资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第一章 数与式
第二节 整式与因式分解
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 代数式相关概念 ☆☆☆ 中考数学中，整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考察整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大. 因式分解作为整式乘法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现，而且一般只考察因式分解的前两步， 拓展延伸部分基本不考，所以学生在复习这部分内容时，除了要扎实掌握好基础，更需要甄别好主次，合理安排复习方向.
考点2 整式的相关概念 ☆☆☆
考点3 整式的运算 ☆
考点4 整式的化简求值 ☆☆☆
考点5 因式分解 ☆☆☆
1.代数式及相关概念
（1）代数式：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.
（2）代数式的值：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值.
整式及相关概念
（1）单项式：由 或 相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的 ，单项式中的数字因数叫做这个单项式的 ．
（2）多项式：由几个 组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数就是这个多项式的 ，不含字母的项叫做 ．
（3）整式： ．
3.整式的加减
（1）同类项：多项式中，所含 相同，并且 也相同的项，叫做同类项．所有的常数项都是同类项.
（2）合并同类项的法则：同类项的系数 ，所得的结果作为系数，字母和字母的 ．
（3）添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去) 括号不变号，括号外是“-”，添(去) 括号都变号.
（4）整式的加减法则：几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项
4.整式的乘除
（1）幂的运算性质：
①同底数幂相乘：am·an＝ (m，n都是整数，a≠0)．
②幂的乘方：(am)n＝ (m，n都是整数，a≠0)．
③积的乘方：(ab)n＝ (n是整数，a≠0，b≠0)．
④同底数幂相除：am÷an＝ (m，n都是整数，a≠0)．
（2）整式乘法：①单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
②单项式乘多项式：m(a＋b)＝ ．
③多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝ ．
（3）乘法公式：
①平方差公式：(a＋b)(a－b)＝ ． ②完全平方公式：(a±b)2＝ ．
③乘法公式的常见恒等变形：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab
(a－b)2＝(a＋b)2－4ab
（4）整式除法：
①单项式相除，把系数、同底数幂分别 ，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
②多项式除以单项式，先把这个多项式的 除以这个单项式，再把所得的商相加．
3.因式分解
（1）因式分解的概念：
把一个多项式化成几个 的形式，叫做因式分解．因式分解与 是互逆变形．
（2）因式分解的基本方法：
①提取公因式法：ma＋mb＋mc＝ ．
②公式法：运用平方差公式：a2－b2＝ ．
运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝ ．
（3）因式分解的一般步骤：
①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式．
②如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解；如果项数较多，要分组分解．
③分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式需写成幂的形式．
④意题中因式分解要求的范围，如在有理数范围内分解因式，x4－9＝(x2＋3)(x2－3)；在实数范围内分解因式，x4－9＝(x2＋3)(x＋)(x－)，题目不作说明的，一般是指在有理数范围内分解因式．
■考点一　代数式的相关概念
◇典例1： 1．（2023 永嘉县三模）买一个足球需m元，买一个篮球需n元，则买5个足球和4个篮球共需（　　）元．
A．9mn B．20mn C．5m+4n D．4m+5n
2．（2023 常德）若a2+3a﹣4＝0，则2a2+6a﹣3＝（　　）
A．5 B．1 C．﹣1 D．0
◆变式训练
1．（2023 上城区二模）某商品打九折后的价格为a元，则原价为（　　）
A．a元 B．元 C．0.3a元 D．元
2．（2023 瓯海区二模）小李家住房的结构如图所示，小李打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算，他至少需买多少平方米的木地板（　　）
A．12ab B．10ab C．8ab D．6ab
3．（2021 自贡）已知x2﹣3x﹣12＝0，则代数式﹣3x2+9x+5的值是（　　）
A．31 B．﹣31 C．41 D．﹣41
■考点二 整式的相关概念
◇典例2： （2022 鄞州区模拟）下列说法正确的是（　　）
A．3πxy的系数是3 B．3πxy的次数是3
C．﹣xy2的系数是﹣ D．﹣xy2的次数是2
◆变式训练
1．（2022 攀枝花）下列各式不是单项式的为（　　）
A．3 B．a C． D．x2y
2．（2021 绵阳）整式﹣3xy2的系数是（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣3x D．3x
3．（2022 荷塘区二模）多项式3x2y2﹣2xy2﹣xy的二次项系数为 　 　．
■考点三 整式的加减
◇典例3： 1．（2023 新昌县模拟）下列运算正确的是（　　）
A．2x﹣x＝2 B．2m+3m＝5m2 C．5xy﹣4xy＝xy D．2a+3b＝5ab
2．（2021 常州）计算：2a2﹣（a2+2）＝　 　．
◆变式训练
1．（2021 西湖区二模）计算2a2﹣a2的结果是（　　）
A．1 B．a C．a2 D．2a
2．（2023 婺城区一模）如图是一道关于整式运算的例题及正确的解答过程，其中A，B是两个关于x的二项式．
【例题】先去括号，再合并同类项：2（）﹣3（） 解：原式＝4x﹣6﹣9x﹣15＝　 　
（1）二项式A为 　 　，二项式B为 　 　．
（2）当x为何值时，A与B的值相等？
■考点四　 整式的乘除
◇典例4：1．（2022 宁波）下列计算正确的是（　　）
A．a3+a＝a4 B．a6÷a2＝a3 C．（a2）3＝a5 D．a3 a＝a4
2．（2023 宁波）计算：（a+3）（a﹣3）+a（1﹣a）．
◆变式训练
1．（2022 温州）化简（﹣a）3 （﹣b）的结果是（　　）
A．﹣3ab B．3ab C．﹣a3b D．a3b
2．（2022 湖州）下列各式的运算，结果正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．a2 a3＝a6 C．a3﹣a2＝a D．（2a）2＝4a2
3．（2021 台州）已知（a+b）2＝49，a2+b2＝25，则ab＝（　　）
A．24 B．48 C．12 D．2
4．（2021 湖州）计算：x（x+2）+（1+x）（1﹣x）．
■考点五　 整式的化简求值
◇典例4：（2022 丽水）先化简，再求值：（1+x）（1﹣x）+x（x+2），其中x＝．
◆变式训练
1．（2021 金华）已知x＝，求（3x﹣1）2+（1+3x）（1﹣3x）的值．
2．（2023 嘉兴、舟山）已知a2+3ab＝5，求（a+b）（a+2b）﹣2b2的值．
3．（2023 内蒙古）先化简，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中x＝﹣1，y＝+1．
■考点六　 因式分解
◇典例5：（2023 济宁）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（　　）
A．（a+3）2＝a2+6a+9
B．a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4
C．5ax2﹣5ay2＝5a（x+y）（x﹣y）
D．a2﹣2a﹣8＝（a﹣2）（a+4）
◆变式训练
1．（2023 金华模拟）下列代数式变形中，是因式分解的是（　　）
A．ab（b﹣2）＝ab2﹣ab B．3x﹣6y+3＝3（x﹣2y）
C．x2﹣3x+1＝x（x﹣3）+1 D．﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2
