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7.1.1　数系的扩充和复数的概念
课标要求
通过方程的解，了解引进复数的必要性，认识复数，理解复数的基本概念及复数相等的充要条件．
素养要求
通过理解复数的基本概念及复数相等的有关知识，体会数学抽象及数学运算素养.
知识点 1　复数的有关概念
1．复数的定义
我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做_复数__，其中i叫做_虚数单位__全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做_复数集__.规定i·i＝i2＝_－1__.
2．复数的表示
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈ R　)，a与b分别叫做复数z的_实部与虚部__.
想一想：
数系是如何逐步扩充的？
提示：数系的每一次扩充都与实际需求密切相关．由计算的需要，得自然数(正整数和零)，为表示和正整数具有相反意义的量，如解方程x＋3＝1，得负整数，负整数和自然数统称为整数；由测量、分配中的等分，如解方程3x＝5，得分数(由有限小数和循环小数组成)，分数和整数统称为有理数；为解决正方形对角线的度量，如解方程x2＝2，得无理数，即无限不循环小数，无理数和有理数统称为实数；为解决负实数不能开平方的问题，如解方程x2＝－1，得虚数，虚数和实数统称为复数．
[提醒]　复数概念的三点说明
(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
(2)复数的虚部是实数b而非bi.
(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是．
练一练：
1．复数z＝2＋5i的实部等于_2__，虚部等于_5__.
2．若复数z＝(2a－1)＋(3＋a)i(a∈R)的实部与虚部相等，则a＝_4__.
[解析]　由题意知2a－1＝3＋a，
解得a＝4.
知识点 2　复数的分类
1．复数a＋bi(a，b∈R)
2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
想一想：
为什么虚数不能比较大小？
提示：引入虚数单位i后，规定i2＝－1，但i与0的大小关系不能确定．理由如下：若i>0，则2i>i，两边同乘i，得2i2>i2，即－2>－1，与实数系中数大小规定相矛盾；若i<0，则－2<－1 －2i>－i －2i·i<－i·i 2<1，与实数系中数的大小规定也是矛盾的．
故虚数不能比较大小，只有相等与不相等之分．
若两个复数用“>”或“<”连接，则必为实数．
知识点 3　复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di _a＝c且b＝d__.a＋bi＝0 _a＝b＝0__.
[提醒]　两个复数相等的条件
(1)在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立．
(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．
练一练：
1．在复数1＋2i，－，0,4i，－3－i中，不是虚数的为 －，0　.
2．若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i是纯虚数，则实数m＝_2__.
[解析]　由题意解得m＝2.
3．已知x，y∈R，若x＋3i＝(y－2)i，则x＋y＝_5__.
[解析]　由题可知，x＝0，y－2＝3，∴y＝5，∴x＋y＝5.
题型探究
题型一　复数的概念
典例1　(1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为( B )
A．0　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
(2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是 ±，5　.
(3)判断下列命题的真假．
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋2i的充要条件是x＝1，y＝2；
②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
③实数集的补集是虚数集．
[解析]　(1)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1＜0，所以①为假命题；
对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题；
对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，所以③为真命题．
(2) 由题意得：a2＝2，－(2－b)＝3，
所以a＝±，b＝5.
(3)①由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是代数形式，因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题．
②当a＝0时，ai＝0为实数，故②为假命题．
③由复数集的分类知，③正确，是真命题．
[归纳提升]　判断与复数有关的命题是否正确的方法
1．举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类型题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
2．化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．
特别提醒：解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质．
对点练习 (多选题)下列说法中，错误的是( ABD )
A．复数由实数、虚数、纯虚数构成
B．若复数z＝3m＋2ni，则其实部与虚部分别为3m,2n
C．在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数
D．若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数
[解析]　A错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数．B错，只有当m，n∈R时，才能说复数z＝3m＋2ni的实部与虚部分别为3m,2n.C正确，复数z＝x＋yi(x，y∈R)为纯虚数的条件是x＝0且y≠0，只要x≠0，则复数z一定不是纯虚数．D错，只有当a∈R，且a≠－3时，(a＋3)i才是纯虚数.
题型二　复数的分类及其应用
典例2　已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－1)i，当m为何值时：
(1)z∈R
(2)z是虚数？
(3)z是纯虚数？
[分析]　根据复数分类的标准及条件，建立关于实数m的方程或不等式(组)，求解m满足的条件．
[解析]　(1)m2＋2m－1＝0且m－1≠0，
即m＝－1±时，z为实数．
(2)当m2＋2m－1≠0且m－1≠0.
即m≠－1±且m≠1时，z为虚数．
(3)当＝0且m2＋2m－1≠0，
即m＝0或－2时，z为纯虚数．
[归纳提升]　利用复数的分类求参数的方法及注意事项．
1．利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为标准的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，若不是这种形式，应先化为这种形式，得到实部与虚部，再求解．
2．要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．
3．要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0，且b≠0.
对点练习 已知复数z＝3m2－7m＋2＋(2m2－5m＋2)i.
(1)若z为实数，求m的值；
(2)若z为纯虚数，求m的值．
[解析]　(1)由题意得2m2－5m＋2＝0，得m＝2或m＝.
(2)由题意得解得m＝.
题型三　复数相等的条件
典例3　已知x是实数，y是纯虚数，且满足(3x－10)＋i＝y－3i，求x与y.
[分析]　因为y是纯虚数，所以可设y＝bi(b∈R，b≠0)代入等式，把等式的左、右两边都整理成a＋bi的形式后，可利用复数相等的充要条件得到关于x与b的方程组，求解后得x与b的值．
[解析]　设y＝bi(b∈R且b≠0)代入(3x－10)＋i＝y－3i，
整理得(3x－10)＋i＝bi－3i，
由复数相等的充要条件得解得
∴x＝，y＝4i.
[归纳提升]　复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．
对点练习 定义运算：＝ad－bc，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足＝2，求xy的值．
[解析]　因为运算：＝ad－bc，
所以＝2，即为z－1＝2，则z＝3，
因为z＝x＋yi(x，y∈R)，
所以则xy＝0.
易错警示
对复数相关概念的理解不清致误
典例4　给出下列命题：(1)若x＋yi＝0，则x＝y＝0；(2)若a＋bi＝3＋8i，则a＝3，b＝8；(3)若x为实数，且(x2－4)＋(x2＋2x)i是纯虚数，则x＝±2；(4)若x，m∈R且3x＋mi<0，则有x<0.其中正确命题的序号是_(4)__.
