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2024年数学中考一轮单元复习考点讲析与达标检测（人教版通用）
第一部分 29个单元的基础知识与例题解析
专题19 一次函数单元考点讲析
(
课标要求
)
一、函数
（1）探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义；了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例。
（2）能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。
（3）能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值。
（4）能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系, 理解函数值的意义。
（5）结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。
二、一次函数
（1）结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次 函数的表达式；会运用待定系数法确定一次函数的表达式。
（2）能画一次函数的图象，根据图象和表达式y=kx+b，k≠0） 探索并理解k>0和 k<0时图象的变化情况；理解正比例函数。
（3）体会一次函数与二元一次方程的关系。
（4）能用一次函数解决简单实际问题。
(
考点梳理
)
知识点1. 函数的定义
1.常量与变量
（1）变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
（2）常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2.函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量和y，并且对于x的每一个确定的
值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，y是x的函数。如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
判断y是否为x的函数，只要看x取值确定的时候，y是否有唯一确定的值与之对应。
3.确定函数自变量取值的范围的方法：
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
4.函数的解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系的式子叫做函数的解析式。
5.函数的图像
一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
6.描点法画函数图形的一般步骤
第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；
第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
7.函数的表示方法
（1）列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
（2）解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
（3）图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
知识点2. 一次函数的概念
1.正比例函数的定义
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
2.正比例函数的性质
当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；
当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．
（1）解析式：y=kx（k是常数，k≠0）
（2）必过点：（0，0）、（1，k）
（3）走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限
（4）增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小
（5）倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
3.一次函数的定义
一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。当b=0时，一次函数y=kx，又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是y=kx+b，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．
⑵当b=0， k≠0时， y=kx仍是一次函数．
⑶当b=0， k=0时，它不是一次函数．
⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．
4.分段函数
当自变量的取值范围不同时，函数的解析式也不同，这样的函数称为分段函数.
知识点3. 一次函数的图象及性质
1．正比例函数的图象特征与性质
正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．
k的符号 函数图象 图象的位置 性质
k>0 图象经过第一、三象限 y随x的增大而增大
k <0 图象经过第二、四象限 y随x的增大而减小
2.一次函数的图象特征与性质
（1）一次函数的图象特征
一次函数的图象 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-，0)的一条直线
图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度
图象确定 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可
（2）一次函数的性质
函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质
y=kx+b (k≠0) k>0，b>0 一、二、三 y随x的增大而增大
k>0，b<0 一、三、四
y=kx+b (k≠0) k<0，b>0 一、二、四 y随x的增大而减小
k<0，b<0 二、三、四
3.k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）．
①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
②当–=0，即b=0时，直线经过原点．
③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
4.两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：
①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行； ②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；
③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点； ④当k1·k2=–1时，两直线垂直．
知识点4. 用待定系数法求一次函数的解析式
1．定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法．
2．待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤
（1）设含有待定系数的函数解析式为y=kx（k≠0）．
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程．
（3）解方程，求出待定系数k．
（4）将求得的待定系数k的值代入解析式．
3．待定系数法求一次函数解析式的一般步骤
（1）设出含有待定系数k、b的函数解析式y=kx+b．
（2）把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b的二元一次方程组．
（3）解二元一次方程组，求出k，b．
（4）将求得的k，b的值代入解析式．
知识点5. 一次函数与方程、不等式
1．一次函数与一元一次方程
任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式．
从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0；从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标．
2．一次函数与一元一次不等式
任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式．
从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件．
3．一次函数与二元一次方程组
一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）的形式．因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线．进一步可知，一个二元一次方程对应两个一次函数，因而也对应两条直线．
从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标．
知识点6. 一次函数的应用
1．主要题型：（1）求相应的一次函数表达式；（2）结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等．
2．用一次函数解决实际问题的一般步骤为：
（1）设定实际问题中的自变量与因变量；
（2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；
（3）确定自变量的取值范围；
（4）利用函数性质解决问题；
（5）检验所求解是否符合实际意义；
（6）答．
知识点7. 一次函数的图像与两坐标轴所围成三角形的面积
（1）一次函数y=kx＋b的图象与两条坐标轴的交点：
与y轴的交点（0，b），与x轴的交点（，0）.
