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数列通项公式的求法
几种常见的数列的通项公式的求法
观察法
例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：
（1）9，99，999，9999，…（2）（3）（4）
解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为：
（2） （3） （4）.点评：关键是找出各项与项数n的关系。
二、公式法
例2： 已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x) = (x－1)2，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；
解：(1)∵a 1=f (d－1) = (d－2)2，a 3 = f (d+1)= d 2，∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，
∴d=2，∴an=a1+(n－1)d = 2(n－1)；又b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q－1)=(q－2)2，
∴=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1
例1. 等差数列是递减数列，且=48，=12，则数列的通项公式是（ ）
(A) (B) (C) (D)
解析：设等差数列的公差位d，由已知，
解得，又是递减数列， ∴ ，，∴ ，故选(D)。
例2. 已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式。
解析：由题意，，又是等比数列，公比为
∴，故数列是等比数列，，∴
点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。
三、??????叠加法
例3：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。
解 易知∵ ……
各式相加得∴
点评：一般地，对于型如类的通项公式，只要能进行求和，则宜采用此方法求解。
例4. 若在数列中，，，求通项。
解析：由得，所以，，…，，
将以上各式相加得：，又所以 =
四、叠乘法
例4：在数列｛｝中， =1, (n+1)·=n·，求的表达式。
解：由(n+1)·=n·得，=··…= 所以
例4. 已知数列中，，前项和与的关系是 ，试求通项公式。
解析：首先由易求的递推公式：
将上面n—1个等式相乘得：
点评：一般地，对于型如=(n)·类的通项公式，当的值可以求得时，宜采用此方法。
五、Sn法利用 (≥2)
例5：已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。（1）。 （2）
解： （1）===3
此时，。∴=3为所求数列的通项公式。
（2），当时
由于不适合于此等式 。 ∴
点评：要先分n=1和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。
六、待定系数法：
例6：设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn
解：设
例6. 已知数列中，，，
其中b是与n无关的常数，且。求出用n和b表示的an的关系式。
解析：递推公式一定可表示为
的形式。由待定系数法知：

故数列是首项为，公比为的等比数列，故
点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列为等差数列：则，（b、ｃ为常数），若数列为等比数列，则，。
七、辅助数列法
例7：已知数的递推关系为，且求通项。
解：∵ ∴令则辅助数列是公比为2的等比数列
∴即 ∴
在数列中，，，，求。
解析：在两边减去，得
∴ 是以为首项，以为公比的等比数列，∴，由累加法得
= =…===
例8： 已知数列｛｝中且（），，求数列的通项公式。
解：∵∴ ， 设，则
故｛｝是以为首项，1为公差的等差数列 ∴ ∴
点评：这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式。
利用递推关系求数列通项的九种类型及解法
1.形如型
（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.
（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.
方法如下： 由 得：
时，，
，
所以各式相加得
即：.
为了书写方便，也可用横式来写：
时，，
=.
例 1. （2003天津文） 已知数列｛an｝满足,
证明
证明：由已知得：
= .
例2.已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式. 答案：
例3.已知数列满足，，求此数列的通项公式. 答案：
评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.
①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;
②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;
③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;
④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。
例4.已知数列中, 且,求数列的通项公式.
解:由已知得,
化简有,由类型(1)有,
又得,所以,又,,
则
此题也可以用数学归纳法来求解.
2.形如型
（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，=.
（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.
由得 时，，
=f(n)f(n-1).
例1.设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，…），则它的通项公式是=________.
解：已知等式可化为：
()(n+1), 即
时，
==.
评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.
例2.已知,求数列{an}的通项公式.
解：因为所以
故又因为,即，
所以由上式可知,所以,故由累乘法得
=
所以-1.
评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为
若令,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.
3.形如型
（1）若（d为常数），则数列{}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;
（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得，，分奇偶项来分求通项.
例1. 数列{}满足,,求数列{an}的通项公式.
分析 1：构造 转化为型
解法1：令
则.
时,
各式相加:
当n为偶数时，.
此时
当n为奇数时，
此时,所以.
故
解法2：
时，，
两式相减得：.
构成以,为首项，以2为公差的等差数列;
构成以,为首项，以2为公差的等差数列
.

