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杭州近几年中考压轴题汇编
1.如图，直线与轴、轴交于、两点，的平分线所在的直线的解析式是( )
A.
B.
C.
D.
2.如图，是半圆的直径，点是弧的中点，点是弧的中点，连接，交于点，则( )
A. B. C. D.
3.如图所示，已知中，，，，、分别为、的中点，是上动点，则周长的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，边在轴上，点的坐标为，将矩形沿对角线折叠，使点落在点的位置，且交轴交于点，则点的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
5.设二次函数是实数，则( )
A. 当时，函数的最小值为 B. 当时，函数的最小值为
C. 当时，函数的最小值为 D. 当时，函数的最小值为
6.一枚质地均匀的正方体骰子六个面分别标有数字，，，，，，投掷次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字根据下面的统计结果，能判断记录的这个数字中一定没有出现数字的是( )
A. 中位数是，众数是 B. 平均数是，中位数是
C. 平均数是，方差是 D. 平均数是，众数是
7.第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”如图，在由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接设，，若正方形与正方形的面积之比为：，，则( )
A. B. C. D.
8.如图，在平面直角坐标系中，已知点，点以点为旋转中心，把点按逆时针方向旋转，得点在，，，四个点中，直线经过的点是( )
A.
B.
C.
D.
9.已知二次函数为常数命题：该函数的图象经过点；命题：该函数的图象经过点；命题：该函数的图象与轴的交点位于轴的两侧；命题：该函数的图象的对称轴为直线如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是( )
A. 命题 B. 命题 C. 命题 D. 命题
10.如图，已知内接于半径为的，是锐角，则的面积的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
11.在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中的值最大为( )
A. B. C. D.
12.已知线段，按如下步骤作图：作射线，使；作的平分线；以点为圆心，长为半径作弧，交于点；过点作于点，则：( )
A. ：
B. ：
C. ：
D. ：
13.已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数，使得，则称函数和具有性质以下函数和具有性质的是( )
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
14.设函数是实数，，当时，；当时，，( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
15.如图，已知是的直径，半径，点在劣弧上不与点，点重合，与交于点设，，则( )
A.
B.
C.
D.
16.在平面直角坐标系中，已知函数，，，其中，，是正实数，且满足设函数，，的图象与轴的交点个数分别为，，，下列选项正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
17.如图，一块矩形木板斜靠在墙边，点，，，，在同一平面内，已知，，，则点到的距离等于( )
A.
B.
C.
D.
18.在平面直角坐标系中，已知，设函数的图象与轴有个交点，函数的图象与轴有个交点，则( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
二、填空题：本题共10小题，共39分。
19.如图，在矩形中，点在上，且，，点是线段上的一个动点点不与点，重合，连接，，将关于直线对称的三角形记作，当点运动到使点落在矩形任意一边所在的直线上时，则线段的长是______ ．
20.如图，在中，是重心，点是的中点，若的面积为，则的面积为______ ．
21.如图，在矩形中，，，点是上一个动点，把沿向矩形内部折叠，当点的对应点恰落在的平分线上时，则的长为______．
22.在“探索一次函数的系数，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：，，同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式，，分别计算，，的值，其中最大的值等于______ ．
23.如图，在中，，，点，，分别在边，，上，连接，，，已知点和点关于直线对称设，若，则 ______ 结果用含的代数式表示．
24.如图是以点为圆心，为直径的圆形纸片，点在上，将该圆形纸片沿直线对折，点落在上的点处不与点重合，连接，，设与直径交于点若，则______度；的值等于______．
25.如图是一张矩形纸片，点是对角线的中点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连接，若，则 ______ 度
26.如图，已知是的直径，与相切于点，连接，若，则______．
27.如图是一张矩形纸片，点在边上，把沿直线对折，使点落在对角线上的点处，连接若点，，在同一条直线上，，则 ， ．
