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平面向量的运算
基础知识
1.向量加法的法则：三角形法则和平行四边形法则.
三角形法则 如图，已知非零向量，，在平面内取任意一点A，作，，则向量叫做与的和，记作，即.
平行四边形法则 已知两个不共线向量，，作，，以，为邻边作，则对角线上的向量.
2.对于零向量与任意向量a，有.
3.向量加法的运算律：交换律：；结合律：.
4.向量形式的三角不等式：，当且仅当，方向相同时等号成立.
5.相反向量：
①定义：与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作－a，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量.
②性质：零向量的相反向量仍是零向量；
和互为相反向量，于是；
若互为相反向量，则，，.
6.向量数乘的定义：规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：，它的长度与方向规定如下：①；②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反.当或时，.
7.向量数乘的运算律：设为任意实数，则有：
①；②；③.
特别地，有；.
8.向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量，以及任意实数，恒有.
9.向量共线（平行）定理：向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.
10.向量的夹角：已知两个非零向量，如图，是平面上的任意一点，作，则叫做向量与的夹角.记作.
当时，向量同向；当时，向量垂直，记作；当时，向量反向.
11.平面向量数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，把数量叫做向量与的数量积（或内积），记作，即.
12.投影向量：如图，设是两个非零向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，这种变换称为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.
13.向量数量积的性质：设是非零向量，它们的夹角是是与方向相同的单位向量，则（1）；
（2）；
（3）当与同向时，；当与反向时，，特别地，或；
（4）由可得，；
（5）
14.向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘结合律：；
（3）分配律：.
1.如图，正六边形ABCDEF中，( )
A. B. C. D.
2.如图，平行四边形ABCD的对角线交于M，若，，用，表示为( )
A. B. C. D.
3.正方形ABCD边长为4,M为CD中点,点N在AD上,,则( )
A. B. C.5 D.10
4.已知矩形ABCD中,E为AB边中点,线段AC和DE交于点F,则( )
A. B.
C. D.
5.已知平面向量,满足,,,则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
6.已知平面单位向量,,满足,则( )
A. B. C. D.
7.（多选）已知实数m、n和向量、，下列结论中正确的是( )
A. B.
C.若，则 D.若，则
8.（多选）已知向量,满足且,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
9.在中,D是BC边上的点且,若则________.
10.已知，，且，则在上的投影向量为________.
11.已知向量，的夹角为，且，，则___________.
12.已知非零向量,,满足,,且.
（1）求向量,的夹角;
（2）求.
答案以及解析
1.答案：D
解析：ABCDEF为正六边形，所以，，
所以.
故选：D.
2.答案：D
解析：.
故选：D.
3.答案：C
解析:设,
因为,,
因为正方形ABCD边长为4,,
所以,解得,
所以,
故选:C
4.答案：D
解析：取CD中点G,连接BG,交AC于点H,
,,四边形BEDG为平行四边形,
,又E为AB中点,,同理可得：,
,
.
故选：D.
5.答案：C
解析：,所以,
,而,所以．
故选：C．
6.答案：D
解析：由可知,两边同时平方得,,
故.
故选：D.
7.答案：ABD
解析：对于A选项，，A对；
对于B选项，，B对；
对于C选项，若，则，所以，或，C错；
对于D选项，若，则，所以，，即，D对.
故选：ABD.
8.答案：AD
解析:因为,所以;
因为,所以,所以,故C错误,D正确;
因为,所以,A正确;
因为,所以,B错误;
故选:AD.
9.答案：
解析:由题可知,,又,所以
10.答案：
解析：由题可得：，设，
，则在上投影向量为.
11.答案：
解析：因为向量，的夹角为，，，
所以，
所以，
所以.
故答案为：.
12.答案：（1）
（2）
解析:（1）,
,即,
又,,设向量,的夹角为,
,
,
,
,
,即向量,的夹角为;
（2）
.

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