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2024年数学中考一轮单元复习考点讲析与达标检测（人教版通用）
第一部分 29个单元的基础知识与例题解析
专题24 圆单元考点讲析
(
课标要求
)
（1）理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念,了解等圆、等弧的概念；探索并掌握点与圆位置关系。
（2）探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两 条弧。
（3）探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧（或等弧） 所对的圆周角相等。了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它 所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角 所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补。
（4）了解三角形的内心与外心。
（5）了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念。
（6）能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外 接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形。
（7）能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线。
（8）*探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等。
（9）会计算圆的弧长、扇形的面积。
（10）了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。
(
知识
点梳理
)
知识点1. 圆的概念
1.圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。
2.圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。
3.圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
注意：(1)确定圆的要素：圆心决定位置，半径决定大小．
(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
知识点2.点与圆的位置关系
判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆的半径r比较得到．
设☉O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有
d＜r 点P在圆内；
d=r 点P在圆上；
d＞r 点P在圆外.
注意：点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系．
知识点3.直线与圆的位置关系
直线与圆有3种位置关系：（1）相离；（2）相交；（3）相切。
设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离
知识点4.圆与圆的位置关系
两圆之间有5种位置关系：
无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；
有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；
有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为L,则
（1）外离L＞R+r；
（2）外切L=R+r；
（3）相交R-r＜L＜R+r；
（4）内切L=R-r；
（5）内含L＜R-r。
知识点5.垂径定理
垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
知识点6.圆心角定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
知识点7.圆周角定理
（1）在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
知识点8.圆内接多边形
1.外接圆、内接正多边形:将一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆.
（1）圆内接正三角形 （2）圆内接正四边形 （3）圆内接正六边形
2.圆内接正多边形的计算
(1)正n边形的中心角为
(2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间的关系
(3)边长a，边心距r的正n边形的面积为
其中l为正n边形的周长.
3.外心：三角形的外接圆的圆心叫做这个这个三角形的外心.
注意：(1)三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点．(2)一个三角形的外接圆是唯一的.
4.内心：三角形的内切圆的圆心叫做这个这个三角形的内心.
注意：(1)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点．(2)一个三角形的内切圆是唯一的.
5.正多边形的相关概念
(1) 正多边形的中心：正多边形外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心.
(2) 正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径.
(3) 正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距.
(4) 正多边形的中心角：正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.
知识点9.切线的判定定理与性质
1.切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2.切线的性质：
（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。
（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。
知识点10.圆的公切线
1.公切线是指同时相切于两条或两条以上的曲线的直线，例如和两个圆相切的直线叫做这两个圆的公切线。如果两个圆在公切线的同侧，则这公切线叫外公切线；如果两个圆在公切线的异侧，则叫内公切线。
（1）若两圆相离，则有4条公切线。
（2）若两圆外切，则有3条公切线。
（3）两圆相交，则有2条公切线。
（4）若两圆内切，则有1条公切线。
（5）若两圆内含，则有0条公切线。
2.公切线性质
（1）两圆的两条外公切线长相等；
（2）两条内公切线的长也相等。
（3）两圆的外公切线与连心线或者交于一点或者平行。
知识点11.两圆公共弦定理
两圆圆心的连线垂直并且评分这两个圆的公共弦。
知识点12.扇形、圆柱和圆锥等的相关计算
1.圆的周长与面积计算公式：　　
圆的周长C=2πR=πd
（2）圆的面积S=πR2
2.扇形弧长与面积公式
（1）半径为r的圆中，n°圆心角所对的弧长
．
（2）扇形面积公式
半径为R，圆心角为n°的扇形面积
（l是扇形的弧长）．
3.弓形面积公式
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积。
4.圆柱表面积与体积公式
（1）圆柱表面积S表=S侧 +2S底=2πRh+2πR2
（2）圆柱体的体积V=S底h=πR2h
5.圆锥的侧面积与体积
(1)圆锥的侧面展开图是一个扇形。
(2)如果圆锥母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，
(3)圆锥的侧面积为πrl，
(4)圆锥的全面积为πr·（l+r）．
（8）圆锥体的体积V=πr2h/3
(
方法总结
)
一、解决圆有关系列问题方法总结
1.证明切线与求解线段长度方法
（1）证切线时添加辅助线的解题方法有两种： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径；有切线时添加辅助线的解题方法是：见切点，连半径，得垂直；
（2）设未知数，通常利用勾股定理建立方程.