[错解]　(1)(2)(4)
[错因分析]　a，b∈R是复数代数形式定义中的必不可少的条件，忽视了这一条件，就会导致错误的答案．
[正解]　 命题(1)和(2)都是错误的，原因是没有x，y∈R，a，b∈R的限制条件，因此相应结论都是错误的；命题(3)也是错误的，事实上，当(x2－4)＋(x2＋2x)i是纯虚数时，应有所以x＝2；(4)是正确的，因为由3x＋mi<0可得即x<0.
[误区警示]　复数中的许多结论，都是建立在复数为标准的代数形式这一条件下的，如果没有这一条件，相应结论不一定能够成立．例如：a＋bi＝0 a＝b＝0成立的条件是a，b∈R；a＋bi＝c＋di a＝c，b＝d成立的条件是a，b，c，d∈R.另外，复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的条件是a＝0，且b≠0，切记不能丢掉“b≠0”这一条件．
对点练习 已知i为虚数单位，下列说法正确的是( C )
A．若x2＋1＝0，则x＝i
B．实部为零的复数是纯虚数
C．z＝(x2＋1)i可能是实数
D．复数z＝2＋i的虚部是i
[解析]　x＝±i，A说法不正确；
实部为零的复数可能虚部也为零，从而是实数，B说法不正确；
当x＝i时，z＝(x2＋1)i是实数，C说法正确；
复数z＝2＋i的虚部是1，D说法不正确．
故选C．
1．(2022·无锡高一检测)已知a是实数，则复数(a2－2a)＋(a2＋a－6)i为纯虚数的充要条件是( B )
A．a＝0或a＝2
B．a＝0
C．a∈R且a≠2且a≠－3
D．a∈R，且a≠2
[解析]　由复数(a2－2a)＋(a2＋a－6)i为纯虚数，则解得a＝0.
2．(1＋)i的实部与虚部分别是( C )
A．1，　　　　　　　 B．1＋，0
C．0,1＋ D．0，(1＋)i
[解析]　(1＋)i可看作0＋(1＋)i＝a＋bi(a，b∈R)，
所以实部a＝0，虚部b＝1＋.
3．若复数z＝＋(m＋2)i的实部与虚部相等，则实数m的值为 －　.
[解析]　由条件知＝m＋2且m－1≠0，
∴m2＋4m＝m2＋m－2，∴m＝－.
4．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于_－3__.
[解析]　∵z<0，∴，∴m＝－3.
5．(多选题)已知复数z＝cos α＋icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值为( ABD )
A．π B．
C． D．
[解析]　由条件，知cos α＋cos 2α＝0，
∴2cos2α＋cos α－1＝0，
解得cos α＝－1或.
又0<α<2π，∴α＝π或或.7.1.2　复数的几何意义
课标要求
理解复数的代数表示及其几何意义，掌握用向量的模表示复数模的方法，理解共轭复数的概念．
素养要求
通过复数代数形式及其几何意义的理解、复数模的运用，共轭复数的概念的理解，体会数学抽象及数学运算素养.
知识点 1　复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做_复平面__，x轴叫做_实轴__，y轴叫做_虚轴__.实轴上的点都表示_实数__；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
知识点 2　复数的几何意义
[提醒]　复数几何意义的两个注意点
(1)复数与复平面上的点：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi)．
(2)复数与向量的对应：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个．
想一想：
如何理解复数与复平面内的点的一一对应关系？
提示：(1)复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是说，复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i.
(2)当a＝0，b≠0时，a＋bi＝0＋bi＝bi是纯虚数，所以虚轴上的点(0，b)(b≠0)都表示纯虚数．
(3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中的z书写时应小写；复平面内点Z(a，b)中的Z书写时应大写．
练一练：
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)原点是实轴和虚轴的交点．( √ )
(2)在复平面内，虚数与复平面内的点一一对应．( × )
(3)复数与复平面内的无数多个向量对应．( √ )
2．复数z＝3－5i在复平面内对应的点的坐标是_(3，－5)__.
3．若＝(0，－3)，则对应的复数z＝_－3i__.
知识点 3　复数的模
向量的模称为复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作_|z|__或_|a＋bi|__.即|z|＝|a＋bi|＝ 　，其中a，b∈R.如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模就等于_|a|__(a的绝对值)．
[拓展]　对复数模的三点说明
(1)数学上所谓大小的定义是：在(实)数轴上右边的比左边的大，而复数的表示要引入虚数轴，在平面上表示，所以也就不符合关于大和小的定义，而且定义复数的大小也没有什么意义，所以我们说两个复数不能比较大小．
(2)数的角度理解：复数a＋bi(a，b∈R)的模|a＋bi|＝，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小．
(3)几何角度理解：|z|表示复数的点Z到原点的距离．|z1－z2|表示复数z1，z2对应的点之间的距离．
练一练：
若复数z＝a－2ai的模等于，则实数a的值为_±1__.
[解析]　由题意可得＝，所以a2＝1，a＝±1.
知识点 4　共轭复数
(1)定义：当两个复数的实部_相等__，虚部_互为相反数__时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
(2)表示方法：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝ a－bi　.
想一想：
共轭复数有什么性质？
提示：(1)代数性质：实部相等，虚部互为相反数．
(2)几何性质：关于实轴对称．
(3)实数a的共轭复数仍是a本身，即z∈C，z＝ z∈R，这是判断一个复数是否为实数的一个准则．
练一练：
1．已知i为虚数单位，若(x－2)＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x，y的值分别是( D )
A．3,3 B．5,1
C．－1，－1 D．－1,1
[解析]　∵(x－2)＋yi和3x－i互为共轭复数，
∴解得
2．若复数a＋1＋(1－a)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( B )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
[解析]　因为z＝a＋1＋(1－a)i，
所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)．
又因为此点在第二象限，所以解得a<－1，故选B．
3．已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝ 　.
[解析]　∵z＝1＋2i，∴|z|＝＝.
