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2023-2024年人教版九年级上册数学期末专题复习：圆的切线证明
1．如图，以为直径的上有两点、，，过点作直线交的延长线于点，交的延长线于点，过作平分交于点，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：．
2．如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)当，时，求的长．
3．如图，在中，，，点O在边上，经过点A和点B且与边相交于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求阴影部分的面积．
4．如图，是的外接圆，是的直径，点D是的中点，点E是延长线上的一点，连接，．
(1)求证：是的切线，
(2)若，求的长．
5．如图，为的直径，点在外，的平分线与交于点，连接、，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，的长等于______．
6．如图，在中，，以为直径的与相交于点D，，垂足为E．
(1)求证：是的切线；
(2)若弦垂直于，垂足为G，，，求的半径．
7．如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，求的半径和的长．
8．如图，在中，，，点D在边上，⊙D经过点和点B且与边相交于点E．
(1)求证：是⊙D的切线；
(2)若，求⊙D的半径．
9．如图，在中，，以为直径的与相交于点，且，垂足为．
(1)求证：是的切线；
(2)，的半径为，求图中阴影部分的面积．
10．如图，四边形内接于是的直径，过点作的垂线，交的延长线于点，连接．
(1)若平分，求证：是的切线；
(2)若是的切线，，求的度数．
11．如图，与等边的边、分别交于点、，是的直径，过点作于点．
(1)求证：是的切线：
(2)已知的半径为3，连接，当等边的边长为多少时，与相切？
12．如图，以等腰的一腰为直径作，交底边于点D，交腰于点H，过点D作腰的垂线，垂足为E，交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径；
(3)在（2）条件下，求阴影部分的面积S．
13．如图，在中，，以为直径作半圆O交于点D，点E为中点，连接．
(1)求证：是半圆O的切线；
(2)若，，求的长．
14．如图，A是的直径延长线上的一点，点B在上，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
15．如图，是的直径，点D在的延长线上，C为上的一点，，．
(1)求的度数；
(2)求证：是的切线．
16．如图，在中，，以为直径的交于点，于点．
(1)求证：是的切线．
(2)若，，求的长（结果保留）
17．如图，内接于，是上一点．过点作，交的延长线于点．连接、，．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，，，则的半径为______．
18．如图，四边形中，，点是边上一点，且平分，作的外接圆．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为6，，求的长．
19．如图，以正方形的边为直径作，是上一点，于点，作直线交于点．
(1)求的长；
(2)求证：是的切线．
20．如图，中，，D是边上一点，且，E是边上的一点，以为直径的经过点D．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
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参考答案：
1．
【分析】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理及其推论，等腰三角形判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质和等腰三角形的判定与性质．
（1）连接，由，得，可得，，又，故，是的切线；
（2）先连接，然后证明，，可得，即可求解；
【详解】（1）证明：连接，如图：
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）证明：如图：连接，
由（1）知是的切线，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
．
2．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查圆，三角形的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，切线定理，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．
（1）根据等腰三角形的性质，等边对等角，得，根据，则；再根据，则，最后根据，则，即可；
（2）连接，根据等腰三角形的性质，三线合一，圆的性质，则且，根据勾股定理求出，再根据，求出；过点作，根据平行线的性质，则，根据勾股定理求出，再根据垂径定理求出，根据，即可．
【详解】（1）∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即是的切线．
（2）连接，
∵是的直径，
∴，
∵中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点作，
∴，
∴，
∴，
连接，
∵，，
∴，
∵．
3．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，即有，进而可得，问题随之得证；
（2）根据角度可得，进而可得，，在中，，再根据计算即可．
【详解】（1）连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线
（2）∵，，
∴，
∵，，，
∴，，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，扇形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
4．(1)见解析
(2)4
【分析】（1）首先根据等量代换得到，然后根据同角的余角相等得到，进而证明即可；
（2）连接，首先根据点D是的中点得到，然后根据勾股定理求出，最后利用角直接三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，即：，
∵是的半径，
∴CE是的切线，
（2）连接，
∵点D是的中点，AC是的直径，
∴，
∴，，
在中，设，
由勾股定理可得：，，
解得：，
∴，
∵，，
∴，则有，
故的长为4．
【点睛】此题考查了切线的证明，勾股定理，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
5．(1)见解析
(2)的长为
【分析】（1）连接，证明，得出即可得证；
