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2023-2024学年浙江省宁波市奉化区锦屏中学八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各组图形中，不是全等图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）一个三角形的两边长分别是2与3，第三边的长不可能为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（﹣1，﹣4）向右平移3个单位长度后得到的点所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（3分）能说明命题“对于任何实数a，＝a”是假命题的一个反例可以是（　　）
A．a＝2022 B．a＝0 C．a＝ D．a＝﹣2022
5．（3分）若m＜n，则下列各式正确的是（　　）
A．﹣2m＜﹣2n B． C．1﹣m＞1﹣n D．m2＜n2
6．（3分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（　　）
A． B．0.8 C．3﹣ D．
7．（3分）已知关于x的不等式组的整数解共有4个，则a的取值范围是（　　）
A．﹣3≤a＜﹣2 B．﹣3＜a≤﹣2 C．﹣3＜a＜﹣2 D．a＜﹣2
8．（3分）在直角坐标系中，有A（1，1），B（5，3）两点，在x轴上有一动点C（n，0），当△ABC周长最小时，n的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．﹣1
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点，AC＝6，BD＝10，则EF的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．
10．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝3，对角线AC＝5，BE平分∠ABC交AD于点E，Q是线段BE上的点，连接CQ，过点C作CP⊥CQ交AD的延长线于点P，当△PCQ为等腰三角形时，AP＝（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题（每小题4分，共32分）
11．（4分）如图，AB＝DB，∠1＝∠2，要使△ABC≌△DBE还需添加一个条件是 　 　．（只需写出一种情况）
12．（4分）已知，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是 　 　．
13．（4分）在△ABC中，∠A+∠B＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若b＝3，c＝4，则a＝　 　．
14．（4分）已知点A（a﹣3，1﹣2a）在y轴上，那么a＝　 　．
15．（4分）已知如图是关于x的不等式2x﹣a＞﹣3的解集，则a的值为　 　．
16．（4分）给出下列命题：①直角都相等；②若ab＞0且a+b＞0，则a＞0，b＞0；③一个角的补角大于这个角．其中原命题和逆命题都为真命题的有 　 　．
17．（4分）等腰三角形的一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为40°，则这个三角形的底角为　 　．
18．（4分）如图，长方形两边长AB＝2，AD＝1，两顶点A、B分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上运动，则顶点D到原点O的距离最大值是 　 　．
三、解答题（共58分）
19．（6分）解不等式组，并把解在数轴上表示．
20．（8分）如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）．
（1）将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请写出B1坐标，并用恰当的方式表示线段BB1上任意一点的坐标．
21．（8分）已知：如图，CD＝BE，DG⊥BC于点G，EF⊥BC于点F，且DG＝EF．
（1）求证：△DGC≌△EFB；
（2）连接BD，CE．求证：BD＝CE．
22．（10分）如图所示的一块地，∠ADC＝90°，AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m，求这块地的面积．
23．（12分）某社区为了更好地开展“垃圾分类，美丽宁波”活动，需购买A，B两种类型垃圾桶，用1600元可购进A型垃圾桶14个和B型垃圾桶8个，且购买3个A型垃圾桶的费用与购买4个B型垃圾桶的费用相同，请解答下列问题：
（1）求出A型垃圾桶和B型垃圾桶的单价．
（2）若社区欲用不超过3600元购进两种垃圾桶共50个，其中A型垃圾桶至少29个，求有哪几种购买方案？
