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10.1 计数原理
一、单选题
1．从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客车，3次飞机航班，还有6次轮船，某人某天要从甲地到乙地，共有不同走法的种数是（ ）
A．26 B．60 C．18 D．1080
【答案】A
【解析】由分类加法计数原理知有（种）不同走法，故选：A．
2．从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，则不同的送法种数为（ ）
A．10 B．20 C．25 D．32
【答案】B
【解析】从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，第一步选一件礼物给甲，有5种不同方法，第二步选一件礼物给乙，有4种不同方法，总方法为，故选：B．
3．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有6名同学只会用综合法证明，有4名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种树为（ ）.
A．10 B．16 C．20 D．24
【答案】A
【解析】由题意，每一种方法都能证明该问题，根据分类加法计数原理，可得共有（种），故选：A.
4．小张去工作室需要通过三重门，他必须问管理员要到每重门的钥匙才能到达工作室.第一重门的钥匙有3把（每把颜色不同），第二重门的钥匙有4把（每把颜色不同），第三重门的钥匙有3把（每把颜色不同），管理员要求他从这10把钥匙中取3把，则他能到达工作室的不同的取法共有（ ）
A．10种 B．24种 C．36种 D．120种
【答案】C
【解析】依题意，进入第一重门有3种取法，进入第二重门有4种取法，进入第三重门有3种取法，
由分步乘法计数原理可知，不同的取法共有种，故选：C.
5．某班元旦晚会原定的个节目已排成节目单，开演前又增加了个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】D
【解析】将第一个新节目插入个节目排成的节目单中有种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的个节目排成的节目单中有种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有插入方法：（种），故选：D.
6．从10人中选出2人分别为正副班长，选法种数为 （ ）
A.45 B.90 C.30 D.180
【答案】B
【解析】从10人中选出2人分别为正副班长，选法种数为：，故选：B.
7．某学校社团为举办庆祝中国共产党成立102周年革命歌曲展演．现从《歌唱祖国》《英雄赞歌》《南泥湾》《没有共产党就没有新中国》4首独唱歌曲和《保卫黄河》《唱支山歌给党听》《我和我的祖国》3首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有（ ）
A．40 B．240 C．120 D．360
【答案】D
【解析】根据题意，在3首合唱歌曲中任选1首，安排在最后，有3种安排方法，在其他6首歌曲中任选3首，作为前3首歌曲，有种安排方法，则有种不同的安排方法，故选：D．
8．已知集合，．现从集合A中取一个元素作为点P的横坐标，从集合B中取一个元素作为点P的纵坐标，则位于第四象限的点P有（ ）
A．16个 B．12个 C．9个 D．6个
【答案】D
【解析】因为第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负，所以集合中只有符合，集合中只有符合，所以第四象限的点P有个，故选：D.
9．展开后的项数为（ ）
A．10 B．18 C．24 D．36
【答案】C
【解析】根据分步乘法原理，展开后的项数有：项，故选：C.
10．有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中任取多面体和旋转体各1个，则不同取法的种数是（ ）．
A．14 B．23 C．48 D．120
【答案】C
【解析】分两步：第1步，取多面体，分两类，可以从5个不同的棱柱或3个不同的棱锥中取一个，
根据分类加法计数原理有（种）不同的取法；第2步，取旋转体，分两类，可以从4个不同的圆台或2个不同的球中取一个，根据分类加法计数原理有（种）不同的取法．所以根据分步乘法计数原理知不同的取法种数是．故选：C．
二、填空题
11．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有__________种.
【答案】9
【解析】由题意，若从第一层取书，则有4种不同的取法，若从第二层取书，则有3种不同的取法，若从第三次取书，则有2种不同的取法，所以不同的取法有种.
故答案为：9.
12．某乒乓球队有男运动员5人，女运动员6人，从中选派2人参加男女混双比赛，共有 种不同的排法.
【答案】30
【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，首先选出男生和女生各自有5和6种选法，再根据分别计数乘法得到共有6×5=30种结果，故答案为：30．
13．小张同学计划从6本历史类读本、5本军事类读本和3本哲学类读本中任选1本阅读，则不同的选法共有______种．
【答案】14
【解析】根据分类加法计数原理可知，共有种不同的选法，故答案为：14.
