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澄迈县2023年秋季九年级数学学科期中测试题
（考试时间100分钟，满分120分）
一．选择题（本大题满分36分，每小题3分）
在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑．
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．9
3．将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
4．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
5．已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3
6．关于x的方程x2+2kx+k﹣1=0的根的情况描述正确的是（　　）
A．k为任何实数，方程都没有实数根
B．k为任何实数，方程都有两个不相等的实数拫
C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
7．某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1400件．若设这个百分数为，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．＝1400
8．在中， ，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动， 若使的面积为 ，则点P运动的时间是（　　）

A． B． C． D．
9．如图，已知抛物线与直线交于，则关于的不等式的解集是( )
A．或 B．或 C． D．
10．如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（ ）

A．8 B． C． D．10
12．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（ ）

A． B． C． D．
二．填空题．（本大题满分12分，每小题3分）
13．一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2cm，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是 m．
14．抛物线的最小值是 ．
15．若是关于的方程的一个根，则的值为 ．
16．若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系为 ．
三．解答题（本大题满分72分）
17．选用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）.
18．如图，在正方形中，E为边上的点，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接EF，，求的度数．

19．如图，九年级学生要设计一幅幅宽、长的图案，其中有宽度相等的一横两竖的彩条．如果要使彩条所占的面积是图案的一半．求彩条的宽度．
20．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场每件降价4元，问商场每天可盈利多少元．
（2）若商场平均每天要盈利1200元，且让顾客尽可能多得实惠，每件衬衫应降价多少元．
（3）要使商场平均每天盈利1600元，可能吗？请说明理由．
21．如图所示，在直角梯形中，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动，当点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）．
(1)设的面积为，求与之间的关系式；
(2)当为何值时，以点为顶点的四边形是平行四边形？
(3)分别求出当为何值时，①；②．
22．如图，已知关于二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，该二次函数图象的对称轴与轴交于点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)在轴上存在点，使得为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标；
(3)有一个动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度在上向点运动，另一个动点从点与点同时出发，以每秒2个单位长度的速度在该二次函数图象的对称轴上竖直向上运动，当点到达点时，点同时停止运动，请问点，运动到何处时，的面积最大，求出这个最大面积．
答案与解析
1．B
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：A、该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；
B、，符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
C、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项错误；
D、 符合二元一次方程的定义，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．C
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴．
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
3．A
【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的函数表达式为：．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
4．D
【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．
5．C
【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可．
【详解】二次函数的对称轴为，顶点坐标为
∵
∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为
∴A、B、D选项错误，C选项正确
故选：C
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
6．B
【分析】根据方程的系数结合根的判别式可得出Δ=k2+4＞0，由此即可得出无论k为何值，方程都有两个不相等的实数根．
【详解】解：∵关于x的方程中
∴k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
7．B
【分析】根据题意，第一年的产量+第二年的产量+第三年的产量=1400，且今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数x．
【详解】根据题意可得，，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程增长率问题的实际应用，理解题意后以三年的总产量做等量关系可列出方程．
8．B
【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使的面积为，用t分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．
【详解】解：设动点P，Q运动t秒后，能使的面积为，
则为，为，由三角形的面积计算公式列方程得，
，
解得（当时，，不合题意，舍去）．
∴动点P，Q运动3秒时，能使的面积为．
故选：B．
9．C
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，关键是利用数形结合的思想，把不等式解集转化为图象的交点问题．根据图象求出抛物线在直线上方的部分对应的x的范围即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线在直线的上方部分对应的x的范围即是不等式的解集，
由图象可知，当时，抛物线在直线的上方，
∴不等式的解集是，
故选：C．
10．C
【分析】先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况，得到AB和BE之间的关系以及，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中点定义得到BC的值．
【详解】解：由图2可知，当P点位于B点时，，即，
当P点位于E点时，，即，则，
∵,
∴,
即,
∵
∴,
∵点为的中点，
∴,
故选：C．
【点睛】本题考查了学生对函数图象的理解与应用，涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中点的定义等内容，解决本题的关键是能正确理解题意，能从图象中提取相关信息，能利用勾股定理建立方程等，本题蕴含了数形结合的思想方法．
11．D
【分析】要使DN+MN最小，首先应分析点N的位置．根据正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．由此可知点D的对称点是点B，连接MB交AC于点N，此时DN+MN最小值即是BM的长．
【详解】解：如图，连接，，，设交于点，

∵四边形正方形，
∴AC垂直平分BD，
∴点B与点是关于直线对称，
∴，
∴，
∵点为上的动点，
∴当B、M、N三点不共线时，BN+MN＞BM，
当点运动到点时，，
∴的最小值为的长度，
∵四边形为正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴的最小值是10．
故选：D．
【点睛】考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，能够根据轴对称的性质以及三角形的三边关系找到点N与点P重合时取最小值是解决本题的关键．
12．B
【分析】连接，交y轴于点D，根据正方形的性质可知，然后可得点，进而代入求解即可．
【详解】解：连接，交y轴于点D，如图所示：