题型探究
题型一　复数与点的对应
典例1　当k为何实数时，复数z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i对应的点位于：(1)x轴正半轴上；(2)y轴负半轴上；(3)第四象限的角平分线上．
[分析]　根据复数与点的对应关系，得到复数的实部与虚部之间应满足的条件，建立关于a的方程或不等式，即可求得实数a的值(或取值范围)．
[解析]　∵k∈R，∴k2－3k－4，k2－5k－6都是实数，
∴复数z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i对应的点的坐标为(k2－3k－4，k2－5k－6)．
(1)由题意得解得k＝6.
∴k＝6时，复数z对应的点在x轴的正半轴上．
(2)由题意得解得k＝4.
∴k＝4时，复数z对应的点位于y轴的负半轴上．
(3)由题意得解得k＝5.
∴k＝5时，复数z对应的点位于第四象限的角平分线上．
[归纳提升]　1.复数与复平面内点的对应关系的实质：复数的实部就是其对应点的横坐标，复数的虚部就是其对应点的纵坐标．
2．已知复数在复平面内对应点满足的条件求参数值(或取值范围)时，可根据复数与点的对应关系，找到复数实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求得参数值(或取值范围)．
对点练习 (1)复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( C )
A．第一象限　　　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)若z＝(m＋1)－(m－1)i(i是虚数单位，m∈R)对应的点在复平面内位于第四象限，则( B )
A．m<－1 B．m>1
C．－11
[解析]　(1)z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限.
(2)复数z＝(m＋1)－(m－1)i＝(m＋1)＋(1－m)i表示的点为(m＋1,1－m)，
由题设知，解得m>1.
故选B．
题型二　复数与向量的对应
典例2　(1)在复平面内，复数10＋7i，－6＋i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( C )
A．4＋8i B．16＋6i
C．2＋4i D．8＋3i
(2)在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
①求向量，，对应的复数；
②判定△ABC的形状．
[分析]　根据复数与点、复数与向量的关系求解．
[解析]　(1)两个复数对应的点分别为A(10,7)，B(－6，1)，则C(2,4)．故其对应的复数为2＋4i.
(2)①由复数的几何意义知：
＝(1,0)，＝(2,1)，＝(－1,2)，
所以＝－＝(1,1)，＝－＝(－2,2)，＝－＝(－3,1)，所以，，对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.
②因为||＝，||＝2，||＝，
所以||2＋||2＝||2，
所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
[归纳提升]　1.若复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则复数z在复平面内对应的向量＝(a，b)．
2．复平面内向量对应的复数可通过向量的坐标运算求得．
3．一个向量不管怎样平移，它所对应的复数是不变的，但其起点与终点对应的复数可能改变．
对点练习 (1)已知在复平面中，O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是( B )
A．－5＋5i B．5－5i
C．5＋5i D．－5－5i
(2)在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1－2i，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为( D )
A．－2－i B．2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
[解析]　(1)向量，对应的复数分别记作z1＝2－3i，z2＝－3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量＝(2，－3)，＝(－3,2)．
由向量减法的坐标运算可得向量＝－＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，
根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是5－5i.
(2)∵对应的复数为－1－2i，
∴A(－1，－2)．
∴B(－1,2)，
∴对应的复数为－1＋2i.故选D．
题型三　复数的模
典例3　(1)已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i，求|z1|及|z2|并比较大小；
(2)已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
[分析]　(1)根据求模公式进行计算；
(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出a，b.
[解析]　(1)|z1|＝|＋i|＝＝2，
|z2|＝＝1，
所以|z1|>|z2|.
(2)解法一：设z＝a＋bi(a、b∈R)，
则|z|＝，
代入方程得a＋bi＋＝2＋8i，
∴解得∴z＝－15＋8i.
解法二：原式可化为z＝2－|z|＋8i，
∵|z|∈R，∴2－|z|是z的实部，
于是|z|＝，
即|z|2＝68－4|z|＋|z|2，∴|z|＝17.
代入z＝2－|z|＋8i得z＝－15＋8i.
[归纳提升]　(1)复数的模是非负实数，因此复数的模可以比较大小．
(2)根据复数模的计算公式|a＋bi|＝(a，b∈R)可把复数模的问题转化为实数问题解决．
对点练习 设z为纯虚数，且|z－1|＝|－1＋i|，则复数z＝_±i__.
[解析]　因为z为纯虚数，所以设z＝ai(a∈R，且a≠0)，
则|z－1|＝|ai－1|＝.
又因为|－1＋i|＝，
所以＝，即a2＝1，所以a＝±1，即z＝±i.
题型四　复数的模的几何意义
典例4　设z∈C，在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形．
(1)|z|＝2；
(2)1≤|z|≤2.
[解析]　(1)解法一：|z|＝2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2，这样的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆．
解法二：设z＝a＋bi，由|z|＝2，得a2＋b2＝4.
故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆．
(2)不等式1≤|z|≤2可以转化为不等式组
不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2及该圆内部所有点的集合．
不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1及该圆外部所有点的集合．
这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合．
如图所示中的阴影部分，
所求点的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界．
[归纳提升]　解决复数的模的几何意义的问题应把握的两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决．
对点练习 已知复数z的模为2，求|z－i|的最大值．
[解析]　如图所示，由|z|＝2，可知z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，于是本题转化为在这个圆上求到点Q(0,1)的距离的最大值．显然圆上的点P(0，－2)到点Q的距离最大，最大值为3.
易错警示
混淆复数的模与实数的绝对值致误
典例5　已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是( A )
A．1个圆　　　　　　　　　 B．线段
C．2个点　　　　　　　　 D．2个圆
[错解]　由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1，故选D．
[错因分析]　错解中忽视了“|z|”的几何意义导致错误.
[正解]　由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，
即|z|＝3或|z|＝－1.
∵|z|≥0，∴|z|＝－1应舍去，故应选A．
[误区警示]　由复数模的定义和复数的几何意义知，|z|表示z在复平面内的对应点到原点的距离，因此|z|≥0.z＝i时，z2＝－1，但|z|≠－1，不要作错误的迁移．
对点练习 已知复数z1＝2－2i.
(1)求|z1|；
(2)若|z|＝1，试求复数z和z1所对应的两点间的距离的最大值．
[解析]　(1)|z1|＝＝2.
(2)由于|z|＝1，故复数z所对应的点的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆，而z1所对应的点为Z1(2，－2)，则所求距离的最大值可以看成点(2，－2)到圆心的距离再加1.由图可知，最大值为2＋1.
