x3＝a，则x是a的立方根，任何数都有立方根，a的立方根是3，正数有一个正立方根；0的立方根是0；负数有一个负立方根.
3.科学记数法与近似数
(1)科学记数法：
科学记数法就是把一个数表示成 (1≤|a|＜10)的形式．
当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；
当原数绝对值小于1时，写成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）.
(2)近似数：一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪一位．
注：近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0
4.实数的运算
(1)运算律：
加法交换律：a＋b＝b＋a；
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
乘法交换律：ab＝ba；
乘法结合律：(ab)c＝a(bc)；
分配律：a(b＋c)＝ab＋ac．
(2)实数的运算顺序：
实数的运算顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果有括号，一般先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算大括号里面的，同级运算应从左到右依次进行．
(3)零指数幂、负整数指数幂：
任何不等于零的数的零次幂都等于1，即a0＝1(a≠0)．任何不等于零的数的－p(p是正整数)次幂，等于这个数的p次幂的倒数，即a－p＝(a≠0，p是正整数)．
5.实数的大小比较
(1)数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的 大 ．
(2)作差比较法：设a，b是任意实数，则a－b＞0 a>b；a－b<0 a■考点一　实数的相关概念
◇典例1：（2023 老河口市模拟）下列实数中，是有理数的是（　　）
A．π B． C． D．
【考点】实数．
【答案】B
【点拨】根据有理数和无理数的意义，逐一判断即可解答．
【解析】解：π，，是无理数，是有理数．
故选：B．
【点睛】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．
◆变式训练
1.（2023 云南）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向东走60米记作+60米，则向西走80米可记作（　　）
A．﹣80米 B．0米 C．80米 D．140米
【考点】正数和负数．
【答案】A
【点拨】正数和负数可以表示具有相反意义的量，据此即可得出答案．
【解析】解：∵向东走60米记作+60米，
∴向西走80米可记作﹣80米，
故选：A．
【点睛】本题考查正数与负数的实际意义，明确正数和负数是一对具有相反意义的量最为关键．
2.（2023 沭阳县模拟）在3.14，﹣，，0这四个数中，属于无理数的是（　　）
A．3.14 B．﹣ C． D．0
【考点】无理数；算术平方根．
【答案】C
【点拨】根据无理数的定义判断即可．
【解析】解：在3.14，﹣，，0这四个数中，属于无理数的是．
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数，掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．
3.（2023 武汉）写出一个小于4的正无理数是　（答案不唯一）　．
【考点】无理数．
【答案】（答案不唯一）．
【点拨】由于无理数是无限不循环小数，根据此定义即可找出一个比4小的无理数．
【解析】解：一个小于4的正无理数是（答案不唯一）．
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，以及无理数的特征和应用，解答此题的关键是要明确：无限不循环小数叫做无理数．
■考点二 科学记数法与近似数
◇典例2：（2023 湖州）国家互联网信息办公室2023年5月23日发布的《数字中国发展报告（2022年）》显示，2022年我国数字经济规模达502000亿元．用科学记数法表示502000，正确的是（　　）
A．0.502×106 B．5.02×106 C．5.02×105 D．50.2×104
【考点】科学记数法．
【答案】C
【点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【解析】解：502000＝5.02×105，
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
◆变式训练
1.（2023 温州）苏步青来自“数学家之乡”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000公里的行星命名为“苏步青星”．数据218000000用科学记数法表示为（　　）
A．0.218×109 B．2.18×108 C．21.8×102 D．218×106
【考点】科学记数法
【答案】B
【点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解析】解：将218000000用科学记数法表示为2.18×108．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2.（2023 日照）芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（　　）
A．1.4×10﹣8 B．14×10﹣7 C．0.14×10﹣6 D．1.4×10﹣9
【考点】科学记数法．
【答案】A
【点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解析】解：0.000000014＝1.4×10﹣8．
故选：A．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
■考点三 数轴、相反数、绝对值、倒数