2．（2023 温州）分解因式：2a2﹣2a＝　 ）　．
3．（2022 富阳区二模）分解因式4y2+4y+1结果正确的是（　　）
A．（2y+1）2 B．（2y﹣1）2 C．（4y+1）2 D．（4y﹣1）2
4．（2021 杭州）因式分解：1﹣4y2＝（　　）
A．（1﹣2y）（1+2y） B．（2﹣y）（2+y）
C．（1﹣2y）（2+y） D．（2﹣y）（1+2y）
1．（2021 温州）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米（a+1.2）元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（　　）
A．20a元 B．（20a+24）元 C．（17a+3.6）元 D．（20a+3.6）元
2．（2021 金华）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（　　）
A．先打九五折，再打九五折 B．先提价50%，再打六折
C．先提价30%，再降价30% D．先提价25%，再降价25%
3．（2022 丽水）计算﹣a2 a的正确结果是（　　）
A．﹣a2 B．a C．﹣a3 D．a3
4．（2023 杭州）分解因式：4a2﹣1＝（　　）
A．（2a﹣1）（2a+1） B．（a﹣2）（a+2） C．（a﹣4）（a+1） D．（4a﹣1）（a+1）
5．（2022 义乌市模拟）下列各组式子中，是同类项的为（　　）
A．2a与2b B．2ab与﹣3ba C．a2b与2ab2 D．3a2b与a2bc
6．（2021 富阳区二模）计算﹣m2+4m2的结果为（　　）
A．3m2 B．﹣3m2 C．5m2 D．﹣5m2
7．（2022 台州）下列运算正确的是（　　）
A．a2 a3＝a5 B．（a2）3＝a8 C．（a2b）3＝a2b3 D．a6÷a3＝a2
8．（2023 台州）下列运算正确的是（　　）
A．2（a﹣1）＝2a﹣2 B．（a+b）2＝a2+b2 C．3a+2a＝5a2 D．（ab）2＝ab2
9．（2021 宁波模拟）下列因式分解正确的是（　　）
A．﹣x2+4x＝﹣x（x+4） B．x2+xy+x＝x（x+y）
C．x2﹣4x+4＝（x+2）（x﹣2） D．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2
10．（2022 金华模拟）下列各式能用公式法因式分解的是（　　）
A．x2﹣xy+y2 B．x2+2xy﹣y2 C．x2+xy+y2 D．﹣x2﹣y2
11．（2023 湖州）计算：（a+1）（a﹣1）＝　 　．
12．（2023 滨江区一模）以下是小明化简整式3x﹣2（x+y）的解答过程：
解：3x﹣2（x+y）＝3x﹣2x+y＝1+y，
小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
13．（2023 金华）已知，求（2x+1）（2x﹣1）+x（3﹣4x）的值．
14.（2023 嘉兴市、舟山市）观察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…
（1）写出192﹣172的结果；
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）；
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
15．（2023 丽水）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m＞n且满足am﹣bn＝2，an+bm＝4．
（1）若a＝3，b＝4，则图1阴影部分的面积是 　 　；
（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是 　　．
1．（2021 丽水）计算（﹣a）2 a4的结果是（　　）
A．a6 B．﹣a6 C．a8 D．﹣a8
2．（2023 鄂伦春自治旗一模）下列说法正确的是（　　）
A．0不是单项式 B．﹣abc的系数是﹣1，次数是3
C．﹣的系数是﹣ D．x2y的系数是0，次数是2
3．（2023 瓯海区二模）某企业今年1月份产值为a万元，2月份比1月份减少了10%，3月份比2月份增加了15%，则3月份的产值是（　　）
A．（a﹣10%）（a+15%）万元 B．a（1﹣90%）（1+85%）万元
C．a（1﹣10%）（1+15%）万元 D．a（1﹣10%+15%）万元
4．（2023 萧山区一模）植树节，某校需完成一定的植树任务，其中九年级共种了任务数的一半，八年级种了剩下任务数的，七年级共种了a棵树苗．则该校植树的任务数为（　　）棵．
A．6a B．5a C．4a D．3a
5．（2023 南通）若a2﹣4a﹣12＝0，则2a2﹣8a﹣8的值为（　　）
A．24 B．20 C．18 D．16
6．（2022 绍兴）下列计算正确的是（　　）
A．（a2+ab）÷a＝a+b B．a2 a＝a2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a3）2＝a5
7．（2022 钱塘区二模）下列说法中：（1）整数与分数统称为有理数；（2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；（3）多项式2x2y﹣xy是五次二项式；（4）倒数等于它本身的数是±1；（5）3m2n与﹣nm2是同类项，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023 玉溪三模）探索规律：观察下面的一列单项式：x、﹣2x2、4x3、﹣8x4、16x5、…，根据其中的规律得出的第8个单项式是（　　）
A．﹣64x8 B．64x8 C．128x8 D．﹣128x8
9．（2023 河北）若k为任意整数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（　　）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
10．（2023 平远县一模）单项式的系数是　　．
11．（2023 鄞州区模拟）分解因式：﹣x2y+6xy﹣9y＝　 　．
12．（2023 辽宁）分解因式：2m2﹣18＝　 　．
13．（2023 天台县一模）如表是某同学对式子6（x﹣2）﹣（2x+2）的化简过程：
解：原式＝6x﹣12﹣2x﹣2 ① ＝4x﹣14 ② ＝2x﹣7 ③
上面的化简过程中开始出现错误的是第 　　步，正确答案应该是 　 ．
14．（2021 衡阳）计算：（x+2y）2+（x﹣2y）（x+2y）+x（x﹣4y）．
15．（2022 金华）如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
（1）用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．
（2）当a＝3时，该小正方形的面积是多少？
16．（2022 丽水二模）如图1，将一个边长为10的正方形纸片剪去两个全等小长方形，得到图2，再将剪下的两个小长方形拼成一个长方形（图3），若图3的长方形周长为30，则b的值为 　　．
17．（2023 金华）如图是一块矩形菜地ABCD，AB＝a（m），AD＝b（m），面积为s（m2），现将边AB增加1m．
（1）如图1，若a＝5，边AD减少1m，得到的矩形面积不变，则b的值是　　．
（2）如图2，若边AD增加2m，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2s（m2），则s的值是　 　．
18．（2022 嘉兴）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45．
（1）尝试：
①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25；
③当a＝3时，352＝1225＝　 　；
…
（2）归纳：与100a（a+1）+25有怎样的大小关系？试说明理由．
（3）运用：若与100a的差为2525，求a的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第一章 数与式
第二节 整式与因式分解
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 代数式相关概念 ☆☆☆ 中考数学中，整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考察整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大. 因式分解作为整式乘法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现，而且一般只考察因式分解的前两步， 拓展延伸部分基本不考，所以学生在复习这部分内容时，除了要扎实掌握好基础，更需要甄别好主次，合理安排复习方向.
