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第八章 机械能守恒定律
8.4 机械能守恒定律
在小球的运动过程中，有哪些物理量是变化的？哪些是不变的？
教学目标
1．知道机械能的概念。
2．理解机械能守恒定律的内容和守恒条件。
3．能用机械能守恒定律分析生活和生产中的有关问题。
新课导入
伽利略曾研究过小球在斜面上的运动。他发现：无论斜面 B 比斜面 A 陡些或缓些，小球的速度最后总会在斜面上的某点变为 0，这点距斜面底端的竖直高度与它出发时的高度基本相同。
在小球的运动过程中，有哪些物理量是变化的？哪些是不变的？你能找出不变的量吗？
伽利略斜面实验
追寻守恒量
试用所学知识证明
小球好像“记得”自己起始的高度，然后重复前面的运动
伽利略理想斜面实验
A
B
h
h
伽利略理想斜面实验（斜面均光滑）
在A斜面上：a＝gsinα x＝ v2/2a
h ＝ x sinα＝v2/2g
A
B
h
h'
α
β
在B斜面上：
　　　a'＝－gsinβ x'＝（0－v2）/2a'
h' ＝ x'　 　　sinβ= v2/2g
∴h'＝h
思考：小球在光滑的斜面A上从高为h处由静止滚下，滚上另一光滑的斜面B，速度变为零时的高度为h' ，h和h'的大小关系怎样？如果减小斜面B的倾角呢？
此消彼长
思考:小球的运动有什么特点？
小球高度降低的同时，速度在增加；高度升高的同时，速度在减小。
小球运动中，有无守恒量（即有没有哪个物理量保持不变）？
实验现象:无论斜面B比斜面A陡些或缓些,小球的速度最后总会在斜面上的某点变为0,这点距离斜面底端的竖直高度与它出发时的高度基本相同。如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略,小球必将准确地终止于它开始运动时的高度,不会更高一点,也不会更低一点。
伽利略斜面实验表明，小球在运动过程中，“有某一量是守恒的”，这个量叫做能量或能。
说明：能量与物体的运动相对应，是对物体不同运动形式的统一的量度，不同的运动形式对应不同的能量。
“能量” 是牛顿没有留给我们的少数力学概念之一，但是在牛顿之前，我们就能发现它的萌芽。（伽利略理想斜面实验）
结论
“记得”
能量
势能：
动能：
相互作用的物体凭借其位置而具有的能量
物体由于运动而具有的能量
A
B
h
h
能量
动能与势能的相互转化
1.重力势能与动能相互转化
A-B：在这个过程中，物体的速度增加了，表示物体的动能增加了。这说明，物体原来的重力势能转化成了动能。
B-C：在这个过程中，这时重力对物体做负功，物体的速度减小，表示物体的动能减少了。但由于物体的高度增加，它的重力势能增加了。这说明，物体的动能转化成了重力势能。
结论：物体的动能和重力势能可以相互转化
运动员从跳板上弹起的过程中跳板的弹性势能，转化为运动员的动能。
2.弹性势能与动能相互转化
小球在光滑杆从A向O运动过程中弹力做正功，弹簧的弹性势能转化为小球的动能。
结论： 物体的动能和弹性势能可以相互转化。
如此可见，重力势能、弹性势能、动能之间是可以互相转化的。
重力势能
动能
弹性势能
1、定义：重力势能、弹性势能、动能都是机械运动中的能量形式，统称为机械能。
2、大小：一个系统的机械能 E=Ek+Ep
标量：只有大小没有方向
相对性：需要选定参考系和参考平面
动能的确定
势能的确定
机械能
3、
一个小球在真空中做自由落体运动，另一个同样的小球在黏性较大的液体中由静止开始下落。它们都由高度为 h1 的地方下落到高度为 h2 的地方。在这两种情况下，重力做的功相等吗？重力势能的变化相等吗？动能的变化相等吗？重力势能各转化成什么形式的能？
思考与讨论
提示：
（1）这两种情况下，重力做功相等；（2）重力势能的变化相等；
（3）动能变化不相等；
（4）第一次减小的重力势能完全转化为动能，第二次减小的重力势能除了转化为动能外，还有一部分转化为内能。
机械能之间可以互相转化，那它们转化的具体形式是怎样的？是否存在定量关系呢？
重力势能
动能
弹性势能
思考讨论
这里以动能与重力势能的相互转化为例，讨论这个问题。
我们讨论物体沿光滑曲面滑下的情形。这种情形下，物体受到重力和曲面支持力的作用，因为支持力方向与运动方向垂直，支持力不做功，所以，只有重力做功。
机械能守恒定律
在图 8.4-3 中，物体在某一时刻处在高度为 h1 的位置A，这时它的速度是 v1。经过一段时间后，物体下落到高度为 h2 的另一位置 B，这时它的速度是 v2 。用 W 表示这一过程中重力做的功。从动能定理知道，重力对物体做的功等于物体动能的增加.