28.如图，把某矩形纸片沿，折叠点，在边上，点，在边上，使点和点落在边上同一点处，点的对称点为点，点的对称点为点，若，的面积为，的面积为，则矩形的面积等于______．
三、解答题：本题共11小题，共130分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
29.本小题分
设二次函数是实数已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
若，
求二次函数的表达式；
写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而减小．
若在，，这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围．
30.本小题分
如图，在中，直径垂直弦于点，连接，，，作于点，交线段于点不与点，重合，连接．
若，求的长．
求证：．
若，猜想的度数，并证明你的结论．
31.本小题分
设二次函数是常数的图象与轴交于，两点．
若，两点的坐标分别为，，求函数的表达式及其图象的对称轴．
若函数的表达式可以写成是常数的形式，求的最小值．
设一次函数是常数，若函数的表达式还可以写成的形式，当函数的图象经过点时，求的值．
32.本小题分
在正方形中，点是边的中点，点在线段上不与点重合，点在边上，且，连接，以为边在正方形内作正方形．
如图，若，当点与点重合时，求正方形的面积．
如图，已知直线分别与边，交于点，，射线与射线交于点．
求证：；
设，和四边形的面积分别为，求证：．
33.本小题分
在直角坐标系中，设函数是常数，．
若该函数的图象经过和两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
已知，当，是实数，时，该函数对应的函数值分别为，若，求证：．
34.本小题分
如图，锐角三角形内接于，的平分线交于点，交边于点，连接．
求证：∽；
已知，，求线段的长用含，的代数式表示；
已知点在线段上不与点，点重合，点在线段上不与点，点重合，，求证：．
35.本小题分
如图，在正方形中，点在边上，连接，的平分线与边交于点，与的延长线交于点设．
若，，求线段的长．
连接，若，
求证：点为边的中点．
求的值．
36.本小题分
在平面直角坐标系中，设二次函数，是实数，．
若函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求函数的表达式．
若函数的图象经过点，其中，求证：函数的图象经过点．
设函数和函数的最小值分别为和，若，求，的值．
37.本小题分
如图，已知，为的两条直径，连接，，于点，点是半径的中点，连接，
设的半径为，若，求线段的长；
连接，，设与交于点，
求证：；
若，求的度数．
38.本小题分
设二次函数是实数．
甲求得当时，；当时，；乙求得当时，若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．
写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值用含，的代数式表示．
已知二次函数的图象经过和两点是实数，当时，求证：．
39.本小题分
如图，已知锐角三角形内接于圆，于点，连接．
若，
求证：．
当时，求面积的最大值．
点在线段上，，连接，设，是正数，若，求证：．
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杭州近几年中考压轴题汇编
1.如图，直线与轴、轴交于、两点，的平分线所在的直线的解析式是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：对于直线，
令，求出；令求出，
，，即，，
根据勾股定理得：，
在轴上取一点，使，连接，
为的平分线，
，
在和中，
，
≌，
，
设，则，
在中，，
根据勾股定理得：，
解得：，
，即，
设直线解析式为，
将与坐标代入得：，
解得：，
则直线解析式为．
故选：．
对于已知直线，分别令与为求出对应与的值，确定出与的坐标，在轴上取一点，使，连接，由为的平分线，得到，利用得出两三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到，设，可得出，在中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出坐标，设直线解析式为，将与坐标代入求出与的值，即可确定出直线解析式．
此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
2.如图，是半圆的直径，点是弧的中点，点是弧的中点，连接，交于点，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：方法：连接、作，交于．
点是弧的中点，
可设，
根据平行线的性质得．
是等腰直角三角形，
则，．
所以．
再根据两角对应相等得∽，
则，．
所以．
方法：过点作于点，
是半圆的直径，点是弧的中点，
点是圆心．
连接，，与交于点，
为弧的中点，
易证，
，，
，
设，则，
，，
，
，
，
．
故选：．
根据平行线的性质证得，是等腰直角三角形，求得，再证∽，得，所以．
此题要能够根据弧之间的关系找到角之间的关系，熟练运用圆周角定理的推论，能够根据相似三角形的性质建立对应边之间的关系．
3.如图所示，已知中，，，，、分别为、的中点，是上动点，则周长的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点．
点、分别是和的中点，
．
点与点关于对称，
在中，
的周长．
故选：．
