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2024年数学中考一轮单元复习考点讲析与达标检测（人教版通用）
第一部分 29个单元的基础知识与例题解析
专题28 锐角三角函数单元考点讲析
(
课标要求
)
（1）利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sinA, cos A, tan A),知道30°, 45°, 60°角的三角函数值。
（2）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数 值求它的对应锐角。
（3）能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。
(
知识
点梳理
)
知识点1. 锐角三角函数
1．三角函数定义
在Rt△ABC中，若∠C=90°
2.同角三角函数的关系
（1）平方关系：
（2）商数关系：
（3）倒数关系：
3.互为余角的三角函数关系
，
，
或者：若∠A+∠B=90°，则
sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotA=tanB
特殊角的三角函数值
α sinα Cosα tanα cotα
0° 0 1 0 不存在
30°
45° 1 1
60°
90° 1 0 不存在 0
5.锐角三角函数的增减性(0°--90°)
（1）锐角的正弦值（或正切值）随着角度的增大而增大，随着角度的减小而减小。
（2）锐角的余弦值（或余切值）随着角度的增大而减小，随着角度的减小而增大。
6.锐角三角函数的取值范围
0≤sinα≤1，0≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.
知识点2. 解直角三角形
1.求边角问题
（1）解直角三角形的的定义：已知边和角(其中必有一条边)，求所有未知的边和角.
（2）解直角三角形的依据：
角的关系：两个锐角互余；
边的关系：勾股定理；
边角关系：锐角三角函数；
（3）解直角三角形的常见类型及一般解法
Rt△ABC中的已知条件 一般解法
两边 两直角边a，b (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90 ∠A.
一直角边a，斜边c (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90 ∠A.
一边一锐角 一直角边a，锐角A (1)∠B=90 ∠A； (2)； (3).
斜边c，锐角A (1)∠B=90 ∠A； (2)a=c·sin A； (3)b=c·cos A.
2.求面积问题
（1）==
（2）Rt△面积公式：
（3）直角三角形外接圆的半径，内切圆半径
结论：直角三角形斜边上的高
3.求三角函数值的方法总结：
求三角函数值方法较多，解法灵活，在具体的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法，常用的方法主要有：
（1）根据特殊角的三角函数值求值；
（2）直接运用三角函数的定义求值；
（3）借助边的数量关系求值；
（4）借助等角求值；
（5）根据三角函数关系求值；
(6)构造直角三角形求值；
（7）利用计算器求值。
注意：考查已知三角形中的边与角求其他的边与角.解决这类问题一般是结合方程思想与勾股定理，利用锐角三角函数进行求解.
4.解直角三角形需要注意的问题
1.正确理解锐三角函数的概念，能准确表达各三角函数，并能说出常用特殊角的三角函数值。
2.在完成锐角三角函数的填空、选择题时，要能根据题意画出相关图形，结合图形解题更具直观性。
3.能将实际问题转化为相关的直角三角形问题，即把实际问题抽象为几何问题，研究图形，利用数形结合思想、方程思想等解决生活问题。
4.注重基础，不断创新，掌握解直角三角形的基本技能，能灵活应对在测量、航海、定位等现代生活中常见问题，这也是以后中考命题的趋势。
5.解决实际问题的关键在于建立数学模型，要善于把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的问题．在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，应根据题目要求的精确度定答案．
知识点3. 实际问题中术语的含义
(1)仰角与俯角
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。
(2)坡度：如图，我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或坡比），用字母i表示，即.
（3）坡角：坡面与水平面的夹角；
（4）坡度与坡角（用表示）的关系：i=tan.坡角越大，坡度越大，坡面越陡。
（5）方位角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°角的为方位角．
知识点4. 利用三角函数测高
(1) 测量底部可以到达的物体的高度步骤：
①在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；
②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；
③量出测倾器的高度AC=a，可求出 MN=ME+EN=l·tanα+a.
(2) 测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？
①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；
②在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MDE=β；
③量出测倾器的高度AC=BD=a，及测点A，B之间的距离 AB=b.根据测量数据，可求出物体MN的高度. (
方法总结
)
一、解直角三角形问题的依据与类型
（1）解直角三角形的的定义：已知边和角(其中必有一条边)，求所有未知的边和角.
（2）解直角三角形的依据：
角的关系：两个锐角互余；
边的关系：勾股定理；
边角关系：锐角三角函数；
（3）解直角三角形的常见类型及一般解法
Rt△ABC中的已知条件 一般解法
两边 两直角边a，b (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90 ∠A.
一直角边a，斜边c (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90 ∠A.