考点2整式的相关概念 ☆☆☆
考点3整式的运算 ☆
考点4 整式的化简求值 ☆☆☆
考点5因式分解 ☆☆☆
1.代数式及相关概念
（1）代数式：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.
（2）代数式的值：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值.
整式及相关概念
（1）单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
（2）多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数就是这个多项式的次数，不含字母的项叫做常数项．
（3）整式：单项式和多项式统称为整式．
3.整式的加减
（1）同类项：多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．所有的常数项都是同类项.
（2）合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去) 括号不变号，括号外是“-”，添(去) 括号都变号.
（4）整式的加减法则：几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项
4.整式的乘除
（1）幂的运算性质：
①同底数幂相乘：am·an＝am＋n(m，n都是整数，a≠0)．
②幂的乘方：(am)n＝amn(m，n都是整数，a≠0)．
③积的乘方：(ab)n＝an·bn(n是整数，a≠0，b≠0)．
④同底数幂相除：am÷an＝am－n(m，n都是整数，a≠0)．
（2）整式乘法：①单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
②单项式乘多项式：m(a＋b)＝ma＋mb．
③多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd．
（3）乘法公式：
①平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2． ②完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2．
③乘法公式的常见恒等变形：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab
(a－b)2＝(a＋b)2－4ab
（4）整式除法：
①单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
3.因式分解
（1）因式分解的概念：
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解．因式分解与整式的乘法是互逆变形．
（2）因式分解的基本方法：
①提取公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．
②公式法：运用平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2．
（3）因式分解的一般步骤：
①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式．
②如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解；如果项数较多，要分组分解．
③分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式需写成幂的形式．
④意题中因式分解要求的范围，如在有理数范围内分解因式，x4－9＝(x2＋3)(x2－3)；在实数范围内分解因式，x4－9＝(x2＋3)(x＋)(x－)，题目不作说明的，一般是指在有理数范围内分解因式．
■考点一　代数式的相关概念
◇典例1： 1．（2023 永嘉县三模）买一个足球需m元，买一个篮球需n元，则买5个足球和4个篮球共需（　　）元．
A．9mn B．20mn C．5m+4n D．4m+5n
【考点】列代数式．
【答案】C
【点拨】根据单价×数量＝金额表示出足球与篮球各自的费用，再将两个费用求和便可得总费用．
【解析】解：根据题意知买5个足球和4个篮球共需（5m+4n）元，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了列代数式，关键熟记单价×数量＝金额．
2．（2023 常德）若a2+3a﹣4＝0，则2a2+6a﹣3＝（　　）
A．5 B．1 C．﹣1 D．0
【考点】代数式求值．
【答案】A
【点拨】将已知条件变形可得a2+3a＝4，然后将2a2+6a﹣3变形为2（a2+3a）﹣3后代入数值计算即可．
【解析】解：∵a2+3a﹣4＝0，
∴a2+3a＝4，
∴2a2+6a﹣3
＝2（a2+3a）﹣3
＝2×4﹣3
＝5，
故选：A．
【点睛】本题考查代数式求值，将2a2+6a﹣3变形为2（a2+3a）﹣3是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023 上城区二模）某商品打九折后的价格为a元，则原价为（　　）
A．a元 B．元 C．0.3a元 D．元
【考点】列代数式．
【答案】D
【点拨】根据原价×打折＝售价可得原价＝售价÷打折，再代入相应数据可得答案．
【解析】解：根据题意知：a÷0.9＝（元），
故选：D．
【点睛】此题主要考查了列代数式，关键是掌握原价、售价、打折之间的关系，注意代数式的写法．
2．（2023 瓯海区二模）小李家住房的结构如图所示，小李打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算，他至少需买多少平方米的木地板（　　）
A．12ab B．10ab C．8ab D．6ab
【考点】列代数式．
【答案】A
【点拨】将住房的平面图分割，将不规则图形转化为规则图形，即卧室、客厅都是矩形，再根据矩形的面积计算公式分别计算即可．
【解析】解：客厅的面积为：4b×2a＝8ab．
卧室的面积为：2a×2b＝4ab．
所以需买木地板的面积为：8ab+4ab＝12ab．
故选：A．
【点睛】本题考查了根据几何图形列代数式，解题的关键是求出卧室的长，然后代入矩形的面积计算公式进行计算．
3．（2021 自贡）已知x2﹣3x﹣12＝0，则代数式﹣3x2+9x+5的值是（　　）
A．31 B．﹣31 C．41 D．﹣41
【考点】代数式求值．
【答案】B
【点拨】由已知可得：x2﹣3x＝12，将代数式适当变形，利用整体代入的思想进行运算即可得出结论．
【解析】解：∵x2﹣3x﹣12＝0，
∴x2﹣3x＝12．
原式＝﹣3（x2﹣3x）+5＝﹣3×12+5＝﹣36+5＝﹣31．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求代数式的值．利用整体代入的方法可使运算简便．
■考点二 整式的相关概念
◇典例2： （2022 鄞州区模拟）下列说法正确的是（　　）
A．3πxy的系数是3 B．3πxy的次数是3
C．﹣xy2的系数是﹣ D．﹣xy2的次数是2
【考点】单项式．
【答案】C
【点拨】根据单项式的系数和指数的定义解答即可．
【解析】解：A．系数应该是3π，不符合题意；
B．π是数字，次数应该是2，不符合题意；
C．正确，符合题意；
D．次数应该是3，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式的系数和指数的定义，注意π是数字．
◆变式训练
1．（2022 攀枝花）下列各式不是单项式的为（　　）
A．3 B．a C． D．x2y
【考点】单项式．
【答案】C
【点拨】根据单项式的概念判断即可．
【解析】解：A、3是单项式，故本选项不符合题意；
B、a是单项式，故本选项不符合题意；
C、不是单项式，故本选项符合题意；
D、x2y是单项式，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是单项式的概念，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
2．（2021 绵阳）整式﹣3xy2的系数是（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣3x D．3x
【考点】单项式．
【答案】A
【点拨】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，依此即可求解．