◇典例3：1.（2023 广州）﹣（﹣2023）＝（　　）
A．﹣2023 B．2023 C． D．
【考点】相反数．
【答案】B
【点拨】根据负数的相反数是正数解答即可．
【解析】解：﹣（﹣2023）＝2023，
故选：B．
【点睛】本题考查相反数等知识，掌握相反数的概念是解题的关键．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数数是0．
2.（2023 哈尔滨）﹣的绝对值是（　　）
A． B．10 C．﹣ D．﹣10
【考点】绝对值．
【答案】A
【点拨】负数的绝对值等于它的相反数，据此即可求得答案．
【解析】解：|﹣|＝﹣（﹣）＝，
故选：A．
【点睛】本题考查绝对值，熟练掌握绝对值的定义及性质是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023 青海）﹣3的绝对值是 　3　．
【考点】绝对值．
【答案】3．
【点拨】根据绝对值的定义即可求得答案．
【解析】解：|﹣3|＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查绝对值，掌握绝对值的定义是解题关键．
2．（2023 岳阳）2023的相反数是（　　）
A． B． C．2023 D．﹣2023
【考点】相反数．
【答案】D
【点拨】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
【解析】解：2023的相反数是﹣2023．
故选：D．
【点睛】本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
3．（2023 自贡）如图，数轴上点A表示的数是2023，OA＝OB，则点B表示的数是（　　）
A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣
【考点】数轴．
【答案】B
【点拨】结合已知条件，根据实数与数轴的对应关系即可求得答案．
【解析】解：∵OA＝OB，点A表示的数是2023，
∴OB＝2023，
∵点B在O点左侧，
∴点B表示的数为：0﹣2023＝﹣2023，
故选：B．
【点睛】本题主要考查实数与数轴的对应关系，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
■考点四　 平方根、立方根及实数的估算
◇典例4：（1） （2023 淄博）实数25的平方根是 　±5　．
【考点】平方根．
【答案】±5
【点拨】根据平方根的定义求解即可．
【解析】解：∵（±5）2＝25，
∴25的平方根是±5．
故答案为：±5．
【点睛】本题考查了平方根的知识，属于基础题，关键是熟练掌握基础概念．
（2）（2023 湖州）已知a，b是两个连续整数，，则a+b的值是 　9　．
【考点】估算无理数的大小．
【答案】9．
【点拨】a与b为整数，且＜＜，故可以得到a与b的值．
【解析】解：由题可知，
∵4＜＜5，
∴a＝4，b＝5，
故a+b＝9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握无理数的取值方法是解题的关键．
◆变式训练
1．（2022 攀枝花）2的平方根是（　　）
A．2 B．±2 C． D．
【考点】平方根．
【答案】D
【点拨】根据平方根的定义即可求解．
【解析】解：因为（±）2＝2，
所以2的平方根是，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．
2．（2023 浙江）﹣8的立方根是（　　）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．不存在
【考点】立方根．
【答案】A
【点拨】根据立方根的定义求出的值，即可得出答案．
【解析】解：﹣8的立方根是＝＝﹣2，
故选：A．
【点睛】本题考查了对立方根的定义的理解和运用，明确a的立方根是是解题的关键．
3．（2023 鄂州）计算：＝　4　．
【考点】算术平方根．
【答案】4
【点拨】根据算术平方根的概念去解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
【解析】解：∵42＝16，
∴＝4，
故答案为4．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
4．（2023 宁夏）估计的值应在（　　）
A．3.5和4之间 B．4和4.5之间 C．4.5和5之间 D．5和5.5之间
【考点】估算无理数的大小．
【答案】C
【点拨】运用算术平方根的知识进行估算、求解．
【解析】解：∵4.52＝20.25，52＝25，
且20.25＜23＜25，
∴4.5＜＜5，
故选：C．
【点睛】此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用算术平方根进行求解．
■考点五　 实数的大小比较
◇典例5：（2023 绵阳）在实数0，，﹣π，中，最小的数是（　　）
A．﹣π B．0 C． D．
【考点】实数大小比较；算术平方根．
【答案】A
【点拨】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解析】解：根据实数比较大小的方法，可得：﹣π＜0＜＜，
所以在实数0，，﹣π，中，最小的数是﹣π．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了实数大小比较的方法，明确正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小是解答的关键．
◆变式训练
1．（2023 扬州）已知a＝，b＝2，c＝，则a、b、c的大小关系是（　　）
A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a
【考点】实数大小比较；算术平方根．
【答案】C
【点拨】一个正数越大，其算术平方根越大，据此进行判断即可．
【解析】解：∵3＜4＜5，
∴＜＜，
即＜2＜，
则a＞b＞c，
故选：C．
【点睛】本题考查实数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
