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平面向量的概念
基础知识
1.向量的定义：既有大小，又有方向的量叫做向量.
2.向量的模：向量的大小称为向量的长度（或称模），记作.
3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作（或）.
4.单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.
5.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量.
6.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
1.如图，在正六边形ABCDEF中，与向量相等的向量是( )
A. B. C. D.
2.设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是( ).
A.相同的向量 B.模相等的向量 C.共线向量 D.共起点的向量
3.下列关于零向量的说法正确的是( )
A.零向量没有大小 B.零向量没有方向
C.两个反方向向量之和为零向量 D.零向量与任何向量都共线
4.如图,在圆O中,向量是( )
A.有相同起点的向量 B.共线向量
C.模相等的向量 D.相等向量
5.下列命题中正确的是( )
A.两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
B.两个有公共终点的向量，一定是共线向量
C.两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
D.若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
6.下列说法正确的是( )
A.单位向量均相等 B.单位向量
C.零向量与任意向量平行 D.若向量，满足，则
7.（多选）下列说法中错误的是( )
A.单位向量都相等
B.向量与是共线向量,则点A,B,C,D必在同一条直线上
C.若为非零向量,则表示为与同方向的单位向量
D.若,,则
8.（多选）下列叙述中错误的是( )
A.若，则 B.若，则与的方向相同或相反
C.若，，则 D.对任一向量，是一个单位向量
9.如图ABCD是菱形，则在向量和中，相等的有______对.
10.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图，在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，可跳到处，也可跳到处，用向量表示马走了“一步”.若马在B处或C处，则以B，C为起点表示马走了“一步”的向量共有____________个.
11.在等腰梯形ABCD中，，则下列结论中正确的是________.(写出所有正确结论的序号)
①；②；③；④.
12.根据下列各小题中的条件，分别判断四边形ABCD的形状，并给出证明.
（1）；
（2）；
（3），且.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由图可知六边形ABCDEF是正六边形，所以，与方向相同的只有；而，，与长度相等，方向不同，所以选项A，C，D，均错误；
故选：B
2.答案：B
解析：O是正的中心，
向量，，分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的，
O是正三角形的中心，
O到三个顶点的距离相等，
即，
故选：B.
3.答案：D
解析：根据零向量的概念可得零向量的长度为零，方向任意，故A、B错误；
两个反方向向量之和不一定为零向量，只有相反向量之和才是零向量，C错误；
零向量与任意向量共线，D正确.
故选：D.
4.答案：C
解析：由题图可知是模相等的向量，其模均等于圆O的半径，故选C.
5.答案：A
解析：两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A正确；
两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B错误；
两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C错误；
与是共线向量，也可能是AB平行于CD，故D错误.
故选：A.
6.答案：C
解析：对于A：单位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A错误；
对于B：单位向量.故B错误；
对于C：零向量与任意向量平行.正确；
对于D：若向量，满足，但是，的方向可以是任意的.
故选：C.
7.答案：ABD
解析：对A,单位向量方向不一定相同,故A错误;
对B,向量与是共线向量,A,B,C,D不一定在一条直线上,故B错误;
对C,为非零向量,则模长为1,方向与同向,故C正确;
对D,若时,,,但推不出,故D错误.
故选:ABD
8.答案：ABCD
解析：因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误；
由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误；
对于C，若为零向量，则与可能不是共线向量，故C错误；
对于D，当时，无意义，故D错误.
故选：ABCD.
9.答案：2
解析：，其余不等.
10.答案：11
解析：此题中，马在A处有两条路可走，在B处有三条路可走，在C处有八条路可走，如图，以B点为起点作向量，共3个；以C点为起点作向量，共8个.所以共有11个.
11.答案：③
解析：如图，四边形ABCD为等腰梯形，
与的大小相等，但方向不同，
故.
12.答案：（1）平行四边形，证明见解析
（2）梯形，证明见解析
（3）菱形，证明见解析
解析：（1）四边形ABCD是平行四边形，证明如下：
，且，
且四边形ABCD是平行四边形.
（2）四边形ABCD是梯形，证明如下：
，，.又，
，即.四边形ABCD是梯形.
（3）四边形ABCD是菱形，证明如下：
，且，
且，四边形ABCD是平行四边形.
又，，四边形ABCD是菱形.

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