24．（14分）在等边△ABC的AC、BC边上各取一点P、Q，AQ、BP相交于点O．
（1）若∠BOQ＝60°，求证AP＝CQ；
（2）在（1）的条件下，当∠CBP＝45°，BQ＝2时，求△ABC的边长；
（3）连结PQ，若AP＝AC，AQ＝BP，求的值．
2023-2024学年浙江省宁波市奉化区锦屏中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各组图形中，不是全等图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：观察发现，B、C、D选项的两个图形都可以完全重合，
∴B、C、D选项的两个图形都是全等图形，
A选项中两个图形不可能完全重合，
∴它们不是全等形．
故选：A．
2．（3分）一个三角形的两边长分别是2与3，第三边的长不可能为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解答】解：设第三边长x．
根据三角形的三边关系，得1＜x＜5，
第三边不可能为1，
故选：A．
3．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（﹣1，﹣4）向右平移3个单位长度后得到的点所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解答】解：将点P（﹣1，﹣4）向右平移3个单位长度后得到的点的坐标为（﹣1+3，﹣4），即（2，﹣4），位于第四象限，
故选：D．
4．（3分）能说明命题“对于任何实数a，＝a”是假命题的一个反例可以是（　　）
A．a＝2022 B．a＝0 C．a＝ D．a＝﹣2022
【答案】D
【解答】解：∵a≥0时，＝a，
∴当a＝2022时，原命题成立，故A不符合题意，
同理a＝0时，原命题成立，故B不符合题意；
a＝时，原命题成立，故C不符合题意，
而当a＝﹣2022时，原命题不成立，故D符合题意；
故选：D．
5．（3分）若m＜n，则下列各式正确的是（　　）
A．﹣2m＜﹣2n B． C．1﹣m＞1﹣n D．m2＜n2
【答案】C
【解答】解：A：∵m＜n，
∴﹣2m＞﹣2n，
∴不符合题意；
B：∵m＜n，
∴，
∴不符合题意；
C：∵m＜n，
∴﹣m＞﹣n，
∴1﹣m＞1﹣n，
∴符合题意；
D：∵m＜n，
∴m2≥n2或m2≤n2
∴不符合题意；
故选：C．
6．（3分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（　　）
A． B．0.8 C．3﹣ D．
【答案】C
【解答】解：如图，连接AD，则AD＝AB＝3，
由勾股定理可得，Rt△ADE中，DE＝＝，
又∵CE＝3，
∴CD＝3﹣，
故选：C．
7．（3分）已知关于x的不等式组的整数解共有4个，则a的取值范围是（　　）
A．﹣3≤a＜﹣2 B．﹣3＜a≤﹣2 C．﹣3＜a＜﹣2 D．a＜﹣2
【答案】B
【解答】解：解不等式组得：a≤x＜，
∵不等式组的整数解共有4个，
∴不等式组的整数解分别为：﹣2，﹣1，0，1，
∴﹣3＜a≤﹣2，
故选：B．
8．（3分）在直角坐标系中，有A（1，1），B（5，3）两点，在x轴上有一动点C（n，0），当△ABC周长最小时，n的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．﹣1
【答案】C
【解答】解：作点A关于x轴的对称点A'（1，﹣1），连接A'B交x轴于C，此时AB+AC+BC的值最小，
设直线A′B的解析式为y＝kx+b，
把A′（1，﹣1），B（5，3）代入得
，
解得，
∴直线A'B的函数解析式为y＝x﹣2，
当y＝0时，x﹣2＝0，解得x＝2，
∴n＝2，
故选：C．
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点，AC＝6，BD＝10，则EF的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】B
【解答】解：连接AE，CE，
∵∠DAB＝90°，∠DCB＝90°，E是BD中点，
∴AE＝BD，CE＝BD，
∴AE＝CE，
∵F是AC的中点，
∴EF⊥AC，
∵AC＝6，BD＝10，
∴AE＝5，AF＝3，
∴EF＝＝4，
故选：B．
10．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝3，对角线AC＝5，BE平分∠ABC交AD于点E，Q是线段BE上的点，连接CQ，过点C作CP⊥CQ交AD的延长线于点P，当△PCQ为等腰三角形时，AP＝（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝BC，CD＝AB＝3，
∵∠BCD＝∠QCP＝90°，
∴∠QCH＝∠PCD，
∵AB＝3，AC＝5，
∴BC＝4，
∴AD＝BC＝4，
过Q作QH⊥BC于H，
∴∠QHB＝∠QHC＝90°，
∵BE平分∠ABC交AD于点E，
∴∠QBH＝45°，