2.圆中常用辅助线的添法
在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。
（1）见弦作弦心距。有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通过垂径平分定理，来沟通题设与结论间的联系。
（2）见直径作圆周角。在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用"直径所对的圆周角是直角"这一特征来证明问题。
（3）见切线作半径。命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用"切线与半径垂直"这一性质来证明问题。
（4）两圆相切作公切线。对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。
（5）两圆相交作公共弦。对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。
二、圆中常用辅助线的添法顺口溜
半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆
如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
三、圆问题拓展知识
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
重要结论：PA PB=PC PD
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
重要结论：CE2=AE BE
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
重要结论：PA2=PC PB
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
重要结论：PC PB=PD PE
(
例题解析
)
考点1.垂径定理及圆周角定理问题
【例题1】 （2023湖南永州）如图，是一个盛有水的容器的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为_______．
【变式训练】（2023福建）如图，已知内接于的延长线交于点，交于点，交的切线于点，且．
（1）求证：；
（2）求证：平分．
考点2.圆的切线性质问题
【例题2】（2023甘肃兰州） 如图，内接于，是的直径，，于点，交于点，交于点，，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）当时，求的长．
【变式训练1】（2023湖南常德）如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【变式训练2】（2023湖南永州）如图，以为直径的是的外接圆，延长到点D．使得，点E在的延长线上，点在线段上，交于N，交于G．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长；
（3）若，求证：．
考点3. 三角形的内心与内心
【例题3】（2023山东聊城）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【变式训练】（2023内蒙古包头）如图，是锐角三角形的外接圆，
，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为（ ）
A. 8 B. 4 C. 3.5 D. 3
考点4.正多边形与圆问题
【例题4】（2023福建）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（　　）
A. B. C. 3 D.
考点5.扇形弧长与面积问题
【例题5】（2023甘肃兰州） 如图1是一段弯管，弯管部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（ ）
A. B. C. D.
【变式训练1】（2023湖南常德）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．是以O为圆心，为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，．“会圆术”给出长l的近似值s计算公式：，当，时，__________．（结果保留一位小数）
【变式训练2】（2023湖南郴州） 如图，在中，是直径，点是圆上一点．在的延长线上取一点，连接，使．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积（结果用含的式子表示）．
【变式训练3】（2023山东聊城）如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分．若该几何体上、下两个圆的半径分别为1和2，原大圆锥高的剩余部分为，则其侧面展开图的面积为（ ）
A. B. C. D.
考点6.与圆有关的作图问题
【例题6】（2023内蒙古通辽）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．
下列不属于该尺规作图依据的是（ ）
A. 两点确定一条直线
B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
考点7. 与圆有关的综合类问题
【例题7】（2023甘肃兰州） 我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在的延长线及上取点A，B，使；（3）连接，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线．按以上作图顺序，若，则（ ）
A. B. C. D.
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第一部分 29个单元的基础知识与例题解析
专题24 圆单元考点讲析
(
课标要求
)
（1）理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念,了解等圆、等弧的概念；探索并掌握点与圆位置关系。
（2）探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两 条弧。
（3）探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧（或等弧） 所对的圆周角相等。了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它 所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角 所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补。
（4）了解三角形的内心与外心。
（5）了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念。
（6）能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外 接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形。
（7）能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线。
（8）*探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等。
（9）会计算圆的弧长、扇形的面积。
（10）了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。
(
知识
点梳理
)
知识点1. 圆的概念
1.圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。
2.圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。
3.圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
注意：(1)确定圆的要素：圆心决定位置，半径决定大小．
(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
知识点2.点与圆的位置关系
判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆的半径r比较得到．
设☉O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有
d＜r 点P在圆内；
d=r 点P在圆上；
d＞r 点P在圆外.
注意：点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系．
知识点3.直线与圆的位置关系
直线与圆有3种位置关系：（1）相离；（2）相交；（3）相切。
设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离
知识点4.圆与圆的位置关系
两圆之间有5种位置关系：
无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；
有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；
有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为L,则
（1）外离L＞R+r；
（2）外切L=R+r；
（3）相交R-r＜L＜R+r；
（4）内切L=R-r；
（5）内含L＜R-r。
知识点5.垂径定理
垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
知识点6.圆心角定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
知识点7.圆周角定理
（1）在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
知识点8.圆内接多边形
1.外接圆、内接正多边形:将一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆.
（1）圆内接正三角形 （2）圆内接正四边形 （3）圆内接正六边形
2.圆内接正多边形的计算
(1)正n边形的中心角为
(2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间的关系
(3)边长a，边心距r的正n边形的面积为
其中l为正n边形的周长.
3.外心：三角形的外接圆的圆心叫做这个这个三角形的外心.
注意：(1)三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点．(2)一个三角形的外接圆是唯一的.
4.内心：三角形的内切圆的圆心叫做这个这个三角形的内心.
注意：(1)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点．(2)一个三角形的内切圆是唯一的.
5.正多边形的相关概念
(1) 正多边形的中心：正多边形外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心.