【解析】解：整式﹣3xy2的系数是﹣3．
故选：A．
【点睛】本题考查了单项式，在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
3．（2022 荷塘区二模）多项式3x2y2﹣2xy2﹣xy的二次项系数为 　﹣　．
【考点】多项式．
【答案】﹣．
【点拨】直接利用多项式的定义得出二次项进而得出答案．
【解析】解：∵多项式3x2y2﹣2xy2﹣xy的二次项是﹣xy，
∴二次项系数为：﹣．
故答案为：﹣．
【点睛】此题主要考查了多项式，正确找出二次项是解题的关键．
■考点三 整式的加减
◇典例3： 1．（2023 新昌县模拟）下列运算正确的是（　　）
A．2x﹣x＝2 B．2m+3m＝5m2 C．5xy﹣4xy＝xy D．2a+3b＝5ab
【考点】合并同类项．
【答案】C
【点拨】根据合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数之和，且字母连同它的指数不变即可求解．
【解析】解：A．2x﹣x＝x，选项A不符合题意；
B．2m+3m＝5m，选项B不符合题意；
C．5xy﹣4xy＝xy，选项C符合题意；
D．2a+3b不是同类项，不能合并，选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，掌握同类项的法则是解题的关键．
2．（2021 常州）计算：2a2﹣（a2+2）＝　a2﹣2　．
【考点】整式的加减．
【答案】a2﹣2．
【点拨】整式的加减混合运算，先去括号，然后合并同类项进行化简．
【解析】解：原式＝2a2﹣a2﹣2＝a2﹣2，
故答案为：a2﹣2．
【点睛】本题考查整式的加减运算，掌握去括号法则是解题基础．
◆变式训练
1．（2021 西湖区二模）计算2a2﹣a2的结果是（　　）
A．1 B．a C．a2 D．2a
【考点】合并同类项．
【答案】C
【点拨】根据合并同类项的法则：系数相加作为系数，字母和字母的指数不变，即可求解．
【解析】解：2a2﹣a2＝（2﹣1）a2＝a2．
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项的法则，理解法则是关键．
2．（2023 婺城区一模）如图是一道关于整式运算的例题及正确的解答过程，其中A，B是两个关于x的二项式．
【例题】先去括号，再合并同类项：2（）﹣3（） 解：原式＝4x﹣6﹣9x﹣15＝　﹣5x﹣21　
（1）二项式A为 　2x﹣3　，二项式B为 　3x+5　．
（2）当x为何值时，A与B的值相等？
【考点】整式的加减．
【答案】﹣5x﹣21．
（1）2x﹣3；3x+5．
（2）x＝﹣8．
【点拨】（1）逆运用乘法的分配律，确定A、B；
（2）解一元一次方程即可．
【解析】解：4x﹣6﹣9x﹣15＝﹣5x﹣21．
故答案为：﹣5x﹣21．
（1）4x﹣6﹣9x﹣15
＝（4x﹣6）﹣（9x+15）
＝2（2x﹣3）﹣3（3x+5）．
∴A＝2x﹣3，B＝3x+5．
故答案为：2x﹣3；3x+5．
（2）2x﹣3＝3x+5，
移项，得﹣x＝8．
∴x＝﹣8．
答：当x＝﹣8时，A与B的值相等．
【点睛】本题主要考查了与整式相关的运算，掌握提公因式法和一元一次方程的解法是解决本题的关键．
■考点四　 整式的乘除
◇典例4：1．（2022 宁波）下列计算正确的是（　　）
A．a3+a＝a4 B．a6÷a2＝a3 C．（a2）3＝a5 D．a3 a＝a4
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【答案】D
【点拨】根据合并同类项判断A选项；根据同底数幂的除法判断B选项；根据幂的乘方判断C选项；根据同底数幂的乘法判断D选项．
【解析】解：A选项，a3与a不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝a4，故该选项不符合题意；
C选项，原式＝a6，故该选项不符合题意；
D选项，原式＝a4，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握am an＝am+n是解题的关键．
2．（2023 宁波）计算：（a+3）（a﹣3）+a（1﹣a）．
【考点】平方差公式；单项式乘多项式．
【答案】）a﹣9．
【点拨】根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则计算即可．
【解析】（a+3）（a﹣3）+a（1﹣a）
＝a2﹣9+a﹣a2
＝a﹣9．
【点睛】整式的混合运算，解题的关键是掌握平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则．
◆变式训练
1．（2022 温州）化简（﹣a）3 （﹣b）的结果是（　　）
A．﹣3ab B．3ab C．﹣a3b D．a3b
【考点】单项式乘单项式．
【答案】D
【点拨】先化简乘方，再根据单项式乘单项式的法则计算即可．
【解析】解：原式＝﹣a3 （﹣b）
＝a3b．
故选：D．
【点睛】本题考查单项式乘单项式，掌握单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式是解题的关键．
2．（2022 湖州）下列各式的运算，结果正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．a2 a3＝a6 C．a3﹣a2＝a D．（2a）2＝4a2
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
【答案】D
【点拨】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则、积的乘方运算法则，分别计算得出答案．
【解析】解：A．a2+a3，无法合并，故此选项不合题意；
B．a2 a3＝a5，故此选项不合题意；
C．a3﹣a2，无法合并，故此选项不合题意；
D．（2a）2＝4a2，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘法运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（2021 台州）已知（a+b）2＝49，a2+b2＝25，则ab＝（　　）
A．24 B．48 C．12 D．2
【考点】完全平方公式．
【答案】C
【点拨】根据题中条件，结合完全平方公式，先计算出2ab的值，然后再除以2即可求出答案．
【解析】解：（a+b）2＝a2+2ab+b2，将a2+b2＝25，（a+b）2＝49代入，可得
2ab+25＝49，
则2ab＝24，
所以ab＝12，
故选：C．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，根据题中条件，变换形式即可．
4．（2021 湖州）计算：x（x+2）+（1+x）（1﹣x）．
【考点】平方差公式；单项式乘多项式．
【答案】2x+1
【点拨】根据单项式乘多项式和平方差公式化简即可．
【解析】解：原式＝x2+2x+1﹣x2
＝2x+1．
【点睛】本题考查了平方差公式，单项式乘多项式，牢记平方差公式的结构特点是解题的关键．
■考点五　 整式的化简求值
◇典例4：（2022 丽水）先化简，再求值：（1+x）（1﹣x）+x（x+2），其中x＝．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【答案】1+2x；2．
【点拨】先根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则化简，再把x＝代入计算即可．
【解析】解：（1+x）（1﹣x）+x（x+2）
＝1﹣x2+x2+2x
＝1+2x，
当x＝时，原式＝1+＝1+1＝2．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．
◆变式训练
1．（2021 金华）已知x＝，求（3x﹣1）2+（1+3x）（1﹣3x）的值．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【答案】﹣6x+2，1．
【点拨】根据完全平方公式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解析】解：（3x﹣1）2+（1+3x）（1﹣3x）
＝9x2﹣6x+1+1﹣9x2
＝﹣6x+2，
当x＝时，原式＝﹣6×+2＝﹣1+2＝1．