首先由三角形的中位线定理可求得的长为，然后作出点关于的对称点，连接交于点，由轴对称图形的性质可知，从而可得到，然后在中，由勾股定理可求得的长度，从而可求得三角形的周长．
本题主要考查的是轴对称路径最短问题，作出点关于的对称点，将转化为的长是解题的关键．
4.如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，边在轴上，点的坐标为，将矩形沿对角线折叠，使点落在点的位置，且交轴交于点，则点的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：如图，过作于，
点的坐标为，
，，
根据折叠可知：，
而，，
≌，
，，
设，那么，，
在中，，
，
解得，
，
，
∽，
而，
，
，
即，
，，
，
的坐标为
故选D．
过作于，根据折叠可以证明≌，然后利用全等三角形的性质得到，，设，那么，，利用勾股定理即可求出，然后利用已知条件可以证明∽，而，接着利用相似三角形的性质即可求出、的长度，也就求出了点的坐标．
此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．
5.设二次函数是实数，则( )
A. 当时，函数的最小值为 B. 当时，函数的最小值为
C. 当时，函数的最小值为 D. 当时，函数的最小值为
【答案】A
【解析】解：令，则，
，，
二次函数与轴的交点坐标是，，
二次函数的对称轴是：，
，
有最小值，
当时最小，
即，
当时，函数的最小值为；
当时，函数的最小值为，
故选：．
令，求出二次函数与轴的交点坐标，继而求出二次函数的对称轴，再代入二次函数解析式即可求出顶点的纵坐标，最后代入的值进行判断即可．
本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握求二次函数的顶点坐标是解题的关键．
6.一枚质地均匀的正方体骰子六个面分别标有数字，，，，，，投掷次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字根据下面的统计结果，能判断记录的这个数字中一定没有出现数字的是( )
A. 中位数是，众数是 B. 平均数是，中位数是
C. 平均数是，方差是 D. 平均数是，众数是
【答案】C
【解析】解：当中位数是，众数是时，记录的个数字可能为：，，，，或，，，，或，，，，，故A选项不合题意；
当平均数是，中位数是时，个数之和为，记录的个数字可能为，，，，或，，，，，故B选项不合题意；
当平均数是，方差是时，个数之和为，假设出现了次，方差最小的情况下另外个数为：，，，，此时方差，因此假设不成立，即一定没有出现数字，故C选项符合题意；
当平均数是，众数是时，个数之和为，至少出现两次，记录的个数字可能为，，，，，故D选项不合题意；
故选：．
根据中位数、众数、平均数、方差的定义，结合选项中设定情况，逐项判断即可．
本题主要考查平均数、众数和中位数及方差，解题的关键是掌握平均数、众数和中位数及方差的定义．
7.第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”如图，在由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接设，，若正方形与正方形的面积之比为：，，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：设，，则，，
，，，
，
，
，
，，
：：：，
：：，
．
故选：．
设，，则，，解直角三角形可得，化简可得，，结合勾股定理及正方形的面积公式可求得；：，进而可求解的值．
本题主要考查勾股定理的证明，解直角三角形的应用，利用解直角三角形求得，是解题的关键．
8.如图，在平面直角坐标系中，已知点，点以点为旋转中心，把点按逆时针方向旋转，得点在，，，四个点中，直线经过的点是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：点，点，
轴，，
由旋转得：，，
如图，过点作轴于，
，
，，
，
设直线的解析式为：，
则，
，
直线的解析式为：，
当时，，，
点不在直线上，
当时，，
在直线上，
当时，，
不在直线上，
当时，，
不在直线上．
故选：．
根据含角的直角三角形的性质可得，利用待定系数法可得直线的解析式，依次将，，，四个点的一个坐标代入中可解答．
本题考查的是图形旋转变换，待定系数法求一次函数的解析式，确定点的坐标是解本题的关键．
9.已知二次函数为常数命题：该函数的图象经过点；命题：该函数的图象经过点；命题：该函数的图象与轴的交点位于轴的两侧；命题：该函数的图象的对称轴为直线如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是( )
A. 命题 B. 命题 C. 命题 D. 命题
【答案】A
【解析】解：假设抛物线的对称轴为直线，
则，
解得，
函数的图象经过点，
，
解得，
故抛物线的解析式为，
当时，得，
解得或，
故抛物线与轴的交点为和，
函数的图象与轴的交点位于轴的两侧；
故命题都是正确，错误，
故选：．
本题主要考查二次函数的图象与性质以及对称轴公式的求法．
10.如图，已知内接于半径为的，是锐角，则的面积的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：当的高经过圆的圆心时，此时的面积最大，
如图所示，
，
，，
在中，
，
，，
，
，
．
故选：．
要使的面积的最大，则要最大，当高经过圆心时最大．
本题主要考查锐角三角函数的应用与三角形面积的求法．
