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　　　　　　　　超越思维定势，优化解题过程
　　　　　　　　内蒙古包头土右旗萨拉齐第一中学　陈明小
【摘要】：思维的本身是人的意识对客观事物的本质属性和内部规律的概括和间接的反映，数学思维则是人脑和数学对象（空间形式、数量关系）交互作用并按照一般思维规律认识数学内容的过程和活动，而数学内容具有“动”与“静”，“变”与“不变”等特点，因此对于一个数学问题从辩证的角度，灵活的去观察、分析并处理，针对思维活动中的关键环节和薄弱活动，有意识的进行训练可突破思维定势，改善和优化思维品质，提高思维能力，以寻求最优化的解题途径。
【关键词】：灵活　变通 优化　审题 关键　思维　全局　　　　　　　
　　
在数学解题过程中，人们常常会受到一些思维定势的影响，从而导致解题过程繁琐或解题障碍。如何才能超越思维定势的束缚，优化解题过程呢？
１．把握本质，灵活变通。
在解题过程中，不要一味强化解题模式，而应把握解题本质，灵活地进行变通，以优化解题过程。
例１．已知分别是椭圆的左右顶点，P1，
P2是椭圆上的动点，且，求直线Ａ１Ｐ１与Ａ２Ｐ２的
交点Ｑ的轨迹方程．
分析：两动直线的交点的轨迹方程，可采用参数法或交轨法。
　解：令Ｑ（x,y）A1(-a,0) A2(a,0) . P(m,n ) , P(m,-n) (n≠0) 则直线　　　　① 　　　　　 　　　　　　　　　　
　　 直线： 　　　　② . 　　　　
　　　①×②得： 　③
又 ,从而代入③ 　
∴ ∴
评析：若用参数将动点坐标表示出来，然后再进行消参，这样相当于绕了一个弯子，增加了运算量。　
２．仔细审题，抓住关键。
　　解题时不仅注意通性通法的运用，还应通过仔细审题，
充分与把握问题中蕴含的信息与关键信息，积极探索最优化
的解题过程。
例２．已知的值域，求的值。　　
　分析：为函数的值域的子集．
　　　解：当时，值域．∴，， ．　　　　　
　　　　又对称轴，∴在上为增函数．
　　　　　，又＜　∴　m,n为方程的两个根.　　　即为的两个根．∴
　　评析：若分类讨论：①，②＜，③＜１＜，④．这样显然很麻烦．
例３．已知函数，数列满足，求数列的通项，并比较与的大小．　　
　　分析：由的结构，联想到二倍角公式，可通过三角换元来求解．
　　　解　∵，∴．令， ∴，又，∴．即，得 ∴
∴.又对任意的，都有 .由三角函数线知 ∴.
评析：通过代数变形来构造数列或进行递推，无法找到解题的突破口，导致解题障碍．若能注意到函数的结构特征，解题思路将豁然开朗。
3.放眼全局，合理选择。
　 不同思路的选择决定着能否快速实现解题目标和繁简程度。不论是解题之前对解题思路的选择，还是在解题过程对一些解题程序和运算途径的选择，都应根据问题的特点，放眼全局，立足优化，慎重选择。
例4.已知，且当时，恒成立，求实
　　数的范围。
分析：本题为不等式恒成立问题，可利用分离变量的方法来求解.
解：当时，显然成立.
当时，由，，，令，.则.
　　　　由，∴在上为增函数.由，　　　　　　　　　　　　　　　　　∴在上为减函数. 从而 ，
∴.
评析：本题的另一种常规思路是直接对参数进行分类，但需分作如下四种情形：①；②；③；④，该思路解题繁琐；而前一种思路将参数与变量分离开来，回避了对参数的分类讨论，从而简化了解题过程，这种处理策略也是解决不等式恒成立问题的常用策略.
4.注重反思，优化思维.
　 荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔指出：数学学习是一种再创造学习，反思是数学思维活动的核心和动力.因此，在解题教学中，若能经常地引导学生进行反思，可有效地优化学生的思维品质，提高学生的数学素养.
例５．过的直线与椭圆交于两点，，求的斜率．
　　分析：先利用条件构造关于的方程。
　　　解：设，显然的斜率存在，故可设的方程为．由，消得．　∴　；　．　又因，所以，从而．　∴　，　．消得　解得　．代入＊式．即直线的斜率为．
　　　评析：上述求解过程运算量较大，合理的反思深挖题目中的条件，由的纵坐标为０，且由得　，这一关系比简单，因此采用先消来求解的思路是更好的选择．
　　例６．已知直线过且与轴交于A，直线过点且与y轴交于点B，若，且，求点M的轨迹方程．
　　　分析：可用参数法求解．
　　　　解：设M(x,y)，若不垂直于x轴． 令的方程为y-5=k(x-1)， 则A(1-,0)．由于， 可得直线的斜率为-， 故的方程为y+7=-(x-2)． 则B(0,-7)， 又． ∴x=　，y=　． 消去k得4x+5y+22=0 ＊　．
　　若直线垂直于x轴，则垂直于y轴，易得A(1,0)，B(0,-7)．此时M也适合*式．
综上所述，点M的轨迹：4x+5y+22=0．
　　　评析：上述求解的方法采用了参数法，且需要分类讨论．若采用向量法求解可使解题过程更为优化：设M(x,y)， 由 可得 A(3x,0)， B(0，), 由知，从而可得M的轨迹方程．
　　总之，在数学教学中，应重视对数学本质的揭示，引导学生灵活的运用有关的数学知识与方法解决问题．在解题过程中，应引导学生认真审题，抓住问题中的关键信息，具体问题具体分析，放眼全局合理选择，以寻求最优化的解题途径．在解题之后，应通过反思教学，深化学生对数学本质的理解，优化学生的思维品质，这样才可以摆脱思维定势的束缚，达到快速解题的目的．　　　　　　　
【参考文献】：高中数学教与学　　中学数学教研　　　　初等数学轮

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