1．已知a、b∈R，那么在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点的位置关系是( B )
A．关于实轴对称
B．关于虚轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y＝x对称
[解析]　在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点为(a，－b)和(－a，－b)关于y轴对称．
2．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于x轴的对称点为B，则向量对应的复数为( A )
A．－1－2i B．－2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
[解析]　∵A(－1,2)关于x轴的对称点为B(－1，－2)，∴向量对应的复数为－1－2i.
3．设z＝a＋(a＋1)i(a，b∈R)在复平面内对应的点为M，则“点M在第一象限”是“a>－1”的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
[解析]　根据复数的几何意义可知，若点M在第一象限，则
得a>0，则{a|a>0}?{a|a>－1}，
所以“点M在第一象限”是“a>－1”的充分不必要条件．
故选A．
4．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，则下列各式正确的是( D )
A．z1>z2 B．z1C．|z1|>|z2| D．|z1|<|z2|
[解析]　不全为实数的两个复数不能比较大小，排除选项A，B．
又|z1|＝，|z2|＝，∴|z1|<|z2|.
故选D．
5．已知复数z＝a－i(a∈R)对应的点都在圆心在原点的单位圆内(不含内界)，则a的取值范围是 　.
[解析]　由复数的几何意义知复数z＝a－i对应的点为，由解析几何的相关知识可知要满足题中的条件，只需使<1，
即a2＋<1，解得－所以a的取值范围是.7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义
课标要求
熟练掌握复数的代数形式的加、减运算法则，理解复数加、减法的几何意义．
素养要求
通过本节课的学习，体会数学运算素养及数学抽象素养.
知识点 1　复数的加、减法运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1＋z2＝ (a＋c)＋(b＋d)i　，
z1－z2＝_(a－c)＋(b－d)i__.
知识点 2　复数加法的运算律
(1)交换律：_z1＋z2＝z2＋z1__；
(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝_z1＋(z2＋z3)__.
[拓展]　
1．对复数的加法法则的理解．
(1)两个复数相加，类似于两个多项式相加：实部与实部相加，虚部与虚部相加．很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数．但是两个虚数之和不一定是一个虚数，如(－i)＋i＝0.
(2)当z1，z2都是实数时，把它们看作复数时的和就是这两个实数的和．
(3)复数的加法可以推广到多个复数相加的情形：各复数的实部分别相加，虚部分别相加．
2．对复数的减法法则的理解．
(1)两个复数相减，类似于两个多项式相减：把z＝a＋bi(a，b∈R)看成关于“i”的多项式，则复数的减法类似于多项式的减法，只需要“合并同类项”就可以了．
(2)很明显，两个复数的差是一个确定的复数．但是两个虚数之差不一定是一个虚数，如(3＋2i)－2i＝3.
3．运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立．实数的移项法则在复数中仍然成立．
4．运算结果：两个复数的和(差)是唯一确定的复数．
练一练：
1．已知复数z1＝5＋3i，z2＝3－7i，则z1＋z2等于( C )
A．－4i B．8
C．8－4i D．2＋10i
[解析]　z1＋z2＝5＋3i＋3－7i＝8－4i.
2．已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝( D )
A．0 B．6i
C．6 D．6－6i
[解析]　∵z＋3i－3＝3－3i，∴z＝(3－3i)－(3i－3)＝6－6i.
知识点 3　复数加、减法的几何意义
如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是 　，与z1－z2对应的向量是 　.
[提醒]　向量对应的复数是z2－z1，而不是z1－z2，即终点对应的复数减起点对应的复数，这个顺序是不能颠倒的．
练一练：
在复平面内，向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是( C )
A．－10＋8i B．10－8i
C．0 D．10＋8i
[解析]　＋＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，故＋对应的复数为0.
知识点 4　复平面内两点间的距离
设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)在复平面内对应的点分别是Z1(a，b)，Z2(c，d)，则|Z1Z2|＝，又复数z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i，则|z1－z2|＝，故|Z1Z2|＝|z1－z2|.即|z1－z2|表示复数z1，z2，在复平面内对应的点之间的距离．
想一想：
类比绝对值|x－x0|的几何意，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？
提示：|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是两个复数在复平面对应的点之间的距离.
题型探究
题型一　复数代数形式的加、减法运算
典例1　(1)(1＋2i)＋(7－11i)－(5＋6i)；
(2)5i－[(6＋8i)－(－1＋3i)]；
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
[分析]　根据复数的加减运算法则即可求解．
[解析]　(1)(1＋2i)＋(7－11i)－(5＋6i)＝(1＋7－5)＋(2－11－6)i＝3－15i.
(2)5i－[(6＋8i)－(－1＋3i)]＝5i－(7＋5i)＝－7.
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i(a，b∈R)．
[归纳提升]　复数加、减运算的法则
(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．
(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．
对点练习 计算：(1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；
(2)(i2＋i)＋|i|＋(1＋i)．
[解析]　(1)原式＝[(5－2)＋(－6－1)i]－(3＋4i)
＝(3－7i)－(3＋4i)
＝(3－3)＋(－7－4)i
＝－11i.
(2)原式＝(－1＋i)＋1＋(1＋i)
＝(－1＋1＋1)＋(1＋1)i
＝1＋2i.
题型二　复数加、减法及复数模的几何意义
典例2　如图，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求：
(1)所表示的复数，所表示的复数；
(2)对角线所表示的复数；
(3)对角线所表示的复数及的长度．
[分析]　要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量的相等直接给出所求的结论．
[解析]　(1)＝－，∴所表示的复数为－3－2i.
∵＝，∴所表示的复数为－3－2i.
(2)＝－.
∴所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)对角线＝＋，它所对应的复数z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，||＝＝.
[归纳提升]　利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论
(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．
(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
对点练习 已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数及对角线AC，BD的长．
[解析]　如图，因为AC与BD的交点M是各自的中点，
所以有zM＝＝，
所以zD＝zA＋zC－zB＝1－7i，
因为：zC－zA＝2－(－5－2i)＝7＋2i，
所以||＝|7＋2i|＝＝，
因为：zD－zB＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i，
所以||＝|5－12i|＝＝13.
故点D对应的复数是1－7i，AC与BD的长分别是和13.