当时，则，即，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴点，
∴，
解得：，
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键．
13．12．
【分析】根据“如果它的长减少2，那么菜地就变成正方形”可以得到长方形的长比宽多2米，利用矩形的面积公式列出方程即可．
【详解】设原菜地的长xm，则原菜地的宽是（x－2）m，根据面积是120m2，
可得：x（x－2）=120，
解得x=12或x=－10（不合题意舍去），
所以x=12．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系．
14．
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键，先化为顶点式，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴当时，函数取得最小值．
故答案为：．
15．12
【分析】本题考查方程的解、解一元一次方程等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．将代入方程中，解关于字母的一元一次方程即可解题．
【详解】解：将代入方程中得：
，
解得：，
故答案为：12．
16．
【分析】先将二次函数的解析式化成顶点式，再根据二次函数的增减性即可得．
【详解】二次函数化成顶点式为，
由二次函数的性质可知，当时，y随x的增大而减小，
点在此二次函数的图象上，且，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的顶点式和增减性，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
17．（1），；（2），.
【分析】（1）利用配方法得到（x-2）2=3，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先进行移项，再提取公因式，即可求出x的值.
【详解】（1）x2-4x=-1，
x2-4x+4=-1+4，
（x-2）2=3，
x-2=±，
所以x1=2+，x2=2 ；
（2）2（x-3）2=（x+3）（x-3），
2（x-3）2-（x+3）（x-3）=0，
（x-3）[2（x-3）-（x+3）]=0，
（x-3）（x-9）=0，
x1=3，x2=9.
【点睛】此题考查了解一元二次方程，用到的知识点是配方法、因式分解法，根据所给出的方程选用不同的方法是本题的关键．
18．
【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，先求出，利用全等三角形的性质求出，再得出是等腰直角三角形，从而求出，从而利用求解即可．
【详解】在正方形中，，
∵，
∴，
∵是旋转得到的图形，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∴．
19．彩条宽
【分析】本题主要一元二次方程的应用，设彩条宽度为，要使彩条所占的面积是图案的一半即要使彩条未占部分面积为图案的一半，彩条未占部分面积组合起来为一个长，宽的矩形，再根据题意列出一元二次方程求解即可；求出未知数后验证是否符合实际成为解题的关键．
【详解】解：设彩条的宽为，
则有，
解得（舍去）．
答：彩条宽．
20．（1）1008；（2）20；（3）不能，理由详见解析．
【分析】（1）根据“每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件”解答；
（2）设每件衬衫应降价x元，则平均每天可销售（20+2x）件，根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；
（3）根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式△＝﹣900＜0，即可得出该方程无实数根，进而可得出商城平均每天不可能盈利1600元．
【详解】解：（1）因为每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，所以若商场每件降价4元，商场平均每天可多售出：8（件），
每天共盈利（8+20）×（40﹣4）＝1008（元）
答：若商场每件降价4元，问商场每天可盈利1008元；
（2）设每件衬衫应降价x元，则平均每天可销售（20+2x）件，
根据题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
∵要扩大销售量，减少库存，
∴x＝20．
答：每件衬衫应降价20元．
（2）不可能，理由如下：
根据题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1600，
整理得：x2﹣30x+400＝0．
∵△＝（﹣30）2﹣4×1×400＝﹣700＜0，
∴该方程无实数根，
∴商城平均每天不可能盈利1600元．
【点睛】本题考查了一元二次方程销售问题，表示出降价后的盈利与销售的件数,然后得到平均每天的盈利与降价的数量关系是解题的关键.
21．(1)
(2)当或时，以点为顶点的四边形是平行四边形
(3)①当或时，；②当时，
【分析】本题考查了平行四边形的性质，列函数关系式，勾股定理；
（1）根据题意设，得出，过点作于，根据三角形的面积公式列出函数关系式，即可求解；
（2）分两种情况讨论，①当四边形是平行四边形时；②当四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质列出方程，解方程即可求解；
（3）①分当点与点重合时与不重合时两种情况讨论，根据题意列出一元一次方程，即可求解．
②根据勾股定理表示出，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）在直角梯形中，，
设，则，
过点作于，
则四边形是矩形，，
∴
故答案为：．
（2）I：当四边形是平行四边形时，，
∴解得：，
∴当时，四边形是平行四边形．
II：当四边形为平行四边形时，．
∴，
∴
综上所述，当或时，以点为顶点的四边形是平行四边形．
（3）∵，
①I：当点与点重合时，，此时，．
II：当点与点不重合时，
当时，，
∵，
∴，即，
解得：，
∴当或时，．
②当时，
∴解得：
∴当时，
22．(1)
(2)存在，，，，
(3)当时，，此时，
【分析】（1）代入和，解方程组即可；
（2）求出点B的坐标，再根据勾股定理得到，当为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①；②；③；
（3）设则，由，得，根据三角形的面积公式列出函数解析式，利用二次函数的性质求解．
【详解】（1）将点代入，
得：
解得：
∴该二次函数的解析式为：．
（2）令，则，
解得：或，
∴，
∴，
点P在y轴上，当为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当时，，
∴或，
∴，；
②当时，，
∴；
③当时，
∵，
∴此时P与O重合，
∴；
综上所述，点P的坐标为：，，，；
（3）如图2，

设M运动时间为t，由，得，则，
∴，
∴当时，的面积最大，这个最大面积是1，
此时，，
即当时，面积最大，最大面积是1．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，等腰三角形的定义，勾股定理等知识，运用数形结合、分类讨论是解题的关键．

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