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第六章 圆周运动
圆周运动章末复习
通过本章我们学到了什么
内容
知识的梳理与整合
典例分析
一、
二、
圆周运动
6.4
6.2
6.1
6.3
圆周运动
向心力
生活中的圆周运动
向心加速度
线速度
角速度
周期
线速度与角速度的关系
向心力
向心力的大小
变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点
火车转弯
汽车过拱形桥
航天器中的失重现象
离心运动
匀速圆周运动的加速度方向
匀速圆周运动的加速度大小
一、知识的梳理与整合
1.圆周运动
(1)描述圆周运动的物理量
（2）圆周运动各物理量间的关系
3.离心运动与近心运动
(1)离心运动
(2)近心运动
当提供向心力的合力大于做圆周运动所需向心力,即F>mω2r时,物体将逐渐靠近圆心,做近心运动。
4.圆周运动的动力学问题
（1）向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的,可以是重力、弹力、摩擦力等各种力,也可以是几个力的合力或某个力的分力,因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。
（2）几种典型运动模型及特点
（3）圆周运动问题解决方法
一、水平面内圆周运动临界问题
（1）题型简述：
在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，会出现绳子张紧（或恰好拉直）、绳子突然断裂、静摩擦力达最大值、弹簧弹力大小或方向发生变化等，从而出现临界问题。
（2）方法突破——步骤：
①判断临界状态：有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就对应着临界
二、典例分析
状态；若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往对应着临界状态。
②确定临界条件：判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来。
③选择物理规律：当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后列方程求解。
（3）水平面内圆周运动临界问题的分析技巧
①在水平面内做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动的趋势（半径有变化）。这时要根据物体的受力情况，判断某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。
②三种临界情况：
ⅰ．接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力FN＝0。
ⅱ．相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值。
ⅲ． 绳子断裂与松驰（或恰好拉直）的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛（或恰好拉直）的临界条件是：FT＝0。
（4）水平面内圆周运动的临界极值问题通常有两类：
一类是与摩擦力有关的临界问题；一类是与弹力有关的临界问题。
第一、与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。
①如果只是摩擦力提供向心力，则有Fm＝ m ，静摩擦力的方向一定指向圆心；
如图(a)所示：汽车转弯时，只由摩擦力提供向心力
(a)
Ffm＝ m
(b)
(c)
图(b)：绳两端连物体，其中一个在水平面内做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心．
图(c)：两个物体分处转动中心两侧时，临界条件为两物体同时发生相对滑动，且摩擦力方向同向．
②如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体
【例1】 (多选)如图所示,两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上,a与转轴OO'的距离为l,b与转轴的距离为2l。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍,重力加速度大小为g,若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动,用ω表示圆盘转动的角速度。下列说法正确的是(　　)
A.b一定比a先开始滑动
B.a、b所受的摩擦力始终相等
AC
答案:AC
规律方法 物体随水平转盘做圆周运动,通常是静摩擦力提供向心力,静摩擦力随转速的增大而增大,当静摩擦力增大到最大静摩擦力时,物体达到保持圆周运动的最大速度。若转速继续增大,物体将做离心运动。
【例2】如图所示,一根长为l=1 m的细线一端系一质量为m=1 kg的小球(可视为质点),另一端固定在一光滑锥体顶端,锥面与竖直方向的夹角为θ=37°。(g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,结果可用根式表示)
(1)若要使小球刚好离开锥面,则小球的角速
度ω0为多大