【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
2．（2023 嘉兴、舟山）已知a2+3ab＝5，求（a+b）（a+2b）﹣2b2的值．
【考点】多项式乘多项式
【答案】5．
【点拨】将原代数式化简整理后结合已知条件即可求得答案．
【解析】∵a2+3ab＝5，
∴（a+b）（a+2b）﹣2b2
＝a2+2ab+ab+2b2﹣2b2
＝a2+3ab
＝5．
【点睛】本题考查整式的化简求值，整式的运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
3．（2023 内蒙古）先化简，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中x＝﹣1，y＝+1．
【考点】整式的混合运算—化简求值；分母有理化．
【答案】9xy，45．
【点拨】根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式的运算法则以及合并同类项法则把原式化简，把x、y的值代入计算即可．
【解析】解：原式＝4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy
＝9xy，
当x＝﹣1，y＝﹣1时，原式＝9（﹣1）（+1）＝9×（6﹣1）＝45．
【点睛】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
■考点六　 因式分解
◇典例5：（2023 济宁）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（　　）
A．（a+3）2＝a2+6a+9
B．a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4
C．5ax2﹣5ay2＝5a（x+y）（x﹣y）
D．a2﹣2a﹣8＝（a﹣2）（a+4）
【考点】因式分解﹣十字相乘法等；提公因式法与公式法的综合运用．
【答案】C
【点拨】本题考查因式分解﹣十字相乘，提公因式等相关知识．
【解析】解：A：（a+3）2＝a2+6a+9是完全平方公式，不是因式分解的形式，故选项A错误，
B：a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，故选项B错误，
C：5ax2﹣5ay2＝5a（x2﹣y2）＝5a（x+y）（x﹣y），故选项C正确，
D：a2﹣2a﹣8＝（a+2）（a﹣4），故选项D错误．
故答案为：C．
【点睛】本题考查因式分解，提公因式等相关知识．解题的关键是能够熟悉因式分解的定义，熟练运用因式分解中的提公因式，十字相乘等方法．
◆变式训练
1．（2023 金华模拟）下列代数式变形中，是因式分解的是（　　）
A．ab（b﹣2）＝ab2﹣ab B．3x﹣6y+3＝3（x﹣2y）
C．x2﹣3x+1＝x（x﹣3）+1 D．﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2
【考点】因式分解的意义．
【答案】D
【点拨】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．
【解析】解：A、是整式的乘法，故A错误；
B、左边不等于右边，故B错误；
C、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故C错误；
D、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式乘积的形式是解题关键．
2．（2023 温州）分解因式：2a2﹣2a＝　2a（a﹣1）　．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【答案】2a（a﹣1）．
【点拨】直接提取公因式2a，进而分解因式即可．
【解析】解：2a2﹣2a＝2a（a﹣1）．
故答案为：2a（a﹣1）．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
3．（2022 富阳区二模）分解因式4y2+4y+1结果正确的是（　　）
A．（2y+1）2 B．（2y﹣1）2 C．（4y+1）2 D．（4y﹣1）2
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【答案】A
【点拨】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解析】解：4y2+4y+1＝（2y+1）2．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用完全平方公式分解因式是解题关键．
4．（2021 杭州）因式分解：1﹣4y2＝（　　）
A．（1﹣2y）（1+2y） B．（2﹣y）（2+y）
C．（1﹣2y）（2+y） D．（2﹣y）（1+2y）
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【答案】A
【点拨】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解析】解：1﹣4y2
＝1﹣（2y）2
＝（1﹣2y）（1+2y）．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
1．（2021 温州）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米（a+1.2）元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（　　）
A．20a元 B．（20a+24）元 C．（17a+3.6）元 D．（20a+3.6）元
【考点】列代数式．
【答案】D
【点拨】应缴水费＝17立方米的水费+（20﹣17）立方米的水费．
【解析】解：根据题意知：17a+（20﹣17）（a+1.2）＝（20a+3.6）（元）．
故选：D．
【点睛】此题考查列代数式，掌握收费的分段以及总费用的求法是解决问题的关键．
2．（2021 金华）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（　　）
A．先打九五折，再打九五折 B．先提价50%，再打六折
C．先提价30%，再降价30% D．先提价25%，再降价25%
【考点】列代数式．
【答案】B
【点拨】设商品原标价为a，然后分别计算每种调价方案后的售价，进行比较求解．
【解析】解：设商品原标价为a元，
A．先打九五折，再打九五折的售价为：0.95×0.95a＝0.9025a（元）；
B．先提价50%，再打六折的售价为：（1+50%）×0.6a＝0.9a（元）；
C．先提价30%，再降价30%的售价为：（1+30%）（1﹣30%）a＝0.91a（元）；
D．先提价25%，再降价25%的售价为：（1+25%）（1﹣25%）a＝0.9375a（元）；
∵0.9a＜0.9025a＜0.91a＜0.9375a，
∴B选项的调价方案调价后售价最低，
故选：B．
【点睛】本题考查了列代数式的知识，解题的关键是能够表示出降价或涨价后的量，难度不大．
3．（2022 丽水）计算﹣a2 a的正确结果是（　　）
A．﹣a2 B．a C．﹣a3 D．a3
【考点】同底数幂的乘法．
【答案】C
【点拨】同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．据此判断即可．
【解析】解：﹣a2 a＝﹣a3，
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
4．（2023 杭州）分解因式：4a2﹣1＝（　　）
A．（2a﹣1）（2a+1） B．（a﹣2）（a+2） C．（a﹣4）（a+1） D．（4a﹣1）（a+1）
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【答案】A
【点拨】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解析】解：4a2﹣1＝（2a）2﹣12
＝（2a﹣1）（2a+1）．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
5．（2022 义乌市模拟）下列各组式子中，是同类项的为（　　）
A．2a与2b B．2ab与﹣3ba C．a2b与2ab2 D．3a2b与a2bc
