资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
2023-2024年人教版八年级上册数学期末专题复习：证明题
1．如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，，求证：．
2．如图，已知点D，E分别在，上，，，求证：．

3．如图所示，在等边中，点D是的中点，于点E，作交于点F，．
(1)求证：是等边三角形；
(2)求的周长．
4．在中，，点、、分别是、、上的点，且，．
(1)求证：．
(2)若，则______．
5．已知：如图，在中，，D为的中点，，，垂足分别为E，F，且．求证：

(1)
(2)是等边三角形．
6．如图，点E，F在上，，，．
(1)证明∶ ；
(2)若，，求的度数．
7．如图，与中，与交于点E，且．
(1)求证：；
(2)当，求的度数．
8．如图，，点在上，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
9．如图，在等腰三角形中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接、．

(1)求证：；
(2)连接，试判断的形状，并说明理由．
10．如图，是的角平分线，，，垂足分别为，．
(1)求证：；
(2)若的面积为，，，求的长．
11．已知：如图，相交于点O，且，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
12．如图，，，于，交的延长线于点．

(1)求证：平分；
(2)若，，求的长．
13．如图，四边形的对角线与相交于点，，．求证：
(1)；
(2)垂直平分．
14．如图，四边形中，，，连接并延长交的延长线于点，连接．

(1)求证：；
(2)若，求证：平分．
15．如图，在中，是边上的中线，是边上一点，过点作，交的延长线于点，

(1)求证；
(2)当，，时，求的长．
16．如图，在中，是的中线，点E在上，点F在的延长线上，与交于点O，且．
(1)求证：；
(2)若，求证：
17．在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E．

(1)当直线在图1的位置时，求证：．
(2)当直线在图2的位置时，求证：．
18．如图，和中，，，，边与边交于点（不与B、C重合），点B、E在异侧；

(1)求证；
(2)若，，求的度数．
19．如图，与的顶点A，，，在同一条直线上，与交于点，与交于点，，，．
(1)求证：
(2)若，求线段的长．
20．如图，是的角平分线，，分别是和的高．
(1)求证：垂直平分；
(2)若，，，求的长．
(3)当满足什么条件时，是等边三角形，请说明理由．
中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
参考答案：
1．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．先证明，然后根据证明即可．
【详解】证明：∵．
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
2．
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据已知条件选择恰当的判定方法是解题的关键．
【详解】解：在和中，
，
∴．
3．
【分析】本题考查了平行线的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，
（1）根据平行的性质可得，，即可得，问题得证；
（2）根据，可得，进而有，结合等边三角形的性质有，问题随之得解．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
，
，
，，
，
∴是等边三角形；
（2）解：∵，，
，
，
，
∵点D是的中点，
，
，
，
∴等边的周长．
4．(1)见解析；
(2)
【分析】此题重点考查“等边对等角”、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质等知识，证明，进而证明是解题的关键．
（1）由，得，而，，即可根据全等三角形的判定定理“”证明；
（2）由全等三角形的性质得，则，所以，于是得到问题的答案．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
．
（2）解：，
，
，
，
，
故答案为：．
5．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形全等的判定，等边三角形的判定：
（1）根据等腰三角形中等边对等角直接证明；
（2）根据证明，推出，进而推出，即可证明是等边三角形．
【详解】（1）证明：∵，
∴；
（2）证明：∵D为的中点，
∴，
∵，，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
6．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形的全等判定和性质，三角形内角和定理；
（1）由全等三角形的判定定理证得，则对应角相等；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等得到：，然后根据三角形内角和定理计算即可；
熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：，
，
，
在与中，
，
，
；
（2）由（1）知，，
，
，，
，
．
7．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形外角性质，全等三角形的性质和判定的应用，等边对等角，熟练掌握三角形全等的判断方法是解题的关键．
（1）根据即可推出和全等；
（2）根据三角形全等得出，根据三角形的外角性质得出，代入求出即可．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
8．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查全等三角形的判定与性质；
（1）由平行线的性质得 ，然后由证明 即可；
（2）由全等三角形的性质得 ，，即可解决问题；
【详解】（1）∵，
∴，
在 与 中，
∴；
（2）由（1）可知 ，
∴，，
∴，
9．(1)见解析
(2)等腰三角形，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质．
（1）先证出，再证出，，由，可证明，即，从而，即可解答；
（2）由（1）可知，垂直平分，可得到，可证明，从而解答此问．
【详解】（1）证明：如图，