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°,则小球
的角速度ω'为多大
第二、与弹力有关的临界极值问题
①压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；
②绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。
解析:(1)若要使小球刚好离开锥面,则小球只受到重力和细线的拉力,小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上,
故向心力沿水平方向,受力分析如图所示。由牛顿
第二定律及向心力公式得mgtan θ=m lsin θ,
【例3】如图所示，两绳系一质量为m=0.1kg的小球，上面绳长L=2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问：
（1）球的角速度在什么范围内，两绳始
终张紧？
（2）当角速度为3rad/s时，上、下两绳拉
力分别为多大？
解：（1）当AC绳拉直但没有力时，即FT1=0时，由重力和绳BC的拉力FT2的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
mgtan45°=mωmax2rωmax2r 其中：r=l sin30°
解得：ωmax=3.16 rad/s
当BC恰好拉直时，FT2恰为零时，根据牛顿第二定律，有：
mgtan30°=mωmin2rωmin2r
解得：ωmin=2.4 rad/s
所以当2.4 rad/s＜ω＜3.16 rad/s时两绳均张紧．
（2）当ω=3 rad/s时，两绳均处于张紧状态，此时小球受FT1、FT2、mg三力作用，正交分解后可得：
水平方向：FT1sin30°+FT2sin45°=mlsin30°ω2
竖直方向：FT1cos30°+FT2cos45°=mg
代入数据后解得：
FT1=0.27 N FT2=1.09 N
故：（1）小球的角速度在2.4 rad/s＜ω＜3.16 rad/s范围内两绳均张紧；
（2）当ω=3rad/s时，AC绳拉力为0.27N，BC绳拉力1.09N．
轻绳模型 轻杆模型
实例 如球与绳连接、沿内轨道运动的球等 如球与杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等
图示 最高点无支撑 最高点有支撑
二、竖直面内的圆周运动
1．轻绳和轻杆模型概述
在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等)，称为“轻绳模型”；二是有支撑(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)，称为“轻杆模型”．
最 高 点 受力特征 重力、弹力，弹力方向向下或等于零 重力、弹力，弹力方向向下、等于零或向上
受力示意图
力学特征 mg＋FN＝ mg±FN＝
临界特征 FN＝0，vmin＝ 竖直向上的FN＝mg，v＝0
过最高 点条件 v≥0
速度和弹力关系讨论分析
2.分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路
【例4】如图甲所示,一质量m=0.5 kg的小球,用长为0.4 m的轻绳拴着,在竖直平面内做圆周运动。重力加速度g取10 m/s2,问:
(1)小球要做完整的圆周运动,在最高点的速度至少为多大
(2)当小球在最高点的速度为4 m/s时,轻绳拉力多大
(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N,小球的速度不能超过多大
【解析】
三、复合模型（竖直面内圆周运动与平抛运动的组合）
（1）模型简述：此类问题有时物体先做竖直面内的变速圆周运动，后做平抛运动；有时物体先做平抛运动，后做竖直面内的变速圆周运动，往往要结合能量关系求解，多以计算题形式考查。
（2）方法突破：
①竖直面内的圆周运动首先要明确是“轻杆模型”还是“轻绳模型”，然后分析物体能够到达圆周最高点的临界条件。
②速度是联系前后两个过程的关键物理量。
（3）解题关键
①明确水平面内匀速圆周运动的向心力来源，根据牛顿第二 定律和向心力公式列方程。
②平抛运动一般是沿水平方向和竖直方向分解速度或位移。
③速度是联系前后两个过程的关键物理量，前一个过程的末速度是后一个过程的初速度。
【例5】如图所示,一个人用一根长R=1.6 m的轻质细绳拴着一个质量m=1 kg的小球在竖直平面内做圆周运动,且小球恰好能够经过最高点。已知圆心O 距离地面h=6.6 m,转动中小球在最低点时绳子刚好断裂,此时小球的速度4 m/s(g取10 m/s2)。试求:
(1)小球恰好经过最高点时的速度大小;
(2)绳子能够承受的最大拉力大小;
(3)上述第(2)问中绳子断后,小球落地点
到O的水平距离。
轨迹是圆或者圆的一部分的运动称为圆周运动
线速度
周期T、频率f、转速n
把线速度大小不变的圆周运动称为匀速圆周运动
运动快慢的描述
角速度
匀速圆周运动是变速运动、速度方向时刻改变
向心加速度
向心力
牛顿
第二
定律
速度（方向）改变的快慢
某一个力、合力、分力
来源
物体做
匀速圆周运动
需要向心力
来源
提供向心力
课堂小结

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