【考点】同类项．
【答案】B
【点拨】根据同类项的概念判断即可．
【解析】解：A、2a与2b，所含字母不相同，不是同类项，不符合题意；
B、2ab与﹣3ba是同类项，符合题意；
C、a2b与2ab2，相同字母的指数不相同，不是同类项，不符合题意；
D、3a2b与a2bc，所含字母不相同，不是同类项，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是同类项的概念，掌握所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项是解题的关键．
6．（2021 富阳区二模）计算﹣m2+4m2的结果为（　　）
A．3m2 B．﹣3m2 C．5m2 D．﹣5m2
【考点】合并同类项．
【答案】A
【点拨】合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
【解析】解：原式＝（﹣1+4）m2＝3m2，
故选：A．
【点睛】本题考查了合并同类项，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．正确运用合并同类项的法则是解题的关键．
7．（2022 台州）下列运算正确的是（　　）
A．a2 a3＝a5 B．（a2）3＝a8 C．（a2b）3＝a2b3 D．a6÷a3＝a2
【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【答案】A
【点拨】根据同底数的幂的乘除，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断．
【解析】解：a2 a3＝a5，故A正确，符合题意；
（a2）3＝a6，故B错误，不符合题意；
（a2b）3＝a6b3，故C错误，不符合题意；
a6÷a3＝a3，故D错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查同底数的幂的乘除，幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握相关运算的法则．
8．（2023 台州）下列运算正确的是（　　）
A．2（a﹣1）＝2a﹣2 B．（a+b）2＝a2+b2 C．3a+2a＝5a2 D．（ab）2＝ab2
【考点】完全平方公式；整式的加减；幂的乘方与积的乘方．
【答案】A
【点拨】根据去括号法则，完全平方公式，合并同类项法则，积的乘方法则将各项计算后进行判断即可．
【解析】解：A．2（a﹣1）
＝2a﹣2×1
＝2a﹣2，
则A符合题意；
B．（a+b）2＝a2+2ab+b2，
则B不符合题意；
C．3a+2a
＝（3+2）a
＝5a，
则C不符合题意；
D．（ab）2＝a2b2，
则D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查整式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
9．（2021 宁波模拟）下列因式分解正确的是（　　）
A．﹣x2+4x＝﹣x（x+4） B．x2+xy+x＝x（x+y）
C．x2﹣4x+4＝（x+2）（x﹣2） D．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【答案】D
【点拨】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式分别判断得出答案．
【解析】解：A．﹣x2+4x＝﹣x（x﹣4），故此选项错误；
B．x2+xy+x＝x（x+y+1），故此选项错误；
C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，故此选项错误；
D．x（x﹣y）+y（y﹣x）
＝x（x﹣y）﹣y（x﹣y）
＝（x﹣y）2，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
10．（2022 金华模拟）下列各式能用公式法因式分解的是（　　）
A．x2﹣xy+y2 B．x2+2xy﹣y2 C．x2+xy+y2 D．﹣x2﹣y2
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【答案】A
【点拨】根据平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2，进行分析即可．
【解析】解：A、x2﹣xy+y2可以用完全平方公式分解，故此选项符合题意；
B、x2+2xy﹣y2不能用完全平方分解，故此选项不符合题意；
C、x2+xy+y2不能用完全平方分解，故此选项不符合题意；
D、﹣x2﹣y2不能用平方差分解，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式和完全平方公式．
11．（2023 湖州）计算：（a+1）（a﹣1）＝　a2﹣1　．
【考点】平方差公式．
【答案】a2﹣1．
【点拨】直接利用平方差公式进行计算即可．
【解析】解：（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1，
故答案为：a2﹣1．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是熟记平方差公式．
12．（2023 滨江区一模）以下是小明化简整式3x﹣2（x+y）的解答过程：
解：3x﹣2（x+y）＝3x﹣2x+y＝1+y，
小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【考点】整式的加减．
【答案】小明的解答过程有误，正确过程见解析．
【点拨】观察小明的解答过程，发现去括号出现了错误，运用去括号法则即可计算．
【解析】解：小明的解答过程有误，
正确的解答为：
3x﹣2（x+y）
＝3x﹣2x﹣2y
＝x﹣2y．
【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握去括号要注意符号的变化是解题的关键．
13．（2023 金华）已知，求（2x+1）（2x﹣1）+x（3﹣4x）的值．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【答案】0．
【点拨】先根据单项式乘以多项式的法则和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可
【解析】解：原式＝4x2﹣1+3x﹣4x2
＝3x﹣1
当时，原式＝3×﹣1＝0．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
14.（2023 嘉兴市、舟山市）观察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…
（1）写出192﹣172的结果；
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）；
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算；列代数式．
【答案】（1）72；
（2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；
（3）见解析．
【点拨】（1）根据题目中的例子，可以写出192﹣172的结果；
（2）根据题目中给出的式子，可以得到（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；
（3）将（2）中等号左边的式子利用平方差公式计算即可．
【解析】解：（1）∵17＝2×9﹣1，
∴192﹣172＝8×9＝72；
（2）由题意可得，
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；
（3）∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]
＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）
＝4n×2
＝8n，
∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n正确．
【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点．