11.在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中的值最大为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：由图象知，、、组成的点开口向上，；
A、、组成的二次函数开口向上，；
B、、三点组成的二次函数开口向下，；
A、、三点组成的二次函数开口向下，；
即只需比较、、组成的二次函数和、、组成的二次函数即可．
设、、组成的二次函数为，
把，，代入上式得，
，
解得；
设、、组成的二次函数为，
把，，代入上式得，
，
解得，
即最大的值为，
故选：．
比较任意三个点组成的二次函数，比较开口方向，开口向下，则，只需把开口向上的二次函数解析式求出即可．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质．
12.已知线段，按如下步骤作图：作射线，使；作的平分线；以点为圆心，长为半径作弧，交于点；过点作于点，则：( )
A. ：
B. ：
C. ：
D. ：
【答案】D
【解析】【分析】
根据作图得出，设，由等腰直角三角形的性质可得，即可得出答案．
【解答】
解：，
，
平分，
，
，
，
，
，
设，则，
：．
故选：．
【点评】
本题主要考查了基本作图以及等腰直角三角形的性质，根据基本作图得出线段之间的关系是解题关键．
13.已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数，使得，则称函数和具有性质以下函数和具有性质的是( )
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
【答案】A
【解析】【分析】
本题属于新定义类问题，考查一元二次方程的解法，根据给出的定义构造方程，利用方程思想解决问题是常见思路．
根据题干信息可知，直接令，若方程有解，则具有性质，若无解，则不具有性质．
【解答】
解：令，则，解得或，
即函数和具有性质，符合题意；
B.令，则，整理得，，方程无解，
即函数和不具有性质，不符合题意；
C.令，则，整理得，，方程无解，
即函数和不具有性质，不符合题意；
D.令，则，整理得，，方程无解，
即函数和不具有性质，不符合题意；
故选：．
14.设函数是实数，，当时，；当时，，( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式；熟练掌握待定系数法是解题的关键．
当时，；当时，；代入函数式整理得，将的值分别代入即可得出结果．
【解答】
解：当时，；当时，；
代入函数式得：，
，
整理得：，
若，则，故A错误；
若，则，故B错误；
若，则，故C正确；
若，则，故D错误；
故选：．
15.如图，已知是的直径，半径，点在劣弧上不与点，点重合，与交于点设，，则( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了圆周角定理，直角三角形的性质，关键是用表示．
根据直角三角形两锐角互余性质，用表示，进而由圆心角与圆周角关系，用表示，最后由角的和差关系得结果．
【解答】
解：
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
16.在平面直角坐标系中，已知函数，，，其中，，是正实数，且满足设函数，，的图象与轴的交点个数分别为，，，下列选项正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查抛物线与轴的交点，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
选项B正确，利用根的判别式的性质证明即可．
【解答】
解：选项B正确．
理由：，，
，，
，，是正实数，
，
，
，
对于，
则有，
，
选项B正确，
故选：．
17.如图，一块矩形木板斜靠在墙边，点，，，，在同一平面内，已知，，，则点到的距离等于( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查解直角三角形的应用坡度角问题、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点到的距离，本题得以解决．
【解答】
解：作于点，作于点，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
，，
，
故选D．
18.在平面直角坐标系中，已知，设函数的图象与轴有个交点，函数的图象与轴有个交点，则( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查一次函数和二次函数与轴的交点问题，关键是根据根的判别式的取值确定抛物线与轴的交点个数，二次项系数为字母的代数式时，要根据系数是否为，确定它是什么函数，进而确定与轴的交点个数．
先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与轴的交点个数，若一次函数，则与轴只有一个交点，据此解答．
【解答】
解：，
，
函数的图象与轴有个交点，
，
函数，
当时，，函数的图象与轴有个交点，即，此时；
当时，不妨令，，，函数为一次函数，与轴有一个交点，即，此时；
综上可知，或．
故选：．
二、填空题：本题共10小题，共39分。
19.如图，在矩形中，点在上，且，，点是线段上的一个动点点不与点，重合，连接，，将关于直线对称的三角形记作，当点运动到使点落在矩形任意一边所在的直线上时，则线段的长是______ ．
【答案】或或
【解析】解：当点落在的延长线上时，设，
，，，
≌，
，
，
在中，，
，
解得，
；
当点落在的延长线上时，易知，
当点落在的延长线上时，易知，