题型三　复数加法、减法几何意义的应用
典例3　(1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是( A )
A．1 B．
C．2 D．
(2)若复数z满足|z＋＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．
[分析]　涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．
[解析]　(1)设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，
因为|z＋i|＋|z－i|＝2，
|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|＝1.所以|z＋i＋1|min＝1.
(2)如图所示，||＝＝2.
所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1.
[归纳提升]　两个复数差的模的几何意义
(1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．
(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆．
对点练习 若本例(2)条件改为已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值．
[解析]　因为|z|＝1且z∈C，作图如图：
所以|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离，所以|z－2－2i|的最小值为|OP|－1＝2－1.
易错警示
误解复数加法、减法的几何意义
典例4　A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是( B )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
[错解]　A
[错因分析]　向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数)．
[正解]　根据复数加(减)法的几何意义，知以，为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形．
对点练习 △ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的( A )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
[解析]　由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A、B、C距离相等，∴P为△ABC的外心．
1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1－z2＝( A )
A．8i B．6
C．6＋8i D．6－8i
[解析]　∵复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，∴z1－z2＝(3＋4i)－(3－4i)＝8i.
2．在复平面内，O是坐标原点，向量，，对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，那么对应的复数为( C )
A．4＋7i B．1＋3i
C．4－4i D．－1＋6i
[解析]　＝＋＋＝－－＋＝－1－5i＋2－i＋3＋2i＝4－4i，故选C．
3．(多选题)下面关于|(3＋2i)－(1＋i)|的说法表述正确的是( ACD )
A．点(3,2)与点(1,1)之间的距离
B．点(3,2)与点(－1，－1)之间的距离
C．点(2,1)到原点的距离
D．坐标为(－2，－1)的向量的模
[解析]　由复数的几何意义，知复数(3＋2i)，(1＋i)分别对应复平面内的点(3,2)与点(1,1)，所以|(3＋2i)－(1＋i)|表示点(3,2)与点(1,1)之间的距离，故A正确；(3＋2i)－(1＋i)＝2＋i，与向量(2,1)一一对应，(1＋i)－(3＋2i)＝－2－i，与向量(－2，－1)一一对应，故C、D正确．
4．如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为( D )
A．3＋i B．3－i
C．1－3i D．－1＋3i
[解析]　∵＝＋，∴对应的复数为1＋2i－2＋i＝－1＋3i，∴点C对应的复数为－1＋3i.
5．设复数z1，z2在复平面内的对应点分别为A，B，若点A与B关于实轴对称，且2z1＋z2＝3－2i，则z2＝_1＋2i__.
[解析]　因为A与B两点关于实轴对称，所以z1与z2互为共轭复数，设z2＝a＋bi(a，b∈R)，则z1＝a－bi，代入2z1＋z2＝3－2i，整理并化简，得3a－bi＝3－2i.
所以3a＝3且－b＝－2，所以a＝1，b＝2，
所以z2＝1＋2i.7.2.2　复数的乘、除运算
课标要求
掌握复数代数形式的乘法和除法运算，理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．
素养要求
通过本节课的学习体会数学抽象及数学运算素养.
知识点 1　复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝_(ac－bd)＋(ad＋bc)i__.
知识点 2　复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1·z2＝_z2·z1__
结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
分配律 z1(z2＋z3)＝_z1z2＋z1z3__
想一想：
|z|2＝z2成立吗？
提示：不一定成立．例如|i|2＝1，而i2＝－1.
练一练：
1．已知复数z＝2－i，则z·的值为( A )
A．5 B．
C．3 D．
[解析]　z·＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5.故选A．
2．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( D )
A．6－4i B．－6－4i
C．6＋4i D．－6＋4i
[解析]　(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.故选D．
[拓展]　对复数乘法的三点说明
(1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1)．
(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．
(3)常用结论
①(a±bi)2＝a2±2abi－b2(a，b∈R)；
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
③(1±i)2＝±2i.
知识点 3　复数代数形式的除法法则
(a＋bi)÷(c＋di)＝＝ ＋i　(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)．
[拓展]　对复数除法的两点说明
(1)实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．
(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．
特别提醒：复数的除法类似于根式的分母有理化．
练一练：
已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为( C )
A．2 B．0
C．－2 D．
[解析]　设＝b(其中b∈R)，所以a－i＝2b＋bi，故b＝－1，a＝2b＝－2.
题型探究
题型一　复数代数表示式的乘法运算
典例1　(1)复数z＝－2i(－1＋i)的虚部为( B )
A．－2 B．2
C．2i D．2
(2)设z＝i(2＋i)，则＝( D )
A．1＋2i B．－1＋2i
C．1－2i D．－1－2i
(3)若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是( B )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
[分析]　利用乘法公式进行运算．
[解析]　(1)因为z＝－2i(－1＋i)＝2＋2i，
所以复数z的虚部为2，
故选B．
(2)因为z＝i(2＋i)＝－1＋2i，所以＝－1－2i.故选D．
(3)z＝(1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(1＋a)i，因为对应的点在第三象限，所以解得a<－1，故选B．
[归纳提升]　两个复数代数形式乘法的一般方法
(1)首先按多项式的乘法展开．
(2)再将i2换成－1.
(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．
对点练习 (1)(2022·新高考Ⅱ卷)(2＋2i)·(1－2i)＝( D )
A．－2＋4i B．－2－4i
C．6＋2i D．6－2i
(2)下列各式的运算结果为纯虚数的是( C )
A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)
C．(1＋i)2 D．i(1＋i)
[解析]　(1)(2＋2i)(1－2i)＝2＋4－4i＋2i＝6－2i.故选D．
(2)A项，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数；
B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数；
C项，(1＋i)2＝2i,2i是纯虚数；
D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C．
题型二　复数代数形式的除法运算
典例2　(1)＝( D )
A．1 B．－1
C．i D．－i
(2)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z为( A )
A．3＋5i B．3－5i
C．－3＋5i D．－3－5i
[分析]　复数的除法运算就是分子分母同乘分母的共轭复数，转化为乘法进行．
[解析]　(1)＝＝＝－i.故选D．
(2)∵z(2－i)＝11＋7i，
∴z＝＝＝＝3＋5i.
[归纳提升]　1.两个复数代数形式的除法运算步骤
(1)首先将除式写为分式．
(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数．
(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
2．常用公式
(1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i.
