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平面向量基本定理及坐标表示
基础知识
1.平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使.
2.基底：若不共线，则把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
3.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
4.平面向量的坐标运算：
设向量，则有下表：
运算 文字描述 符号表示
加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
向量坐标公式 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知， 则
5.平面向量共线的坐标表示
（1）设，其中共线的充要条件是存在实数，使.
（2）如果用坐标表示，向量共线的充要条件是.
6.平面向量数量积的坐标表示：设向量，则.
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
7.向量模的坐标表示：（1）若向量，则；（2）若点，向量，则.
由此可知，向量的模的坐标运算的实质是平面直角坐标系中两点间的距离的运算.
8.向量夹角的坐标表示：设都是非零向量，，是与的夹角，则.
9.向量垂直的坐标表示：设向量，则.
1.已知向量,,则( )
A. B. C. D.
2.在中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则( )
A. B.
C. D.
3.若向量，，且，则( )
A.1 B.5 C. D.
4.已知向量,满足,,则( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
5.已知平面向量,,且,则( )
A. B. C. D.
6.已知向量，，.若，且，则( )
A. B. C. D.
7.（多选）已知向量，，则( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则a与b的夹角为
8.（多选）已知向量，，则( )
A.若与垂直，则 B.若，则m的值为
C.若，则 D.若，则与的夹角为45°
9.已知,,则_______________.
10.已知向量,若,则________________.
11.已知向量，，且与方向相反，则_________.
12.（1）已知,,求向量在上的投影向量的坐标.
（2）已知,,若,的夹角为锐角,求的取值范围.
答案以及解析
1.答案：B
解析:根据平面向量线性运算的坐标表示可得,
.
故选:B
2.答案：A
解析：如图所示，
，
故选A
3.答案：D
解析：由向量，，可得，
因为，可得，解得，
所以，可得.
故选：D.
4.答案：B
解析:向量,满足,,
所以.
故选：B.
5.答案：B
解析:因为,,且,所以,,,故选B.
6.答案：C
解析：因为，，由可得，，即，整理得.又因为，所以，联立解得或故.故选C.
7.答案：BC
解析：A项，若，则，即，故A项错误；
B项，若，则，即，，故B项正确；
C项，若，则，所以，故C项正确；
D项，，则，，，，所以a与b的夹角不是，故D项错误.
8.答案：ABD
解析：因为，，对于A：若与垂直，则，解得，故A正确；
对于B：若，则，解得，故B正确；
对于C：若，则，解得，故C错误；
对于D：若，则，设与的夹角为，则，因为，所以，故D正确；
故选：ABD
9.答案：
解析：由题意得,,所以.
故答案为：.
10.答案：-2
解析：由题意可知,,
因为,所以,得.
故答案为：-2.
11.答案：
解析：由题意知与平行，得，，当时，，，，与方向相反；当时，，，
，与方向相同.所以，因此.
12.答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）由题意可得:,,
向量在方向上的投影向量为:;
（2）因为,的夹角为锐角,所以,解得:,
又当与共线时,可得:,解得:,
此时,此时与同向,需排除,
所以的取值范围是:.

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