资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2024年数学中考一轮单元复习考点讲析与达标检测（人教版通用）
第一部分 29个单元的基础知识与例题解析
专题26 反比例函数单元考点讲析
(
课标要求
)
（1）结合具体情境体会反比例函数的意义,能根据已知条件确定反比例函数的表达式。
（2）能画反比例函数的图象，根据图象和表达式y＝（k为常数，k≠0），探索并理解为k＞0和，k＜0时图象的变化情况。
（3）能用反比例函数解决简单实际问题。
(
知识
点梳理
)
知识点1. 反比例函数的定义
1.形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。其他形式xy=k 、。
2.要十分注意：(1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数y≠0.
知识点2. 反比例函数的图像和性质
1.图像：反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线y=x和 y=-x。对称中心是：原点
k＞0 k＜0
性质:
（1）当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；
（2）当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。
注意：反比例函数的性质列表记忆法
（3）反比例函数比例系数 k 的几何意义
k 的几何意义：反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之积 (xy＝k) 为常数这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数 |k|.
规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数 |k|/2．
知识点3. 反比例函数中反比例系数的几何意义
k 的几何意义：反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之积 (xy＝k) 为常数这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数 |k|.
规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数 |k|/2．
如图，过反比例函数图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=。
知识点4. 反比例函数的应用
关键在于分析实际情景，建立函数模型，并且进一步明确数学问题将实际问题置于已学的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么？可以看作什么？逐步形成考察实际问题的能力，在解决实际问题时，不仅要充分利用函数图象的性质，参透数形结合的思想，也要注意函数、不等式、方程之间的联系。生活中处处有数学。用反比例函数去研究两个物理量之间的关系是在物理学中最常见的，因此同学们要学好物理，首先要打好数学基础，才能促进你对物理知识的理解和探索。
A.在工程与速度中的应用；
B.反比例函数在电学中的运用；
C.在光学中运用；
D.在排水方面的运用；
E.在解决经济预算问题中的应用；
F.其他方面的应用。
(
方法总结
)
1.利用待定系数法确定反比例函数方法
① 根据两变量之间的反比例关系，设函数；
② 代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一对对应值，求出 k 的值；
③ 写出解析式.
2.反比例函数与一次函数的图象的交点的求法
求直线 y＝k1x＋b (k1≠0) 和双曲线y=k2/x (k2≠0)的交点坐标就是解这两个函数解析式组成的方程组. (
例题解析
)
考点1. 反比例函数的图象和性质问题
【例题1】（2023深圳）如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则______．
【答案】
【解析】【分析】过点C作轴于点D，由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解．
【详解】过点C作轴于点D，如图所示：
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴点，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键．
考点2.与反比例函数k有关的问题
【例题2】（2023福建）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（　　）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】如图所示，点在上，证明，根据的几何意义即可求解．
【详解】如图所示，连接正方形的对角线，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，点在上，
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵点在第二象限，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数的的几何意义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式训练】（2023湖南湘潭）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于直N，若四边形的面积为2．则k的值是（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】证明四边形是矩形，根据反比例函数的值的几何意义，即可解答．
轴于点M，轴于直N，，
四边形是矩形，
四边形的面积为2，
，
反比例函数在第一、三象限，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定，反比例函数的值的几何意义，熟知在一个反比例函数图像上任取一点，过点分别作x轴，y轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积为是解题的关键．
考点3. 反比例函数的应用问题
【例题3】（2023浙江温州）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了___________．
【答案】20
【解析】由图象易得P关于V的函数解析式为，然后问题可求解．
设P关于V的函数解析式为，由图象可把点代入得：，
∴P关于V的函数解析式为，
∴当时，则，
当时，则，
∴压强由加压到，则气体体积压缩了；
故答案为20．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键．
考点4. 反比例函数和一次函数综合
【例题4】（2023甘肃兰州） 如图，反比例函数与一次函数图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）当时，求线段的长．
【答案】（1）反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为；
（2）．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求得直线的表达式为，再分别求得的坐标，据此即可求解．
【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
∵一次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为；
（2）∵，