（2）直线（b≠0）与两坐标轴围成的三角形面积为
s=
(
方法总结
)
一、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤
（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；
（3）解方程得出未知系数的值；
（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式。
二、求解涉及一次函数方案最值问题方法技巧
1. 对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案．
2．求最值的本质为求最优方案，解法有两种：
（1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
（2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较 (
例题解析
)。
考点1. 从函数图象中有效的获取信息
【例题1】（2023深圳）如图1，在中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则的长为（ ）
A. B. C. 17 D.
【变式训练】（2023湖南郴州） 第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（　　）
A. 途中修车花了
B. 修车之前的平均速度是/
C. 车修好后的平均速度是/
D. 车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的倍
考点2. 一次函数的图象和性质
【例题2】（2023内蒙古通辽）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是（ ）
A. B. C. D.
【变式训练1】（2023浙江温州）如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点．
（1）求m的值和直线的函数表达式．
（2）若点在线段上，点在直线上，求的最大值．
【变式训练2】（2023湖南郴州） 在一次函数中，随的增大而增大，则的值可以是________（任写一个符合条件的数即可）．
考点3. 求一次函数解析式
【例题3】 （2023内蒙古包头）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向右平移3个单位长度得到一次函数的图象，则该一次函数的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【变式训练】（2023浙江绍兴）一条笔直的路上依次有三地，其中两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从两地同时出发，去目的地，匀速而行．图中分别表示甲、乙机器人离地的距离（米）与行走时间（分钟）的函数关系图象．
（1）求所在直线的表达式．
（2）出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？
（3）甲机器人到地后，再经过1分钟乙机器人也到地，求两地间的距离．
考点4. 一次函数与一元一次不等式
【例题4】（2023甘肃兰州） 一次函数的函数值y随x的增大而减小，当时，y的值可以是（ ）
A. 2 B. 1 C. －1 D. －2
考点5. 一次函数与二元一次方程组
【例题5】（2023山东聊城）甲乙两地相距a千米，小亮8:00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（ ）
A. 8:28 B. 8:30 C. 8:32 D. 8:35
【变式训练】（2023湖南永州） 小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量简中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表的一组数据：
时间t（单位：分钟） 1 2 3 4 5 …
总水量y（单位：毫升） 7 12 17 22 27 …
（1）探究：根据上表中数据，请判断和（k，b为常数）哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系 并求出y关于t的表达式；
（2）应用：
①请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升
②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用多少天．
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第一部分 29个单元的基础知识与例题解析
专题19 一次函数单元考点讲析
(
课标要求
)
一、函数
（1）探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义；了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例。
（2）能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。
（3）能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值。
（4）能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系, 理解函数值的意义。
（5）结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。
二、一次函数
（1）结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次 函数的表达式；会运用待定系数法确定一次函数的表达式。
（2）能画一次函数的图象，根据图象和表达式y=kx+b，k≠0） 探索并理解k>0和 k<0时图象的变化情况；理解正比例函数。
（3）体会一次函数与二元一次方程的关系。
（4）能用一次函数解决简单实际问题。
(
考点梳理
)
知识点1. 函数的定义
1.常量与变量
（1）变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
（2）常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2.函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量和y，并且对于x的每一个确定的
值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，y是x的函数。如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
判断y是否为x的函数，只要看x取值确定的时候，y是否有唯一确定的值与之对应。
3.确定函数自变量取值的范围的方法：
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
4.函数的解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系的式子叫做函数的解析式。
5.函数的图像
一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
6.描点法画函数图形的一般步骤
第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；
第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
7.函数的表示方法
（1）列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
（2）解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
（3）图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
知识点2. 一次函数的概念
1.正比例函数的定义
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
2.正比例函数的性质
当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；
当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．
（1）解析式：y=kx（k是常数，k≠0）
（2）必过点：（0，0）、（1，k）
（3）走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限
（4）增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小
（5）倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
3.一次函数的定义
一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。当b=0时，一次函数y=kx，又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是y=kx+b，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．
⑵当b=0， k≠0时， y=kx仍是一次函数．
⑶当b=0， k=0时，它不是一次函数．
⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．
4.分段函数
当自变量的取值范围不同时，函数的解析式也不同，这样的函数称为分段函数.