对点练习 (1)已知复数z满足i·z＝1－i，其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数等于( B )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
(2)已知i是虚数单位，则在复平面内，复数z＝对应的点位于( D )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析]　(1)因为i·z＝1－i，所以z＝＝－1－i，复数z的共轭复数等于－1＋i.故选B．
(2)由z＝可知，z＝＝＝＝－，
因此其对应的点为，位于第四象限．故选D．
题型三　实系数一元二次方程在复数范围内根的问题
典例3　已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根．
(1)求实数a，b的值；
(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明．
[分析]　解决实系数一元二次方程的基本方法是复数相等的充要条件．
[解析]　(1)把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，
∴解得
(2)由(1)知方程为x2＋2x＋2＝0.
设另一个根为x2，由根与系数的关系，得－1＋i＋x2＝－2，
∴x2＝－1－i.
把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，
则左边＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右边，
∴x2＝－1－i是方程的另一个根．
[归纳提升]　(1)实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a＋bi(a，b∈R，b≠0)是实系数一元二次方程的根，则其共轭复数a－bi是该方程的另一根．
(2)和在实数范围内对比，在复数范围内解决实系数一元二次方程问题，韦达定理和求根公式仍然适用，但是判别式判断方程根的功能就发生改变了．
对点练习 (多选题)方程x2－2x＋2＝0在复数范围内的根为( AB )
A．1＋i B．1－i
C．1＋2i D．1－2i
[解析]　原方程Δ＝(－2)2－4×1×2＝－4<0，
∴无实数根，∴x＝＝1±i.
易错警示
误认为|z|2＝z2
典例4　已知复数z满足条件z2－|z|－6＝0，求复数z.
[错解]　由z2－|z|－6＝0 (|z|－3)(|z|＋2)＝0.
因为|z|＋2≠0，所以|z|＝3.
则在复平面内以原点为圆心，3为半径的圆上的所有点对应的复数均符合要求．
[错因分析]　本题将复数z的模等同于实数的绝对值，误认为|z|2＝z2.
[正解]　设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则由条件得x2－y2＋2xyi－－6＝0.
由复数相等的充要条件得
解得或(无解)，
即解得
故z＝3或z＝－3.
[误区警示]　设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，|z|2＝a2＋b2，即z2≠|z|2，二者不可混淆．
对点练习 已知复数z满足z＝－|z|，则z的实部( B )
A．不小于0 B．不大于0
C．大于0 D．小于0
[解析]　设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∵z＝－|z|，∴a＋bi＝－，
∴解得故z的实部不大于0.
1．(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1－z)＝1，则z＋＝( D )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
[解析]　由题设有1－z＝＝＝－i，故z＝1＋i，故z＋＝(1＋i)＋(1－i)＝2.故选D．
2．(2022·杭州高一检测)计算的值是( A )
A． B．
C． D．
[解析]　＝＝＝.
3．(2023·陕西咸阳)已知复数z＝，若z的共轭复数为，则z·＝( B )
A． B．5
C． D．10
[解析]　z·＝|z|2＝2＝＝＝5.
故选B．
4．复数z＝的模为( B )
A． B．
C． D．2
[解析]　z＝＝＝－－i，|z|＝＝＝，或|z|＝＝＝＝，选B．
5．把复数z的共轭复数记作，已知(1＋2i)＝4＋3i，求z及.
[解析]　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
由已知得：(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数相等的定义知，得a＝2，b＝1，
∴z＝2＋i.
∴＝＝＝＝＋i.7.3.1　复数的三角表示式
7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
课标要求
通过复数的几何意义，了解复数的三角表示；了解复数的代数表示与三角表示之间的关系；了解复数乘除运算的三角表示及其几何意义．
素养要求
通过了解复数的三角表示及复数乘、除的几何意义，体会数学抽象及数学运算素养.
知识点 1　复数的三角表示式
如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角θ来表示复数z.
一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式．其中，
概念名称 概念的说明
模r r是复数z的模，r＝
辐角θ θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，且cos θ＝，sin θ＝；规定：复数0的辐角是任意的
三角形式 r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是：_模非负，角相同，余弦前，加号连__
为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
知识点 2　辐角主值
_0≤θ<2π__范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z.
练一练：
判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)复数的辐角是唯一的．( × )
(2)z＝cos θ－isin θ是复数的三角形式．( × )
(3)z＝－2(cos θ＋isin θ)是复数的三角形式．( × )
知识点 3　复数乘、除运算的三角表示
(1) r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2) ＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．
(2)＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
知识点 4　复数乘、除法的几何意义
(1)复数乘法的几何意义
如图，两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.
(2)复数除法的几何意义
如图，两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.
练一练：
1．×＝( C )
A．1 B．－1
C．i D．－i
[解析]　×＝cos＋isin＝cos＋isin＝i.故选C．
2．4(cos π＋isin π)÷＝( C )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
[解析]　4(cos π＋isin π)÷＋＝2＝2＋＝－1＋i.故选C．
题型探究
题型一　复数的代数形式化为三角形式
典例1　将下列复数代数式化成三角形式：
(1)2＋2i；(2)1－i.
[分析]　先求复数的模，再根据复数所在象限确定复数的辐角主值，然后写出复数的三角形式．
[解析]　(1)r＝＝4，所以cos θ＝，对应的点在第一象限，所以arg(2＋2i)＝，
所以2＋2i＝4.
(2)r＝＝，所以cos θ＝，
对应的点在第四象限，所以arg(1－i)＝，
所以1－i＝.
[归纳提升]　将复数的代数形式转化为三角形式的步骤：
(1)先求复数的模．(2)决定辐角所在的象限．(3)根据象限求出辐角．(4)求得复数的三角形式．
对点练习 把下列复数表示成三角形式．
(1)z1＝－1＋i；
(2)z2＝－4i.
[解析]　(1)由a＝－1，b＝，知点Z1(－1，)在第二象限，故辐角为第二象限的角．
r＝＝2.
又cos θ＝－，所以arg z1＝.
因此复数z1＝－1＋i的三角形式为
z1＝2.
(2)由a＝0，b＝－4<0，知
r＝＝4，arg z2＝，
因此复数z2＝－4i的三角形式为
z2＝4.
题型二　将复数的三角形式化为代数形式
典例2　将下列复数化为代数形式：
(1)(cos 135°＋isin 135°)；
(2)6.
