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平面向量的应用
基础知识
1.向量法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系.
2.余弦定理：在中，角的对边分别为，则：
，，.
三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
3.余弦定理的推论：，，.
4.正弦定理：在中，角的对边分别为，则：.
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
5.正弦定理的常见变形：
（1）（边角互化）.
（2）.其中，为外接圆的半径.
（3）（边化角）.
（4）（角化边）.
6.三角形的面积公式
（1）.（为外接圆的半径）
（2），其中为的一边长，而为该边上的高的长.
（3），其中分别为的内切圆半径及的周长.
（4）海伦公式：，其中.
（5），其中.
（6），其中，.
1.在中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,,则( )
A. B. C. D.
2.在中,,,,则最长边( )
A.6 B.12 C.6或12 D.
3.已知a,b,c为的三个内角A,B,C的对边,向量,.若,且,则角A,B的大小分别为( )
A., B., C., D.,
4.已知向量,,若在上的投影向量,则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.在中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且满足,则的形状为( )
A.直角三角形 B.等边三角形
C.直角三角形或等腰三角形 D.等腰直角三角形
6.设a,b,c分别是中内角A,B,C的对边,且,则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.（多选）下列说法正确的有( )
A.在中,
B.在中,若,则为等腰三角形
C. 中,是的充要条件
D.在中,若,则
8.（多选）甲,乙两楼相距20m,从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为,则下列说法正确的有( )
A.甲楼的高度为 B.甲楼的高度为
C.乙楼的高度为 D.乙楼的高度为
9.在中，已知，，，则的面积为_______.
10.的内角的对边分别为.若的面积为，则____________.
11.在中，若，，，则AB边上的高是___________.
12.记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求A的大小;
（2）若A的角平分线交BC于D,且,求面积的最小值.
答案以及解析
1.答案：A
解析：由正弦定理得,,
故选：A.
2.答案：B
解析：在中,,,,
由余弦定理得,,
化简得,解得或,
因为c是最长的边,所以,
故选:B
3.答案：C
解析：根据题意,,可得,
即,
,又由正弦定理可得,,,
,．
故选C．
4.答案：C
解析:设向量与的夹角为,与同向的单位向量为,
在上的投影向量为,,
,
,,
所以,
,,
与的夹角为,
故选:C.
5.答案：A
解析：由题知,,
所以,
所以,得,
所以,得,
所以的形状为直角三角形,
故选：A.
6.答案：B
解析：由得,所以,
由正弦定理得,
,
所以2.
故选:B.
7.答案：AC
解析：由正弦定理
可得：
即成立,
故选项A正确；
由可得或,
即或,
则是等腰三角形或直角三角形,
故选项B错误；
在中,由正弦定理可得
,
则是的充要条件,
故选项C正确；
在中,若,则或,
故选项D错误.
故选：AC.
8.答案：AC
解析：解：如图所示,中,,,
,,中,
,,,,
由正弦定理得,
所以故选：AC．
9.答案：
解析：因为，，，则.
10.答案：（或）
解析：解：由余弦定理可得a2﹣b2﹣c2＝﹣2bccosA，
的面积为＝﹣，
又因为＝，
所以，
由可得A＝．
故答案为：.
11.答案：1或2
解析：由正弦定理，得.又，或.
当时，，AB边上的高为2；
当时，，AB边上的高为.
12.解析：（1）由正弦定理,得,
得,
得,
因为A,,,所以,即.
（2）因为,
所以.
因为,即(当且仅当时,等号成立),
所以.故面积的最小值为.

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