等式左边为物体末状态动能与势能之和，等式右边为物体初状态动能与势能之和。
可见，当系统内只有重力做功时，系统初末状态的机械能保持不变，重力势能和动能之间可以互相转化。
同理可以推导，在只有弹力做功的系统内，弹性势能和动能也可以互相转化，且系统初末状态的机械能保持不变。
机械能守恒定律
在只有重力或弹力做功的系统内，动能和势能可以互相转化，且总的机械能保持不变。
表达式：
Ek2+Ep2=Ek1+Ep1
末状态
初状态
机械能守恒的条件
（1）只有重力或弹力做功；
（2）其他力不做功或做功的代数和为零；
机械能守恒定律是针对多个物体组成的系统而言的
机械能守恒定律的不同表达式
项目 表达式 物理意义 注意
从守恒的 角度看 Ek1+Ep1=Ek2+Ep2 或E初=E末 初状态的机械能等于末状态的机械能 必须先
选零势
能面
从转化 角度看 Ek2-Ek1=Ep1-Ep2 或ΔEk=-ΔEp 过程中动能的增加量等于势能的减少量 不必选
零势能
面
从转移 角度看 或ΔEA=-ΔEB 系统只有A、B两物体时,A增加的机械能等于B减少的机械能 (1)做功分析法(常用于单个物体)
(2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统)
分析能量种类 只有动能、重力势能、弹性势能 系统机械
能守恒
(3)对一些绳子突然绷紧，物体间非弹性碰撞等问题，除非题目特别说明，机械能必定不守恒，完全非弹性碰撞过程机械能也不守恒。
画龙点睛
1.“守恒”是一个动态概念,指在动能和势能相互转化的整个过程中的任何时刻、任何位置,系统的机械能总量总保持不变。
2.机械能守恒的条件不是合力做的功等于零,也不是合力等于零。
判断机械能守恒的方法
应用机械能守恒定律解题的步骤
机械能守恒定律和动能定理的比较
【例题】把一个小球用细线悬挂起来，就成为一个摆，摆长为 l，最大偏角为 θ。如果阻力可以忽略，小球运动到最低点时的速度大小是多少？
【分析】 在阻力可以忽略的情况下，小球摆动过程中受重力和细线的拉力。细线的拉力与小球的运动方向垂直，不做功，所以这个过程中只有重力做功，机械能守恒。
小球在最高点只有重力势能，动能为 0，计算小球在最高点和最低点重力势能的差值，根据机械能守恒定律就能得出它在最低点的动能，从而算出它在最低点的速度。
解：以小球为研究对象。设最低点的重力势能为0，以小球在最高点的状态作为初状态，以小球在最低点的状态作为末状态。
在最高点的动能Ek1=0，重力势能是Ep1=mg(l-lcosθ)
在最低点的重力势能Ep2=0，而动能可以表示为Ek1=
运动过程中只有重力做功，所以机械能守恒，即Ek2+Ep2=Ek1+Ep1
把初末状态下动能、重力势能的表达式代入，得
=mg(l-lcosθ)
由此解出小球运动到最低点时的速度大小
课堂小结

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