∴，
∴直线的表达式为，
∵时，，
解得，则，
∵时，，
解得，则，
∴．
【点睛】考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法是求函数解析式的基本方法．
【变式训练1】（2023湖南常德）如图所示，一次函数与反比例函数相交于点A和点．
（1）求m的值和反比例函数解析式；
（2）当时，求x的取值范围．
【答案】（1）， （2）或
【解析】【分析】（1）根据一次函数的图象与反比例函数的图象交于、B两点可得的值，进而可求反比例函数的表达式；
（2）观察函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】（1）将点代入得：
解得：
将代入得：
∴
（2）由得：，解得
所以的坐标分别为
由图形可得：当或时，
【点睛】反比例函数与一次函数的交点问题，解决本题的关键是掌握反比例函数与一次函数的性质．
【变式训练2】（2023山东聊城）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）点在x轴负半轴上，连接，过点B作，交的图像于点Q，连接．当时，若四边形的面积为36，求的值．
【答案】（1）， （2）
【解析】【分析】（1）根据反比例函数过点，两点，确定，待定系数法计算即可．（2）根据平移思想，设解析式求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点，
∴，
故反比例函数的解析式为，
∴，
故，
∴，
解得，
∴直线的解析式为．
（2）∵，，，，，
∴四边形是平行四边形，
∴点A到点P的平移规律是向左平移个单位，向下平移4个单位，
∴点到点Q的平移规律也是向左平移个单位，向下平移4个单位，
故，
∵在上，
∴，
解得：，
∴点P的坐标为，
设与x轴交于点C，连接，如图所示：
把代入，解得：，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴当时，符合题意．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，平移规律计算，熟练掌握规律是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2024年数学中考一轮单元复习考点讲析与达标检测（人教版通用）
第一部分 29个单元的基础知识与例题解析
专题26 反比例函数单元考点讲析
(
课标要求
)
（1）结合具体情境体会反比例函数的意义,能根据已知条件确定反比例函数的表达式。
（2）能画反比例函数的图象，根据图象和表达式y＝（k为常数，k≠0），探索并理解为k＞0和，k＜0时图象的变化情况。
（3）能用反比例函数解决简单实际问题。
(
知识
点梳理
)
知识点1. 反比例函数的定义
1.形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。其他形式xy=k 、。
2.要十分注意：(1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数y≠0.
知识点2. 反比例函数的图像和性质
1.图像：反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线y=x和 y=-x。对称中心是：原点
k＞0 k＜0
性质:
（1）当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；
（2）当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。
注意：反比例函数的性质列表记忆法
（3）反比例函数比例系数 k 的几何意义
k 的几何意义：反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之积 (xy＝k) 为常数这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数 |k|.
规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数 |k|/2．
知识点3. 反比例函数中反比例系数的几何意义
k 的几何意义：反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之积 (xy＝k) 为常数这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数 |k|.
规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数 |k|/2．
如图，过反比例函数图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=。
知识点4. 反比例函数的应用
关键在于分析实际情景，建立函数模型，并且进一步明确数学问题将实际问题置于已学的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么？可以看作什么？逐步形成考察实际问题的能力，在解决实际问题时，不仅要充分利用函数图象的性质，参透数形结合的思想，也要注意函数、不等式、方程之间的联系。生活中处处有数学。用反比例函数去研究两个物理量之间的关系是在物理学中最常见的，因此同学们要学好物理，首先要打好数学基础，才能促进你对物理知识的理解和探索。
A.在工程与速度中的应用；
B.反比例函数在电学中的运用；
C.在光学中运用；
D.在排水方面的运用；
E.在解决经济预算问题中的应用；
F.其他方面的应用。
(
方法总结
)
1.利用待定系数法确定反比例函数方法
① 根据两变量之间的反比例关系，设函数；
② 代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一对对应值，求出 k 的值；
③ 写出解析式.
2.反比例函数与一次函数的图象的交点的求法
求直线 y＝k1x＋b (k1≠0) 和双曲线y=k2/x (k2≠0)的交点坐标就是解这两个函数解析式组成的方程组. (
例题解析
)
考点1. 反比例函数的图象和性质问题
【例题1】（2023深圳）如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则______．
考点2.与反比例函数k有关的问题
【例题2】（2023福建）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（　　）
A. B. C. D. 3
【变式训练】（2023湖南湘潭）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于直N，若四边形的面积为2．则k的值是（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
考点3. 反比例函数的应用问题
【例题3】（2023浙江温州）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了___________．
考点4. 反比例函数和一次函数综合
【例题4】（2023甘肃兰州） 如图，反比例函数与一次函数图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）当时，求线段的长．
【变式训练1】（2023湖南常德）如图所示，一次函数与反比例函数相交于点A和点．
（1）求m的值和反比例函数解析式；
（2）当时，求x的取值范围．
【变式训练2】（2023山东聊城）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）点在x轴负半轴上，连接，过点B作，交的图像于点Q，连接．当时，若四边形的面积为36，求的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