知识点3. 一次函数的图象及性质
1．正比例函数的图象特征与性质
正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．
k的符号 函数图象 图象的位置 性质
k>0 图象经过第一、三象限 y随x的增大而增大
k <0 图象经过第二、四象限 y随x的增大而减小
2.一次函数的图象特征与性质
（1）一次函数的图象特征
一次函数的图象 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-，0)的一条直线
图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度
图象确定 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可
（2）一次函数的性质
函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质
y=kx+b (k≠0) k>0，b>0 一、二、三 y随x的增大而增大
k>0，b<0 一、三、四
y=kx+b (k≠0) k<0，b>0 一、二、四 y随x的增大而减小
k<0，b<0 二、三、四
3.k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）．
①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
②当–=0，即b=0时，直线经过原点．
③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
4.两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：
①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行； ②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；
③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点； ④当k1·k2=–1时，两直线垂直．
知识点4. 用待定系数法求一次函数的解析式
1．定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法．
2．待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤
（1）设含有待定系数的函数解析式为y=kx（k≠0）．
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程．
（3）解方程，求出待定系数k．
（4）将求得的待定系数k的值代入解析式．
3．待定系数法求一次函数解析式的一般步骤
（1）设出含有待定系数k、b的函数解析式y=kx+b．
（2）把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b的二元一次方程组．
（3）解二元一次方程组，求出k，b．
（4）将求得的k，b的值代入解析式．
知识点5. 一次函数与方程、不等式
1．一次函数与一元一次方程
任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式．
从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0；从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标．
2．一次函数与一元一次不等式
任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式．
从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件．
3．一次函数与二元一次方程组
一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）的形式．因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线．进一步可知，一个二元一次方程对应两个一次函数，因而也对应两条直线．
从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标．
知识点6. 一次函数的应用
1．主要题型：（1）求相应的一次函数表达式；（2）结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等．
2．用一次函数解决实际问题的一般步骤为：
（1）设定实际问题中的自变量与因变量；
（2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；
（3）确定自变量的取值范围；
（4）利用函数性质解决问题；
（5）检验所求解是否符合实际意义；
（6）答．
知识点7. 一次函数的图像与两坐标轴所围成三角形的面积
（1）一次函数y=kx＋b的图象与两条坐标轴的交点：
与y轴的交点（0，b），与x轴的交点（，0）.
（2）直线（b≠0）与两坐标轴围成的三角形面积为
s=
(
方法总结
)
一、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤
（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；
（3）解方程得出未知系数的值；
（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式。
二、求解涉及一次函数方案最值问题方法技巧
1. 对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案．
2．求最值的本质为求最优方案，解法有两种：
（1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
（2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较 (
例题解析
)。
考点1. 从函数图象中有效的获取信息
【例题1】（2023深圳）如图1，在中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则的长为（ ）
A. B. C. 17 D.
【答案】C
【解析】根据图象可知时，点与点重合，得到，进而求出点从点运动到点所需的时间，进而得到点从点运动到点的时间，求出的长，再利用勾股定理求出即可．
由图象可知：时，点与点重合，
∴，
∴点从点运动到点所需的时间为；
∴点从点运动到点的时间为，
∴；
在中：；
故选C．
【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理．从函数图象中有效的获取信息，求出的长，是解题的关键．
【变式训练】（2023湖南郴州） 第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（　　）
A. 途中修车花了
B. 修车之前的平均速度是/
C. 车修好后的平均速度是/
D. 车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的倍
【答案】D
【解析】根据图象信息以及速度路程÷时间的关系即可解决问题．
由图象可知途中修车花了，
修车之前的平均速度是÷/，
车修好后的平均速度是÷/,
∴
故A、B、C错误，D正确．
故选∶ D．
【点睛】本题考查了函数图象，观察函数图象得出相应的时间和路程是解题关键．
考点2. 一次函数的图象和性质
【例题2】（2023内蒙古通辽）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依据一次函数的图象经过点和，即可得到一次函数的图象经过一、三、四象限．
【详解】一次函数中，令，则；令，则，
∴一次函数的图象经过点和，
