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专题7 四边形中的特殊模型
模型一 中点四边形
已知:点E,F,G,H 分别是四边形 ABCD的边 AB,BC,CD,DA的中点
结论1：四边形EFGH是平行四边形；结论 2: C四边形EFGH=AC+BD; 结论3: S四边形EFCH= S四边形ABCD
拓展1：矩形的中点四边形 四边形 EFGH是菱形
拓展 2：菱形的中点四边形 四边形 EFGH是矩形
拓展3：正方形的中点四边形 四边形 EFGH是正方形
例1 如图，在四边形 ABCD中，对角线AC,BD 相交于点O,且 点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA 的中点，依次连接各边中点得到四边形EFGH,求证:四边形 EFGH 是矩形.
解题思路 利用三角形的中位线定理可证得四边形 EFGH是平行四边形，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可.
模型二 “十字”模型
已知:正方形ABCD,点E,F分别在CD,AD上,AE 与 BF交于点G. 结论1:若AE⊥BF,则AE=BF且△BFA≌△AED; 结论2:若AE=BF,则AE⊥BF且△BFA≌△AED
已知:正方形 ABCD,点E,F,G分别在 CD,AD, BC 上. 结论:若AE⊥GF,则AE=GF
已知:正方形ABCD,点E,F,G,H分别在AB,CD, BC,AD 上. 结论:若EF⊥GH,则EF=GH
拓展1:已知矩形ABCD,点E 是 AD上的点. 结论:若 CE⊥BD,则
拓展2:已知矩形 ABCD,点E,F分别在AD,BC 上,G,H分别在AB,CD上. 结论:若EF⊥GH,则
例 2 已知:正方形ABCD,点 E,F,G 分别在CD,AD,BC上.
证明:若AE⊥GF,则AE=GF.
解题关键 过点 F 作 FH⊥BC 于点H,并证明
　　
模型三 对角互补模型
类型 图形 结论
90°的对角互补模型 ∠ABC= ∠ADC = 90°, BD 平分∠ABC ①AD=CD; ②AB+BC= BD; ③S四边形ABCD= BD
120°的对角互补模型 ∠ABC=120°,∠ADC= 60°, BD平分∠ABC ①AD=CD; ②AB+BC=BD; ③S四边形ABCD= BD
(拓展) ∠ABC+∠ADC =180° 过点D作DE⊥AB 于 E,作DF⊥BC 于F,则 △DAE∽△DCF
作∠BDG= ∠ADC, 则 △DAB∽△DCG
例 3 如图,菱形 ABCD 的边长为 10, ∠ABC = 60°,对角线 AC、BD 相交于点 O,点 E 在对角线 BD 上, 连接AE,作∠AEF=120°且边 EF 与直线 DC 相交于点 F.
(1)求菱形 ABCD的面积;
(2)求证:AE=EF.
解题思路 (1)过点A 作 BC 的垂线,垂足为 G,在Rt△ABG中,∠ABC=60°,AB=10,可得 即可求菱形的面积；
(2)连接EC，由菱形的性质可知 EO 垂直平分 AC,则 EA=EC,可得∠EAC=∠ECA,利用角的和差关系证∠EFC=∠ECF,进而证明EC=EF,则AE=EF.
专项训练
1.若顺次连接四边形 ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定 ( )
A.互相平分 B.互相垂直 C.互相平分且相等 D.互相垂直且相等
2.
如图,在正方形ABCD中,CE⊥DF. 求证:CE=DF. 证明:设 CE 与 DF交于点O, ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠B=∠DCF=90°,BC=CD.∴∠BCE+∠DCE=90°. ∵CE⊥DF,∴∠COD=90°,∴∠CDF+∠DCE=90°, ∴∠CDF=∠BCE,∴△CBE≌△DCF,∴CE=DF.
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究.
【问题探究】如图1,在正方形 ABCD中,点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA 上,且EG⊥FH,试猜想 的值，并证明你的猜想；
【知识迁移】如图2,在矩形ABCD中,AB=m,BC=n,点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上,且EG⊥FH,则
【拓展应用】如图3,在四边形 ABCD中,∠DAB=90°,∠ABC=60°,AB=BC,点E、F分别在边 AB、AD上,且CE⊥BF.求 的值.
3.如图,已知四边形ABCD为正方形,点 E 在对角线AC上,连接DE,过点E作EF⊥DE,交 BC于点F,以 DE,EF 为邻边作矩形DEFG,连接CG.
(1)求证:ED=EF;
(2)若四边形 DECG 的面积为9,求 CE+CG的值.
巩固练习
1.如图,在四边形 ABCD中,点 E,F,G,H分别是 AB, BC，CD，DA 边的中点，则下列结论一定正确的是( )
A.四边形 EFGH 是矩形
B.四边形 EFGH 的内角和小于四边形 ABCD 的内角和
C.四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和
D.四边形 EFGH 的面积等于四边形 ABCD 的面积的
2.如图,在正方形ABCD中,点 E 是 BC上一点, AE 交 DC 于点 F,连接AF,若 求 AF 的长.
3.已知 CD 是 的角平分线，点E ，F分别在边AC,BC 上, 与 的面积之和为 S.
(1)填空:当 时，如图1,若 则 如图2,若 则
(2)如图 3,当 时,探究 S 与 m,n的数量关系，并说明理由；
(3)如图4,当 4时，请求出S的大小.
参考答案
例 1 证明 ∵ 点 E、F、G、H分别是边 AB、BC、CD、DA的中点,∴EF∥AC,GH∥AC,
∴EF∥GH,同理EH∥FG,∴ 四边形 EFGH是平行四边形.
