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2024年数学中考一轮单元复习考点讲析与达标检测（人教版通用）
第一部分 29个单元的基础知识与例题解析
专题08 二元一次方程组单元考点讲析
(
课标要求
)
（1）能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程; 理解方程解的意义，经历估计方程解的过程。
（2）掌握消元法，能解二元一次方程组。
（3）*能解简单的三元一次方程组。
(
考点梳理
)
知识点1.二元一次方程组的基本概念
1.二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次。方程，一般形式是 ax+by=c(a≠0,b≠0)。
2.二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
3.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。
4.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组。
知识点2.二元一次方程组的解法
5.消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。
6.代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
7.加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
知识点3.二元一次方程组的应用
二元一次方程组解决实际应用题的基本步骤：
1.审题，搞清已知量和待求量，应用题类型规律分析数量关系；
2.考虑如何根据等量关系设元（未知数），列出方程组；
3.解方程组，得到答案；
4.检查和反思解题过程，检验答案是否符合题意。
(
方法总结
)
一、二元一次方程组的常见解法
二元一次方程组中含有两个未知数，所以解二元一次方程组的主要思路就是消元，即消去一个未知数，使其转化为一元一次方程，这样就可以先解出一个未知数，然后设法求另一个未知数．常见的消元方法有两种：代入消元法和加减消元法．
1.代入法： 即由二元一次方程中的一个方程变形，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程中，实现消元，进而求解．一般情况下用代入法解方程组时，选择变形的方程要尽可能的简单，表示的代数式也要尽可能的简单，以利于计算．
2.整体代入法：当方程组中的两个方程存在整数倍数关系时，用代入法解可将整数倍数关系数中较小的一个变形，用另一个字母代数式表示它后代入另一个方程．
3.加减消元法： 即方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数相等时，让两个方程相减．如果方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数互为相反数时则让两个方程相减．消去一个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫加减消元法．
4.整体运用加减法：即当两个二元一次方程中的某一部分完全相同或符号相反时，可以把这两个方程两边相加或相减，把相同的部分整体消去．
二、列二元一次方程组应用题类型及其依据
类型1.行程问题
1.相遇问题：快行距+慢行距=原距，S1+S2=S
2.追及问题：快行距—慢行距=原距，S1-S2=S
3.航行问题：
（1）顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度
（2）逆水（风）速度=静水（风）速度-水流（风）速度
（3）顺水（风）速度-逆水（风）速度=2倍水流（风）速度
（4）顺水（风）速度+逆水（风）速度=2倍船速度
（5）顺水的路程=逆水路程
特别重要：行程问题三个量的关系
设路程为s、速度为v、时间为t，则s=vt, v=s/t, t=s/v。
类型2.工程问题
工程问题涉及的三个量是工作总量A、工作时间t和工作效率W。三个量关系为：
工作总量=工作时间×工作效率。A=Wt,W=A/t,t=A/W
特别重要：当工作总量未给出具体数量时，常设工作总量为1.
类型3.商品销售利润问题
1.打x折后价格=打折前价格×x/10
2.利润=售价-进价
3.利润率=（售价-进价）/进价×100％。
类型4.银行储蓄问题
1.免税利息=本金×利率×时间
2.税后利息=本金×利率×时间-本金×利率×时间×税率
类型5.增长率问题
1.原量×（1+增长率）=增长后的量
2.原量×（1+减少率）=减少后的量
类型6.和差倍分问题
1.较大量=较小量+多余量
2.总量=倍数×倍量
类型7.数字问题
1.首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关问题的概念、特征及其表示方法。
2.一个三位数，百位数是a，十位数是b, 个位数是c,则这个三位数可以表示为：
100a+10b+c。比如：568=100×5+10×6+8.
