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2024年数学中考一轮单元复习考点讲析与达标检测（人教版通用）
第一部分 29个单元的基础知识与例题解析
专题21 一元二次方程单元考点讲析
(
课标要求
)
（1）能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程; 理解方程解的意义，经历估计方程解的过程。
（2）理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。
（3）会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。
（4）了解一元二次方程的根与系数的关系。
（5）能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。
(
知识
点梳理
)
知识点1. 一元二次方程的基本概念
1.定义： 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．
2.一般形式：ax2 ＋bx＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)
3.项数和系数：
ax2 ＋bx＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)
一次项： ax2
一次项系数：a
二次项： bx
二次项系数：b
常数项：c
4.注意事项： (1)含有一个未知数； (2)未知数的最高次数为2；
(3)二次项系数不为0； (4)整式方程．
知识点2. 一元二次方程的解法
（1）开平方法：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．
（2）配方法：解一元二次方程的一般步骤是现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．
介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程，引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。
（3）公式法：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。
知识点3. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
如果方程的两个实数根是，那么，。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 (
方法总结
)
解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。
第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。
第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。
第6步：答。
(
例题解析
)
考点1. 一元二次方程的概念
【例题1】若方程是关于x的一元二次方程，则m =（ ）
A．0 B．2 C．－2 D．± 2
【变式训练1】若2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，则m﹣n的值为　　．
【变式训练2】 （2023山东枣庄）若是关x的方程的解，则的值为_______．
【变式训练3】已知关于的方程．
（1）为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。
考点2. 一元二次方程判别式的应用
【例题2】（2023贵州省） 若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是_______．
【变式训练1】 （2023湖南常德）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________．
【变式训练2】（2023山东滨州）一元二次方程根的情况为（　　）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能判定
【变式训练3】（2023甘肃兰州）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A. －2 B. 2 C. －4 D. 4
【变式训练4】（2023山东聊城） 若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
考点3. 一元二次方程的解法
【例题3】（2023湖北荆州）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当时，用配方法解方程．
【变式训练1】方程的两个根为（ ）
A. B. C. D.
【变式训练2】用公式法解下列一元二次方程：
（1）3x2﹣4x+2＝0．（2）．
程的根与系数的关系
【例题4】（2023山东菏泽）一元二次方程的两根为，则的值为（ ）
A. B. C. 3 D.
考点5. 一元二次方程的应用
【例题5】（2023福建）根据福建省统计局数据，福建省年的地区生产总值为亿元，年的地区生产总值为亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（　　）
A. B.
C. D.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024年数学中考一轮单元复习考点讲析与达标检测（人教版通用）
第一部分 29个单元的基础知识与例题解析
专题21 一元二次方程单元考点讲析
(
课标要求
)
（1）能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程; 理解方程解的意义，经历估计方程解的过程。
（2）理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。
（3）会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。
（4）了解一元二次方程的根与系数的关系。
（5）能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。
(
知识
点梳理
)
知识点1. 一元二次方程的基本概念
1.定义： 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．
2.一般形式：ax2 ＋bx＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)
3.项数和系数：
ax2 ＋bx＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)
一次项： ax2
一次项系数：a
二次项： bx
二次项系数：b
常数项：c
4.注意事项： (1)含有一个未知数； (2)未知数的最高次数为2；
(3)二次项系数不为0； (4)整式方程．
知识点2. 一元二次方程的解法
（1）开平方法：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．
（2）配方法：解一元二次方程的一般步骤是现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．
介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程，引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。
（3）公式法：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。
知识点3. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
如果方程的两个实数根是，那么，。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 (
方法总结
)
解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。
第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。
第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。
第6步：答。
(
例题解析
)
考点1. 一元二次方程的概念
【例题1】若方程是关于x的一元二次方程，则m =（ ）
A．0 B．2 C．－2 D．± 2
【答案】B
【解析】∵是关于x的一元二次方程，
∴m+2≠0, =2,解得:m=2
【变式训练1】若2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，则m﹣n的值为　　．
【答案】．
【解析】∵2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，
∴4n2﹣4mn+2n=0，
∴4n﹣4m+2=0，
∴m﹣n=．
【变式训练2】 （2023山东枣庄）若是关x的方程的解，则的值为_______．
【答案】2019
【解析】将代入方程，得到，利用整体思想代入求值即可．
∵是关x的方程的解，
∴，即：，
∴
；
故答案为：2019．
【点睛】考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．
【变式训练3】已知关于的方程．
（1）为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。
【答案】见解析
【解析】本题是含有字母系数的方程问题．根据一元一次方程和一元二次方程的定义，分别进行讨论求解.
（1）由题意得，时，即时，
方程是一元一次方程.
（2）由题意得，时，即时，方程是一元二次方程.此方程的二次项系数是、一次项系数是、常数项是.
考点2. 一元二次方程判别式的应用
【例题2】（2023贵州省） 若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是_______．
【答案】
【解析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
【变式训练1】 （2023湖南常德）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，建立关于k的不等式，解不等式即可得出答案．
∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得．
故答案：．
【点睛】此题考查了根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：（1） 方程有两个不相等的实数根；（2） 方程有两个相等的实数根；（3） 方程没有实数根．
【变式训练2】（2023山东滨州）一元二次方程根的情况为（　　）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能判定
【答案】A
【解析】根据题意，求得，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解．
∵一元二次方程中，，
∴，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键．
【变式训练3】（2023甘肃兰州）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A. －2 B. 2 C. －4 D. 4
【答案】A
【解析】由一元二次方程根的情况可得，再代入式子即可求解．
∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根
∴
∴，
故选：A.
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【变式训练4】（2023山东聊城） 若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
【答案】D
【解析】由于关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知，且，据此列不等式求解即可．
【详解】由题意得，，且，
解得，，且.
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
考点3. 一元二次方程的解法
【例题3】（2023湖北荆州）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当时，用配方法解方程．
【答案】（1）且
（2），
【解析】【分析】（1）根据题意，可得，注意一元二次方程的系数问题，即可解答，
（2）将代入，利用配方法解方程即可．
【详解】（1）
依题意得：，
解得且；
（2）当时，原方程变为：，
则有：，
，
，
方程的根为，．
【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程是解题的关键．
【变式训练1】方程的两个根为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】将进行因式分解，，计算出答案．
∵
∴
∴．
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程．
【变式训练2】用公式法解下列一元二次方程：
（1）3x2﹣4x+2＝0．（2）．
【答案】（1）x1，x2．（2）x1，x2．
【解析】（1）熟记公式x是解题的关键．
先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
3x2﹣4x+2＝0，
∵a＝3，b＝﹣4，c＝2，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×2＝24，
∴x，
则x1，x2．
考点4. 一元二次方程的根与系数的关系
【例题4】（2023山东菏泽）一元二次方程的两根为，则的值为（ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】C
【解析】先求得，，再将变形，代入与的值求解即可．
∵一元二次方程的两根为，
∴，
∴
． 故选C．
【点睛】主要考查一元二次方程根与系数的关系，牢记，是解决本题的关键．
考点5. 一元二次方程的应用
【例题5】（2023福建）根据福建省统计局数据，福建省年的地区生产总值为亿元，年的地区生产总值为亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可求解．
设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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