15．（2023 丽水）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m＞n且满足am﹣bn＝2，an+bm＝4．
（1）若a＝3，b＝4，则图1阴影部分的面积是 　25　；
（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是 　　．
【考点】整式的混合运算．
【答案】（1）25；
（2）．
【点拨】（1）根据正方形的面积公式列得代数式，然后代入数值计算即可；
（2）结合已知条件可得a2+b2＝3，利用梯形面积公式可得（m+n）2＝10，然后将题干中的两个等式分别平方再相加并整理可得（a2+b2）（m2+n2）＝20，继而求得m2+n2＝，再结合（m+n）2＝10可求得mn＝，根据正方形性质可得图2中阴影部分是一个直角三角形，利用勾股定理求得其两直角边长，再根据三角形面积公式可得其面积为mn＝．
【解析】解：（1）由题意可得图1阴影部分面积为：a2+b2，
∵a＝3，b＝4，
∴a2+b2＝32+42＝25，
故答案为：25；
（2）由题意可得a2+b2＝3，图2中四边形ABCD是直角梯形，
∵AB＝m，CD＝n，它的高为：（m+n），
∴（m+n）（m+n）＝5，
∴（m+n）2＝10，
∵am﹣bn＝2，an+bm＝4，
∴将两式分别平方并整理可得：a2m2﹣2abmn+b2n2＝4①，a2n2+2abmn+b2m2＝16②，
①+②整理得：（a2+b2）（m2+n2）＝20，
∵a2+b2＝3，
∴m2+n2＝，
∵（m+n）2＝10，
∴（m+n）2﹣（m2+n2）＝10﹣，
整理得：2mn＝，
即mn＝，
∵图2中阴影部分的三角形的其中两边是两正方形的对角线，
∴这两边构成的角为：45°+45°＝90°，
那么阴影部分的三角形为直角三角形，其两直角边的长分别为：＝m，＝n，
故阴影部分的面积为：×m×n＝mn＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查整式运算的实际应用，（2）中将题干中的两个等式分别平方再相加并整理后得出（a2+b2）（m2+n2）＝20是解题的关键．
1．（2021 丽水）计算（﹣a）2 a4的结果是（　　）
A．a6 B．﹣a6 C．a8 D．﹣a8
【考点】同底数幂的乘法．
【答案】A
【点拨】先化简为同底数幂的乘法，然后根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【解析】解：原式＝a2 a4＝a6，
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，解题时注意：必须化为同底数幂的乘法，才可以用同底数幂的乘法法则计算．
2．（2023 鄂伦春自治旗一模）下列说法正确的是（　　）
A．0不是单项式 B．﹣abc的系数是﹣1，次数是3
C．﹣的系数是﹣ D．x2y的系数是0，次数是2
【考点】单项式．
【答案】B
【点拨】根据单项式的系数和次数的概念判断即可．
【解析】解：A、0是单项式，故本选项说法错误，不符合题意；
B、﹣abc的系数是﹣1，次数是3，说法正确，符合题意；
C、﹣的系数是﹣，故本选项说法错误，不符合题意；
D、x2y的系数是1，次数是3，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是单项式的系数和次数，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
3．（2023 瓯海区二模）某企业今年1月份产值为a万元，2月份比1月份减少了10%，3月份比2月份增加了15%，则3月份的产值是（　　）
A．（a﹣10%）（a+15%）万元 B．a（1﹣90%）（1+85%）万元
C．a（1﹣10%）（1+15%）万元 D．a（1﹣10%+15%）万元
【考点】列代数式．
【答案】C
【点拨】根据3月份、1月份与2月份的产值的百分比的关系列式计算即可得解．
【解析】解：∵1月份产值为a万元，2月份比1月份减少了10%，3月份比2月份增加了15%，
∴3月份的产值为：a（1﹣10%）（1+15%）万元．
故选：C．
【点睛】本题考查了列代数式，理解各月之间的百分比的关系是解题的关键．
4．（2023 萧山区一模）植树节，某校需完成一定的植树任务，其中九年级共种了任务数的一半，八年级种了剩下任务数的，七年级共种了a棵树苗．则该校植树的任务数为（　　）棵．
A．6a B．5a C．4a D．3a
【考点】列代数式．
【答案】A
【点拨】该校植树的任务数为a÷（1﹣﹣×），据此求解即可．
【解析】解：该校植树的任务数为a÷（1﹣﹣×）＝a÷＝6a，
故选：A．
【点睛】本题主要考查列代数式，解题关键是根据题意列出植树任务的总棵数的算式．
5．（2023 南通）若a2﹣4a﹣12＝0，则2a2﹣8a﹣8的值为（　　）
A．24 B．20 C．18 D．16
【考点】代数式求值．
【答案】D
【点拨】由已知条件可得a2﹣4a＝12，然后将2a2﹣8a﹣8变形后代入数值计算即可．
【解析】解：∵a2﹣4a﹣12＝0，
∴a2﹣4a＝12，
∴2a2﹣8a﹣8
＝2（a2﹣4a）﹣8
＝2×12﹣8
＝24﹣8
＝16，
故选：D．
【点睛】本题考查代数式求值，将2a2﹣8a﹣8变形为2（a2﹣4a）﹣8是解题的关键．
6．（2022 绍兴）下列计算正确的是（　　）
A．（a2+ab）÷a＝a+b B．a2 a＝a2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a3）2＝a5
【考点】整式的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
【答案】A
【点拨】根据多项式除以单项式判断A选项；根据同底数幂的乘法判断B选项；根据完全平方公式判断C选项；根据幂的乘方判断D选项．
【解析】解：A选项，原式＝a2÷a+ab÷a＝a+b，故该选项符合题意；
B选项，原式＝a3，故该选项不符合题意；
C选项，原式＝a2+2ab+b2，故该选项不符合题意；
D选项，原式＝a6，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，掌握（a+b）2＝a2+2ab+b2是解题的关键．
7．（2022 钱塘区二模）下列说法中：（1）整数与分数统称为有理数；（2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；（3）多项式2x2y﹣xy是五次二项式；（4）倒数等于它本身的数是±1；（5）3m2n与﹣nm2是同类项，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】同类项；多项式；有理数；绝对值；倒数．
【答案】C
【点拨】（1）根据有理数的定义判断即可；（2）根据绝对值的性质判断即可；（3）根据多项式的定义判断即可；（4）根据倒数的定义判断即可；（5）根据同类项的定义判断即可，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
【解析】解：（1）整数与分数统称为有理数，说法正确；
（2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数，故原说法错误；
（3）多项式2x2y﹣xy是三次二项式，故原说法错误；
（4）倒数等于它本身的数是±1，说法正确；
（5）3m2n与﹣nm2是同类项，说法正确．
故其中正确的有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了相反数，倒数，有理数，同类项以及绝对值，掌握相关定义是解答本题的关键．
8．（2023 玉溪三模）探索规律：观察下面的一列单项式：x、﹣2x2、4x3、﹣8x4、16x5、…，根据其中的规律得出的第8个单项式是（　　）
A．﹣64x8 B．64x8 C．128x8 D．﹣128x8
【考点】单项式．
【答案】D
【点拨】根据符号的规律：n为奇数时，单项式为正号，n为偶数时，符号为负号；系数的绝对值的规律：第n个对应的系数的绝对值是2n﹣1．指数的规律：第n个对应的指数是n解答即可．
【解析】解：根据题意得：
第8个单项式是﹣27x8＝﹣128x8．
故选：D．
【点睛】本题考查了单项式的知识，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．