一边一锐角 一直角边a，锐角A (1)∠B=90 ∠A； (2)； (3).
斜边c，锐角A (1)∠B=90 ∠A； (2)a=c·sin A； (3)b=c·cos A.
二、解直角三角形需要注意的问题
1.正确理解锐三角函数的概念，能准确表达各三角函数，并能说出常用特殊角的三角函数值。
2.在完成锐角三角函数的填空、选择题时，要能根据题意画出相关图形，结合图形解题更具直观性。
3.能将实际问题转化为相关的直角三角形问题，即把实际问题抽象为几何问题，研究图形，利用数形结合思想、方程思想等解决生活问题。
4.注重基础，不断创新，掌握解直角三角形的基本技能，能灵活应对在测量、航海、定位等现代生活中常见问题，这也是以后中考命题的趋势。
5.解决实际问题的关键在于建立数学模型，要善于把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的问题．在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，应根据题目要求的精确度定答案．
三、求三角函数值的方法总结：
求三角函数值方法较多，解法灵活，在具体的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法，常用的方法主要有：(1)根据特殊角的三角函数值求值；(2)直接运用三角函数的定义求值；(3)借助边的数量关系求值；(4)借助等角求值；(5)根据三角函数关系求值；(6)构造直角三角形求值．
注意：考查已知三角形中的边与角求其他的边与角.解决这类问题一般是结合方程思想与勾股定理，利用锐角三角函数进行求解. (
例题解析
)
考点1. 求三角函数的值
【例题1】（2023深圳）计算：．
【答案】
【解析】根据零次幂及特殊三角函数值可进行求解．
原式
．
【点睛】本题主要考查零次幂及特殊三角函数值，熟练掌握各个运算是解题的关键．
【变式训练】（2023湖南常德）计算：
【答案】0
【解析】首先计算负整数指数幂，特殊角的三角函数，零指数幂和绝对值，然后计算加减．
原式
．
【点睛】此题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数，零指数幂和绝对值，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
考点2.特殊角的三角函数值
【例题2】（2023深圳）爬坡时坡角与水平面夹角为，则每爬1m耗能，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（参考数据：，）（ ）
A. 58J B. 159J C. 1025J D. 1732J
【答案】B
【解析】根据特殊角三角函数值计算求解．
故选：B．
【点睛】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解题的关键．
考点3. 解直角三角形
【例题3】 （2023湖南郴州） 在 Rt △ABC中, ∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中点，则 _______．
【答案】5
【解析】先根据题意画出图形，再运用勾股定理求得AB，然后再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
如图：∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8
∴
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AB=×10=5．
故答案为5．
【点睛】本题主要考查了运用勾股定理解直角三角形、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质等知识点，掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”成为解题的关键．
考点4. 三角函数的应用
【例题4】 （2023福建）阅读下列材料，回答问题
任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度远大于南北走向的最大宽度，如图1． 工具：一把皮尺（测量长度略小于）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）； 测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点处，对其视线可及的，两点，可测得的大小，如图3． 小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度，其测量及求解过程如下：测量过程： （ⅰ）在小水池外选点，如图4，测得，； （ⅱ）分别在，，上测得，；测得．求解过程： 由测量知，， ，，， ∴，又∵①___________， ∴，∴． 又∵，∴②___________． 故小水池的最大宽度为___________．
（1）补全小明求解过程中①②所缺的内容；
（2）小明求得用到的几何知识是___________；
（3）小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母，，表示，角度用，，表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出，且测量的次数最少，才能得满分）．
【答案】（1）①；②
（2）相似三角形的判定与性质
（3）最大宽度为，见解析
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质进行回答即可；
（3）测量过程：在小水池外选点，用测角仪在点处测得，在点处测得；用皮尺测得；
求解过程：过点作，垂足为，根据锐角三角函数的定义推得，，，根据，即可求得．
【详解】（1）∵， ，，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
故小水池的最大宽度为．
（2）根据相似三角形的判定和性质求得，
故答案为：相似三角形的判定与性质．
（3）测量过程：
（ⅰ）在小水池外选点，如图，用测角仪在点处测得，在点处测得；
（ⅱ）用皮尺测得．
求解过程：
由测量知，在中，，，．
过点作，垂足为．
在中，，
即，所以．
同理，．
在中，，
即，所以．
所以．
故小水池的最大宽度为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，根据题意画出几何图形，建立数学模型是解题的关键．
【变式训练1】（2023湖南常德）今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形是平行四边形，座板与地面平行，是等腰三角形且，，靠背，支架，扶手的一部分．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端点距地面（）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：，，）