∴△BQH是等腰直角三角形，
∴BH＝QH，
∵CP⊥CQ，
∴∠QCP＝90°，
∵△PCQ为等腰三角形，
∴CQ＝CP，
∵∠CDP＝∠CHQ＝90°，∠QCH＝∠PCD，
∴△CQH≌△CPD（AAS），
∴CH＝CD＝3，
∴BH＝QH＝1，
∴PD＝QH＝1，
∴AP＝AD+PD＝5，
故选：B．
二、填空题（每小题4分，共32分）
11．（4分）如图，AB＝DB，∠1＝∠2，要使△ABC≌△DBE还需添加一个条件是 　∠A＝∠D（答案不唯一）　．（只需写出一种情况）
【答案】∠A＝∠D（答案不唯一）．
【解答】解：添加的条件是∠A＝∠D，理由如下：
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠ABE＝∠2+∠ABE，
即∠DBE＝∠ABC，
在△ABC和△DBE中，
，
∴△ABC≌△DBE（ASA），
故答案为：∠A＝∠D（答案不唯一）．
12．（4分）已知，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是 　15　．
【答案】15．
【解答】解：∵，
∴3﹣x＝0，y﹣6＝0，
∴x＝3，y＝6．
∵3、3、6不能组成三角形，
∴等腰三角形的三边长分别为3、6、6，
∴等腰三角形周长为3+6+6＝15．
故答案为：15．
13．（4分）在△ABC中，∠A+∠B＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若b＝3，c＝4，则a＝　　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣90°＝90°，
∴a2＝c2﹣b2，
∵b＝3，c＝4，
∴．
故答案为：．
14．（4分）已知点A（a﹣3，1﹣2a）在y轴上，那么a＝　3　．
【答案】3．
【解答】解：∵点A（a﹣3，1﹣2a）在y轴上，
∴a﹣3＝0，
解得：a＝3，
故答案为：3．
15．（4分）已知如图是关于x的不等式2x﹣a＞﹣3的解集，则a的值为　1　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：解不等式2x﹣a＞﹣3，
解得x＞，
由数轴上的解集，
可得x＞﹣1，
∴＝﹣1，
解得a＝1．
16．（4分）给出下列命题：①直角都相等；②若ab＞0且a+b＞0，则a＞0，b＞0；③一个角的补角大于这个角．其中原命题和逆命题都为真命题的有 　②　．
【答案】②．
【解答】解：①直角都相等是真命题，其逆命题是相等的角是直角，逆命题为假命题；
②若ab＞0且a+b＞0，则a＞0，b＞0是真命题，其逆命题是若a＞0，b＞0，则ab＞0且a+b＞0，逆命题为真命题；
③一个角的补角大于这个角是假命题，
∴原命题和逆命题都为真命题的有②，
故答案为：②．
17．（4分）等腰三角形的一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为40°，则这个三角形的底角为　65°或25°　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：有两种情况；
（1）如图，当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，
则∠ADB＝90°，
已知∠ABD＝40°，
∴∠A＝90°﹣40°＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣50°）＝65°；
（2）如图，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，
则∠FHE＝90°，
已知∠HFE＝40°，
∴∠HEF＝90°﹣40°＝50°，
∴∠FEG＝180°﹣50°＝130°，
∵EF＝EG，
∴∠EFG＝∠G＝×（180°﹣130°）＝25°，
故答案为65°或25°；
18．（4分）如图，长方形两边长AB＝2，AD＝1，两顶点A、B分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上运动，则顶点D到原点O的距离最大值是 　1+　．
【答案】1+．
【解答】解：如图：取线段AB的中点E，连接OE，DE，OD，
∵AB＝4，点E是AB的中点，∠AOB＝90°，
∴AE＝BE＝1＝OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝1，∠DAB＝90°，
∴DE＝＝，
∵OD≤OE+DE，
∴当点D，点E，点O共线时，OD的长度最大．
∴点D到点O的最大距离＝OE+DE＝1+，
故答案为：1+．
三、解答题（共58分）
19．（6分）解不等式组，并把解在数轴上表示．
【答案】﹣1＜x≤2，解集在数轴上表示见解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x≤2，