类型8.浓度问题
浓度问题涉及的三个量是溶液、浓度和溶质。三个量关系为：
溶液×浓度=溶质。
类型9.年龄问题
人与人的岁数是同时增长的。
类型10.几何问题
掌握几何图形（体）的性质、周长、面积（体积）等计算公式。
类型11.盈亏问题
从盈亏两个角度把握事物的总量。
类型12.产品配套问题
加工总量成正比。
(
例题解析
)
考点1. 二元一次方程（组）概念
【例题1】下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式训练】已知下列方程中，属于二元一次方程的个数是________．
(1)6x-5＝y； (2)5； (3)；(4)。
考点2. 解二元一次方程组
【例题2】（2023湖南常德）解方程组：
【变式训练1】（2023河南）方程组的解为______．
【变式训练2】解方程组
考点3. 二元一次方程（组）的应用
【例题3】（2023龙东） 某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（ ）
A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种
【变式训练1】为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾 稻”轮作模式．某农户有农田20亩，去年开始实施“虾 稻”轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元（利润＝售价﹣成本）．由于开发成本下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%，售价下降10%，出售小龙虾每千克获得利润为30元．求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价。
【变式训练2】在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米．分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？
【变式训练3】（2023辽宁本溪）某礼品店经销A，B两种礼品盒，第一次购进A种礼品盒10盒，B种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进A种礼品盒6盒，B种礼品盒5盒，共花费1200元
（1）求购进A，B两种礼品盒的单价分别是多少元；
（2）若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A种礼品盒多少盒？
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第一部分 29个单元的基础知识与例题解析
专题08 二元一次方程组单元考点讲析
(
课标要求
)
（1）能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程; 理解方程解的意义，经历估计方程解的过程。
（2）掌握消元法，能解二元一次方程组。
（3）*能解简单的三元一次方程组。
(
考点梳理
)
知识点1.二元一次方程组的基本概念
1.二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次。方程，一般形式是 ax+by=c(a≠0,b≠0)。
2.二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
3.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。
4.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组。
知识点2.二元一次方程组的解法
5.消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。
6.代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
7.加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
知识点3.二元一次方程组的应用
二元一次方程组解决实际应用题的基本步骤：
1.审题，搞清已知量和待求量，应用题类型规律分析数量关系；
2.考虑如何根据等量关系设元（未知数），列出方程组；
3.解方程组，得到答案；
4.检查和反思解题过程，检验答案是否符合题意。
(
方法总结
)
一、二元一次方程组的常见解法
二元一次方程组中含有两个未知数，所以解二元一次方程组的主要思路就是消元，即消去一个未知数，使其转化为一元一次方程，这样就可以先解出一个未知数，然后设法求另一个未知数．常见的消元方法有两种：代入消元法和加减消元法．
1.代入法： 即由二元一次方程中的一个方程变形，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程中，实现消元，进而求解．一般情况下用代入法解方程组时，选择变形的方程要尽可能的简单，表示的代数式也要尽可能的简单，以利于计算．
2.整体代入法：当方程组中的两个方程存在整数倍数关系时，用代入法解可将整数倍数关系数中较小的一个变形，用另一个字母代数式表示它后代入另一个方程．
3.加减消元法： 即方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数相等时，让两个方程相减．如果方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数互为相反数时则让两个方程相减．消去一个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫加减消元法．
4.整体运用加减法：即当两个二元一次方程中的某一部分完全相同或符号相反时，可以把这两个方程两边相加或相减，把相同的部分整体消去．
二、列二元一次方程组应用题类型及其依据
类型1.行程问题
1.相遇问题：快行距+慢行距=原距，S1+S2=S
2.追及问题：快行距—慢行距=原距，S1-S2=S
3.航行问题：
（1）顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度
（2）逆水（风）速度=静水（风）速度-水流（风）速度
（3）顺水（风）速度-逆水（风）速度=2倍水流（风）速度
（4）顺水（风）速度+逆水（风）速度=2倍船速度
（5）顺水的路程=逆水路程
特别重要：行程问题三个量的关系
设路程为s、速度为v、时间为t，则s=vt, v=s/t, t=s/v。
类型2.工程问题
工程问题涉及的三个量是工作总量A、工作时间t和工作效率W。三个量关系为：
工作总量=工作时间×工作效率。A=Wt,W=A/t,t=A/W
特别重要：当工作总量未给出具体数量时，常设工作总量为1.
类型3.商品销售利润问题
1.打x折后价格=打折前价格×x/10
2.利润=售价-进价
3.利润率=（售价-进价）/进价×100％。
类型4.银行储蓄问题
1.免税利息=本金×利率×时间
2.税后利息=本金×利率×时间-本金×利率×时间×税率
类型5.增长率问题
1.原量×（1+增长率）=增长后的量
2.原量×（1+减少率）=减少后的量
类型6.和差倍分问题
1.较大量=较小量+多余量
2.总量=倍数×倍量
类型7.数字问题
1.首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关问题的概念、特征及其表示方法。
2.一个三位数，百位数是a，十位数是b, 个位数是c,则这个三位数可以表示为：
100a+10b+c。比如：568=100×5+10×6+8.