14．教学大楼共有4层，每层都有东西两个楼梯，由一楼到4楼共有走法种数为 .
【答案】23
【解析】由题意得可知：由一层走到二层有两种选择，由二层走到三层有两种选择，由三层走到四层有两种选择，根据分步计数法的原则可知共有种走法，故答案为：23.
15．5名篮球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员的选法有 种.（用数字作答）
【答案】9
【解析】分为两类：两名老队员，一名新队员时，有3种选法；两名新队员、一名老队员时，有2×3＝6(种)选法，即共有9种不同选法，故答案为：9．
16．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有 种．（用数字作答）
【答案】243
【解析】每一封信投到邮筒都有3种选择，所以将5封信投入3个邮筒，共有种投法，故答案为：243．
17．有不同的红球8个，不同的白球7个，不同的黄球6个，现从中任取不同的颜色的球两个，不同的取法有 .
【答案】146
【解析】当取出不同的球为红球和白球时，一共有种；当取出不同的球为红球和黄球时，一共有种；当取出不同的球为白球和黄球时，一共有种；综上：一共有56+48+42=146种.
18．如图所示，在A，间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通，则因为焊接点脱落而导致电路不通情况有 种.
【答案】13
【解析】若脱落1个，则有（1），（4）两种情况；若脱落2个，则有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情况；若脱落3个，则有（1，2，3），（1，2，4），（2，3，4），（1，3，4）共4种情况；若脱落4个，则有（1，2，3，4）共1种情况，综上共有种情况.故答案为：13.
三、解答题
19．从甲地到乙地，可以乘飞机，也可以乘火车，还可以乘长途汽车.每天飞机有班，火车有班，长途汽车有班.一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的方法？
【答案】
【解析】解：由题意可知，从甲地到乙地，若乘飞机，有种方法；若乘火车，有种方法；若乘长途汽车，有种方法；则从甲地到乙地共有种不同的方法.
20．小明同学要从教学楼的一层到四层，已知从第一层到第二层有4个扶梯可走，从第二层到第三层有3个扶梯可走，从第三层到第四层有2个扶梯可走，那么小明同学从第一层到第四层有多少种不同的走法？
【答案】24
【解析】解：第1步，从第一层到第二层有4种不同的走法；第2步，从第二层到第三层有3种不同的走法；第3步，从第三层到第四层有2种不同的走法；根据分步乘法计数原理，小明同学从教学楼的第一层到第四层的不同走法有种．
21．某人有枚明朝不同年代的古币和枚清朝不同年代的古币.
（1）若从中任意取出枚，则有多少种不同取法.
（2）若从中任意取出明、清古币各枚，则有多少种不同取法.
【答案】(1)；(2)
【解析】解：(1)从枚不同的古币中，取出枚为明朝的古币有种不同的取法，取出枚为清朝的古币有种不同的取法，由分类加法计数原理可知，共有种不同的取法.
(2)分两步进行，第一步，从枚明朝的古币中取出枚，有种不同的取法；第二步，从枚清朝的古币中取出枚古币，有种不同的取法，由分步乘法计数原理，共有种不同的取法．
22．用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时：
（1）各位数字互不相同的三位数有多少个.
（2）可以排出多少个不同的三位数.
【答案】（1）120；（2）216．
【解析】解：（1）三位数的每位上数字均为1，2，3，4，5，6之一．第一步，得首位数字，有6种不同结果；第二步，得十位数字，有5种不同结果；第三步，得个位数字，有4种不同结果．故可得各位数字互不相同的三位数有6×5×4＝120(个)；
（2）三位数，每位上数字均可从1，2，3，4，5，6六个数字中得一个，共有这样的三位数有6×6×6＝216(个)．
23．有不同的红球个，不同的白球个.
（1）从中取出一个球，共有多少种不同的取法？
（2）从中取出两个颜色不同的球，共有多少种不同的取法？
【答案】(1)(2)
【解析】解：(1)从中取出一个红球，有种取法，从中取出一个白球，有种取法，由分类加法计数原理可知，从中取出一个球，共有种不同的取法.