(2) 正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径.
(3) 正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距.
(4) 正多边形的中心角：正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.
知识点9.切线的判定定理与性质
1.切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2.切线的性质：
（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。
（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。
知识点10.圆的公切线
1.公切线是指同时相切于两条或两条以上的曲线的直线，例如和两个圆相切的直线叫做这两个圆的公切线。如果两个圆在公切线的同侧，则这公切线叫外公切线；如果两个圆在公切线的异侧，则叫内公切线。
（1）若两圆相离，则有4条公切线。
（2）若两圆外切，则有3条公切线。
（3）两圆相交，则有2条公切线。
（4）若两圆内切，则有1条公切线。
（5）若两圆内含，则有0条公切线。
2.公切线性质
（1）两圆的两条外公切线长相等；
（2）两条内公切线的长也相等。
（3）两圆的外公切线与连心线或者交于一点或者平行。
知识点11.两圆公共弦定理
两圆圆心的连线垂直并且评分这两个圆的公共弦。
知识点12.扇形、圆柱和圆锥等的相关计算
1.圆的周长与面积计算公式：　　
圆的周长C=2πR=πd
（2）圆的面积S=πR2
2.扇形弧长与面积公式
（1）半径为r的圆中，n°圆心角所对的弧长
．
（2）扇形面积公式
半径为R，圆心角为n°的扇形面积
（l是扇形的弧长）．
3.弓形面积公式
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积。
4.圆柱表面积与体积公式
（1）圆柱表面积S表=S侧 +2S底=2πRh+2πR2
（2）圆柱体的体积V=S底h=πR2h
5.圆锥的侧面积与体积
(1)圆锥的侧面展开图是一个扇形。
(2)如果圆锥母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，
(3)圆锥的侧面积为πrl，
(4)圆锥的全面积为πr·（l+r）．
（8）圆锥体的体积V=πr2h/3
(
方法总结
)
一、解决圆有关系列问题方法总结
1.证明切线与求解线段长度方法
（1）证切线时添加辅助线的解题方法有两种： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径；有切线时添加辅助线的解题方法是：见切点，连半径，得垂直；
（2）设未知数，通常利用勾股定理建立方程.
2.圆中常用辅助线的添法
在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。
（1）见弦作弦心距。有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通过垂径平分定理，来沟通题设与结论间的联系。
（2）见直径作圆周角。在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用"直径所对的圆周角是直角"这一特征来证明问题。
（3）见切线作半径。命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用"切线与半径垂直"这一性质来证明问题。
（4）两圆相切作公切线。对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。
（5）两圆相交作公共弦。对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。
二、圆中常用辅助线的添法顺口溜
半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆
如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
三、圆问题拓展知识
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
重要结论：PA PB=PC PD
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
重要结论：CE2=AE BE
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
重要结论：PA2=PC PB
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
重要结论：PC PB=PD PE
(
例题解析
)
考点1.垂径定理及圆周角定理问题
【例题1】 （2023湖南永州）如图，是一个盛有水的容器的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为_______．
【答案】
【解析】过点作于点，交于点，则，依题意，得出，进而在中，勾股定理即可求解．
【详解】如图所示，过点作于点，交于点，则，
∵水的最深处到水面的距离为，的半径为．
∴，
在中，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
【变式训练】（2023福建）如图，已知内接于的延长线交于点，交于点，交的切线于点，且．
（1）求证：；
（2）求证：平分．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】【分析】（1）由切线的性质可得，由圆周角定理可得，即，再根据平行线的性质可得，则根据角的和差可得，最后根据平行线的判定定理即可解答；
（2）由圆周角定理可得，再由等腰三角形的性质可得，进而得到，再结合得到即可证明结论．
【详解】（1）证明是的切线，
，即．
是的直径，
．
∴．
，
，
，即，
．
（2）与都是所对的圆周角，
．
，
，
．
由（1）知，
，
平分．
【点睛】本题主要考查角平分线、平行线的判定与性质、圆周角定理、切线的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键．
考点2.圆的切线性质问题
【例题2】（2023甘肃兰州） 如图，内接于，是的直径，，于点，交于点，交于点，，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）当时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）是等腰三角形，理由见解析 （3）
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理得出，根据已知得出，根据得出，进而根据对等角相等，以及三角形内角和定理可得，即可得证；
（2）根据题意得出，则，证明，得出，等量代换得出，即可得出结论；
（3）根据，，设，则，等边对等角得出，则．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
即，又是的直径，
∴是的切线；
（2）∵，是的直径，
∴，，
∴，
∵，，
∵，
∴，
又，
∴，
∴是等腰三角形，
（3）∵，，
设，则，
∴，
∴．
【点睛】考查切线的判定，等腰三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式训练1】（2023湖南常德）如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析； （2），．
【解析】【分析】（1）根据“连半径，证垂直”即可，
（2）先由“直径所对的圆周角是直角”，证是直角三角形，用勾股定理求出长，再通过三角形相似即可求解．
【详解】（1）连接
∵为的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，为半径，