■考点六　 实数的运算
◇典例5：（2023 台州）计算：．
【考点】实数的运算．
【答案】2．
【点拨】根据有理数的乘方，绝对值的性质，算术平方根进行计算即可．
【解析】解：22+|﹣3|﹣
＝4+3﹣
＝4+3﹣5
＝7﹣5
＝2．
【点睛】本题考查实数的运算，实数的相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
◆变式训练
1．（2023 广西）计算：（﹣1）×（﹣4）+22÷（7﹣5）．
【考点】有理数的混合运算．
【答案】6
【点拨】先算括号里面的，再算乘方，乘除，最后算加减即可．
【解析】解：原式＝（﹣1）×（﹣4）+4÷2
＝4+2
＝6．
【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的顺序是解题的关键．
2.（2023 天津）的值等于（　　）
A．1 B． C． D．2
【考点】实数的运算所有
【答案】B
【点拨】根据特殊锐角的三角函数值及二次根式的加法法则计算即可．
【解析】解：原式＝+
＝，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的运算及特殊锐角的三角函数，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
1．（2022 宁波）﹣2022的相反数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣2022 D．2022
【考点】相反数．
【答案】D
【点拨】根据相反数的定义直接求解．
【解析】解：﹣2022的相反数是2022，
故选：D．
【点睛】本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答此题的关键．
2．（2023 衢州）手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：dBm），则下列信号最强的是（　　）
A．﹣50 B．﹣60 C．﹣70 D．﹣80
【考点】正数和负数；绝对值．
【答案】A
【点拨】先求出各个选项中数的绝对值，然后进行比较，根据绝对值越小表示信号越强，找出信号最强的即可．
【解析】解：∵|﹣50|＝50，|﹣60|＝60，|﹣70|＝70，|﹣80|＝80，50＜60＜70＜80，
∴信号最强的是﹣50，
故答案为：A．
【点睛】本题主要考查了绝对值，解题关键是熟练掌握绝对值的性质．
3．（2023 萧山区二模）的倒数是（　　）
A． B． C．﹣2023 D．2023
【考点】倒数．
【答案】D
【点拨】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．
【解析】解：的倒数是2023．
故选：D．
【点睛】本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．
4．（2023 温州）如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】有理数的加法；数轴．
【答案】D
【点拨】结合数轴得出A对应的数，再利用有理数的加法计算得出答案．
【解析】解：由数轴可得：A表示﹣1，则比数轴上点A表示的数大3的数是：﹣1+3＝2．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了有理数的加法以及数轴，正确掌握有理数的加法是解题关键．
5．（2023 湖州）国家互联网信息办公室2023年5月23日发布的《数字中国发展报告（2022年）》显示，2022年我国数字经济规模达502000亿元．用科学记数法表示502000，正确的是（　　）
A．0.502×106 B．5.02×106 C．5.02×105 D．50.2×104
【考点】科学记数法．
【答案】C
【点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【解析】解：502000＝5.02×105，
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
6．（2023 平湖市一模）近期爆发的流感病毒形状一般为球形，直径大约为0.000 000 102米，数0.000 000 102用科学记数法可表示为（　　）
A．1.02×10﹣7 B．1.02×107 C．1.02×10﹣8 D．1.02×108
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【答案】A
【点拨】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解析】解：0.000 000 102＝1.02×10﹣7．
故选：A．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
7．（2021 湖州）化简的正确结果是（　　）
A．4 B．±4 C．2 D．±2
【考点】算术平方根．
【答案】C
【点拨】根据二次根式的性质化简即可．
【解析】解：＝＝×＝2，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，算术平方根，解题时注意：算术平方根与平方根的区别．
8．（2023 嘉兴）下面四个数中，比1小的正无理数是（　　）
A． B．﹣ C． D．
【考点】实数大小比较；算术平方根；无理数．
【答案】A
【点拨】无理数即无限不循环的小数，结合实数比较大小的方法进行判断即可．
【解析】解：A．∵1＞，
∴＞，
即1＞，且是正无理数，
则A符合题意；
B．﹣是负数，
则B不符合题意；
C．是分数，不是无理数，
则C不符合题意；
D．∵π＞3，
∴＞1，
则D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查无理数的定义及实数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
9．（2022 舟山）估计的值在（　　）