（2）由圆周角定理得出，即可求得，得到是等边三角形，可求得半径为，的圆心角度数，再利用弧长公式求得结果即可．
【详解】（1）解：证明：连接，
是的平分线，
，
又，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：，
，
为的直径，
，
，
，
是等边三角形，
，，
的长：．
【点睛】此题主要考查圆的切线的判定、等腰三角形的性质及圆周角定理的运用，求弧长，掌握切线的性质与判定是解题的关键．
6．(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图所示，连接，根据等边对等角证明，则，再由得到，即可证明是的切线；
（2）如图所示，连接，先求出，设，则，由垂径定理得到，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）解：如图所示，连接，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得，
∴，即的半径为1．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，垂径定理，勾股定理，等边对等角，平行线的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
7．(1)见解析
(2)见解析
(3)15，
【分析】（1）由圆周角定理及已知条件进行等量代换，然后利用内错角相等两直线平行证明即可．
（2）利用角平分线及圆周角定理得出是的中点，再利用垂径定理及平行线的性质推导得出为直角，即可证明．
（3）先证明，然后利用勾股定理计算得出的长，再利用平行线所截线段成比例求出．
【详解】（1）证明：∵，
∴ ，
∴；
（2）证明：
连接，
∵ 平分，
∴，
∴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是的半径，
∴是的切线；
（3）解：
如图，设的半径为，则，
在中，由勾股定理，得，
∴，
解得：，
∴的半径为15；
∵ ，
∴，
∴ ，
∴，
∵ 是的直径，
∴ ，
在中，由勾股定理，得 ，
即，
解得，
∴ ，
∵，
∴，即 ，
∴．
方法二：
∵ ，
∴，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴，
∴的半径为15；
求长的步骤同上．
【点睛】本题主要考查平行的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，切线的证明以及相似三角形，掌握切线的证明，相似三角形的判定及计算是解决本题的关键．
8．(1)见解析
(2)2
【分析】（1 ）连接，根据等腰三角形的性质得到，，求得，根据三角形的内角和得到，于是得到是⊙D的切线；
（2 ）连接，推出是等边三角形，得到，，求得，得到，于是得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是圆D的半径，
∴是⊙D的切线；
（2）解：连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是的一个外角，
∴，
∴，
∴，
∴⊙D的半径．
故答案是2．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
9．(1)见解析
(2)．
【分析】（1）连接，证明，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明结论；
（2）作于，根据等腰直角三角形的性质求出，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得出答案．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：作于，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查的是切线的判定、扇形面积计算，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
10．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，得到，证明∥，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明即可；
（2）根据圆内接四边形的性质得到，根据切线的性质得到，证明∥，得到，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】（1）证明：平分，
，
，
，
，
∥，
，
，
为的半径，
是的切线；
（2）解：四边形内接于，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
是的切线，
，
，
∥，
，
．
【点睛】本题考查的是切线的判定、圆周角定理，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
11．(1)证明见解析
(2)当等边的边长为9时，与相切
【分析】（1）先根据等边三角形的性质得到，再证是等边三角形，进而得到，则，从而可证明；
（2）先根据切线长定理得到，再证明，得到，则，利用含30度角的直角三角形的性质得到，则．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵为的半径，
∴是的切线：
（2）解：∵都是的切线，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）得是等边三角形，
∴，
在中， ，则，
∴，
∴，
∴当等边的边长为9时，与相切．
【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，切线长定理，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，平行线的性质与判定等等，熟知切线的性质与判定以及切线长定理是解题的关键．
12．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接，根据是直径，可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而得到，即可求证；
（2）根据圆周角定理可得，然后设，则，可得，求出x，即可；
（3）连接，根据等腰三角形的性质可得，，在中，可求出的长，再证明，可得，从而得到，即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是直径，
∴，即，
又，
∴，
又，
∴，
又，
∴，
∴是的切线；
（2）解∶在中，，
∴，
∵，
∴，
在中，
设，则，
由勾股定理得，
∴，
即的半径为1；
（3）解：连接，
∵，，
∴，，
在中，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，求扇形面积，直角三角形的性质等知识，熟练掌握切线的判定，圆周角定理，扇形面积公式，直角三角形的性质等知识是解题的关键．