∵在等腰中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∴，
∵在和中，，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即；
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
由（1）知：，

∴，
又∵，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
10．(1)证明详见解析；
(2)
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形面积；
（1）证明即可得证；
（2）先算出的面积，得出的面积，从而算出．
【详解】（1）证明：∵是的角平分线，，，
∴，，
又，
∴，
∴；
（2）解：∵是的角平分线，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
11．(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明，根据全等三角形对应边相等即可得到结论；
（2）根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可得到答案．
此题考查了直角三角形全等的判定和性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关键．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵是的外角，，，
∴．
12．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质；
（1）由证明，可得，结论得证；
（2）证明，可得，可求出．
【详解】（1）证明：，
，
，，
，
在与中，
，
，
，
平分；
（2）解：由（2）可得，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
13．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及线段垂直平分线的判定；
（1）根据直接证明；
（2）根据（1）的结论可得，,即可得证垂直平分．
【详解】（1）在和中，
，
∴；
（2）∵，
∴，，
∴点、在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分．
14．(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义以及线段垂直平分线的性质．熟练运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由“”可证，可得；
（2）由全等三角形的性质的，由线段垂直平分线的性质得，又根据等腰三角形的性质即可得结论．
【详解】（1）证明：∵
，
在和中，
．
（2）证明：由（）得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分．
15．(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，
（1）根据平行线的性质得到，，由是边上的中线，得到，于是得到结论；
（2）根据题意得出，再由等量代换确定，理由等角对等边得出，利用全等三角形的性质求解即可；
熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵是边上的中线，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，
∴．
∴．
16．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质．
（1）利用三线合一证出，证明即可证出结论
（2）利用截长补短法添加辅助线，构造即可证出结论．
【详解】（1）证明：连接，
是的中线，
，
在和中
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：在上截取，连接，，
，
，
，
，
在中
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等根据已知条件证出符合全等的条件是解题的关键．
（1）由已知推出，推出，根据角角边即可推出，可得，即可求出答案．
（2）与（1）类似证出，得到代入已知即可知道答案．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，，
，
在和中，
，
．
，，
，
．
（2），，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质．
（1）由可得，从而通过“”证得；
（2）由可得，根据三角形外角的性质得，从而，根据三角形的内角和定理在中，有，从而求出的度数，进而得到，再根据三角形全等的性质即可求的度数．
【详解】（1）

在和中，
，
∴；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
由（1）知，
．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握和证明三角形全等，是解题的关键．
（1）先证明，再根据证明；
（2）先证明，从而证明，进而即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
即，
在和中
，
；
（2）解：，
， ，
，
即 ，
在和中
，
，
，
，
．
20．(1)见详解
(2)
(3)当满足，是等边三角形，理由见详解
【分析】（1）根据三角形的角平分线的性质定理和垂直平分线的性质定理解答；
（2）根据，，可得，
可以求得的长度；
（3）根据含角的等腰三角形是等边三角形，据此作答即可．
【详解】（1）∵平分，，，
，
，，
，
在和中，
，
∴≌，
，
，
∴点A、D在线段的垂直平分线上，
垂直平分；
（2）∵，
，
，，，
，
．
（3）当时，是等边三角形，
理由：在（1）中已有，
∵，
∴是等边三角形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等边三角形的判定等知识，掌握角平分线的性质，是解答本题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