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2024年数学中考一轮单元复习考点讲析与达标检测（人教版通用）
第一部分 29个单元的基础知识与例题解析
专题29 投影与视图单元考点讲析
(
课标要求
)
（1）通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念。
（2）会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体。
（3）了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作模型。
（4）通过实例，了解上述视图与展开图在现实生活中的应用。
(
知识
点梳理
)
知识点1. 投影、平行投影、中心投影、正投影问题
(1) 投影：用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影。
(2) 平行投影：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影，称为平行投影.即由平行光线形成的投影是平行投影。
(3) 中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影.即由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影。
(4) 平行投影与中心投影的区别与联系：
（5）正投影
1) 概念：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影．
2) 性质：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同．
知识点2. 三视图问题
一、三视图的概念
将三个投影面展开在一个平面内，得到这个物体的一张三视图.
1.视图：从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形叫做物体的一个视图。视图可以看作物体在某一方向光线下的正投影。
2.主视图、俯视图、左视图
（1）主视图：对一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；
（2）俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；
（3）左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图。
注意：主视图与俯视图的长对正；主视图与左视图的高平齐；左视图与俯视图的宽相等。
二、三视图的画法
①确定主视图的位置，画出主视图；
②在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图长对正；
③在主视图正右方画出左视图，注意与主视图高平齐，与俯视图宽相等；
④为表示圆柱、圆锥等的对称轴，规定在视图中加画点划线表示对称轴.
注意：不可见的轮廓线，用虚线画出.
三、常见几何体的三视图
四、由三视图确定几何体
由三视图想象立体图形时，先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、主面和左侧面的局部形状，然后再综合起来考虑整体图形．
知识点3. 视图知识的应用问题
1.通过三视图制作立体模型的实践活动，体验平面图形向立体图形转化的过程，体会三视图表示立体图形的作用，进一步感受立体图形与平面图形之间的联系。
2.由三视图判断几何体形状主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
知识点4. 几何体展开图问题
1．常见几何体的展开图
几何体 立体图形 表面展开图 侧面展开图
圆柱
圆锥
三棱柱
2．正方体的展开图
正方体有11种展开图，分为四类：
第一类，中间四连方，两侧各有一个，共6种，如下图：
第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共3种，如下图：
第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有1种，如图10；
第四类，两排各有三个，也只有1种，如图11．
(
方法总结
)
由三视图确定几何体的面积和体积方法
①先根据给出的三视图确定立体图形，并确定立体图形的长、宽、高、底面半径等；
②根据已知数据，求出立体图形的体积（或将立体图形展开成一个平面图形，求出展开图的面积）.
(
例题解析
)
考点1. 投影问题
【例题1】小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．
【变式训练】木棒长为1.2m，则它的正投影的长一定 ( )
A. 大于1.2m B. 小于1.2m
C. 等于1.2m D. 小于或等于1.2m
考点2. 三视图问题
【例题2】（2023山东聊城） 如图所示几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【变式训练1】（2023福建）下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　）
A. B.
C. D.
【变式训练2】（2023湖南永州）下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为三角形的是（ ）
A. B. C. D.
考点3. 几何体的表面积和体积问题
【例题3】（2023山东济宁）一个几何体的三视图如下，则这个几何体的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【变式训练】（2023江苏扬州）下列图形中是棱锥的侧面展开图的是（ ）
A. B. C. D.
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2024年数学中考一轮单元复习考点讲析与达标检测（人教版通用）
第一部分 29个单元的基础知识与例题解析
专题29 投影与视图单元考点讲析
(
课标要求
)
（1）通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念。
（2）会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体。
（3）了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作模型。
（4）通过实例，了解上述视图与展开图在现实生活中的应用。
(
知识
点梳理
)
知识点1. 投影、平行投影、中心投影、正投影问题
(1) 投影：用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影。
(2) 平行投影：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影，称为平行投影.即由平行光线形成的投影是平行投影。
(3) 中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影.即由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影。
(4) 平行投影与中心投影的区别与联系：
（5）正投影
1) 概念：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影．
2) 性质：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同．
知识点2. 三视图问题
一、三视图的概念
将三个投影面展开在一个平面内，得到这个物体的一张三视图.