9．（2023 河北）若k为任意整数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（　　）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
【考点】因式分解的应用．
【答案】B
【点拨】先根据完全平方公式进行计算，再合并同类项，分解因式后再逐个判断即可．
【解析】解：（2k+3）2﹣4k2
＝4k2+12k+9﹣4k2
＝12k+9
＝3（4k+3），
∵k为任意整数，
∴（2k+3）2﹣4k2的值总能被3整除，
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，能求出（2k+3）2﹣4k2＝3（4k+3）是解此题的关键．
10．（2023 平远县一模）单项式的系数是　　．
【考点】单项式．
【答案】．
【点拨】利用单项式的次数的确定方法分析得出答案．
【解析】解：单项式的系数是．
故答案为：．
【点睛】此题考查了单项式的有关定义，正确把握单项式的次数的确定方法是解题的关键．
11．（2023 鄞州区模拟）分解因式：﹣x2y+6xy﹣9y＝　﹣y（x﹣3）2　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【答案】﹣y（x﹣3）2．
【点拨】先提公因式﹣y，再应用完全平方公式．
【解析】解：原式＝﹣y（x2﹣6x+9）＝﹣y（x﹣3）2．
故答案为：﹣y（x﹣3）2．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
12．（2023 辽宁）分解因式：2m2﹣18＝　2（m+3）（m﹣3）　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【答案】2（m+3）（m﹣3）
【点拨】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【解析】解：原式＝2（m2﹣9）
＝2（m+3）（m﹣3）．
故答案为：2（m+3）（m﹣3）．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．（2023 天台县一模）如表是某同学对式子6（x﹣2）﹣（2x+2）的化简过程：
解：原式＝6x﹣12﹣2x﹣2 ① ＝4x﹣14 ② ＝2x﹣7 ③
上面的化简过程中开始出现错误的是第 　③　步，正确答案应该是 　4x﹣14　．
【考点】整式的加减．
【答案】③；4x﹣14．
【点拨】根据去括号法则以及合并同类项法则解答即可．
【解析】解：6（x﹣2）﹣（2x+2）
＝6x﹣12﹣2x﹣2
＝4x﹣14，
∴上面的化简过程中开始出现错误的是第③步，正确答案应该是4x﹣14．
故答案为：③；4x﹣14．
【点睛】本题考查了整式的加减，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
14．（2021 衡阳）计算：（x+2y）2+（x﹣2y）（x+2y）+x（x﹣4y）．
【考点】整式的混合运算．
【答案】3x2．
【点拨】根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式展开再合并同类项即可．
【解析】解：原式＝(x2+4xy+4y2)+(x2﹣4y2)+(x2﹣4xy)
＝x2+4xy+4y2+x2﹣4y2+x2﹣4xy
＝3x2．
【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式是解题关键．
15．（2022 金华）如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
（1）用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．
（2）当a＝3时，该小正方形的面积是多少？
【考点】列代数式；代数式求值．
【答案】（1）a+3；
（2）36．
【点拨】（1）观察图形，用直角三角形较长的直角边减去较短的直角边即可；
（2）根据正方形的面积＝边长的平方列出代数式，把a＝3代入求值即可．
【解析】解：（1）∵直角三角形较短的直角边＝×2a＝a，
较长的直角边＝2a+3，
∴小正方形的边长＝2a+3﹣a＝a+3；
（2）小正方形的面积＝（a+3）2，
当a＝3时，面积＝（3+3）2＝36．
【点睛】本题考查了列代数式，代数式求值，观察图形，用直角三角形较长的直角边减去较短的直角边求出小正方形的边长是解题的关键．
16．（2022 丽水二模）如图1，将一个边长为10的正方形纸片剪去两个全等小长方形，得到图2，再将剪下的两个小长方形拼成一个长方形（图3），若图3的长方形周长为30，则b的值为 　　．
【考点】整式的加减．
【答案】．
【点拨】根据图形给出的已知条件列出算式，进行整式加减即可得结论．
【解析】解：观察图形可得：
图3的长方形的周长30＝2（10﹣b）+2（10﹣3b），
解得b＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是观察图形正确列出算式．
17．（2023 金华）如图是一块矩形菜地ABCD，AB＝a（m），AD＝b（m），面积为s（m2），现将边AB增加1m．
（1）如图1，若a＝5，边AD减少1m，得到的矩形面积不变，则b的值是　6　．
（2）如图2，若边AD增加2m，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2s（m2），则s的值是　6+4　．
【考点】整式的混合运算．
【答案】（1）6；
（2）6+4．
【点拨】（1）根据边AD减少1m，得到的矩形面积不变，得5b＝（5+1）×（b﹣1），可解得答案；
（2）由边AB增加1m，边AD增加2m，得到的矩形面积为2s（m2），知（a+1）（b+2）＝2s，故（a+1）（+2）＝2s，2a2+（2﹣s）a+s＝0，又有且只有一个a的值使得到的矩形面积为2s，可得（2﹣s）2﹣8s＝0，可解得答案．
【解析】解：（1）∵边AD减少1m，得到的矩形面积不变，
∴5b＝（5+1）×（b﹣1），
解得：b＝6，
故答案为：6；
（2）根据题意知b＝，
∵边AB增加1m，边AD增加2m，得到的矩形面积为2s（m2），
∴（a+1）（b+2）＝2s，
∴（a+1）（+2）＝2s，
整理得：2a++2﹣s＝0，
∴2a2+（2﹣s）a+s＝0，
∵有且只有一个a的值使得到的矩形面积为2s，
∴Δ＝0，即（2﹣s）2﹣8s＝0，
解得s＝6﹣4（不符合题意舍去）或s＝6+4，
故答案为：6+4．
【点睛】本题考查整式的混合运算，涉及矩形面积，一元二次方程的判别式等，解题的关键是由有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2s列出关于s的方程．
18．（2022 嘉兴）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45．
（1）尝试：
①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25；
③当a＝3时，352＝1225＝　3×4×100+25　；
…
（2）归纳：与100a（a+1）+25有怎样的大小关系？试说明理由．
（3）运用：若与100a的差为2525，求a的值．
【考点】规律型：数字的变化类．
【答案】见解析
【点拨】（1）根据规律直接得出结论即可；
（2）根据＝（10a+5）（10a+5）＝100a2+100a+25＝100a（a+1）+25即可得出结论；
（3）根据题意列出方程求解即可．
【解析】解：（1）∵①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25；②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25；
∴③当a＝3时，352＝1225＝3×4×100+25，
故答案为：3×4×100+25；
（2）＝100a（a+1）+25，理由如下：
＝（10a+5）（10a+5）＝100a2+100a+25＝100a（a+1）+25；
（3）由题知，﹣100a＝2525，
即100a2+100a+25﹣100a＝2525，
解得a＝5或﹣5（舍去），
∴a的值为5．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，根据数字的变化规律得出＝100a（a+1）+25的结论是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