类型8.浓度问题
浓度问题涉及的三个量是溶液、浓度和溶质。三个量关系为：
溶液×浓度=溶质。
类型9.年龄问题
人与人的岁数是同时增长的。
类型10.几何问题
掌握几何图形（体）的性质、周长、面积（体积）等计算公式。
类型11.盈亏问题
从盈亏两个角度把握事物的总量。
类型12.产品配套问题
加工总量成正比。
(
例题解析
)
考点1. 二元一次方程（组）概念
【例题1】下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C．
【解析】本题考查了二元一次方程组，含有两个未知数，且每个未知数的次数都是1的方程式二元一次方程，两个二元一次方程组成的方程组．
A是二元二次方程组，故A不是二元一次方程组；
B 是三元一次方程组，故B不是二元一次方程组；
C 是二元一次方程组，故C是二元一次方程组；
D 不是整式方程，故D不是二元一次方程组；
【变式训练】已知下列方程中，属于二元一次方程的个数是________．
(1)6x-5＝y； (2)5； (3)；(4)。
【答案】2
【解析】判断一个方程是否为二元一次方程的依据是二元一次方程的定义，对于比较复杂的方程，可以先化简，再根据定义进行判断．只有(1)(3)满足二元一次方程的概念．(4)为二元二次方程，方程中只含有2个未知数，但未知数次数不是1；(2)中含未知数的项的次数为1，但只有一个未知数，是一元一次方程。
考点2. 解二元一次方程组
【例题2】（2023湖南常德）解方程组：
【答案】
【解析】方程组利用加减消元法求解即可．
将①得：③
得：
将代入①得：
所以是原方程组的解．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．
【变式训练1】（2023河南）方程组的解为______．
【答案】
【解析】利用加减消元法求解即可．
由得，，解得，
把代入①中得，解得，
故原方程组的解是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的常用解法：代入消元法和加减消元法，观察题目选择合适的方法是解题关键．
【变式训练2】解方程组
【答案】方程组的解
【解析】方程③是关于x的表达式，通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组，因此确定“消x”的目标。用代入法，消x.
把③分别代入①、②得
解得
把y=2代入③，得x=8.
∴ 是原方程组的解.
考点3. 二元一次方程（组）的应用
【例题3】（2023龙东） 某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（ ）
A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种
【答案】B
【解析】设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，根据采购三种图书需500元列出方程，再依据x的数量分两种情况讨论求解即可．
【详解】设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，其中且均为整数，根据题意得，
，
整理得，，
①当时，，
∴
∵且均为整数，
∴当时，，∴；
当时，，∴；
当时，，∴；
②当时，，
∴
∵且均为整数，
∴当时，，∴；
当时，，∴；
当时，，∴；
综上，此次共有6种采购方案，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，正确理解题意、进行分类讨论是解答本题的关键．
【变式训练1】为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾 稻”轮作模式．某农户有农田20亩，去年开始实施“虾 稻”轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元（利润＝售价﹣成本）．由于开发成本下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%，售价下降10%，出售小龙虾每千克获得利润为30元．求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价。
【答案】去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为8元、40元；
【解析】设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为x元、y元，
由题意得：
解得：；
所以去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为8元、40元。
【变式训练2】在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米．分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？
【答案】巡逻车的速度是80千米/时，犯罪团伙的车的速度是40千米/时．
【解析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y千米/时，则
，整理，得，解得，
因此，巡逻车的速度是80千米/时，犯罪团伙的车的速度是40千米/时．
【变式训练3】（2023辽宁本溪）某礼品店经销A，B两种礼品盒，第一次购进A种礼品盒10盒，B种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进A种礼品盒6盒，B种礼品盒5盒，共花费1200元
（1）求购进A，B两种礼品盒的单价分别是多少元；
（2）若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A种礼品盒多少盒？
【答案】（1）A礼品盒的单价是100元，B礼品盒的单价是120元；
（2）至少购进A种礼品盒15盒．
【解析】【分析】（1）设A礼品盒的单价是a元，B礼品盒的单价是b元，根据题意列方程组即可得到结论；
（2）设购进A礼品盒x盒，则购进B礼品盒盒，根据题意列不等式即可得到结论．
【详解】
（1）解：设A礼品盒的单价是a元，B礼品盒的单价是b元，
根据题意得：，
解得：，
答：A礼品盒的单价是100元，B礼品盒的单价是120元；
（2）解：设购进A礼品盒x盒，则购进B礼品盒盒，
根据题意得：，
解得：，
∵x为整数，
∴x的最小整数解为15，
∴至少购进A种礼品盒15盒．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．
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