【答案】
【解析】【分析】方法一：过点作交的延长线于点，由平行四边形的性质可得，进而求得，过点作于点，根据平行线的性质可得，进而求得，过作于点，根据等腰三角形三线合一可得，进而求得，利用求解即可；
方法二：过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，根据等腰三角形三线合一可得，进而求得，，过作于，根据平行线的性质可得，进而求得，根据求解即可．
【详解】方法一：
过点作交的延长线于点，
四边形是平行四边形，，
，
，
过点作于点，
由题意知，，
，
又，
，
过作于点，
，，
,
，
靠背顶端点距地面高度为
；
方法二：
如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，
，，
，
又，
，
，
，
过作于，
由题意知，，
，
又，
，
靠背顶端点距地面高度为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
【变式训练2】（2023湖南郴州） 某次军事演习中，一艘船以的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东方向，小时后到达处，测得小岛在它的北偏西方向，求该船在航行过程中与小岛的最近距离（参考数据：，．结果精确到）．
【答案】该船在航行过程中与小岛的最近距离．
【解析】【分析】过点作，垂足为，先在中，利用三角函数求出与的关系，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出与的关系，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
【详解】过点作，垂足为，
解∶∵，，，，，
∴，，，
在中，，即，
∴，
在中，，即，
∴，
∴，
∴（），
∴该船在航行过程中与小岛的最近距离．
【点睛】考查了与方位角有关的解直角三角形，作出相应辅助线构造直角三角形是解题的关键．
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第一部分 29个单元的基础知识与例题解析
专题28 锐角三角函数单元考点讲析
(
课标要求
)
（1）利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sinA, cos A, tan A),知道30°, 45°, 60°角的三角函数值。
（2）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数 值求它的对应锐角。
（3）能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。
(
知识
点梳理
)
知识点1. 锐角三角函数
1．三角函数定义
在Rt△ABC中，若∠C=90°
2.同角三角函数的关系
（1）平方关系：
（2）商数关系：
（3）倒数关系：
3.互为余角的三角函数关系
，
，
或者：若∠A+∠B=90°，则
sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotA=tanB
特殊角的三角函数值
α sinα Cosα tanα cotα
0° 0 1 0 不存在
30°
45° 1 1
60°
90° 1 0 不存在 0
5.锐角三角函数的增减性(0°--90°)
（1）锐角的正弦值（或正切值）随着角度的增大而增大，随着角度的减小而减小。
（2）锐角的余弦值（或余切值）随着角度的增大而减小，随着角度的减小而增大。
6.锐角三角函数的取值范围
0≤sinα≤1，0≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.
知识点2. 解直角三角形
1.求边角问题
（1）解直角三角形的的定义：已知边和角(其中必有一条边)，求所有未知的边和角.
（2）解直角三角形的依据：
角的关系：两个锐角互余；
边的关系：勾股定理；
边角关系：锐角三角函数；
（3）解直角三角形的常见类型及一般解法
Rt△ABC中的已知条件 一般解法
两边 两直角边a，b (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90 ∠A.
一直角边a，斜边c (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90 ∠A.
一边一锐角 一直角边a，锐角A (1)∠B=90 ∠A； (2)； (3).
斜边c，锐角A (1)∠B=90 ∠A； (2)a=c·sin A； (3)b=c·cos A.
2.求面积问题
（1）==
（2）Rt△面积公式：
（3）直角三角形外接圆的半径，内切圆半径
结论：直角三角形斜边上的高
3.求三角函数值的方法总结：
求三角函数值方法较多，解法灵活，在具体的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法，常用的方法主要有：
（1）根据特殊角的三角函数值求值；
（2）直接运用三角函数的定义求值；
（3）借助边的数量关系求值；
（4）借助等角求值；
（5）根据三角函数关系求值；
(6)构造直角三角形求值；
（7）利用计算器求值。
注意：考查已知三角形中的边与角求其他的边与角.解决这类问题一般是结合方程思想与勾股定理，利用锐角三角函数进行求解.
4.解直角三角形需要注意的问题
1.正确理解锐三角函数的概念，能准确表达各三角函数，并能说出常用特殊角的三角函数值。
2.在完成锐角三角函数的填空、选择题时，要能根据题意画出相关图形，结合图形解题更具直观性。
3.能将实际问题转化为相关的直角三角形问题，即把实际问题抽象为几何问题，研究图形，利用数形结合思想、方程思想等解决生活问题。
4.注重基础，不断创新，掌握解直角三角形的基本技能，能灵活应对在测量、航海、定位等现代生活中常见问题，这也是以后中考命题的趋势。
5.解决实际问题的关键在于建立数学模型，要善于把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的问题．在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，应根据题目要求的精确度定答案．
知识点3. 实际问题中术语的含义
(1)仰角与俯角
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。
(2)坡度：如图，我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或坡比），用字母i表示，即.