综上所述，满足条件的的值为或或．
分三种情形分别讨论，由矩形的性质和折叠的性质求解．
本题考查矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
20.如图，在中，是重心，点是的中点，若的面积为，则的面积为______ ．
【答案】
【解析】解：点是的中点，
，
，
是重心，
：：，
故答案为．
由于点是的中点，则根据三角形面积公式得到，再利用重心性质得到：：，然后再利用三角形面积公式可计算出
本题考查了三角形重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为：也考查了三角形面积公式．
21.如图，在矩形中，，，点是上一个动点，把沿向矩形内部折叠，当点的对应点恰落在的平分线上时，则的长为______．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质，翻折变换折叠问题解题的关键是作出辅助线，构建直角三角形和等腰直角，利用勾股定理将所求的线段与已知线段的数量关系联系起来如图，过点作于点设，则在直角中，由勾股定理得到：由此求得的值；然后在等腰中，
【解答】
解：如图，过点作于点．
点的对应点恰落在的平分线上，
易得是等腰直角三角形，
设，则．
又由折叠的性质知．
在直角中，由勾股定理得到：，
，
，
在等腰中，．
故答案是．
22.在“探索一次函数的系数，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：，，同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式，，分别计算，，的值，其中最大的值等于______ ．
【答案】
【解析】解：设直线的解析式为，
将点，代入得，，
解得：，
，
设直线的解析式为，
将点，代入得，，
解得：，
，
设直线的解析式为，
将点，代入得，，
解得：，
，
，，，其中最大的值为．
故答案为：．
利用待定系数法求出分别求出，，，，，的值，再计算，，的值，最后比较大小即可得到答案．
本题主要考查用待定系数法求一次函数解析式，应用待定系数进行正确的计算是解题关键．
23.如图，在中，，，点，，分别在边，，上，连接，，，已知点和点关于直线对称设，若，则 ______ 结果用含的代数式表示．
【答案】
【解析】解：点和点关于直线对称，
，
，
，
，
，
点和点关于直线对称，
，
，
，
，
，，
点和点关于直线对称，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
先根据轴对称的性质和已知条件证明，再证∽，推出，通过证明∽，推出，即可求出的值．
本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质等，有一定难度，解题的关键是证明∽．
24.如图是以点为圆心，为直径的圆形纸片，点在上，将该圆形纸片沿直线对折，点落在上的点处不与点重合，连接，，设与直径交于点若，则______度；的值等于______．
【答案】；
【解析】【分析】
本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．由等腰三角形的性质得出，证出，由折叠的性质得出，设，证出，，由三角形内角和定理可得出的度数；证明∽，由相似三角形的性质得出，设，，得出，求出，证明∽，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【解答】
解：，
，
，，
，
将该圆形纸片沿直线对折，
，
又，
，
设，
，
，
，
，
，
；
，
，
，，
∽，
，
，
设，，
，
解得，负值舍去，
，
，
，，
∽，
，
．
25.如图是一张矩形纸片，点是对角线的中点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连接，若，则 ______ 度
【答案】
【解析】解：连接，如图：
四边形是矩形，
．
是的中点，
，
，．
，关于对称，
，
．
，，，
．
．
，
．
，
．
设，则，
．
，
．
．
故答案为：．
连接，利用斜边上的中线等于斜边的一半可得和为等腰三角形，，；由折叠可知，可得；由，，，可得，进而得到；利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得；最后在中，利用三角形的内角和定理列出方程，结论可得．
本题主要考查了矩形的性质，折叠问题，三角形的内角和定理及其推论，利用三角形内角和定理列出方程是解题的关键．
26.如图，已知是的直径，与相切于点，连接，若，则______．
【答案】
【解析】解：是的直径，与相切于点，
，
，
，
设，，
，
，
，
故答案为：．
根据切线的性质得到，设，，根据勾股定理得到，于是得到结论．
本题考查了切线的性质，解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
27.如图是一张矩形纸片，点在边上，把沿直线对折，使点落在对角线上的点处，连接若点，，在同一条直线上，，则 ， ．
【答案】

【解析】【分析】
本题考查了翻折变换折叠问题，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据矩形的性质得到，，根据折叠的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到；根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】
解：四边形是矩形，
，，
把沿直线对折，使点落在对角线上的点处，