13．(1)见解析
(2)3
【分析】（1）如图，连接；根据题意结合图形，证明，即可解决问题；
（2）首先求出，进而求出的值；运用勾股定理求出的值，即可解决问题．
【详解】（1）证明：连接，
∵为的直径，
∴；
又∵点E为的中点，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵点D半圆O上，
∴是半圆O的切线．
（2）解：由（1）知，
又∵
∴，
∴，
∴
∴，
由勾股定理得：．
【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．
14．(1)见解析
(2)6
【分析】（1）如图：连接，先根据三角形内角和定理可得，再说明，然后再说明即可证明结论；
（2）如图：过B作,垂足为E，先根据直角三角形的性质求得，再由勾股定理求得，然后再说明三角形是等腰三角形，最后根据等腰三角形的性质即可解答．
【详解】（1）解：如图：连接
∵
∴
∵
∴
∴
∴是的切线．
（2）解：如图：过B作，垂足为E
∵，
∴
∴
∵
∴
∵
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的证明、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解答本题的关键．
15．(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出，则可得出答案；
（2）求出，则可得出答案．
【详解】（1）解：，，
，
；
（2）证明：，，
，
，
又∵点D在上，
是的切线．
【点睛】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握切线的判定方法．
16．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等边对等角可证，然后根据平行线的判定和性质可得，最后根据切线的判定即可证明；
（2）先求的度数，然后根据弧长公式即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又是半径，
∴是的切线．
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的长是．
【点睛】本题主要考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线判定与性质、弧长公式等知识，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补，得出，再根据平角的定义，得出，进而得出，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，再根据等量代换，得出，进而得出，再根据等角对等边，即可得出结论；
（2）连接并延长交于点，连接、，根据线段垂直平分线的判定定理，得出垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质，得出，再根据两直线平行，内错角相等，得出，再根据切线的判定定理，即可得出结论；
（3）根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据圆周角定理，得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，进而得出，再根据圆周角定理，得出，再根据勾股定理，得出，进而即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：连接并延长交于点，连接、，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（3）解：令与相交于点，延长交于点，连接，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的半径为．
故答案为：
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、等角对等边、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、切线的判定定理、直角三角形两锐角互余、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线．
18．(1)证明见解析
(2)6
【分析】(1)连接，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到，根据切线的判定定理即可证得结论；
(2)过点O作于F，根据矩形的判定与性质，可得，，根据勾股定理求出，根据勾股定理计算，即可得到答案．
【详解】（1）证明: 如图：连接，
，的外接圆为，
是的直径，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：如图：过点O作于点F，
四边形是矩形
，，
，
，
，
【点睛】本题考查的是切线的判定、矩形的判定和性质、勾股定理，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
19．(1)
(2)见解析
【分析】（1）已知直径易知半径．连接，在中运用勾股定理求，再求；
（2）连接，作于点，勾股定理得出，进而证明．即可得证．
【详解】（1）解：如图，连接．
∵正方形边长为是直径，
∴．
∵，
∴在中，，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接，作于点．
∴四边形为矩形，
∴．
∴．
∴．
又公共边，
∴，
∴，
又是的半径，
∴是的切线．
【点睛】此题考查了正方形的性质、矩形的判定，圆的切线的判定、勾股定理等知识点，综合运用以上知识是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由，根据等边对等角得到一对角相等，再由为的外角，利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，等量代换可得出，又，可得出，又，可得出Rt中两锐角互余，等量代换可得出与互余，即，继而即可求证结论；
（2）在Rt中，由角所对的边长等于斜边的一半可得，继而可得，在Rt中，由角所对的边长等于斜边的一半可得，由勾股定理可得，继而即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴．
又∵为的外角，
∴．
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由勾股定理可得：，
∴，即的半径为．
【点睛】此题考查了切线的判定定理，三角形的外角性质，勾股定理以及解直角三角形，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
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