(2)从中取出一个红球，有种取法，从中取出一个白球，有种取法，由分布乘法计数原理可知，从中取出两个颜色不同的球，共有种不同的取法.
24．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.
（1）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？
（2）从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？
【答案】(1)种；(2)种.
【解析】解：(1)从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法，第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法，第3步从第3层取1本体育书，有2种方法，根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是.
(2)第1类方法是4本不同的计算机书和3本不同的文艺书中各选取1本，有种方法，第2类方法是4本不同的计算机书和2本不同的体育书各选取1本，有种方法，第3类方法是3本不同的文艺书和2本不同的体育书各选取1本，有种方法，根据分类加法计数原理，不同取法的种数是.10.1 计数原理
一、单选题
1．从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客车，3次飞机航班，还有6次轮船，某人某天要从甲地到乙地，共有不同走法的种数是（ ）
A．26 B．60 C．18 D．1080
2．从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，则不同的送法种数为（ ）
A．10 B．20 C．25 D．32
3．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有6名同学只会用综合法证明，有4名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种树为（ ）.
A．10 B．16 C．20 D．24
4．小张去工作室需要通过三重门，他必须问管理员要到每重门的钥匙才能到达工作室.第一重门的钥匙有3把（每把颜色不同），第二重门的钥匙有4把（每把颜色不同），第三重门的钥匙有3把（每把颜色不同），管理员要求他从这10把钥匙中取3把，则他能到达工作室的不同的取法共有（ ）
A．10种 B．24种 C．36种 D．120种
5．某班元旦晚会原定的个节目已排成节目单，开演前又增加了个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
6．从10人中选出2人分别为正副班长，选法种数为 （ ）
A.45 B.90 C.30 D.180
7．某学校社团为举办庆祝中国共产党成立102周年革命歌曲展演．现从《歌唱祖国》《英雄赞歌》《南泥湾》《没有共产党就没有新中国》4首独唱歌曲和《保卫黄河》《唱支山歌给党听》《我和我的祖国》3首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有（ ）
A．40 B．240 C．120 D．360
8．已知集合，．现从集合A中取一个元素作为点P的横坐标，从集合B中取一个元素作为点P的纵坐标，则位于第四象限的点P有（ ）
A．16个 B．12个 C．9个 D．6个
9．展开后的项数为（ ）
A．10 B．18 C．24 D．36
10．有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中任取多面体和旋转体各1个，则不同取法的种数是（ ）．
A．14 B．23 C．48 D．120
二、填空题
11．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有__________种.
12．某乒乓球队有男运动员5人，女运动员6人，从中选派2人参加男女混双比赛，共有 种不同的排法.
13．小张同学计划从6本历史类读本、5本军事类读本和3本哲学类读本中任选1本阅读，则不同的选法共有______种．
14．教学大楼共有4层，每层都有东西两个楼梯，由一楼到4楼共有走法种数为 .
15．5名篮球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员的选法有 种.（用数字作答）
16．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有 种．（用数字作答）
17．有不同的红球8个，不同的白球7个，不同的黄球6个，现从中任取不同的颜色的球两个，不同的取法有 .
18．如图所示，在A，间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通，则因为焊接点脱落而导致电路不通情况有 种.
三、解答题
19．从甲地到乙地，可以乘飞机，也可以乘火车，还可以乘长途汽车.每天飞机有班，火车有班，长途汽车有班.一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的方法？
20．小明同学要从教学楼的一层到四层，已知从第一层到第二层有4个扶梯可走，从第二层到第三层有3个扶梯可走，从第三层到第四层有2个扶梯可走，那么小明同学从第一层到第四层有多少种不同的走法？
21．某人有枚明朝不同年代的古币和枚清朝不同年代的古币.
（1）若从中任意取出枚，则有多少种不同取法.
（2）若从中任意取出明、清古币各枚，则有多少种不同取法.
22．用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时：
（1）各位数字互不相同的三位数有多少个.
（2）可以排出多少个不同的三位数.
23．有不同的红球个，不同的白球个.
（1）从中取出一个球，共有多少种不同的取法？
（2）从中取出两个颜色不同的球，共有多少种不同的取法？
24．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.
（1）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？
（2）从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？

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