，，，
，，
，
，
≌，
；
，
，
，
∽，
，
，
负值舍去，
，
故答案为；．
28.如图，把某矩形纸片沿，折叠点，在边上，点，在边上，使点和点落在边上同一点处，点的对称点为点，点的对称点为点，若，的面积为，的面积为，则矩形的面积等于______．
【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，设，
由翻折可知：，，
的面积为，的面积为，
，设，则，
∽，
，
，
，
或舍弃，
，
，
，
，
，，，
，
矩形的面积．
故答案为．
设，由翻折可知：，，因为的面积为，的面积为，推出，设，则，由∽，推出，推出，可得，再利用三角形的面积公式求出即可解决问题．
本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题：本题共11小题，共130分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
29.本小题分
设二次函数是实数已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
若，
求二次函数的表达式；
写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而减小．
若在，，这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围．
【答案】解：由题意得
解得，
二次函数的表达式是；
，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小；
和时的函数值都是，
抛物线的对称轴为直线，
是顶点，和关于对称轴对称，
若在，，这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且，
，
，
二次函数为，
，
．
【解析】利用待定系数法即可求得；
利用二次函数的性质得出结论；答案不唯一
根据题意，由，得出，则二次函数为，得出，解得．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，能够明确题意得出是解题的关键．
30.本小题分
如图，在中，直径垂直弦于点，连接，，，作于点，交线段于点不与点，重合，连接．
若，求的长．
求证：．
若，猜想的度数，并证明你的结论．
【答案】解：直径垂直弦，
，
，
，
，
，
由圆周角定理得，
，
在和中，
，
≌，
；
证明：是的直径，
，
，
，
∽，
，
，
由知，
，
，
；
解：，证明如下：
如图，连接，
，
，
直径垂直弦，
，，
，
≌，
，
设，，
则，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
即，
，
．
【解析】由垂径定理可得，结合可得，根据圆周角定理可得，进而可得，通过证明≌，可得；
证明∽，根据对应边成比例可得，再根据，，可证；
设，，可证，，通过证明≌，进而可得，即，则．
本题是圆的综合题，考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，特别是第问，需要大胆猜想，再逐步论证．
31.本小题分
设二次函数是常数的图象与轴交于，两点．
若，两点的坐标分别为，，求函数的表达式及其图象的对称轴．
若函数的表达式可以写成是常数的形式，求的最小值．
设一次函数是常数，若函数的表达式还可以写成的形式，当函数的图象经过点时，求的值．
【答案】解：二次函数过点、，
，即．
抛物线的对称轴为．
把化成一般式得，
．
，．
．
把的值看作是的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，
当时，的最小值是．
由题意得，

．
函数的图象经过点 ，
．
，或．
即或．
【解析】根据、两点的坐标特征，可设函数的表达式为，其中，是抛物线与轴交点的横坐标；
把函数，化成一般式，求出对应的、的值，再根据式子的特点求出其最小值；
把，代入求出关于的函数表达式，再根据其图象过点，把代入其表达式，形成关于的一元二次方程，解方程即可．
本题考查了二次函数表达式的三种形式，即一般式：，顶点式：，交点式：
32.本小题分
在正方形中，点是边的中点，点在线段上不与点重合，点在边上，且，连接，以为边在正方形内作正方形．
如图，若，当点与点重合时，求正方形的面积．
如图，已知直线分别与边，交于点，，射线与射线交于点．
求证：；
设，和四边形的面积分别为，求证：．
【答案】解：如图，
点是边的中点，若，当点与点重合，
，
，
，
在中，，
正方形的面积；
如图，
证明：
四边形是正方形，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
；
证明：四边形是正方形，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
∽，
，
，
，
，
．
【解析】由点是边的中点，若，当点与点重合，得出，由，得出，由勾股定理得出，即可求出正方形的面积；
由“一线三直角”证明∽，得出，由，得出，进而证明；
先证明≌，得出，再证明∽，得出，由正弦的定义得出，进而得出，得出，即可证明．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
33.本小题分
在直角坐标系中，设函数是常数，．
若该函数的图象经过和两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
已知，当，是实数，时，该函数对应的函数值分别为，若，求证：．