[分析]　将复数的三角形式化为代数形式，只需要将其中蕴含的三角函数值求出数值即可．
[解析]　(1)(cos 135°＋isin 135°)
＝
＝－1＋i.
(2)6＝6
＝－3－3i.
[归纳提升]　将复数的三角形式化为复数代数形式的方法是：复数三角形式z＝r(cos θ＋isin θ)，代数形式为z＝x＋yi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x＝rcos θ，y＝rsin θ.
对点练习 复数的代数形式为_1－i__.
[解析]　
＝
＝
＝＝1－i.
题型三　复数三角形式的乘、除法运算
典例3　计算：
(1)2×；
(2)2(cos 5°＋isin 5°)×4(cos 30°＋isin 30°)×(cos 25°＋isin 25°)；
(3)8÷.
[分析]　按照复数三角形式的乘法、除法法则进行．
[解析]　(1)2×＝2＝－2i.
(2)2(cos 5°＋isin 5°)×4(cos 30°＋isin 30°)×(cos 25°＋isin 25°)＝8(cos 35°＋isin 35°)×(cos 25°＋isin 25°)＝4(cos 60°＋isin 60°)＝2＋2i.
(3)8÷
＝2＝2
＝－＋i.
[归纳提升]　复数三角形式的乘法运算法则，即两个复数相乘，所得的结果是模相乘，辐角相加．
复数三角形式的除法运算法则，即两个复数相除，所得的结果是模相除，辐角相减．
对点练习 (1)已知z1＝4＋4i的辐角主值为θ1，z2＝－1－i的辐角主值为θ2，求θ1＋θ2的值；
(2)计算：2i÷.
[解析]　(1)∵z1＝4＋4i＝4，
z2＝－1－i＝，
∴z1z2＝4×
＝8
＝8，
∴θ1＋θ2＝.
(2)2i÷
＝2(cos 90°＋isin 90°)÷
＝4(cos 60°＋isin 60°)＝2＋2i.
题型四　复数三角形式乘、除法的几何意义
典例4　如图，若与分别表示复数z1＝1＋2i，z2＝7＋i，求∠Z2OZ1的大小，并判断△OZ1Z2的形状．
[分析]　可以利用复数的三角形式的除法的几何意义来解决三角形中角的大小问题．
[解析]　∵＝＝＝＝
∴∠Z2OZ1＝，且＝.
设|OZ1|＝k，|OZ2|＝2k(k>0)，
由余弦定理得
|Z1Z2|＝k2＋(2k)2－2k·2k·cos＝3k2，
所以|Z1Z2|＝k，
又k2＋(k)2＝(2k)2，
所以△OZ1Z2为有一锐角为的直角三角形．
对点练习 已知＝(1,1)，将按逆时针方向旋转得到，则点Z对应的复数为 ＋i　.
[解析]　＝(1,1)＝，将绕原点O逆时针方向旋转得到，则
＝
＝＝，
即点Z对应的复数为＋i.
易错警示
求辐角主值时的常见误区
典例5　求复数z＝1＋cos θ＋isin θ(π<θ<2π)的模与辐角主值．
[错解]　z＝1＋cos θ＋isin θ
＝1＋＋2isin cos
＝2cos
∴复数z的模为2cos ，辐角主值为.
[错因分析]　从形式上看，2cos ＋似乎就是三角形式，不少同学认为r＝2cos ，arg z＝.
错误之处在于他们没有考虑角θ的范围，因此一定要用“模非负，角相同，余弦前，加号连”来判断是否为三角形式．
[正解]　z＝1＋cos θ＋isin θ＝1＋＋2i·sin ·cos ＝2cos .
∵π<θ<2π，∴<<π，∴cos <0，
∴2cos
＝－2cos
＝－2cos ，
∴r＝－2cos ，
∵<<π，∴<π＋<2π，∴arg z＝π＋.
故复数z的模是－2cos ，辐角主值是π＋.
对点练习 求复数z＝1＋cos θ－isin θ(π<θ<2π)的模与辐角主值．
[解析]　z＝2cos2－2i·sin cos
＝2cos
＝－2cos
＝－2cos ，
∵π<θ<2π，∴<<π，∴cos<0，
∴0<π－<，∴r＝－2cos ，
arg z＝π－.
故复数z的模是－2cos ，辐角主值为π－.
1．下列复数是复数三角形式表示的是( D )
A．
B．－
C．
D．cos ＋isin
[解析]　选项A，cos 与isin 之间用“－”连接，不是用“＋”连接；选项B，－<0不符合r≥0的要求；选项C，是sin 与icos 用“＋”连接而不是cos ＋isin 的形式．故A、B、C均不是复数的三角形式．故选D．
2．复数z＝－i的三角形式为( D )
A．2
B．2
C．2
D．2
[解析]　因为r＝2，所以cos θ＝，与z＝－i对应的点在第四象限，所以arg(－i)＝，
所以z＝－i＝2.
3．复数z＝化为代数形式为( D )
A．＋i B．－＋i
C．－－i D．－i
[解析]　z＝
＝sin ＋icos ＝×＋i×
＝－i.
4．计算8×＝ －4＋4i　.
[解析]　原式＝8
＝8＝－4＋4i.
5．化下列复数为三角形式．
(1)－1＋i；
(2)1－i；
(3)2i；
(4)－1.
[解析]　(1)因为z＝－1＋i，所以a＝－1，b＝，
则r＝＝2，tan θ＝－.
而对应点M(－1，)在第二象限，θ的主值为π，
∴－1＋i＝2.
(2)因为z＝1－i，所以a＝1，b＝－1，
则r＝＝，tan θ＝－1.
而对应点M(1，－1)在第四象限，θ的主值为π，
∴－1＋i＝.
(3)因为z＝2i，所以a＝0，b＝2，
则r＝2.
对应点M(0,2)在y轴正半轴上，θ的主值为，
∴2i＝2.
(4)因为z＝－1，所以a＝－1，b＝0，
则r＝1，对应点M(－1,0)在x轴负半轴上，θ的主值为π.