（3）坡角：坡面与水平面的夹角；
（4）坡度与坡角（用表示）的关系：i=tan.坡角越大，坡度越大，坡面越陡。
（5）方位角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°角的为方位角．
知识点4. 利用三角函数测高
(1) 测量底部可以到达的物体的高度步骤：
①在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；
②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；
③量出测倾器的高度AC=a，可求出 MN=ME+EN=l·tanα+a.
(2) 测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？
①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；
②在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MDE=β；
③量出测倾器的高度AC=BD=a，及测点A，B之间的距离 AB=b.根据测量数据，可求出物体MN的高度. (
方法总结
)
一、解直角三角形问题的依据与类型
（1）解直角三角形的的定义：已知边和角(其中必有一条边)，求所有未知的边和角.
（2）解直角三角形的依据：
角的关系：两个锐角互余；
边的关系：勾股定理；
边角关系：锐角三角函数；
（3）解直角三角形的常见类型及一般解法
Rt△ABC中的已知条件 一般解法
两边 两直角边a，b (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90 ∠A.
一直角边a，斜边c (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90 ∠A.
一边一锐角 一直角边a，锐角A (1)∠B=90 ∠A； (2)； (3).
斜边c，锐角A (1)∠B=90 ∠A； (2)a=c·sin A； (3)b=c·cos A.
二、解直角三角形需要注意的问题
1.正确理解锐三角函数的概念，能准确表达各三角函数，并能说出常用特殊角的三角函数值。
2.在完成锐角三角函数的填空、选择题时，要能根据题意画出相关图形，结合图形解题更具直观性。
3.能将实际问题转化为相关的直角三角形问题，即把实际问题抽象为几何问题，研究图形，利用数形结合思想、方程思想等解决生活问题。
4.注重基础，不断创新，掌握解直角三角形的基本技能，能灵活应对在测量、航海、定位等现代生活中常见问题，这也是以后中考命题的趋势。
5.解决实际问题的关键在于建立数学模型，要善于把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的问题．在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，应根据题目要求的精确度定答案．
三、求三角函数值的方法总结：
求三角函数值方法较多，解法灵活，在具体的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法，常用的方法主要有：(1)根据特殊角的三角函数值求值；(2)直接运用三角函数的定义求值；(3)借助边的数量关系求值；(4)借助等角求值；(5)根据三角函数关系求值；(6)构造直角三角形求值．
注意：考查已知三角形中的边与角求其他的边与角.解决这类问题一般是结合方程思想与勾股定理，利用锐角三角函数进行求解. (
例题解析
)
考点1. 求三角函数的值
【例题1】（2023深圳）计算：．
【变式训练】（2023湖南常德）计算：
考点2.特殊角的三角函数值
【例题2】（2023深圳）爬坡时坡角与水平面夹角为，则每爬1m耗能，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（参考数据：，）（ ）
A. 58J B. 159J C. 1025J D. 1732J
考点3. 解直角三角形
【例题3】 （2023湖南郴州） 在 Rt △ABC中, ∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中点，则 _______．
考点4. 三角函数的应用
【例题4】 （2023福建）阅读下列材料，回答问题
任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度远大于南北走向的最大宽度，如图1． 工具：一把皮尺（测量长度略小于）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）； 测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点处，对其视线可及的，两点，可测得的大小，如图3． 小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度，其测量及求解过程如下：测量过程： （ⅰ）在小水池外选点，如图4，测得，； （ⅱ）分别在，，上测得，；测得．求解过程： 由测量知，， ，，， ∴，又∵①___________， ∴，∴． 又∵，∴②___________． 故小水池的最大宽度为___________．
（1）补全小明求解过程中①②所缺的内容；
（2）小明求得用到的几何知识是___________；
（3）小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母，，表示，角度用，，表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出，且测量的次数最少，才能得满分）．
【变式训练1】（2023湖南常德）今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形是平行四边形，座板与地面平行，是等腰三角形且，，靠背，支架，扶手的一部分．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端点距地面（）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：，，）
【变式训练2】（2023湖南郴州） 某次军事演习中，一艘船以的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东方向，小时后到达处，测得小岛在它的北偏西方向，求该船在航行过程中与小岛的最近距离（参考数据：，．结果精确到）．
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