A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间
【考点】估算无理数的大小．
【答案】C
【点拨】根据无理数的估算分析解题．
【解析】解：∵4＜6＜9，
∴＜＜，
∴2＜＜3，
故选：C．
【点睛】本题考查无理数的估算，理解算术平方根的概念是解题关键．
10．（2023 丽水）计算：|﹣|+（﹣2023）0+2﹣1．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
【答案】2．
【点拨】根据实数的相关运算法则进行计算即可．
【解析】解：原式＝+1+
＝1+1
＝2．
【点睛】本题考查实数的运算，实数运算的相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
11．（2023 西湖区三模）计算6+（），嘉琪同学的计算过程如下，原式＝6+（）+6+＝﹣12+18＝6．请你判断嘉琪的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．
【考点】有理数的加减混合运算．
【答案】5
【点拨】先判断嘉琪的做法是否正确，然后根据去括号的法则和有理数加减法的法则可以解答本题．
【解析】解：嘉琪的计算过程错误，
正确的过程如下：
6+（）
＝
＝5．
【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，解答本题的关键是明确有理数加减混合运算的计算方法．
12．（2023 东阳市三模）计算：|﹣2|﹣（﹣2）0+tan45°+．
【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
【答案】5．
【点拨】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解析】解：|﹣2|﹣（﹣2）0+tan45°+
＝2﹣1+1+3
＝5．
【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
1．（2023 大同模拟）公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示．后来，这一学派的希帕索斯发现，边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示，由此引发了第一次数学危机．这里“不能用整数或整数的比表示的数”是指（　　）
A．质数 B．负数 C．无理数 D．有理数
【考点】实数．
【答案】C
【点拨】根据实数的分类及无理数的定义解答即可．
【解析】解：不能用整数或整数的比表示的数”是指无理数．
故选：C．
【点睛】本题考查的是实数，熟知无限不循环小数叫无理数是解题的关键．
2．（2023 辽宁）2的绝对值是（　　）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
【考点】绝对值．
【答案】D
【点拨】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解析】解：∵2＞0，
∴|2|＝2．
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，任何一个数的绝对值一定是非负数，所以2的绝对值是2．部分学生易混淆相反数、绝对值、倒数的意义．
3．（2023 青岛）的相反数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣7 D．7
【考点】相反数．
【答案】A
【点拨】根据实数a的相反数是﹣a进行求解．
【解析】解：的相反数是﹣，
故选：A．
【点睛】此题考查了实数相反数的求解能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
4．（2023 怀化）2023年4月12日21时，正在运行的中国大科学装置“人造太阳”——世界首个全超导托卡马克东方超环（EAST）装置取得重大成果，在第122254次实验中成功实现了403秒稳态长脉冲高约束模式等离子体运行，创造了托卡马克装置高约束模式运行新的世界纪录．数据122254用科学记数法表示为（　　）
A．12.2254×104 B．1.22254×104 C．1.22254×105 D．0.122254×106
【考点】科学记数法．
【答案】C
【点拨】将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
【解析】解：122254＝1.22254×105，
故选：C．
【点睛】本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
5．（2023 遂宁）纳米是表示微小距离的单位，1纳米＝0.000001毫米，而1毫米相当于我们通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1纳米是多么的小．中科院物理所研究员解思深领导的研究组研制出世界上最细的碳纳米管一一直径0.5纳米．0.5纳米相当于0.0000005毫米，数据0.0000005用科学记数法可以表示为（　　）
A．0.5×10﹣6 B．0.5×10﹣7 C．5×10﹣6 D．5×10﹣7
【考点】科学记数法．
【答案】D
【点拨】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解析】解：将0.0000005用科学记数法表示为5×10﹣7．
故选：D．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
6．（2023 淄博）﹣|﹣3|的运算结果等于（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
【考点】绝对值；相反数．
【答案】B
【点拨】利用绝对值的性质可得出答案．
【解析】解：﹣|﹣3|＝﹣3，
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键．
7．（2023 常州）下列实数中，其相反数比本身大的是（　　）
A．﹣2023 B．0 C． D．2023