评注：结果要还原成n的表达式.
例2.（2005江西卷）已知数列{an}的前n项和Sn满足
Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式.
解：方法一：因为
以下同例1，略
答案
4.形如型
（1）若(p为常数)，则数列{}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;
（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项.
例1. 已知数列,求此数列的通项公式.
注：同上例类似，略.
5．形如,其中)型
（1）若c=1时，数列{}为等差数列;
（2）若d=0时，数列{}为等比数列;
（3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
方法如下：设,
得,与题设比较系数得
,所以
所以有：
因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，
所以
即：.
规律：将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式
有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式. ,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.
例1．已知数列中，求通项.
分析：两边直接加上,构造新的等比数列。
解：由得,
所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列
所以,即 .
方法二：由
时，
两式相减得
,
数列是以=为首项，以c为公比的等比数列.
=( .
方法三：迭代法
由 递推式
直接迭代得
==
=.
方法四：归纳、猜想、证明.
先计算出,再猜想出通项,最后用数学归纳法证明.
注：请用这三种方法来解例题，体会并比较它们的不同.
6.形如型
.(1)若(其中k,b是常数，且)
方法：相减法
在数列中，求通项.
解：， ①
时，，
两式相减得
.令,则
利用类型5的方法知
即 ②
再由累加法可得.
亦可联立 ① ②解出.
例2. 在数列中，,求通项.
解：原递推式可化为
比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为
所以是一个等比数列，首项,公比为.
即：
故.
(2)若(其中q是常数，且n0,1)
①若p=1时，即：，累加即可.
②若时，即：，
求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以.
即： ,令，则,
然后类型1，累加求通项.
ii.两边同除以 . 即： ,
令,则可化为.然后转化为类型5来解，
iii.待定系数法：
设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.
例1.（2003天津理）
设为常数，且．
证明对任意≥1，；
证法1：两边同除以（-2）,得
令,则
=
=
=
.
证法2：由得 .
设，则b. 即：,
所以是以为首项，为公比的等比数列.
则=,
即：,
故 .
评注：本题的关键是两边同除以3，进而转化为类型5，构造出新的等比数列，从而将求一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问题.
证法3：用待定系数法
设, 即:,
比较系数得：,所以 所以,
所以数列是公比为－2，首项为的等比数列.
即 .
方法4：本题也可用数学归纳法证.
（i）当n=1时，由已知a1=1－2a0，等式成立；
( ii)假设当n=k（k≥1）等式成立，则
那么

也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i）和（ii），可知等式对任何n∈N，成立.
规律： 类型共同的规律为：两边同除以，累加求和，只是求和的方法不同.
7.形如型
（1）即 取倒数法.
例1. 已知数列中，，，求通项公式。
解：取倒数：

例2.（湖北卷）已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足
（Ⅰ）证明
分析：本题看似是不等式问题，实质就是求通项问题.
证：∵当
即 于是有
所有不等式两边相加可得
由已知不等式知，当n≥3时有，
∵
评注：本题结合不等式的性质，从两边取倒数入手，再通过裂项求和即可证得.
2.形如型
方法：不动点法:
我们设,由方程求得二根x,y,由有
同理,两式相除有,从而得,再解出即可.
例1. 设数列｛an｝满足,求｛an｝的通项公式.
分析：此类问题常用参数法化等比数列求解.
解：对等式两端同时加参数t,得：
,
令, 解之得t=1,-2 代入得
,,
相除得,即{}是首项为，
公比为的等比数列, =, 解得.
方法2：
，
两边取倒数得，
令b，则b,转化为类型5来求.
8.形如(其中p,q为常数)型
（1）当p+q=1时 用转化法
例1.数列中，若,且满足,求.
解：把变形为.
则数列是以为首项，3为公比的等比数列，则
利用类型6的方法可得 .
（2）当时 用待定系数法.
例2. 已知数列满足，且,且满足,求.
解：令,即,与已知
比较，则有,故或
下面我们取其中一组来运算，即有,
则数列是以为首项，3为公比的等比数列，故
,即,利用类型 的方法，可得
.
评注：形如的递推数列,我们通常采用两次类型(5)的方法来求解,但这种方法比较复杂,我们采用特征根的方法:设方程的二根为,设,再利用的值求得p,q的值即可.
9. 形如(其中p,r为常数)型
（1）p>0， 用对数法.
例1. 设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.
解：两边取对数得：，，设，则 是以2为公比的等比数列， ，，，∴
练习 数列中，，（n≥2），求数列的通项公式. 答案：
（2）p<0时 用迭代法.
例1.（2005江西卷）
已知数列，
（1）证明 （2）求数列的通项公式an.
解：（1）略
（2）
所以
又bn=－1，所以.
方法2：本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试.
解法3：设c，则c,转化为上面类型（1）来解.

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