又∵对角线AC、BD互相垂直，∴EF 与FG垂直,∴ 四边形 EFGH 是矩形.
例 2 证明 过点 F 作 FH⊥BC 于点 H,则四边形 FHCD 为矩形,∴ FH=DC=AD.
∵AE⊥GF,∴∠DAE+∠AFG=90°,易知∠GFH+∠AFG=90°,∴∠DAE=∠HFG.
在△ADE 和△FHG中, ∴△ADE≌△FHG(ASA),∴AE=GF.
例 3 解析 (1)作AG⊥BC于点G,
∵四边形ABCD是菱形,边长为10,∴BC=AB=10,
(2)证明:连接EC,
∵ 四 边 形 ABCD 是 菱形,∠ABC=60°,∴EO 垂直平分AC,∠BCD=120°,
∴EA=EC,∠DCA=60°,∴∠EAC=∠ECA,∠ACF=120°,
∵∠AEF=120°,∴ ∠EAC+∠EFC = 360°-∠AEF-∠ACF=360°-120°-120°=120°,
∵∠ECA+∠ECF=120°,∴∠EFC=∠ECF,∴EC=EF,∴ AE=EF.
专项训练
1. D ∵E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、AD 的中点,∴EH∥BD∥FG,EF∥AC∥HG,
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵ 四边形 EFGH 是正 方 形,即EF⊥FG,FE=FG,∴AC⊥BD,AC=BD.
2.解析 【问题探究】猜想：
证明:如图,过点 A 作 AM∥HF 交BC 于点 M,作AN∥EG交 CD的延长线于点 N，
易得 AM=HF,AN=EG.
∵四边形 ABCD是正方形,∴ AB = AD,∠ABM = ∠BAD =∠ADN=90°,
由EG⊥FH,易得∠NAM=90°,∴∠BAM=∠DAN.
易证△ABM≌△ADN,∴AM=AN,即EG=FH,
【知识迁移】
详解:如图,过点 A 作 AM∥HF 交BC 于点 M,作AN∥EG交CD的延长线于点 N，
易得 AM=HF,AN=EG,
同【问题 探究】易得 ∠BAM =∠DAN.易证△ABM∽△ADN.
∵AB=m,BC=AD=n,
【拓展应用】如图,过点 C 作 CM⊥AB 于点 M,设CE 交 BF于点 O.
∵CM⊥AB,∴∠CME=90°,∴∠1+∠2=90°,
∵CE⊥BF,∴∠BOE=90°,∴∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3,∴△CME∽△BAF,
∵AB=BC,∠ABC=60°,
3.解析 (1)证明:如图,过点 E 分别作 EM⊥BC 于点 M,EN⊥CD 于点 N,
则∠EMC=∠ENC=∠END=90°,由正方形ABCD得∠MCN=90°,∴∠MEN=90°.
又∠DEF=90°,∴∠DEN=∠FEM.
∵点 E 是正方形ABCD对角线上的点,EM⊥BC,EN⊥CD,∴EM=EN.
在△FEM和△DEN中, ∴△EMF≌△END(ASA),∴ ED=EF.
(2)∵ED=EF,∴矩形DEFG是正方形,∴DE=DG,∠EDG=90°.
又∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC,∠ADC=90°,∴∠ADE=∠CDG.
在△ADE 和△CDG中, ∴△ADE≌△CDG(SAS),
∴CE+CG=CE+AE=AC,
则 故 CE+CG=6.
巩固练习
1. C 连接A C、BD,易得四边形EFGH 是平行四边形，不一定是矩形，故 A 选项中结论错误，不符合题意；四边形 EFGH 和四边形 ABCD 的内角和均等于 故B 选项中结论错误，不符合题意；易得 所以四边形 EFGH 的周长 故C 选项中结论正确，符合题意；易得四边形 EFGH 的面积等于四边形ABCD的面积的 故 D 选项中结论错误，不符合题意.故选 C.
2.解析 ∵ 四边形ABCD是正方形,
∴CF=BE=2,∴DF=5-2=3,
∵四边形 ABCD是正方形,∴AB=AD=5,∠ADF=90°,
在 Rt△ADF中,由勾股定理得 AF
3.解析
理由如下：
如图,过点 D 作 DM⊥AC 于点 M,作DN⊥BC 于点 N,作 DG⊥AB 交BC的延长线于点 G,则∠DME=∠DNF=90°.
∵CD是△ABC 的角平分线,∴DM=DN.
∵∠ACB=∠EDF=90°,∴∠DFC+∠DEC=180°,
又∵∠DEM+∠DEC=180°,∴∠DEM=∠DFN,∴△EDM≌△FDN(AAS),∴DE=DF.
∵DG⊥AB,∴∠ADG=∠EDF=90°,即∠ADE+∠EDG=∠EDG+∠GDF=90°,∴∠ADE=∠GDF,
∴△ADE≌△GDF(ASA),
(3)如图,过点 D 作 DM⊥AC 于点M,DN⊥BC 于点 N.易知 DM=DN.
∵∠DMC=∠DNC=90°,∴∠MDN=180°-∠ACB=120°,∴∠EDF=∠MDN=120°,
∴∠EDM=∠FDN.∴△DME≌△DNF(ASA),
把△DMA绕点 D 顺时针旋转120°得到△DNT,∠BDT=60°,DT=DA=6,DB=4,过点 B 作BH⊥DT于点 H,
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