∴为的切线，
（2）∵为直径，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：
．
【点睛】此题考查切线的判定，圆周角定理，勾股定理定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．
【变式训练2】（2023湖南永州）如图，以为直径的是的外接圆，延长到点D．使得，点E在的延长线上，点在线段上，交于N，交于G．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长；
（3）若，求证：．
【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析
【解析】【分析】（1）由是的直径得到，则，由得到，则，结论得证；
（2）证明，则，可得，解得或3，由即可得到的长；
（3）先证明，则，得到，由得到，则，由同角的余角相等得到，则，得，进一步得到，则，即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，
解得或3，
当时，，
当时，，
∵，即，
∴；
（3）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
考点3. 三角形的内心与内心
【例题3】（2023山东聊城）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据三角形内心的定义可得的度数，然后由圆周角定理求出，再根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出答案．
【详解】连接，
∵点I是的内心，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形内心的定义和圆周角定理，熟知三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点是解题的关键．
【变式训练】（2023内蒙古包头）如图，是锐角三角形的外接圆，
，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为（ ）
A. 8 B. 4 C. 3.5 D. 3
【答案】B
【解析】根据三角形外接圆的性质得出点D、E、F分别是的中点，再由中位线的性质及三角形的周长求解即可．
∵是锐角三角形的外接圆，，
∴点D、E、F分别是的中点，
∴，
∵的周长为21，
∴即，
∴，
故选：B．
【点睛】题目主要考查三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是解题关键．
考点4.正多边形与圆问题
【例题4】（2023福建）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（　　）
A. B. C. 3 D.
【答案】C
【解析】【分析】根据圆内接正多边形的性质可得，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解．
圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形，过点作交于点于点，
∵，
∴，
则，
故正十二边形的面积为，
圆的面积为，
用圆内接正十二边形面积近似估计的面积可得，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键．
考点5.扇形弧长与面积问题
【例题5】（2023甘肃兰州） 如图1是一段弯管，弯管部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据弧长公式求解即可．
弧的半径，圆心角，
∴，
故选：B．
【点睛】题目主要考查弧长公式，熟练掌握运用弧长公式是解题关键．
【变式训练1】（2023湖南常德）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．是以O为圆心，为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，．“会圆术”给出长l的近似值s计算公式：，当，时，__________．（结果保留一位小数）
【答案】0.1
【解析】由已知求得与的值，代入得弧长的近似值，利用弧长公式可求弧长的值，进而即可得解．
∵，
∴，
∵C是弦的中点，D在上，，
∴延长可得O在上，
∴，
∴，
，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形的弧长，掌握垂径定理。弧长公式是关键．
【变式训练2】（2023湖南郴州） 如图，在中，是直径，点是圆上一点．在的延长线上取一点，连接，使．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积（结果用含的式子表示）．
【答案】（1）见解析； （2）．
【解析】【分析】（1）连接，由是直径，得，再证，从而有，于是即可证明结论成立；
（2）由圆周角定理求得，在中，解直角三角形得，从而利用扇形及三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，扇形的面积公式以及解直角三角形，熟练掌握圆周角定理，切线的判定以及扇形的面积公式是解题的关键．
【变式训练3】（2023山东聊城）如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分．若该几何体上、下两个圆的半径分别为1和2，原大圆锥高的剩余部分为，则其侧面展开图的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据展开面积大圆锥侧面积与小圆锥侧面积之差计算即可．
根据题意，补图如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴侧面展开图的面积为，
故选C．
【点睛】考查圆锥侧面积计算，三角形相似的判定和性质，熟练掌握圆锥的侧面积计算是解题的关键．
考点6.与圆有关的作图问题
【例题6】（2023内蒙古通辽）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．
下列不属于该尺规作图依据的是（ ）
A. 两点确定一条直线
B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
【答案】D
【解析】利用直角三角形斜边中线的性质证明：即可．
作直线（两点确定一条直线），
连接，
∵由作图，，
∴且（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．
∵，
∴（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴，
∴A，B，C三点在以O为圆心，为直径的圆上．
∴为的外接圆．故选：D．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的定义，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
考点7. 与圆有关的综合类问题
【例题7】（2023甘肃兰州） 我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在的延长线及上取点A，B，使；（3）连接，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线．按以上作图顺序，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，，
∴，
∴，
∵，C为的中点，
∴，故选A．
【点睛】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的外角的性质，熟记等腰三角形的性质是解本题的关键．
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