【答案】解：由题意，得
解得
所以，该函数表达式为．
并且该函数图象的顶点坐标为．
由题意，得，，
所以
，
由条件，知所以 ，得证．
【解析】考查使用待定系数法求二次函数解析式，属于基础题，将两点坐标代入，解二元一次方程组即可；
已知，则容易得到，利用，即代入对代数式进行化简，并配方得出最后注意利用条件判断，得证．
本题主要考查了待定系数法求解二次函数表达式，以及二次函数图象的顶点坐标，代数式的化简，并利用配方法判断代数式的取值范围．
第小问的关键是利用，首先对代数式化简，然后配方说明的范围，另外注意．
34.本小题分
如图，锐角三角形内接于，的平分线交于点，交边于点，连接．
求证：∽；
已知，，求线段的长用含，的代数式表示；
已知点在线段上不与点，点重合，点在线段上不与点，点重合，，求证：．
【答案】证明：平分，
，
又，
∽；
解：由知，∽，
，
，
，
；
证明：，，
，
，
，
又，
∽，
，
．
【解析】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定和性质是解题的关键．
根据的平分线交于点，知，由圆周角定理知，即可证∽；
由知，由得，即可计算的长度；
先证∽，得出线段比例关系，即可得证．
35.本小题分
如图，在正方形中，点在边上，连接，的平分线与边交于点，与的延长线交于点设．
若，，求线段的长．
连接，若，
求证：点为边的中点．
求的值．
【答案】解：在正方形中，，
，
又平分，
，
，
．
，，，
点为的中点，，
，
，
．
证明：由得，，
又，
．
在和中
，
，
即点为的中点．
解：设，则，
由知，．
，，
，，，
，
，
．
，，
，
，
，，
．
【解析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用．
根据，，可以得到、的长，然后根据正方形的性质，可以得到的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到的长，从而可以得到线段的长；
要证明点为边的中点，只要证明即可，然后根据题目中的条件，可以得到的条件，从而可以证明结论成立；
根据题意和三角形相似，可以得到和的比值，从而可以得到的值．
36.本小题分
在平面直角坐标系中，设二次函数，是实数，．
若函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求函数的表达式．
若函数的图象经过点，其中，求证：函数的图象经过点．
设函数和函数的最小值分别为和，若，求，的值．
【答案】解：由题意，得到，解得，
函数的图象经过，
，
解得或，
函数或．
函数的图象经过点，其中，
，
，
即，
是方程的根，
即函数的图象经过点．
由题意，，，
，
，
，
，
，
．
【解析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
利用待定系数法解决问题即可．
函数的图象经过点，其中，可得，推出，即，推出是方程的根，可得结论．
由题意，，，根据，构建方程可得结论．
37.本小题分
如图，已知，为的两条直径，连接，，于点，点是半径的中点，连接，
设的半径为，若，求线段的长；
连接，，设与交于点，
求证：；
若，求的度数．
【答案】解：，，，
，，，
是直径，
，
，
，
是等边三角形，
点是的中点，
，
，
，
，
，
证明：过点作于，交于，连接，
，
，
∽，
，同理，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
．
【解析】本题属于圆综合题，考查了等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．
解直角三角形求出，再证明，利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题；
过点作于，交于，连接，想办法证明四边形是平行四边形可得结论；
先证明，推出，推出是等腰直角三角形即可解决问题．
38.本小题分
设二次函数是实数．
甲求得当时，；当时，；乙求得当时，若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．
写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值用含，的代数式表示．
已知二次函数的图象经过和两点是实数，当时，求证：．
【答案】解：当时，；当时，；
二次函数经过点，，
，，
，
当时，，
乙求得的结果不对；
对称轴为，
当时，是函数的最小值；
二次函数的图象经过和两点，
，，
，
，，
．
【解析】将，代入求出函数解析式即可求解；
对称轴为，当时，是函数的最小值；
将已知两点代入求出，，再表示出，由已知，可求出，，即可求解．
本题考查二次函数的性质；函数最值的求法；熟练掌握二次函数的性质，能够将准确的用和表示出来是解题的关键．
39.本小题分
如图，已知锐角三角形内接于圆，于点，连接．
若，
求证：．
当时，求面积的最大值．
点在线段上，，连接，设，是正数，若，求证：．
【答案】解：连接、，
则，
，
；
长度为定值，
求面积的最大值，要求边上的高最大，
当过点时，最大，即：，
根据勾股定理求出，
面积的最大值；
如图，连接，
设：，
则，，
则，
，
，
，
，
即：，
化简得：．
【解析】连接、，则，即可求解；长度为定值，面积的最大值，要求边上的高最大，即可求解；
，而，即可求解．
本题考查圆周角顶点，含角直角三角形的性质、三角形内角和公式，其中是本题容易忽视的地方．
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