【考点】实数大小比较；相反数．
【答案】A
【点拨】求得各项的相反数后与原数比较大小即可．
【解析】解：﹣2023的相反数为2023＞﹣2023，则A符合题意；
0的相反数为0，则B不符合题意；
的相反数为﹣＜，则C不符合题意；
2023的相反数为﹣2023＜2023，则D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查有理数的大小比较及相反数，熟练掌握比较有理数大小的方法是解题的关键．
8．（2023 锦江区二模）的算术平方根是（　　）
A．±6 B．6 C． D．
【考点】算术平方根．
【答案】D
【点拨】先求出36的算术平方根＝6，然后再求6的算术平方根即可．
【解析】解：∵＝6，
∴6的算术平方根为．
故选：D．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义：一个正数的正的平方根叫这个数的算术平方根．
9．（2023 梧州一模）若，则a+b的值是（　　）
A．8 B．2 C．﹣8 D．﹣2
【考点】非负数的性质．
【答案】B
【点拨】根据算术平方根和绝对值的非负性即可求出a和b的值，再代入a+b中求解即可．
【解析】解：∵，a+3≥0，|b﹣5|≥0，
∴a+3＝0，b﹣5＝0，
∴a＝﹣3，b＝5，
∴a+b＝﹣3+5＝2．
故选：B．
【点睛】本题考查非负数的性质，代数式求值．掌握算术平方根和绝对值的非负性是解题关键．
10．（2023 邵阳）的立方根是 　2　．
【考点】立方根；算术平方根．
【答案】2．
【点拨】先求出的值，再根据立方根的定义解答即可．
【解析】解：＝8，
＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是立方根及算术平方根，熟知如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根是解题的关键．
11．（2023 衢州）计算：﹣1＝　1　．
【考点】实数的运算．
【答案】1．
【点拨】先计算＝2，再进行计算即可．
【解析】解：﹣1＝2﹣1＝1．
【点睛】本题考查实数的运算，掌握二次根式的定义是解题的关键．
12．（2023 常州）计算：（﹣1）0+2﹣1＝　1　．
【考点】实数的运算．
【答案】1．
【点拨】先计算零指数幂和负整数指数幂，再合并即可．
【解析】解：原式＝1+＝1．
【点睛】此题考查的是实数的运算、零指数幂、负整数指数幂，掌握其运算法则是解决此题的关键．
13．（2023 扎兰屯市一模）如果，那么x+2y的算术平方根为 　　．
【考点】非负数的性质．
【答案】
【点拨】先根据非负数的性质求出x，y的值，再代入x+2y求值，根据算术平方根的定义即可得出结论．
【解析】解：由题意得，x+5＝0，y﹣6＝0，
∴x＝﹣5，y＝6，
∴x+2y＝﹣5+12＝7，
∴x+2y的算术平方根为．
【点睛】本题考查的是算术平方根和非负数的性质，熟知任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．
14．（2022 杭州）计算：（﹣6）×（﹣■）﹣23．
圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
（1）如果被污染的数字是，请计算（﹣6）×（﹣）﹣23．
（2）如果计算结果等于6，求被污染的数字．
【考点】有理数的混合运算；一元一次方程的应用．
【答案】（1）﹣9；
（2）3．
【点拨】（1）将被污染的数字代入原式，根据有理数的混合运算即可得出答案；
（2）设被污染的数字为x，根据计算结果等于6列出方程，解方程即可得出答案．
【解析】解：（1）（﹣6）×（﹣）﹣23
＝（﹣6）×﹣8
＝﹣1﹣8
＝﹣9；
（2）设被污染的数字为x，
根据题意得：（﹣6）×（﹣x）﹣23＝6，
解得：x＝3，
答：被污染的数字是3．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，体现了方程思想，设被污染的数字为x，根据计算结果等于6列出方程是解题的关键．
15．（2023 衡水模拟）已知算式“（﹣9）×2﹣5”．
（1）嘉嘉将数字“5”抄错了，所得结果为﹣21，则嘉嘉把“5”错写成了 　3　；
（2）淇淇不小心把运算符号“×”错看成了“+”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果大多少？
【考点】有理数的混合运算．
【答案】（1）3 （2）11
【点拨】（1）将数字“5”改成空格，采用有理数的运算可以得到结果．
（2）重新计算得结果，再作差运算得到结果．
【解析】解：（1）（﹣9）×2﹣——＝﹣21
——＝（﹣9）×2﹣（﹣21）
——＝﹣18+21
——＝3，
所以把“5”错写成了“3”，
故答案为：3；
（2）原题正确结果（﹣9）×2﹣5＝﹣18﹣5＝﹣23，
淇淇的结果：（﹣9）+2﹣5＝﹣12，
﹣12﹣（﹣23）＝﹣12+23＝11，
所以结果比原题的正确结果大11．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．
16．（2023 上海）计算：+﹣（）﹣2+|﹣3|．
【考点】实数的运算．
【答案】﹣6．
【点拨】根据立方根定义，二次根式的化简，负整数指数幂，绝对值的性质进行计算即可．
【解析】解：原式＝2+﹣9+3﹣
＝2+﹣2﹣9+3﹣
＝﹣6．
【点睛】本题考查实数的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
17．（2023 北京）计算：4sin60°+（）﹣1+|﹣2|﹣．
【考点】实数的运算．
【答案】5．
【点拨】根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质计算．
【解析】解：原式＝4×+3+2﹣2
＝2+3+2﹣2
＝5．
【点睛】本题考查的是实数的运算，熟记特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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