∴－1＝cos π＋isin π.章末知识梳理
1．复数的有关概念
(1)虚数单位i.(2)复数的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)．(3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数．
2．复数集
复数a＋bi(a，b∈R)
3．复数的几何形式
(1)用点Z(a，b)表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)，用向量表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)，Z称为z在复平面上的对应点，复数与复平面上的点一一对应(坐标原点对应实数0)．
(2)任何一个复数z＝a＋bi一一对应着复平面内一个点Z(a，b)，也一一对应着一个从原点出发的向量.
4．共轭复数与复数的模
(1)若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，z＋为实数，z－为纯虚数(b≠0)．
(2)复数z＝a＋bi的模|z|＝，且z·＝|z|2＝a2＋b2.
5．复数加、减法的几何意义
(1)复数加法的几何意义
若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1＋z2是以，为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．
(2)复数减法的几何意义
复数z1－z2是连接向量，的终点，并指向Z1的向量所对应的复数．
6．复数的四则运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
(4)除法：＝＝
＝(c＋di≠0)．
(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况．
(6)特殊复数的运算：in(n为正整数)的周期性运算；(1±i)2＝±2i.
要点一　有关复数的概念
复数常设为z＝a＋bi(a，b∈R)，z∈R b＝0；z为虚数 b≠0；z为纯虚数 a＝0且b≠0.
典例1　当实数a为何值时，z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i.
(1)为实数；
(2)为纯虚数；
(3)对应的点在第一象限内；
(4)复数z对应的点在直线x－y＝0上．
[分析]　根据题设条件构建方程(组)或不等式(组)求解即可．
[解析]　(1)z∈R a2－3a＋2＝0，解得a＝1或a＝2.
(2)z为纯虚数，
即故a＝0.
(3)z对应的点在第一象限，
则所以
所以a<0或a>2.
所以a的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．
(4)依题设(a2－2a)－(a2－3a＋2)＝0，所以a＝2.
对点练习 (1)复数的虚部是( D )
A．－ B．－
C． D．
(2)设z是复数，则下列命题中的假命题是( C )
A．若z2≥0，则z是实数
B．若z2<0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0
D．若z是纯虚数，则z2<0
[解析]　(1)因为＝＝＋i，
所以复数的虚部是.
(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，若z2≥0，则
即b＝0，故z是实数，A正确；若z2<0，则即故B正确；若z是虚数，则b≠0，z2＝a2－b2＋2abi无法与0比较大小，故C是假命题；若z是纯虚数，则z2＝－b2<0，故D正确.
要点二　复数相等
复数的代数形式z＝x＋yi(x，y∈R)，从实部、虚部来理解一个复数，把复数z满足的条件转化为实数x，y应该满足的条件，从而可以从实数的角度利用待定系数法和方程思想来处理复数问题．
典例2　已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.
[解析]　设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi.
又(x＋y)2－3xyi＝4－6i，∴4a2－3(a2＋b2)i＝4－6i，
∴
∴或或或
∴或或
或
对点练习 已知复数z＝，复数z1与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称．
(1)求z1；
(2)若复数z2＝a＋bi(a，b∈R)，且z2＋az＋b＝1－i，求|z1－z2|.
[解析]　(1)由已知复数z＝＝＝＝＝1＋i，
因为复数z1与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，则它们实部互为相反数，虚部相等，
所以z1＝－1＋i.
(2)因为z2＋az＋b＝1－i，
所以(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，
整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，
所以
解得a＝－3，b＝4，
所以复数z2＝－3＋4i,
所以z1－z2＝2－3i，
故|z1－z2|＝|2－3i|＝.
要点三　复数的模及其几何意义
1．z≠0，z为纯虚数 ＝－z.
2．复数模的计算公式：若z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝，在解答有关复数模的问题时应重视以下结论的运用：z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝(z2≠0)等．
典例3　复数z满足|z＋3－i|＝，求|z|的最大值和最小值．
[解析]　|z＋3－i|＝表示以－3＋i对应的点P为圆心，以为半径的圆，如图所示，则|OP|＝|－3＋i|＝＝2，
显然|z|max＝|OA|＝|OP|＋＝3，|z|min＝|OB|＝|OP|－＝.
对点练习 已知复数z1＝1＋(a2－10)i，z2＝(2a－5)i(a>0)，z1＋z2∈R.
(1)求实数a的值；
(2)若z∈C，|z－z2|＝2，求|z|的取值范围．
[解析]　(1)因为z1＝1＋(a2－10)i，z2＝(2a－5)i，
所以z1＋z2＝1＋(a2－10)i＋(2a－5)i＝1＋(a2＋2a－15)i.
又因为z1＋z2∈R，所以a2＋2a－15＝0，
解得a＝－5或a＝3.又因为a>0，所以a＝3.
(2)由(1)知z2＝i，设z＝x＋yi，
由|z－z2|＝2 |x＋(y－1)i|＝2，所以＝2，
得x2＋(y－1)2＝4，而(y－1)2＝4－x2，
∴0≤(y－1)2≤4，∴－2≤y－1≤2，故y∈[－1,3]．
∴|z|＝＝＝，
∵－1≤y≤3，∴2y＋3∈[1,9]，故|z|∈[1,3].
要点四　复数与其他知识的综合应用
复数具有代数形式，且复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)之间建立了一一对应关系，复数又是数形结合的桥梁，要注意复数与向量、方程、函数等知识的交汇．
典例4　四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C，D四点对应的复数分别为1＋3i,2i,2＋i，z.
(1)求复数z；
(2)z是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值．
[解析]　(1)复平面内A，B，C对应的点坐标分别为(1,3)，(0,2)，(2,1)，
设D的坐标为(x，y)，由于＝，
∴(x－1，y－3)＝(2，－1)，
∴x－1＝2，y－3＝－1，解得x＝3，y＝2，故D(3,2)，
则点D对应的复数z＝3＋2i.
(2)∵3＋2i是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，
∴3－2i是关于x的方程2x2－px＋q＝0的另一个根，
则3＋2i＋3－2i＝，(3＋2i)·(3－2i)＝，
即p＝12，q＝26.
对点练习 已知复平面内点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设对应的复数为z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．
[解析]　(1)由题意得z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋(cos 2θ－1)i＝－1＋(－2sin2θ)i.
(2)由(1)知，点P的坐标为(－1，－2sin2θ)．
由点P在直线y＝x上，得－2sin2θ＝－，
∴sin2θ＝，又θ∈(0，π)，∴sin θ>0.
因此sin θ＝，∴θ＝或θ＝.

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