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立体几何的向量解法
一、空间直角坐标系：
右手直角坐标系：
x轴、y轴和z轴两两垂直，
且满足右手系.
单位正交基底：以x轴、y轴和z轴正方向的单位向量、和作为基底.
空间中任一向量可以在、和三个方向上作唯一的分解，即
存在唯一的有序实数组使得则称为的坐标.
结论：起点为原点的向量的坐标与其终点的坐标相同.
二、空间向量的运算：
设，，则
1.加法与减法：：三角形法则（或平行四边形法则）；：三角形法则
；
2.数乘运算：
3.内积：其中为向量与的夹角.
；向量在方向上的投影为；
.
4.外积： 表示一个向量：
①方向：用右手握从到时，大拇指所指的方向为的方向；
②大小：其中.
的坐标：，其中计算规则为：.
5.有向线段所表示的向量的坐标：
若、，则.
例1.已知：，，求、、、和.
三、平行和垂直的充要条件：若，
1.；
2.（其中）存在唯一的实数，使得即.
例2.如图，在正方体中，、分别是和的中点，
求证：平面.
四、角和距离：
1.夹角公式：设，，
则，，，
从而.
2.两点间的距离：若、，则，
从而.
3. 直线的方向向量和平面的法向量：
1）直线上的有向线段所表示的向量称为直线的方向向量.
2）如果表示向量的有向线段垂直于平面，则称向量垂直于平面，记作，又称为平面的法向量.
思考：如何计算平面的法向量？
如图，在平面内找两条有向线段分别记为向量、，
则平面的法向量可以是.
例3.已知：在空间直角坐标系中，、、，求平面的法向量.
例4. 已知：在空间直角坐标系中，、.
求：（1）的中点坐标及长度；
（2）到、两点的距离相等的点所满足的条件.
例5. 如图，在正方体中，.
求与所成角的余弦值.
五、如何用向量求空间角：
1.异面直线所成的角：两直线的方向向量的夹角；
2.直线与平面所成的角：直线的方向向量与平面的法向量所成角的余角；
3.二面角：两个平面的法向量所成角；
六、如何用向量求空间距离：
1.点到直线的距离：
如图，直线l方向向量为，P为直线l外一点，
如何求P到直线l的距离？
设Q为直线l上一点，则在上的投影的绝
对值，从而P到直线l的距离
.
2.点到平面的距离：
如图，平面法向量为，P为平面外一点，
如何求P到平面的距离？
设Q为平面内一点，则P到平面的距离为
在上的投影的绝对值.即.
3.其它距离：都要转化为点到直线的距离和点到平面的距离去求解.
例6.如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，,
, ,为的中点，为的中点.
(1)证明：直线平面；
(2)求异面直线AB与MD所成角的大小；
(3)求点B到平面的距离.
解：作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线
为轴建立坐标系，则，，，
，，，
(1)
设平面OCD的法向量为,则
即
取,解得
.
(2)设与所成的角为,.
, 与所成角的大小为.
(3)设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值，
由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为.
六、如何证明空间中的平行和垂直：
1.直线和直线平行：两直线的方向向量平行（又称为共线）；
直线和直线垂直：两直线的方向向量垂直；
2.直线和平面平行：直线在平面外，且直线的方向向量与平面的法向量垂直；
直线和平面垂直：直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直；
3.平面和平面平行：两平面的法向量平行（又称为共线）；
平面和平面垂直：两平面的法向量垂直.

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