∴一次函数的图象经过一、三、四象限，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．
【变式训练1】（2023浙江温州）如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点．
（1）求m的值和直线的函数表达式．
（2）若点在线段上，点在直线上，求的最大值．
【答案】（1）， （2）
【解析】【分析】（1）把点A的坐标代入直线解析式可求解m，然后设直线的函数解析式为，进而根据待定系数法可进行求解函数解析式；
（2）由（1）及题意易得，，则有，然后根据一次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：把点代入，得．
设直线的函数表达式为，把点，代入得
，解得，
∴直线的函数表达式为．
（2）解：∵点在线段上，点在直线上，
∴，，
∴．
∵，
∴的值随的增大而减小，
∴当时，的最大值为．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
【变式训练2】（2023湖南郴州） 在一次函数中，随的增大而增大，则的值可以是________（任写一个符合条件的数即可）．
【答案】3（答案不唯一）
【解析】根据一次函数的性质可知“当时，变量y的值随x的值增大而增大”，由此可得出结论．
∵一次函数中，y随x的值增大而增大，
∴．
解得：，
故答案为：3（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是根据函数的单调性确定k的取值范围．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合一次函数的增减性，得出k的取值范围是关键．
考点3. 求一次函数解析式
【例题3】 （2023内蒙古包头）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向右平移3个单位长度得到一次函数的图象，则该一次函数的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据一次函数的平移规律求解即可．
正比例函数的图象向右平移3个单位长度得：
，
故选：B．
【点睛】题目主要考查一次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题关键．
【变式训练】（2023浙江绍兴）一条笔直的路上依次有三地，其中两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从两地同时出发，去目的地，匀速而行．图中分别表示甲、乙机器人离地的距离（米）与行走时间（分钟）的函数关系图象．
（1）求所在直线的表达式．
（2）出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？
（3）甲机器人到地后，再经过1分钟乙机器人也到地，求两地间的距离．
【答案】（1）
（2）出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇
（3）两地间的距离为600米
【解析】分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）利用待定系数法求出所在直线的表达式，再列方程组求出交点坐标，即可；
（3）列出方程即可解决．
【详解】（1）∵，
∴所在直线的表达式为．
（2）设所在直线的表达式为，
∵，
∴解得
∴．
甲、乙机器人相遇时，即，解得，
∴出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇．
（3）设甲机器人行走分钟时到地，地与地距离，
则乙机器人分钟后到地，地与地距离，
由，得．
∴．
答：两地间的距离为600米．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，用待定系数法可求出函数表达式，要利用方程组的解，求出两个函数的交点坐标，充分应用数形结合思想是解题的关键．
考点4. 一次函数与一元一次不等式
【例题4】（2023甘肃兰州） 一次函数的函数值y随x的增大而减小，当时，y的值可以是（ ）
A. 2 B. 1 C. －1 D. －2
【答案】D
【解析】根据一次函数的增减性可得k的取值范围，再把代入函数，从而判断函数值y的取值．
∵一次函数的函数值y随x的增大而减小
∴
∴当时，
故选：D
【点睛】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．
考点5. 一次函数与二元一次方程组
【例题5】（2023山东聊城）甲乙两地相距a千米，小亮8:00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（ ）
A. 8:28 B. 8:30 C. 8:32 D. 8:35
【答案】A
【解析】利用待定系数法求出两条直线的函数解析式，将两个解析式联立，通过解方程求出交点的横坐标即可．
令小亮出发时对应的t值为0，小莹出发时对应的t值为10，则小亮到达乙地时对应的t值为70，小莹到达甲地时对应的t值为40，
设小亮对应函数图象的解析式为，
将代入解析式得，解得，
小亮对应函数图象的解析式为，
设小莹对应函数图象的解析式为，
将，代入解析式，得，
解得，
小莹对应函数图象的解析式为，
令，得，
解得，
小亮与小莹相遇的时刻为8:28．
故选A．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是利用待定系数法求出两条直线的函数解析式，熟练运用数形结合思想．
【变式训练】（2023湖南永州） 小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量简中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表的一组数据：
时间t（单位：分钟） 1 2 3 4 5 …
总水量y（单位：毫升） 7 12 17 22 27 …
（1）探究：根据上表中数据，请判断和（k，b为常数）哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系 并求出y关于t的表达式；
（2）应用：
①请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升
②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用多少天．
【答案】（1）能正确反映总水量y与时间t的函数关系；
（2）①102毫升；②144天
【解析】【分析】（1）观察表格，可发现前一分钟比后一分钟少5毫升的水，故可得能正确反映总水量y与时间t的函数关系，再选取两组数据代入函数解析式，根据待定系数法，即可得到y关于t的表达式；
（2）①将代入函数，即可解答；
②由解析式可知，每分钟滴水量为毫升，故可算出1个月的总滴水量，再除以一个人每天的饮水量，即可解答．
【详解】（1）观察表格，可发现前一分钟比后一分钟少5毫升的水，故可得能正确反映总水量y与时间t的函数关系，
把，代入，
可得，
解得，
y关于t的表达式；
（2）①当时，，
故小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升，
答：小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升．
②由解析式可知，每分钟的滴水量为毫升，
30天分钟分钟，
可供一人饮水天数天，
答：这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用144天．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数，一次函数应用，正确读懂题意，求得正确的一次函数解析式是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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