∴原不等式组的解集为：﹣1＜x≤2，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
20．（8分）如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）．
（1）将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请写出B1坐标，并用恰当的方式表示线段BB1上任意一点的坐标．
【答案】（1）作图见解析部分．
（2）B1坐标（1，2），线段BB1上任意一点P的坐标为（1，n）（﹣2≤n≤2）．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）B1坐标（1，2），线段BB1上任意一点P的坐标为（1，n）（﹣2≤n≤2）．
21．（8分）已知：如图，CD＝BE，DG⊥BC于点G，EF⊥BC于点F，且DG＝EF．
（1）求证：△DGC≌△EFB；
（2）连接BD，CE．求证：BD＝CE．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵DG⊥BC，EF⊥BG
∴∠DGC＝∠EFB＝90°．
在Rt△DGC和Rt△EFB中，
∴Rt△DGC≌Rt△EFB（HL）；
（2）∵Rt△DGC≌Rt△EFB，
∴∠BCD＝∠CBE，
∵BC＝CB，CD＝BE，
∴△BDC≌△CEB（SAS），
∴BD＝CE．
22．（10分）如图所示的一块地，∠ADC＝90°，AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m，求这块地的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接AC，
∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，
∴AC2＝AD2+CD2＝42+32＝25，
又∵AC＞0，
∴AC＝5，
又∵BC＝12，AB＝13，
∴AC2+BC2＝52+122＝169，
又∵AB2＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC﹣S△ADC＝30﹣6＝24m2．
23．（12分）某社区为了更好地开展“垃圾分类，美丽宁波”活动，需购买A，B两种类型垃圾桶，用1600元可购进A型垃圾桶14个和B型垃圾桶8个，且购买3个A型垃圾桶的费用与购买4个B型垃圾桶的费用相同，请解答下列问题：
（1）求出A型垃圾桶和B型垃圾桶的单价．
（2）若社区欲用不超过3600元购进两种垃圾桶共50个，其中A型垃圾桶至少29个，求有哪几种购买方案？
【答案】（1）A型垃圾桶的单价为80元，B型垃圾桶的单价为60元；
（2）该社区共有2种购买方案，
方案1：购进A型垃圾桶29个，B型垃圾桶21个；
方案2：购进A型垃圾桶30个，B型垃圾桶20个．
【解答】解：（1）设A型垃圾桶的单价为x元，B型垃圾桶的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：A型垃圾桶的单价为80元，B型垃圾桶的单价为60元．
（2）设购进A型垃圾桶m个，则购进B型垃圾桶（50﹣m）个，
依题意得：，
解得：29≤m≤30．
又∵m为正整数，
∴m可以取29，30，
∴该社区共有2种购买方案，
方案1：购进A型垃圾桶29个，B型垃圾桶21个；
方案2：购进A型垃圾桶30个，B型垃圾桶20个．
24．（14分）在等边△ABC的AC、BC边上各取一点P、Q，AQ、BP相交于点O．
（1）若∠BOQ＝60°，求证AP＝CQ；
（2）在（1）的条件下，当∠CBP＝45°，BQ＝2时，求△ABC的边长；
（3）连结PQ，若AP＝AC，AQ＝BP，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）1+；（3）或．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠C＝60°，
∵∠BOQ＝60°，AB＝AC，
∴∠ABO+∠BAO＝∠BAO+∠OAP＝60°，
∴∠ABP＝∠CAQ，
在△ABP与△CAQ中，
，
∴△ABP≌△CAQ（ASA），
∴AP＝CQ；
（2）解：由（1）知，∠ABP＝∠CAQ，
∴∠BAQ＝∠CBP＝45°，
∴AH＝HQ，
作QH⊥AB于H，
∵∠ABQ＝60°，∠BQH＝30°，
∴BH＝BQ＝1，HQ＝，
∴AB＝BH+AH＝1+，
∴△ABC的边长为1+；
（3）解：如图，当CQ＝AP时，
∵∠C＝∠BAP，AC＝AB，
∴△QCA≌△PAB（SAS），
∴AQ＝BP，
此时CQ：BQ＝1：2，
∴S△PCQ＝x，则S△BPQ＝2x，S△BCP＝3x，
∴S△ABP＝，
∴S△ABC＝3x＝，
∴的值为；
由等边三角形的对称性知，当BQ＝AC，时，仍然有AQ＝BP，
同理可得的值为，
综上所述：的值为或．
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