1.视图：从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形叫做物体的一个视图。视图可以看作物体在某一方向光线下的正投影。
2.主视图、俯视图、左视图
（1）主视图：对一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；
（2）俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；
（3）左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图。
注意：主视图与俯视图的长对正；主视图与左视图的高平齐；左视图与俯视图的宽相等。
二、三视图的画法
①确定主视图的位置，画出主视图；
②在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图长对正；
③在主视图正右方画出左视图，注意与主视图高平齐，与俯视图宽相等；
④为表示圆柱、圆锥等的对称轴，规定在视图中加画点划线表示对称轴.
注意：不可见的轮廓线，用虚线画出.
三、常见几何体的三视图
四、由三视图确定几何体
由三视图想象立体图形时，先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、主面和左侧面的局部形状，然后再综合起来考虑整体图形．
知识点3. 视图知识的应用问题
1.通过三视图制作立体模型的实践活动，体验平面图形向立体图形转化的过程，体会三视图表示立体图形的作用，进一步感受立体图形与平面图形之间的联系。
2.由三视图判断几何体形状主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
知识点4. 几何体展开图问题
1．常见几何体的展开图
几何体 立体图形 表面展开图 侧面展开图
圆柱
圆锥
三棱柱
2．正方体的展开图
正方体有11种展开图，分为四类：
第一类，中间四连方，两侧各有一个，共6种，如下图：
第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共3种，如下图：
第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有1种，如图10；
第四类，两排各有三个，也只有1种，如图11．
(
方法总结
)
由三视图确定几何体的面积和体积方法
①先根据给出的三视图确定立体图形，并确定立体图形的长、宽、高、底面半径等；
②根据已知数据，求出立体图形的体积（或将立体图形展开成一个平面图形，求出展开图的面积）.
(
例题解析
)
考点1. 投影问题
【例题1】小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．
【答案】旗杆的高AB为3米．
【解析】证明△AOD∽△EFG，利用相似比计算出AO的长，再证明△BOC∽△AOD，然后利用相似比计算OB的长，进一步计算即可求解．
∵AD∥EG，
∴∠ADO=∠EGF．
又∵∠AOD=∠EFG=90°，
∴△AOD∽△EFG．
∴．
∴．
同理，△BOC∽△AOD．
∴．
∴．
∴AB=OA OB=3（米）．
∴旗杆的高AB为3米．
【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
【变式训练】木棒长为1.2m，则它的正投影的长一定 ( )
A. 大于1.2m B. 小于1.2m
C. 等于1.2m D. 小于或等于1.2m
【答案】D
【解析】投影线垂直于投影面的投影叫做正投影．
木棒与投影面平行时，正投影长等于棒长；
木棒与投影面有小于90度夹角时，正投影长小于棒长；
木棒与投影面垂直时，正投影长为0。
所以木棒长为1.2m，则它的正投影的长一定小于或等于1.2m。
考点2. 三视图问题
【例题2】（2023山东聊城） 如图所示几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】从正面看到的平面图形是主视图，根据主视图的含义可得答案．
如图所示的几何体的主视图如下：
故选：D．
【点睛】此题主要考查了三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．
【变式训练1】（2023福建）下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答．
从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，
故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从上面看得到的图形是俯视图是解答本题的关键．
【变式训练2】（2023湖南永州）下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据三视图的意义判断即可．
A. 主视图和左视图都为长方形，不符合题意；
B. 主视图和左视图都为长方形，不符合题意；
C. 主视图和左视图都为长方形，不符合题意；
D. 主视图和左视图都为三角形，符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的意义是解题的关键．
考点3. 几何体的表面积和体积问题
【例题3】（2023山东济宁）一个几何体的三视图如下，则这个几何体的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】先根据三视图还原出几何体，再利用圆锥的侧面积公式和圆柱的侧面积公式计算即可．
根据三视图可知，该几何体上面是底面直径为6，母线为4的圆锥，下面是底面直径为6，高为4的圆柱，该几何体的表面积为：
．
故选B．
【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图以及圆锥的侧面积公式和圆柱的侧面积公式，根据三视图还原出几何体是解决问题的关键．
【变式训练】（2023江苏扬州）下列图形中是棱锥的侧面展开图的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由棱锥的侧面展开图的特征可知答案．
棱锥的侧面是三角形．
故选：D．
【点睛】考查几何体的展开图，熟记常见立体图形的侧面展开图和侧面的特征是解决此类问题的关键。
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